14結構動力學(李廉錕結構力學)課件

§14-1

概述§14-2結構的振動自由度§14-3單自由度結構的自由振動§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動§14-6多自由度結構的自由振動第十四章結構動力學§14-1概述§14-2結構的振動自由度§14-3單1§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-8振型分解法§14-9無限自由度結構的振動§14-10計算頻率的近似方法§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-2靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變化非常緩慢，不會促使結構產(chǎn)生顯著的運動狀態(tài)的變化，結構將處于平衡狀態(tài)。計算平衡狀態(tài)下結構的內(nèi)力和變形問題稱為靜力計算。

注意：區(qū)分靜力荷載與動力荷載，不是單純從荷載本身性質(zhì)來看，要看其對結構產(chǎn)生的影響。一、結構動力計算的特點和任務1.動力荷載與靜力荷載的區(qū)別：隨時間變化的結構的位移和內(nèi)力，稱為動位移和動內(nèi)力，并稱為動力反應。計算動力荷載作用下結構的動力反應問題，稱為動力計算。動力荷載（干擾力）：隨時間迅速變化的荷載§14-1概述靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變化非常緩3結構動力計算的特點：在動力荷載作用下，結構將產(chǎn)生振動，其位移和內(nèi)力都是隨時間變化的。在運動過程中，結構的質(zhì)量具有加速度，必須考慮慣性力的作用。

結構靜力計算的特點：結構的位移和內(nèi)力只取決于靜力荷載的大小及其分布規(guī)律，與時間無關。2.結構動力計算的特點3.結構動力計算可分為兩大類：自由振動：結構受到外部因素干擾發(fā)生振動，而在以后的振動過程中不再受外部干擾力作用。強迫振動：如果結構在振動過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強迫振動。

4.結構動力計算的任務：(2)分析計算動力荷載作用下結構的動力反應，確定動力荷載作用下結構的位移、內(nèi)力等量值隨時間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作為設計的依據(jù)。(1)分析計算自由振動，得到的結構的動力特性(自振頻率、振型和阻尼參數(shù))；§14-1概述結構動力計算的特點：在動力荷載作用下，結構將產(chǎn)生振動，其位移4周期荷載——

隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是簡諧荷載(按弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化)。二、動力荷載的分類簡諧荷載1.周期荷載非簡諧性周期荷載

例：打樁時落錘撞擊所產(chǎn)生的荷載。

§14-1概述周期荷載——隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最5在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇減小(或增加)，如爆炸時所產(chǎn)生的荷載。2.沖擊荷載

3.突加常量荷載突然作用于結構上、荷載值在較長時間內(nèi)保持不變。例：起重機起吊重物時所產(chǎn)生的荷載。上述荷載是時間的確定函數(shù)，稱之為確定性動力荷載。

§14-1概述在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇減小(或增加)，如爆炸時所產(chǎn)生的荷6

隨機荷載（非確定性荷載）——荷載的變化極不規(guī)則，在任—時刻的數(shù)值無法預測。地震荷載和風荷載都是隨機荷載。隨機荷載（非確定性荷載）4.隨機荷載§14-1概述隨機荷載（非確定性荷載）——荷載的變化極不規(guī)則，在任7結構振動的自由度:結構在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目單自由度結構多自由度結構（自由度大于1的結構）§14-2結構振動的自由度結構振動的自由度:結構在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點位置所需的8當梁本身的質(zhì)量遠小于電動機的質(zhì)量時，可以不計梁本身的質(zhì)量，同時不考慮梁的軸向變形和質(zhì)點的轉動，則梁上質(zhì)點的位置只需由撓度y(t)就可確定。由質(zhì)點豎向撓度為獨立參數(shù)的單自由度結構確定絕對剛性桿件上三個質(zhì)點的位置只需桿件轉角(t)便可，故為單自由度結構?！?4-2結構振動的自由度當梁本身的質(zhì)量遠小于電動機的質(zhì)量時，可以不計梁本身的質(zhì)量，同9雖然只有一個集中質(zhì)點，但其位置需由水平位移x和豎向位移y兩個獨立參數(shù)才能確定，因此振動自由度等于2，為多自由度體系。三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮大，結構振動時橫梁不能豎向移動和轉動而只能作水平移動，故振動自由度等于3，多自由度體系?！?4-2結構振動的自由度雖然只有一個集中質(zhì)點，但其位置需由水平位移x和豎向位移y兩10分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意兩點之間的距離保持不變的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加剛性鏈桿法來確定結構的振動自由度。剛性鏈桿法：在結構上施加最少數(shù)量的剛性鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)點的位置，則該剛架的自由度數(shù)即等于所加鏈桿數(shù)目。具有兩個集中質(zhì)量，加入三根鏈桿即能使各質(zhì)量固定不動其振動自由度為3。注意：體系振動自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點的數(shù)目，也與體系是否靜定或超靜定無關。體系的自由度數(shù)目與計算假定和計算精度有關。如果考慮質(zhì)點的轉動慣性，還應增加控制轉動的約束，才能確定結構的振動自由度數(shù)目?！?4-2結構振動的自由度分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意11實際結構中，除有較大的集中質(zhì)量外，還有連續(xù)分布的質(zhì)量。對此，需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者有限多自由度的問題進行計算集中質(zhì)量法：把體系的連續(xù)分布質(zhì)量集中為有限個集中質(zhì)量(實際上是質(zhì)點)，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。簡化方法有多種，如集中質(zhì)量法、廣義坐標法和有限元法等。本章重點討論集中質(zhì)量法。水塔的質(zhì)量大部分集中在塔頂上，可簡化成以x(t)為位移參數(shù)的單自由度結構。§14-2結構振動的自由度實際結構中，除有較大的集中質(zhì)量外，還有連續(xù)分布的12凡屬需要考慮桿件本身質(zhì)量（稱為質(zhì)量桿）的結構都是無限自由度體系。

例：用集中質(zhì)量法將連續(xù)分布質(zhì)量的簡支梁簡化為有限自由度體系。將梁二等分，集中成三個集中質(zhì)量，單自由度體系。將梁三等分，質(zhì)量集中成四個集中質(zhì)量的兩個自由度體系?！?4-2結構振動的自由度凡屬需要考慮桿件本身質(zhì)量（稱為質(zhì)量桿）的結構都是無限自由度體13自由振動：結構在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式。產(chǎn)生自由振動的原因：結構在振動初始時刻受到干擾。初始干擾的形式:（1）結構具有初始位移（2）結構具有初始速度（3）上述二者同時存在1.不考慮阻尼時的自由振動對于各種單自由度體系的振動狀態(tài),都可以用一個簡單的質(zhì)點彈簧模型來描述。梁在質(zhì)點重量W作用下的撓曲線稱為“靜平衡位置”?！?4-3單自由度結構的自由振動自由振動：結構在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式。產(chǎn)生14取圖示質(zhì)點彈簧體系中質(zhì)點的靜力平衡位置為計算位移的原點，并規(guī)定位移y和質(zhì)點所受的力都以向下為正。設彈簧發(fā)生單位位移時所需加的力為k11，稱為彈簧的剛度；單位力作用下彈簧產(chǎn)生的位移為δ11

