最優(yōu)估計之維納濾波課件

最優(yōu)估計1第4章維納濾波維納濾波原理線性連續(xù)系統(tǒng)維納濾波線性離散系統(tǒng)維納濾波2區(qū)別：維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，卡爾曼濾波沒有這個限制。設(shè)計維納濾波器要求已知信號與噪聲的相關(guān)函數(shù)，設(shè)計卡爾曼濾波器要求已知狀態(tài)方程和量測方程。維納濾波是根據(jù)全部過去觀測值和當(dāng)前觀測值來估計信號的當(dāng)前值，因此它的解形式是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或單位脈沖響應(yīng)；卡爾曼濾波是用當(dāng)前一個估計值和最近一個觀測值來估計信號的當(dāng)前值，它的解形式是狀態(tài)變量值。維納濾波和卡爾曼濾波二者聯(lián)系：都是解決線性濾波和預(yù)測問題的方法，并且都是以均方誤差最小為準(zhǔn)則的，在平穩(wěn)條件下兩者的穩(wěn)態(tài)結(jié)果是一致的。3輸出與輸入的統(tǒng)計關(guān)系已知輸出與輸入關(guān)系：其中，假定相關(guān)函數(shù)：均值：功率譜密度函數(shù)：5G(z)X(k)Y(k)G(z)——系統(tǒng)傳遞函數(shù)Y(k)——系統(tǒng)輸出X(k)——系統(tǒng)輸入，平穩(wěn)隨機(jī)序列，均值mx(k)，相關(guān)函數(shù)RX(m)，功率譜密度Sx(z)2.線性定常離散系統(tǒng)6輸出與輸入的統(tǒng)計關(guān)系已知輸出與輸入關(guān)系：其中，假定相關(guān)函數(shù)：均值：功率譜密度函數(shù)：74.1維納濾波原理信息處理中，經(jīng)常存在以下問題：測量信號Z(t)中不僅包含有用信號，還包含隨機(jī)干擾或噪聲信號V(t)。根據(jù)觀測取值范圍不同通常有下面幾種情況：用當(dāng)前的和過去的觀測值來估計當(dāng)前的信號，稱為濾波；用過去的觀測值來估計當(dāng)前的或?qū)淼男盘枺Q為預(yù)測；用過去的觀測值來估計過去的信號，稱為平滑。維納濾波：設(shè)計濾波器的傳遞函數(shù)G(s)，使其輸出盡可能精確地復(fù)現(xiàn)出有用信號X(t)，是對真實信號的最小均方誤差估計。諾伯特·維納在20世紀(jì)40年代提出，1949年出版。同時，前蘇聯(lián)學(xué)者柯爾莫戈洛夫給出同樣的結(jié)果。濾波器含噪信號去噪信號8X(t)——有用隨機(jī)信號；V(t)——隨機(jī)干擾信號；G(s)——實際濾波器傳遞函數(shù)；W(s)——理想濾波器傳遞函數(shù)；——G(s)的真實輸出信號；Y(t)——W(s)的理想輸出信號。

W(s)=1------濾波問題------預(yù)測問題W(s)=s------微分平滑問題Y(t)G(s)X(t)Z(t)V(t)＋＋W(s)＋－e(t)連續(xù)系統(tǒng)維納濾波器的信息流程圖10對于隨機(jī)過程e(t)，最小的含義只能是從統(tǒng)計意義上說的，即其均方誤差最?。喊瓷鲜皆瓌t設(shè)計濾波器傳遞函數(shù)G(s)的濾波，稱為維納最優(yōu)濾波，簡稱維納濾波。e(t)是各態(tài)歷經(jīng)的1214維納—霍甫方程交換極限和積分的順序，得：15具體做法：維納—霍甫方程：求解思想：利用功率譜密度函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，將方程中相關(guān)函數(shù)化為功率譜密度。將時域問題變換到頻域，去掉積分號。其中，維納濾波器的設(shè)計就是求出式中的h(t)或者其拉氏變換G(s)=G(jW).上式反映了濾波器的頻率特性，但聯(lián)合功率譜密度很難獲得.4.2.2維納濾波器的頻率特性16另一方面，可得：174.2.3維納濾波器的最優(yōu)頻域設(shè)計18濾波器分解：功率譜密度函數(shù)的分解一定可實現(xiàn)的部分可實現(xiàn)部分+不可實現(xiàn)部分201、計算2、按零極點(diǎn)的分布將上式分解為兩部分3、計算4、計算并計算其可實現(xiàn)部分5、計算維納濾波器的最優(yōu)傳遞函數(shù)：維納濾波器設(shè)計步驟21例：23右側(cè)第二項的極點(diǎn)位于s平面的右側(cè)，物理上不可實現(xiàn)，所以取k=0，G2(s)在物理上可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)為：根據(jù)留數(shù)定理，G2(s)第一項中：244.3.1維納—霍甫方程這里只研究濾波器是因果的情況。假設(shè)以hk表示離散時間因果線性時不變?yōu)V波器的沖激響應(yīng)，則xk的估計可表示為：假設(shè)以xk和zk是零均值的，求解因果線性時不變?yōu)V波器。由正交性原理知，估計誤差與觀測數(shù)據(jù)是正交的，即

若xk和zk是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的26此式就是前面討論過的連續(xù)時間維納-霍甫積分方程的離散形式;

其解就是離散時間最優(yōu)因果線性時不變?yōu)V波器的沖激響應(yīng)函數(shù)；求解過程與連續(xù)時間系統(tǒng)的情況相同，只是將拉普拉斯變換替換為z-變換。Z變換27雙邊Z逆變換經(jīng)分析，等式左側(cè)應(yīng)為零，即因此有:28平滑濾波預(yù)測

這里我們主要考慮濾波問題，即……線性估計根據(jù)其取值范圍不同通常有下面幾種情況:30問題在于估計濾波器的參數(shù)/單位沖激響應(yīng)序列31正交方程:標(biāo)準(zhǔn)方程(Wiener-Hopfequations):維納-霍夫（Wiener-Hopf）/標(biāo)準(zhǔn)方程任何時刻的估計誤差都與用于估計的所有數(shù)據(jù)（即濾波器的輸入）正交32注意:Adata-dependant

linear

leastsquareerrorestimationWiener-Hopfequation-solutionsOrthogonalequation-decorrelationWienerFilters下標(biāo)i的取值范圍決定了FIR,非因果II