代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件

§5二元運算及其性質(zhì)個代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面三個條件(1)有一個非空集合S;2)有一些建立在集合S上的運算(3)這些運算在集合S上是封閉的上述三個條件說明如下集合S上的元素一般講是一些經(jīng)過抽象的元素,如自然數(shù)、實數(shù)、字母、字符串等。集合S給出了代數(shù)系統(tǒng)所研究的客體的范圍運算的概念具有一定的廣泛性和抽象性,不僅包括常見的算術(shù)運算(+,,×,÷),還包括抽象的運算,如兩個字符串的“并置”等,也包括任意定義的運算?！斑\算”是代數(shù)系統(tǒng)對其研究客體加工的工具集合S中的元素經(jīng)某一運算后它的結(jié)果仍在S中,則稱此運算在集合S上是封閉的§5二元運算及其性質(zhì)1例:①一個在整數(shù)集Z上且?guī)в屑臃ㄟ\算的系統(tǒng)構(gòu)成了一個代數(shù)系統(tǒng)<Z,+>2,-1,0,1,2,3,,}且有集合Z上的運算“+”,這個加法運算對Z是封閉的②一個在實數(shù)集R上且?guī)в袃蓚€二元運算“+”與“×”的系統(tǒng)構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)<R是一個集合,在R上的兩個運算它們均是封閉的定義5.1設(shè)S為集合,函數(shù)f:S×S→S稱為S上的二元運算,簡稱為二元運算。例:①一個在整數(shù)集Z上且?guī)в屑臃ㄟ\算的系統(tǒng)2§5.1二元運算及其性質(zhì)考慮:f:N×N→N,f(x,y))=x-y呢?驗證一個運算是否為集合S上的二元運算需考慮兩點:(1)S中任兩個元素都能進(jìn)行這種運算,且運算結(jié)果唯(2)S中任意兩個元素的運算結(jié)果都屬于S,即S對該運算是封閉的不是考慮除法運算是否是實數(shù):0不能做除法運算集R上的二元運算呢?集合R0可以定義除法運算?！?.1二元運算及其性質(zhì)3例51考察下列運算是否是指定集合上二元運算?(1)自然數(shù)集合N上的加、減、乘、除(2)整數(shù)集合Z上的加、減、乘、除。(3)非零實數(shù)集R*上的加、減、乘、除。(4)n階實矩陣上的加、乘。(5)集合S的冪集上的U、∩(6)集合S上的所有函數(shù)的集SS上的復(fù)合運算ss={f|f:s→S}注意通常用°,*,,…等符號表示二元運算,稱為算符如:設(shè)f:S×S→S稱為S上的二元運算,對于任意的x,y∈S,如果x與y的運算結(jié)果是z,即f(<x,y>)=z,可利用算符。簡記為ⅹ。y=z例51考察下列運算是否是指定集合上二元運算?4例52正整數(shù)集合Z+上的加法運算是一個二元運算,下列運算均是Z+的子集,下列加法運算在這些子集上是元運算嗎?說明理由(1)S1={n|n是15的因子}(2)S2={n|n是15的倍數(shù)}(3)S3={n|6整除n,而24整除n2解:(1)加法運算在S1上不封閉。因為3∈S1,5∈S1但3+5=8gS1,∴不是二元運算(2)加法運算在S2上是封閉的。其證明如下:對于任意n1,n2∈S2,設(shè)n1=15k1,n2=15k2(k1,k2)則n1+n2=15k1+15k2=15(k1+k2)(k1+k2∈Z+)n1+n2∈∴是二元運算例52正整數(shù)集合Z+上的加法運算是一個二元運算,下5代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件6代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件7代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件8代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件9代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件10代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件11代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件12代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件13代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件14代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件15代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件16代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件17代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件18代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件19代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件20代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件21代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件22代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件23代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件24代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件25代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件26代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件27代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件28代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件29代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件30代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件31代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件32代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件33代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件34代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件35代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件36代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件37代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件38代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件39代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件40代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件41代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件42代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