，稱為彈簧的柔度，k11與δ11二者之間滿足：無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時，彈簧的剛度系數(shù)k11各等于多少？思考：簡支梁：懸臂梁：答：§14-3單自由度結構的自由振動取圖示質(zhì)點彈簧體系中質(zhì)點的靜力平衡位置為計算位移的原點，并規(guī)15為了尋求結構振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規(guī)律，需要先建立其振動微分方程，然后求解。振動微分方程的建立方法：（1）剛度法。即列動力平衡方程。設質(zhì)點m在振動的任一時刻位移為y，取質(zhì)點

m為隔離體，不考慮質(zhì)點運動時受到的阻力，則作用于質(zhì)點m上的力有：(a)彈簧恢復力該力有將質(zhì)點拉回靜力平衡位置的趨勢，負號表示其方向恒與位移y的方向相反，即永遠指向靜力平衡位置。(b)慣性力負號表示其方向恒與加速度的方向相反對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，恒與質(zhì)點的重量mg向平衡而抵消，故振動過程中這兩個力都毋須考慮?！?4-3單自由度結構的自由振動為了尋求結構振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規(guī)律16質(zhì)點在慣性力F1和恢復力Fc作用下維持平衡，則有：或將F1和Fc的表達式代入令（14-1）有（14-2）單自由度結構自由振動微分方程§14-3單自由度結構的自由振動質(zhì)點在慣性力F1和恢復力Fc作用下維持平衡，則有：或將F1和17（2）柔度法。即列位移方程。當質(zhì)點m振動時，把慣性力看作靜力荷載作用在體系的質(zhì)量上，則在其作用下結構在質(zhì)點處的位移y應當為：即同剛度法所得方程此二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為：(a)(b)由初始條件t=0時，有可得到有(14-3)§14-3單自由度結構的自由振動（2）柔度法。即列位移方程。當質(zhì)點m振動時，把慣性力看作靜力18可見:單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。

令,有（14-4）

（14-6）其中（14-5）

位移滿足周期運動的下列條件：a表示質(zhì)量m的最大動位移，稱為振幅。其由常數(shù)ω、初始條件y0和v0決定的。φ是初始位置的相位角，稱為初相角。它也取決于常數(shù)ω、初始條件y0

和v0

。

T

稱為結構的自振周期，其常用的單位為秒(s)。自振周期的倒數(shù)代表每秒鐘內(nèi)的振動次數(shù)，稱為工程頻率，記作f，其單位為1／秒(s-1)，或稱為赫茲(Hz)。(14-7)§14-3單自由度結構的自由振動可見:單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。令19表示2π秒內(nèi)的振動次數(shù)，是結構動力性能的一個很重要的標志。

ω的單位為弧度／秒(rad／s)，亦常簡寫為1／s(s-1)。從圓周運動的角度來看，稱它為圓頻率，一般稱ω為自振頻率。根據(jù)式(14-1)，可給出結構自振頻率ω的計算公式如下：相應地，結構的自振周期T的計算公式為：式中g表示重力加速度，Δst表示由于重量mg所產(chǎn)生的靜力位移。結構的自振頻率和周期只取決于它自身的質(zhì)量和剛度，與初始條件及外界的干擾因素無關，它反映著結構固有的動力特性。（14-8）§14-3單自由度結構的自由振動表示2π秒內(nèi)的振動次數(shù)，是結構動力性能的一個很重要的標志。20解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。例14-1圖示為三種不同支承情況的單跨梁，EI＝常數(shù)，在梁中點有一集中質(zhì)量m，當不考慮梁的質(zhì)量時，試比較三者的自振頻率。據(jù)此可得隨著結構剛度的加大，其自振頻率也相應地增高?！?4-3單自由度結構的自由振動解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。例14-1圖示為三212.考慮阻尼時的自由振動物體的自由振動由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去而不能無限延續(xù)。阻力可分為兩種：一種是外部介質(zhì)的阻力；另一種來源于物體內(nèi)部的作用。這些統(tǒng)稱為阻尼力。通常引用福格第假定，即近似認為振動中物體所受阻尼力與其振動速度成正比，稱為粘滯阻尼力，即：其中：β為阻尼系數(shù)，負號表示阻尼力的方向恒與速度方向相反考慮阻尼時，質(zhì)點m的動力平衡方程為即：令有(14-9)§14-3單自由度結構的自由振動2.考慮阻尼時的自由振動物體的自由振動由于各種阻力的作用將22這是一個常系數(shù)齊次線性微分方程，設其解的形式為解得其特征方程為：根據(jù)阻尼大小不同，現(xiàn)分以下3種情況討論：(1)k<ω，即小阻尼情況，此時r1和r2為兩個共軛復數(shù)，式(14-9)通解為：(14-9)（14-10）（14-11）有阻尼自振頻率（14-12）式（14-10）可改寫為：§14-3單自由度結構的自由振動這是一個常系數(shù)齊次線性微分方程，設其解的形式為解得23式中（14-12）

小阻尼情況自由振動時的y-t曲線小阻尼時自由振動曲線為衰減的正弦曲線，其振幅按e-kt的規(guī)律減小，故k為衰減系數(shù)?！?4-3單自由度結構的自由振動式中（14-12）小阻尼情況自由振動時的y-t曲線小阻尼24由式(14-11)有工程中ξ的值很小（對于鋼筋混凝土結構ξ大約為5%，鋼結構的大約為1%-2%）。于是有ω=ω'相隔一周期后的兩個振幅之比為一常數(shù)，振幅是按等比級數(shù)遞減的。若用yn表示某一時刻tn的振幅，yn+1表示經(jīng)過一個周期T'后的振幅，則有上式兩邊取對數(shù)，得振幅的對數(shù)遞減量同理，經(jīng)過j個周期后，有由實測各周期的振幅可求出阻尼比?！?4-3單自由度結構的自由振動由式(14-11)有工程中ξ的值很?。▽τ阡摻罨炷两Y構ξ大25(2)k>ω，即大阻尼情況，此時r1和r2為兩個負實數(shù)，式(14-9)通解為：y(t)不是一個周期函數(shù),即在大阻尼情況下不會發(fā)生振動。（14-13）

