D96多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用解讀課件

二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

第九章二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方程:的向量方程

對上的動點M,即是此方程確定映射,稱此映射為一元向量值函數(shù).

的終點M

的軌跡,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線.

要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.的向量形式一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方定義:給定數(shù)集D

R,稱映射為一元向量值函數(shù)(簡稱向量值函數(shù)),記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進行討論.極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：嚴格定義見P93因此下面僅以n=3的情形為代表定義:給定數(shù)集DR,稱映射為一元向量值函數(shù)(簡向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),是可導(dǎo)函數(shù),則C

是常向量,c

是任一常數(shù),向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長方向一致.,則設(shè)向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量,則有

例1.

設(shè)速度向量：加速度向量：解：向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量例2.設(shè)空間曲線的向量方程為

求曲線上對應(yīng)于解:的點處的單位切向量.故所求單位切向量為其方向與t

的增長方向一致另一與t

的增長方向相反的單位切向量為=6例2.設(shè)空間曲線的向量方程為求曲線上對應(yīng)于解:的例3.一人懸掛在滑翔機上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上升,其位置向量為(1)滑翔機在任意時刻

t

的速度向量與加速度向量;(2)滑翔機在任意時刻

t

的速率;(3)滑翔機的加速度與速度正交的時刻.解:(1)(3)由即即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.例3.一人懸掛在滑翔機上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上二、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限位給定光滑曲線在點法式可建立曲線的法平面方程利用點M(x,y,z)處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程二、空間曲線的切線與法平面過點M與切線垂直的平面稱為曲線1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點M處的則在點M的導(dǎo)向量為法平面方程給定光滑曲線為0,切線方程1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點M處的例4.求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(1,1,1)對應(yīng)于故點M處的切向量為因此所求切線方程為法平面方程為即思考:

光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量例4.求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,且有

可表示為處的切向量為2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,且有可表則在點切線方程法平面方程有或則在點切線方程法平面方程有或也可表為法平面方程(自己驗證)也可表為法平面方程(自己驗證)例5.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量例5.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程法平面方程即解法2

方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得法平面方程即解法2方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向三、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點M,切線方程為不全為0.則

在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點的切平面.

上過點

M

的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.三、曲面的切平面與法線設(shè)有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點證:在

上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.證:在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線曲面

在點M的法向量:

法線方程

切平面方程

過M點且垂直于切平面的直線稱為曲面在點M的法線.曲面在點M的法向量:法線方程切平曲面時,則在點故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時,切平面方程法向量曲面時,則在點故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,當(dāng)光滑曲面的法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上的,即使得它與z軸的正向所成的角γ為銳角,復(fù)習(xí)法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量例6.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:令所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)例6.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線例7.確定正數(shù)

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有例7.確定正數(shù)使曲面在點解:二曲面在M點的法向量1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結(jié)1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線空間光滑曲面曲面在點法線方程1)隱式情況.的法向量空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦29ThanksP103

題3;4;8;.作業(yè)29ThanksP103題3;4;8;.作業(yè)思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:

設(shè)切點為則(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:設(shè)切點為則(證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:

在曲面上任意取一點則通過此

作業(yè)

P992，4，6，7，10，11，122.設(shè)

f(u)可微,第七節(jié)證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:在曲面上任備用題

1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題

1.證明曲面與定直線平行,證:曲面上任一點的法2.求曲線在點(1,1,1)

的切線解:點(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.2.求曲線在點(1,1,1)的切線解:點(1,1,1二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

第九章二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方程:的向量方程

對上的動點M,即是此方程確定映射,稱此映射為一元向量值函數(shù).

的終點M

的軌跡,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線.

要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.的向量形式一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方定義:給定數(shù)集D

R,稱映射為一元向量值函數(shù)(簡稱向量值函數(shù)),記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進行討論.極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：嚴格定義見P93因此下面僅以n=3的情形為代表定義:給定數(shù)集DR,稱映射為一元向量值函數(shù)(簡向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),是可導(dǎo)函數(shù),則C

是常向量,c

是任一常數(shù),向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長方向一致.,則設(shè)向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量,則有

例1.

設(shè)速度向量：加速度向量：解：向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量例2.設(shè)空間曲線的向量方程為

求曲線上對應(yīng)于解:的點處的單位切向量.故所求單位切向量為其方向與t

的增長方向一致另一與t

的增長方向相反的單位切向量為=6例2.設(shè)空間曲線的向量方程為求曲線上對應(yīng)于解:的例3.一人懸掛在滑翔機上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上升,其位置向量為(1)滑翔機在任意時刻

t

的速度向量與加速度向量;(2)滑翔機在任意時刻

t

的速率;(3)滑翔機的加速度與速度正交的時刻.解:(1)(3)由即即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.例3.一人懸掛在滑翔機上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上二、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限位給定光滑曲線在點法式可建立曲線的法平面方程利用點M(x,y,z)處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程二、空間曲線的切線與法平面過點M與切線垂直的平面稱為曲線1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點M處的則在點M的導(dǎo)向量為法平面方程給定光滑曲線為0,切線方程1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點M處的例4.求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(1,1,1)對應(yīng)于故點M處的切向量為因此所求切線方程為法平面方程為即思考:

光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量例4.求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,且有

可表示為處的切向量為2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,且有可表則在點切線方程法平面方程有或則在點切線方程法平面方程有或也可表為法平面方程(自己驗證)也可表為法平面方程(自己驗證)例5.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量例5.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程法平面方程即解法2

方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得法平面方程即解法2方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向三、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點M,切線方程為不全為0.則

在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點的切平面.

上過點

M

的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.三、曲面的切平面與法線設(shè)有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點證:在

上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.證:在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線曲面

在點M的法向量:

法線方程

切平面方程

過M點且垂直于切平面的直線稱為曲面在點M的法線.曲面在點M的法向量:法線方程切平曲面時,則在點故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時,切平面方程法向量曲面時,則在點故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,當(dāng)光滑曲面的法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上的,即使得它與z軸的正向所成的角γ為銳角,復(fù)習(xí)法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量例6.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:令所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)例6.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線例7.確定正數(shù)

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有例7.確定正數(shù)使曲面在點解:二曲面在M點的法向量1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結(jié)1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)