件43代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件44代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件45代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件46代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件47代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件48代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件49代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件50代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件51代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件52代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件53代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件54代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件55代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件56代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件57代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件58代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件59代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件60§5二元運算及其性質(zhì)個代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面三個條件(1)有一個非空集合S;2)有一些建立在集合S上的運算(3)這些運算在集合S上是封閉的上述三個條件說明如下集合S上的元素一般講是一些經(jīng)過抽象的元素,如自然數(shù)、實數(shù)、字母、字符串等。集合S給出了代數(shù)系統(tǒng)所研究的客體的范圍運算的概念具有一定的廣泛性和抽象性,不僅包括常見的算術(shù)運算(+,,×,÷),還包括抽象的運算,如兩個字符串的“并置”等,也包括任意定義的運算。“運算”是代數(shù)系統(tǒng)對其研究客體加工的工具集合S中的元素經(jīng)某一運算后它的結(jié)果仍在S中,則稱此運算在集合S上是封閉的§5二元運算及其性質(zhì)61例:①一個在整數(shù)集Z上且?guī)в屑臃ㄟ\算的系統(tǒng)構(gòu)成了一個代數(shù)系統(tǒng)<Z,+>2,-1,0,1,2,3,,}且有集合Z上的運算“+”,這個加法運算對Z是封閉的②一個在實數(shù)集R上且?guī)в袃蓚€二元運算“+”與“×”的系統(tǒng)構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)<R是一個集合,在R上的兩個運算它們均是封閉的定義5.1設(shè)S為集合,函數(shù)f:S×S→S稱為S上的二元運算,簡稱為二元運算。例:①一個在整數(shù)集Z上且?guī)в屑臃ㄟ\算的系統(tǒng)62§5.1二元運算及其性質(zhì)考慮:f:N×N→N,f(x,y))=x-y呢?驗證一個運算是否為集合S上的二元運算需考慮兩點:(1)S中任兩個元素都能進(jìn)行這種運算,且運算結(jié)果唯(2)S中任意兩個元素的運算結(jié)果都屬于S,即S對該運算是封閉的不是考慮除法運算是否是實數(shù):0不能做除法運算集R上的二元運算呢?集合R0可以定義除法運算?！?.1二元運算及其性質(zhì)63例51考察下列運算是否是指定集合上二元運算?(1)自然數(shù)集合N上的加、減、乘、除(2)整數(shù)集合Z上的加、減、乘、除。(3)非零實數(shù)集R*上的加、減、乘、除。(4)n階實矩陣上的加、乘。(5)集合S的冪集上的U、∩(6)集合S上的所有函數(shù)的集SS上的復(fù)合運算ss={f|f:s→S}注意通常用°,*,,…等符號表示二元運算,稱為算符如:設(shè)f:S×S→S稱為S上的二元運算,對于任意的x,y∈S,如果x與y的運算結(jié)果是z,即f(<x,y>)=z,可利用算符。簡記為ⅹ。y=z例51考察下列運算是否是指定集合上二元運算?64例52正整數(shù)集合Z+上的加法運算是一個二元運算,下列運算均是Z+的子集,下列加法運算在這些子集上是元運算嗎?說明理由(1)S1={n|n是15的因子}(2)S2={n|n是15的倍數(shù)}(3)S3={n|6整除n,而24整除n2解:(1)加法運算在S1上不封閉。因為3∈S1,5∈S1但3+5=8gS1,∴不是二元運算(2)加法運算在S2上是封閉的。其證明如下:對于任意n1,n2∈S2,設(shè)n1=15k1,n2=15k2(k1,k2)則n1+n2=15k1+15k2=15(k1+k2)(k1+k2∈Z+)n1+n2∈∴是二元運算例52正整數(shù)集合Z+上的加法運算是一個二元運算,下65代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件66代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件67代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件68代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件69代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件70代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件71代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件72代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件73代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件74代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件75代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件76代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件77代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件78代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件79代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件80代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件81代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件82代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件83代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件84代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)課件85代數(shù)系統(tǒng)一般性質(zhì)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