（14-14）

(3)

k=ω，即臨界阻尼情況此時r1,2=-k，方程(14-9)的解為y-t

曲線以上兩種情況均不屬振動，位移時程曲線（y-t曲線）表示體系從初始位移出發(fā)，逐漸返回到靜平衡位置而無振動發(fā)生。y(t)不是周期函數(shù)，亦即在臨界阻尼情況下不會發(fā)生振動。此時，臨界阻尼系數(shù)§14-3單自由度結構的自由振動(2)k>ω，即大阻尼情況，此時r1和r2為兩個負實數(shù)，26強迫振動：結構在動力荷載即外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動。設質(zhì)點m受干擾力F（t）作用，則質(zhì)點m的動力平衡方程為：即：或(14-18)§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動強迫振動：結構在動力荷載即外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動。設質(zhì)點27方程的解包括兩部分：對應齊次方程的通解和對應干擾力F(t)的特解(14-18)通解特解隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡諧周期荷載時的情況，如具有轉動部件的機器勻速轉動時，由于不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力的豎直或水平分力等，表達為：(14-19)其中為干擾力的頻率，F(xiàn)為干擾力最大值。此時式(14-18)寫為：(14-20)設方程的特解為：（b）（a）§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動方程的解包括兩部分：對應齊次方程的通解和對應干擾力F(t)的28式(b)代入式(14-20)，得到式(a)+式(b)，并引入初始條件，得到(14-21)由初始條件決定的自由振動伴生自由振動按干擾力頻率θ振動的純強迫振動或穩(wěn)態(tài)強迫振動由初始條件決定的自由振動階段和伴生自由振動階段會隨時間很快衰減掉，故稱為過渡階段；最后只剩下按干擾力頻率振動的純強迫振動，故稱為平穩(wěn)階段。實際問題中，一般只討論純強迫振動。§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動式(b)代入式(14-20)，得到式(a)+式(b)，291.不考慮阻尼的純強迫振動(14-22)因此，最大動力位移（振幅）為(14-23)其中:代表將干擾力最大值F作為靜載作用于結構上時引起的靜力位移位移動力系數(shù)，代表最大動力位移與靜力位移之比當θ<ω時，μ值為正，動力位移與動力荷載同向；當θ>ω時，μ值為負，表示動力位移與動力荷載的指向相反,這種現(xiàn)象僅在不計阻尼時出現(xiàn)?！?4-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動1.不考慮阻尼的純強迫振動(14-22)因此，最大動力位移30

動力反應譜（動力放大系數(shù)μ隨頻比θ/ω變化的關系曲線）動力放大系數(shù)μ的大小反映了結構動力反應的強弱。單自由度結構，當干擾力與慣性力的作用點重合時，位移動力系數(shù)與內(nèi)力動力系數(shù)是完全一樣的。當，通常,當動力荷載(即干擾力)的周期大于結構自振周期的五、六倍以上時，可將其視為靜力荷載。(1)當θ<<ω時，即θ/ω→0，這時μ→1。這種情況相當于靜力作用?！?4-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動動力反應譜（動力放大系數(shù)μ隨頻比θ/ω變化的關系曲線）31

動力反應譜(2)當θ≈ω時，即θ/ω≈1，這時μ→∞。即振幅趨于無限大,這種現(xiàn)象稱為共振。2)實際上由于阻尼的存在共振時振幅不會無限增大。1)共振現(xiàn)象的形成有一個過程，振幅是由小逐漸變大的。注意:3)應避開0.75<θ/ω<1.25共振區(qū)。(3)當θ>>ω

時，即θ/ω>>1，這時μ值為負值,并且趨近于零。這表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨近于零，體系處于靜止狀態(tài)。工程設計中，要求的是振幅絕對值,動力反應譜中θ/ω>1部分的μ畫在橫坐標的上方。注意:§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動動力反應譜(2)當θ≈ω時，即θ/ω≈1，這時μ→32在單自由度體系上，當干擾力作用在質(zhì)量上、擾力作用線與質(zhì)體的振動位移方向重合時，其位移動力系數(shù)與內(nèi)力動力系數(shù)是完全相同的，結構的最大動內(nèi)力可以采用動力系數(shù)法求得。如果干擾力不作用在質(zhì)量上，體系的位移和內(nèi)力沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。這種情況下的結構動內(nèi)力、動位移的計算，可用建立動力微分方程的方法計算。見書P89圖14-15§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動在單自由度體系上，當干擾力作用在質(zhì)量上、擾力作用線與質(zhì)體的振33解：在發(fā)電機重量作用下，梁中點的最大靜力位移為：故自振頻率為例14-2簡支梁中點裝有一臺電動機，電動機重量G=35kN。已知梁的慣性矩

I=8.8×10-5m4，E=210GPa。發(fā)電機轉動時離心力的垂直分力為F=sinθt，且F=10KN。不計阻尼，求當發(fā)電機每分鐘轉數(shù)為n=500r/min時，梁的最大彎矩和撓度。干擾力頻率:動力系數(shù):梁中點的最大彎矩為梁中點的最大撓度為§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解：在發(fā)電機重量作用下，梁中故自振頻率為例14-2簡支梁34質(zhì)體的動位移y(t)是以靜力平衡位置為零點來計算的，因此y(t)中不包括質(zhì)體的重力影響，但在確定質(zhì)體的最大豎向位移時，應加上這部分（Δst=δ11G）的影響。注意：§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動質(zhì)體的動位移y(t)是以靜力平衡位置為零35運用圖乘法可求得

(a)

(1)設慣性力和動力荷載分別為單位力和單位力偶作用在體系上，并繪出相應的彎矩圖.

例14-3圖示簡支梁跨中有一集中質(zhì)量m，支座A處受動力矩Msinθt的作用，不計梁的質(zhì)量，試求質(zhì)點的動位移和支座A處的動轉角的幅值。解：該體系不能直接用放大系數(shù)求動位移，可由建立體系的振動方程來求解。§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動運用圖乘法可求得(a)(1)設慣36式中

代δij入上式，經(jīng)整理后得(b)解式(b)得穩(wěn)態(tài)解為(c)(2)根據(jù)疊加原理列出動位移質(zhì)點的動位移是慣性力FI(t)和動力荷載共同作用下產(chǎn)生的，按疊加原理可表示為§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動式中代δij入上式，經(jīng)整理后得(b)解式(b)得37這說明質(zhì)體動位移尚可應用放大系數(shù)計算。

質(zhì)點的動位移幅值為，其中為動荷載幅值M所引起的質(zhì)點靜位移yst，μ動力系數(shù)。支座A處的動轉角也是由慣性力FI(t)和動力荷載共同作用下產(chǎn)生的，按疊加原理可表示為由穩(wěn)態(tài)解式(c)可知§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動這說明質(zhì)體動位移尚可應用放大系數(shù)計算。質(zhì)點38對式(c)求導兩次后代入上式，可得將式(a)和F*=3M/l代入上式,得(c)§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動對式(c)求導兩次后代入上式，可得將式(a)和F*=3M/39可見,質(zhì)點位移的動力系數(shù)μ和支座處動轉角的動力系數(shù)μφ是不同的。支座A處的動轉角幅值為,

為動荷載幅值M所引起的靜轉角，μφ為該動力系數(shù)。其中而動荷載不作用在質(zhì)量上時，體系不能用一個統(tǒng)一的動力系數(shù)來表示。§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動可見,質(zhì)點位移的動力系數(shù)μ和支座處動轉角的動力系數(shù)μφ40由式(14-21)的第三項，有：命（14-27）（14-28）令和，則振幅A可寫為（14-29）2.有阻尼的強迫振動§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動由式(14-21)的第三項，有：命（14-27）（14-2841動力系數(shù)μ不僅與頻比β有關，而且還與阻尼比ξ有關。

動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖在0.75<β<1.25共振區(qū)范圍內(nèi)，阻尼力大大地減小了μ的峰值。但在這范圍以外，阻尼對μ的影響較小，可按無阻尼來計算。當θ>>ω時，則μ很小，表明質(zhì)量m接近于不動或只作極微小的振動。(1)阻尼對簡諧荷載的動力系數(shù)μ影響較大簡諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)振動的主要特點：§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動動力系數(shù)μ不僅與頻比β有關，而且還與阻尼比ξ有關。42(2)在β=1的共振情況下,動力系數(shù)為

動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖在考慮阻尼的影響時，共振時動力系數(shù)不是無窮大,而是一個有限值。在研究共振時的動力反應時，阻尼的影響是不容忽略的?！?4-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動(2)在β=1的共振情況下,動力系數(shù)為動力系數(shù)μ與頻比43

用求極值的方法確定μ的最大值發(fā)生在處,因ξ的值通常都很小，近似地將β=1時的值作為最大值。(3)μ最大值并不發(fā)生在β=1處。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動用求極值的方法確定μ的最大值發(fā)生在44當β<1時，0<φ<π/2；當β>1時，π/2<φ<π；當β=1時，φ=π/2。(4)

阻尼體系的位移y(t)=Asin(θt-φ)和干擾力F(t)=sinθt不同步，其相位角為φ。只要有阻尼存在,位移總是滯后于振動荷載。§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動當β<1時，0<φ<π/2；(4)阻尼體系的位移y(t)45共振時,φ=π/2,位移方程式為y(t)=–ystμcosθtμ=1/(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξmω阻尼力為注意到共振時可見共振時干擾力與阻尼力互相平衡。共振時受力特點討論:§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動共振時,φ=π/2,位移方程式為y(t)=–yst46為了減小動力放大系數(shù)μ，當β

=θ/ω<1時（稱為共振前區(qū)），應設法加大結構的自振頻率ω。這種方法稱為“剛性方案”。當β

=

θ/ω>

1時稱為(共振后區(qū))，這時，應設法減小結構的自振頻率ω。這種方法稱為“柔性方案”。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖討論：§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動為了減小動力放大系數(shù)μ，當β=θ/ω47采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討論一般動力荷載下的動力反應。1.強迫力為一般動力荷載--無阻尼(1)瞬時沖量的動力反應假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。由于荷載作用時間極短，可以認為在沖擊荷載作用完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止狀態(tài)的質(zhì)點獲得速度而引起自由振動。

思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？

§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討論一般動48根據(jù)動量定律，質(zhì)點在瞬時沖量F·Δt作用下的動量變化為由于v0=0,所以有原來初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為的自由振動問題。由(14-30)得§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動根據(jù)動量定律，質(zhì)點在瞬時沖量F·Δt作49若沖擊荷載不是在t＝0，而是在t＝τ時作用，則上式中的t應改為(t-τ)。(14-31)

由式(14-30)可得在t＝τ

時作用瞬時沖量S引起的動力反應。(14-30)§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動若沖擊荷載不是在t＝0，而是在t＝τ時作用，則上式50(2)一般動力荷載F(t)的動力反應。把整個加載過程看成是由一系列瞬時沖量所組成的。在時刻t＝τ

作用的荷載為F(t)，此荷載在微分時段dτ內(nèi)產(chǎn)生的沖量為dS=F(t)·dτ

。根據(jù)式(14-31)，此微分沖量引起的動力反應為：(g)對加載過程中產(chǎn)生的微分反應進行疊加，得出總反應如下：——稱為杜哈梅(Duhamel)積分。

(14-32)§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動(2)一般動力荷載F(t)的動力反應。把整個51

——(14-33)

式中第一、二項代表自由振動部分，第三項代表強迫振動部分。(14-32)如果初始位移y0和初始速度v0

不為零，則總位移應為：§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動——(14-33)式中第一、二項代表自由522.幾種動荷載的動力反應

(1)突加長期荷載

o

F(t)t0F

突加長期荷載就是指突然施加于結構并繼續(xù)作用在結構上的荷載，它可表示為：

如果原結構的初始位移和初始速度都等于零，將式（h）代入式(9-32)并進行積分后，可得動力位移如下：

（h）

(14-34)

(14-32)§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動2.幾種動荷載的動力反應(1)突加長期荷載53當t=T/2時，[y(t)]max=2yst，動力系數(shù)為μ=2。位移時程曲線圖

(14-34)

式中表示在靜力荷載F0作用下所產(chǎn)生的靜力位移。當突加荷載作用在系統(tǒng)上的時間超過t=T/2時就算作長期荷載,這時引起的最大動力位移為相應靜力位移的兩倍。§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動當t=T/2時，[y(t)]max=2yst，動力系數(shù)為μ=54

其特點是當t=0時，在質(zhì)體上突然施加常量荷裁F0，而且一直保持不變，直到t=t1時突然卸去。(2)突加短期荷載

體系在這種荷載作用下的位移反應，可按兩個階段分別計算再疊加。第一階段（0≤t≤t1）：此階段與突加長期荷載相同，因此動力位移反應仍按公式(9-34)計算。荷載可以看作突加長期荷載F0(圖中坐標上方實線及所續(xù)虛線部分)疊加上t=t1時突加上來的負長期荷載(－F0)(圖坐標下方虛線部分)?！?4-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動其特點是當t=0時，在質(zhì)體上突然施加55(14-35)

第二階段(t≥t1)：荷載可以看作突加長期荷載F0

(圖中坐標上方實線所續(xù)虛線部分)疊加上t=t1時的負突加長期荷載(-F0)(圖9中坐標下方虛線部分)。當t≥t1時，有第一階段（0≤t≤t1）與突加長期荷載相同，動力位移反應為§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動(14-35)56

質(zhì)點位移反應可分為兩個階段按式（14-33）積分求得。(3)爆炸沖擊荷載變化規(guī)律為第一階段（0≤t≤t1）§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動質(zhì)點位移反應可分為兩個階段按式（14-33）積分求得。(3)57——(14-37)

第二階段（t≥

t1）

當(t1／T)>0.4時，最大位移反應在第一階段出現(xiàn)，否則就出現(xiàn)在第二階段出。

從前面幾種動力荷載作用下單自由度體系的位移反應可知，最大位移反應與與t1／T有關。

最大位移反應可用速度為零（即位移的導數(shù)）這個條件下的時間值來計算?！?4-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動——(14-37)第二階段（t≥t1）583.當強迫力為一般動力荷載情況--有阻尼有阻尼體系在一般動力荷載F(t)作用時，其動力位移也可表示為杜哈梅積分。由于沖量S=mv0，故在初始時刻由沖量S引起的振動為

（9-46）單獨由初始速度v0(初始位移為零)所引起的振動為§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動3.當強迫力為一般動力荷載情況--有阻尼有阻尼體系在一般動59把一般動力荷載F的加載過程看作是由無限多個瞬時沖量所組成，對t=τ到t=τ

+dτ的時間分段上的微分沖量dS=F(τ)dτ來說，它所引起的動位移為(t>τ)

積分后即得開始處于靜止狀態(tài)的單自由度體系有阻尼的受迫振動方程為

(14-47)§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動把一般動力荷載F的加載過程看作是由無限多個60如果還有初始位移y0和初始速度v0，則總位移為

(14-47)(14-48)這就是有阻尼情況下的杜哈梅積分?！?4-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動如果還有初始位移y0和初始速度v0，則總位移為(14-61工程實際中有很多結構是不宜簡化為單自由度體系計算的。例如多層房屋、多跨不等高工業(yè)廠房以及煙囪等,都必須按多自由度體系來處理。圖示等截面煙囪，將其分為八段，從上到下將每兩段的質(zhì)量集中于其中點，將一個無限自由度的體系簡化為四個自由度體系?！?4-6多自由度結構的自由振動工程實際中有很多結構是不宜簡化為單自由度體系計算的。62圖示簡支梁的自重略去不計,體系有n個振動自由度，y1、y2、…、yi…、yn分別代表這些質(zhì)點自靜平衡位置量起的位移。1.振動微分方程的建立（剛度法、柔度法）剛度法（1）首先加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點的位移,則在各質(zhì)點的慣性力作用下，各鏈桿產(chǎn)生和慣性力大小相等、方向相反的反力；可按照位移法的步驟來處理§14-6多自由度結構的自由振動圖示簡支梁的自重略去不計,體系有n個振動自由度，y1、y263（2）其次令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點實際位置相同的位移，此時各鏈桿上所需施加的力為FRi(i=1,2,…,n)。（3）不考慮阻尼時，將上述兩種情況疊加，各附加鏈桿上的總反力為零，由此可列出各質(zhì)點的動力平衡方程。以質(zhì)點mi為例：即：§14-6多自由度結構的自由振動（2）其次令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點實際位置相同的位移，此時各鏈桿64

(14-46)同理，體系中的每一個質(zhì)點都可以列出相應的動力平衡方程式，有寫成矩陣形式：(14-48)簡寫為：§14-6多自由度結構的自由振動(14-46)同理，體系中的每一個質(zhì)點都可以列出相應的動力65Y和?分別是位移向量和加速度向量：

M和K分別是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：§14-6多自由度結構的自由振動Y和?分別是位移向量和加速度向量：M和K分別是質(zhì)量矩陣和剛66體系中某質(zhì)點i產(chǎn)生位移yi可看成是系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點運動時的慣性力共同引起的。即柔度法考慮每一個質(zhì)點的位移，可得一組運動微分方程式：FI1，F(xiàn)I2，…，F(xiàn)In為質(zhì)點1，2，……n的慣性力。體系的柔度系數(shù)δij為作用在質(zhì)點j上的單位力引起質(zhì)點i的位移?！?4-6多自由度結構的自由振動體系中某質(zhì)點i產(chǎn)生位移yi可看成是系統(tǒng)67寫成矩陣形式：

δ稱為體系的柔度矩陣,I—單位矩陣。

或(14-51)所以，由剛度法建立的公式（14-48）與公式（14-51）是完全相通的。因為：§14-6多自由度結構的自由振動寫成矩陣形式：δ稱為體系的柔度矩陣,I—單位矩陣?；?68

設公式（14-51）的特解為：2.按柔度法求解(14-51)即所有質(zhì)點按同一頻率同一相位作同步簡諧振動，但各質(zhì)點的振幅值各不相同(14-53)(14-54)有(f)柔度法的振幅方程§14-6多自由度結構的自由振動設公式（14-51）的特解為：2.按柔度法求解69柔度法的頻率方程振幅向量A存在非零解的條件為

(14-56)(14-55)

根據(jù)頻率方程可得到n個自振頻率，將它們由小到大排列，分別稱為第一，第二，…，第n頻率，并總稱為結構自振的頻譜。注意:體系自振頻率的個數(shù)和它的自由度數(shù)目相同?！?4-6多自由度結構的自由振動柔度法的頻率方程振幅向量A存在非零解的條件為(14-5670此時各質(zhì)點按同一頻率作同步簡諧振動，但各質(zhì)點的位移相互間的比值并不隨時間而變化，也就是說在任何時刻結構的振動都保持同一形狀，整個結構就像一個單自由度結構一樣在振動。這種多自由度結構按任一自振頻率進行的簡諧振動稱為主振動，與其相應的特定振動形式稱為主振型(振型)將代回式(14-53)，得到：(14-59)將n個自振頻率中的任一個代入式(f)，得到特解為(14-57)§14-6多自由度結構的自由振動此時各質(zhì)點按同一頻率作同步簡諧振動，但各質(zhì)點的位移71n個主振動的線性組合，構成振動微分方程的一般解：(14-60)和取決于初始條件。然而自振頻率和振型與外因干擾無關，只取決于結構的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)，因而反映著結構本身固有的動力特性。由于此時系數(shù)行列式為零，因此n個方程中只有（n-1）個是獨立的，因而不能求得的確定值，但可確定各質(zhì)點振幅間的相對比值，便確定了振型。振型向量規(guī)準化振型向量§14-6多自由度結構的自由振動n個主振動的線性組合，構成振動微分方程的一般解：(14-6072對于兩個自由度結構，振幅方程（14-53）為：令，將上式展開得：頻率方程為：(14-61)§14-6多自由度結構的自由振動對于兩個自由度結構，振幅方程（14-53）為：令73兩個自振頻率為：(14-62)兩個主振型為：(14-63)

(14-64)

§14-6多自由度結構的自由振動兩個自振頻率為：(14-62)兩個主振型為：(14-63)74

例14-3

圖示簡支梁在跨度的三分之一處有兩個大小相等的集中質(zhì)量m，試分析其自由振動。設梁的自重略去不計，EI＝常數(shù)。

解:(1)計算柔度系數(shù)δij

§14-6多自由度結構的自由振動

例14-3圖示簡支梁在跨度的三分之一處有兩個大小相等的75

求得將δij和m值代人上式(2)求頻率：§14-6多自由度結構的自由振動求得將δi76將ωi和δij值代上入式得第一主振型為第二主振型為(3)分析振型§14-6多自由度結構的自由振動將ωi和δij值代上入式得第一主振型為第二主振型為77可以看出，如果結構本身和質(zhì)量分布都是對稱的，則其振型不是正對稱的便是反對稱的。第一主振型第二主振型§14-6多自由度結構的自由振動可以看出，如果結構本身和質(zhì)量分布都是對稱的，78例14-4圖示剛架，在梁跨中D處和柱頂A處有大小相等的集中質(zhì)量

m，支座C處為彈性支承，彈簧的剛性系數(shù)k=(3EI)/l3。試求自振頻率和振型。

1.求柔度系數(shù)

解：體系有兩自由度，A處質(zhì)點的水平位移和D處質(zhì)的豎向位移。繪制M1、M2圖,由圖乘及彈簧內(nèi)力虛功計算得§14-6多自由度結構的自由振動例14-4圖示剛架，在梁跨中D處和柱頂A處有大小相等的集中792.寫出振型方程（a）3.寫出頻率方程，求頻率展開式為解得相應的頻率為§14-6多自由度結構的自由振動2.寫出振型方程（a）3.寫出頻率方程，求頻率展80當λ=λ1=27.083時，設A1(1)=1,得

第一主振型為第二主振型為當λ=

λ2=2.917時，設A1(2)=1，得4.求振型并繪出振型圖由所得結果繪出振型§14-6多自由度結構的自由振動當λ=λ1=27.083時，設A1(1)=1,得81

3.按剛度法求解(14-66)

(14-65)振幅方程頻率方程將得到的n個自振頻率代回振幅方程，得：(14-67)同樣可確定n個主振型。對于兩個自由度結構，頻率方程為：§14-6多自由度結構的自由振動3.按剛度法求解(14-66)(14-65)振幅方程82展開得：兩個主振型為：§14-6多自由度結構的自由振動展開得：兩個主振型為：§14-6多自由度結構的自由振動83例14-5三層剛架如圖所示。設自上到下，各層樓面的質(zhì)量(包括柱子質(zhì)量)分別為m1=180000kg，m2=270000kg，m3=270000kg；各層的層間側移剛度(即該層柱子上、下兩端發(fā)生單位相對位移時，該層各柱剪力之和)分別為k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。求剛架的自振頻率和振型。設橫梁的剛度EI＝∞。解:(1)求頻率。體系的自由度數(shù)為3。振型方程為頻率方程為§14-6多自由度結構的自由振動例14-5三層剛架如圖所示。設自上到下，各層樓面的質(zhì)量(84

建立剛度矩陣和質(zhì)量矩陣由圖b可得：

由圖c可得：

由圖d可得：

§14-6多自由度結構的自由振動建立剛度矩陣和質(zhì)量矩陣由圖b可得：由圖c可得：由圖d可85得剛度矩陣：

質(zhì)量矩陣為：§14-6多自由度結構的自由振動得剛度矩陣：質(zhì)量矩陣為：§14-6多自由度結86頻率方程：引入符號η

,則展開式為§14-6多自由度結構的自由振動頻率方程：引入符號η,則展開式為§14-6多自由度87解方程得：由求得三個自振頻率為：§14-6多自由度結構的自由振動解方程得：由88將代入式(K-ω2M)φ=0，為求標準化振型，規(guī)定φ1(j)=1。2.求振型：第三振型第二振型第一振型§14-6多自由度結構的自由振動2.求振型：第三振型第二振型第一振型§14-689(4)與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型也是體系本身的固有性質(zhì)。

對于多自由度體系:(1)在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。(2)多自由度體系自振頻率不止一個，其個數(shù)與體系自由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。(3)每個自振頻率有自己相應的主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式?！?4-6多自由度結構的自由振動(4)與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型也90對上述兩式分別兩邊同時左乘和，有對其中任兩個不同的主振型向量Xi和Xj

，有4.主振型的正交性n個自由度結構具有n個自振頻率及n個主振型，每一頻率及其相應主振型都滿足(14-67)(b)(a)(d)(c)（d）式兩邊轉置，有(e)（c）式-（e）式，有§14-6多自由度結構的自由振動對上述兩式分別兩邊同時左乘和91當(i≠j)時，有這說明，對于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。同理可以證明，對于質(zhì)量矩陣K，不同頻率的兩個主振型彼此也是正交的。對于標準化的振型向量，也同樣具有正交性，即振型正交性的物理意義:體系按某一振型振動時，它的慣性力不會在其它振型上作功。也就是說它的能量不會轉移到其它振型上去，說明各個主振型都能夠單獨出現(xiàn)，彼此線形無關。主振型的正交性是結構本身的固有特性，它不僅可以用來簡化結構的動力計算，而且還可以用來檢驗所求的主振型是否正確。§14-6多自由度結構的自由振動當(i≠j)時，有這說明，對于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個主振92計算結構在動力荷載作用下的位移和內(nèi)力,即結構的動力反應。本節(jié)只研究結構在簡諧荷載作用下的動力反應問題。求解的方法只討論直接法。若干擾力頻率處于共振區(qū)以外，則阻尼的影響不大。本節(jié)不考慮阻尼。體系強迫振動要解決的問題§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動計算結構在動力荷載作用下的位移和內(nèi)力,即結構的動力93振動過程中的任一時刻t，引起體系位移的力有兩種：1.各質(zhì)點的慣性力FI1(t)、FI2(t)、…、FIn(t)2.干擾力

F1sinθt、F2sinθt、…、Fksinθt一、柔度法建立振動微分方程式體系中任一質(zhì)點mi的位移yi為：yiP為所有干擾力在質(zhì)點mi處引起的位移?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動振動過程中的任一時刻t，引起體系位移的力有兩種：1.各94動力荷載達到最大值時在質(zhì)點

mi

處所引起的靜力位移。

注意到F(t)=－mi?i，有對于n個自由度體系，可以建立n個這樣的方程。寫成矩陣形式為：δM?+y=?Psinθt

(14-73)(14-72)?P=[?1P

?2P…?nP]T為動荷載幅值引起的靜力位移列向量。

δ為結構的柔度矩陣。§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動動力荷載達到最大值時在質(zhì)點mi處所引起的靜力位移。注意95

是一個非齊次線性微分方程組。它的一般解由兩部分組成：一部分是對應齊次微分方程的解；另一部分則是某一特解。齊次解對應于自由振動部分，這部分將很快衰減掉。在研究強迫振動問題時，著重討論式(14-79)的特解,即穩(wěn)定強迫振動的解。

δM?+y=?Psinθt

(14-73)設方程的特解為：

y=Asinθt

(14-74)

A=[A1

A2…An]TA為強迫振動位移幅值列向量：A1、A2、…、An.將y

連同?=－Aθ2sinθt

代入式(14-73)，化簡后得(14-76)解方程組可求出各質(zhì)點在純強迫振動中的振幅：由式(14-74)可得各質(zhì)點的振動方程?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動是一個非齊次線性微分方程組。它的一般解由兩部分組成：96令FI0=θ2MAFI=－M?=θ2MAsinθt

=

FI0

sinθt

FIi0=θ2miAi(i=1,2,…,n)y=AsinθtFI0

稱為慣性力幅值列向量。寫成展開形式為：由上式可以看出：位移、慣性力和干擾力均按同一頻率作同步簡諧振動，且同時達到幅值。各質(zhì)點的慣性力為：

FI=－M?=θ2MAsinθt

(14-77)式中FI=[FI1FI2…FIn

]T為慣性力列向量?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動令FI0=θ2MAFI=－M?=θ2MAsinθt=97在計算最大動位移和最大動內(nèi)力時，可先求得慣性力的幅值FIi0，然后再把FIi0和干擾力幅值Fi同時作用于結構上，按靜力分析方法即可求得最大動位移和最大動內(nèi)力?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動在計算最大動位移和最大動內(nèi)力時，可先求得慣性力的幅值98二、剛度法建立振動微分方程當干擾力均作用在質(zhì)點處時，由n個自由度的剛度法基本體系，得出其動力平衡方程如下：

(14-80)寫成矩陣形式為：M

?

+KY=F(t)

(14-81)§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動二、剛度法建立振動微分方程當干擾力均作用在質(zhì)點處時，99F(t)=Fsinθt式中F=[F1F2…Fn

]T為荷載幅值列向量。

若各干擾力為同步簡諧荷載，即：在平穩(wěn)階段各質(zhì)點亦均按頻率荷載θ作同步簡諧振動。設：Y=Y0

sinθt

(14-82)將{Y}和{?

}=-θ2{A}sinθt代人式(14-80),并消去公因子sinθt

,得

(K－θ2M)Y0=F

(14-83)

則Y0=(K－θ2M)-1F§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動F(t)=Fsinθt式中F=[F1F2100由{A}便可求得各質(zhì)點的慣性力幅值：FI0=θ2MA

或

FIi0=θ2miAi(i=1,2,…,n)

其展開形式為：(14-92)§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動由{A}便可求得各質(zhì)點的慣性力幅值：FI0=θ101注意:當有簡諧集中荷載未作用于質(zhì)量上時，可假設該處的質(zhì)量為零后再套用公式(14-87)或公式(14-88);當有簡諧分布荷載作用時，則需先化為作用于質(zhì)量上處的等效動力荷載，或者是采用柔度法計算?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動注意:當有簡諧集中荷載未作用于質(zhì)量上時，可假102解設以FI10、FI20分別代表質(zhì)點m1、m2的慣性力幅值，其典型方程如下：例14-6試求圖示體系的最大動位移和動內(nèi)力圖。已知

，m1=m2=m,EI=常數(shù)?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解設以FI10、FI20分別代表質(zhì)點103柔度系數(shù)和自由項可利用圖乘法求得將上述數(shù)值代人典型方程(a)，化簡后得§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動柔度系數(shù)和自由項可利用圖乘法求得將上述數(shù)值代人典型方程(a)104解得：FI10=0.2936F，F(xiàn)I20=0.2689F

將FI10、FI20和F共同作用在結構上，然后按靜力計算方法求得最大動位移?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解得：FI10=0.2936F，F(xiàn)I20=0.26105最大動位移圖最大動內(nèi)力圖§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動最大動位移圖最大動內(nèi)力圖§14-7多自由度結構在簡諧荷載作106算得截面l處動荷載幅值所產(chǎn)生的靜力值分別為：

相應的動力系數(shù)為：由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)，這是與前述單自由度體系不相同的?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動算得截面l處動荷載幅值所產(chǎn)生的靜力值分別為：相應的動力107例14-7求示結構質(zhì)點的振幅和繪制最大動力彎矩圖。已知m1=m2=m，F(xiàn)=ql，,各桿EI=常數(shù)。解用柔度法求解。繪出M1、M2圖,計算柔度系數(shù)和自由項.§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動例14-7求示結構質(zhì)點的振幅和繪制最大動力彎矩圖。108繪MP自由項計算如下§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動繪MP自由項計算如下§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用109將求得的柔度系數(shù)、自由項以及θ帶入慣性力幅值方程（14-85）

得以乘上式經(jīng)整理后得解得體系的最大慣性力為：FI10=－2.63ql，F(xiàn)I20=－1.62ql負值表明慣性力的方向與圖中的單位力的方向相反?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動將求得的柔度系數(shù)、自由項以及θ帶入慣性力幅值方程（14-85110最大動力彎矩圖按

求得，當簡諧荷載向右和向下時，對應的彎矩圖為實線所示；當簡諧荷載向左和向上時，對應的彎矩圖為虛線所示?！?4-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動最大動力彎矩圖按111解干擾力頻率為求得各剛度系數(shù)為：§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解干擾力頻率為求得各剛度系數(shù)為：§14-7多自由度結構112

剛度矩陣為

質(zhì)量矩陣為

干擾力幅值列向量為F=[5

0

]T

kN§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動剛度矩陣為質(zhì)量矩陣為干擾力幅值列向113由

第一層樓面處振幅A1

=－0.206mm第二層樓面處振幅A2

=－0.202mm

慣性力幅值FI10=θ2m１A１=15.712×100×(－0.206×10－4)=－5.08kNFI20=θ2m2A2=15.712×120×(－0.202×10－4)=－5.98kN有§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動由第一層樓面處振幅A1=－0.206m114將干擾力幅值和慣性力幅值作用在結構上,由位移法求得各桿端最大動彎矩并作彎矩圖。M圖(kN·m)§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動將干擾力幅值和慣性力幅值作用在結構上,由位115多自由度結構無阻尼強迫振動微分方程為（14-81）對于只有集中質(zhì)量的結構，質(zhì)量矩陣M是對角矩陣，但剛度矩陣K一般不是對角矩陣，因此振動微分方程的各方程為耦聯(lián)的。當荷載F(t)為任意動力荷載時，求解微分聯(lián)立方程組是很困難的。

為此，可利用主振型的正交性通過坐標變換的途徑，把位移Y分解為各主振型的疊加，使聯(lián)立方程組變?yōu)橄嗷オ毩⒌姆匠?，簡化計算。即振型分解法。位移向量稱為幾何坐標將結構已規(guī)準化的n個主振型向量作基底把幾何坐標Y表示為基底的線性組合，即（14-86）展開為：（14-87）可簡寫為：（14-88）§14-8振型分解法多自由度結構無阻尼強迫振動微分方程為（14-81）對于只有集116這就把幾何坐標Y變換成數(shù)目相同的正則坐標稱為主振型矩陣，為幾何坐標和正則坐標之間的轉換矩陣將式(14-88)代入式(14-81)，并左乘有（14-90）利用主振型的正交性，易證明§14-8振型分解法這就把幾何坐標Y變換成數(shù)目相同的正則坐標稱為主振型矩陣，為幾117同理，有其中，相應于第i個主振型的廣義質(zhì)量，廣義質(zhì)量矩陣廣義剛度矩陣其中，相應于第i個主振型的廣義剛度，由前節(jié)可知，令j=i，將廣義質(zhì)量和廣義剛度表達式代入，有或這就是自振頻率與廣義剛度和廣義質(zhì)量之間的關系§14-8振型分解法同理，有其中，相應于第i個主振型的廣義質(zhì)量，廣義質(zhì)量矩陣廣義118記（14-97）則（14-98）廣義荷載向量（14-99）其中，相應于第i個主振型的廣義荷載（14-101）將廣義質(zhì)量矩陣、廣義剛度矩陣、廣義荷載向量代入式(14-90)，有即方程組已解除耦聯(lián)，式(14-90)成為n個獨立方程?！?4-8振型分解法記（14-97）則（14-98）廣義荷載向量（14-99）其119或因為所以（14-102）這與單自由度結構的強迫振動方程略去阻尼后的形式相同，故可按同樣方法求解。（14-103）在初位移和初速度為零的情況下，可用杜哈梅積分求得式(14-102)的解為：這樣，就把n個自由度結構的計算簡化為n個單自由度計算問題。在分別求得了各正則坐標αi,可得到幾何坐標yi§14-8振型分解法或因為所以（14-102）這與單自由度結構的強迫振動方程略去120振型分解法的計算步驟：（1）求自振頻率和振型（2）計算廣義質(zhì)量和廣義荷載

（3）求解正則坐標的振動微分方程，得到αi（i=1,2,…,n）（4）計算幾何坐標，求出各質(zhì)點位移，然后即可計算其它動力反應（加速度、慣性力等）§14-8振型分解法振型分解法的計算步驟：§14-8振型分解法121§14-9無限自由度結構的振動§14-9無限自由度結構的振動122結構自振頻率的計算是結構動力計算的一個重要內(nèi)容。從實用的要求來說,有必要采用近似的計算方法求解。能量法就是用來計算基本領率ω1的近似方法。實際結構振動時,由于阻尼作用的影響,高振型分量很快就會消失?；绢l率的計算很重要。在我國有關設計規(guī)范中往往可以根據(jù)與基本頻率對應的最大周期，便可從規(guī)范中選取各種有關的計算參數(shù)。

§14-10計算頻率的近似方法結構自振頻率的計算是結構動力計算的一個重要內(nèi)容。從實123

結構在振動中，具有兩種形式的能量，一種是由于具有質(zhì)量和速度而構成的動能V(t)，另一種則是由于結構變形而存儲的應變能U(t)。根據(jù)能量守恒定律，結構在無阻尼自由振動中的任何時刻，其動能和應變能之和應等于常數(shù)，即§14-10計算頻率的近似方法結構在振動中，具有兩種形式的能量，一種是由于具有質(zhì)量124

當結構處于最大振幅位置時，其動能V等于零，而應變能具有最大值Umax。當結構處于靜力平衡位置的瞬間，其動能V具有最大值Vmax，而應變能則為零。據(jù)此，有Umax+0=Vmax+0=常數(shù)亦即Umax=Vmax

利用這一關系式即可得到確定頻率的方程?！?4-10計算頻率的近似方法當結構處于最大振幅位置時，其動能V等于零，而應變能125

設圖示單跨梁以某一頻率作自由振動,其位移可表示為

y(x,t)=y(x)sin(ωt+φ)

y(x)為各點的位移幅值，代表振型，故又稱為振型函數(shù)。則梁速度為微段dx質(zhì)量的動能為整個梁的動能為當動能為最大值時，cos(ωt+φ)=1,有(14-93)§14-10計算頻率的近似方法設圖示單跨梁以某一頻率作自由振動,其位移可表示為126

應變能(只考慮彎曲變形能)為：當應變能為最大值時，sin(ωt+φ)=1，有由Umax=Vmax得：（14-94）（14-95）§14-10計算頻率的近似方法應變能(只考慮彎曲變形能)為：當應變能為最大值時，127如果結構上除分布質(zhì)量m(x)外，還有集中質(zhì)量mi(i=1,2,…,n)，設以yi表示集中質(zhì)量i點處相應的振幅，則有（14-96）

（14-97）若結構上只有集中質(zhì)量而不計分布質(zhì)量時，則有§14-10計算頻率的近似方法如果結構上除分布質(zhì)量m(x)外，還有集中質(zhì)量mi(128

1.利用上述公式計算自振頻率時，必須知道振型曲線y(x),但實際上y(x)事先往往是不知道的，因此必須先假定y(x