晶體的對(duì)稱性和分類

第三節(jié)晶體的對(duì)稱性和分類本節(jié)主要內(nèi)容:一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作二、晶體的微觀對(duì)稱性和微觀對(duì)稱操作三、群和晶體結(jié)構(gòu)的分類晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!物體的性質(zhì)在不同方向或位置上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為對(duì)稱性對(duì)稱性的本質(zhì)是指系統(tǒng)中的一些要素是等價(jià)的，它可使復(fù)雜物理現(xiàn)象的描述變得簡(jiǎn)單、明了。因?yàn)閷?duì)稱性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來(lái)就越簡(jiǎn)單，且能大大簡(jiǎn)化某些計(jì)算工作量。我們這里要討論的主要是晶體（晶格或點(diǎn)陣)的對(duì)稱性(symmetryoflattice).一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!

晶體的對(duì)稱性可以從晶體外形的規(guī)則性上反映出來(lái),如sc、bcc、fcc結(jié)構(gòu)的立方晶體,繞晶胞的任一基矢軸旋轉(zhuǎn)π/2或π/2的整數(shù)倍的操作,都能使晶體的外形保持不變,這就是晶體的對(duì)稱性.操作前后晶體保持自身重合的操作,稱為對(duì)稱操作.晶體借以進(jìn)行對(duì)稱操作的軸、平面或點(diǎn).稱為對(duì)稱元素（簡(jiǎn)稱對(duì)稱素）.這種對(duì)稱性不僅表現(xiàn)在晶體的幾何外形上,而且反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)中,稱為晶體的宏觀對(duì)稱性.

晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!由于晶體的宏觀對(duì)稱操作不包含平移,所以宏觀對(duì)稱操作時(shí),晶體至少保持有一個(gè)點(diǎn)不動(dòng),相應(yīng)的對(duì)稱操作又稱為點(diǎn)對(duì)稱操作.

2.對(duì)稱操作的變換矩陣從數(shù)學(xué)角度來(lái)看,晶體的點(diǎn)對(duì)稱操作實(shí)質(zhì)上是對(duì)晶體進(jìn)行一定的幾何變換,它使得晶體中的某一點(diǎn)寫(xiě)成矩陣形式，則有晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!以上證明顯示,如果晶體在某正交變換下不變,就稱這個(gè)正交變換是晶體的一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱操作.（1）繞某一軸的旋轉(zhuǎn)(rotationaboutanaxis)三維晶體的點(diǎn)對(duì)稱操作通常總可以表示為繞某一軸的旋轉(zhuǎn)、對(duì)某中心的反演和它們的組合.點(diǎn)對(duì)稱操作對(duì)應(yīng)的變換矩陣A的具體形式比如：繞x軸的旋轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為θ，則有：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!（2）中心反演(inversionthroughapoint)如果,晶體有對(duì)稱中心,則中心反演也是對(duì)稱操作.對(duì)原點(diǎn)的反演使得(x,y,z)→(-x,-y,-z)，即：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!當(dāng)變換是純轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，矩陣的行列式等于+1；當(dāng)是空間反演或鏡面反射時(shí)等于-1.前一種對(duì)應(yīng)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，另一種不能靠物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3.宏觀對(duì)稱操作和宏觀對(duì)稱元素

繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(rotationaboutanaxis)、中心反演(inversionthroughapoint)和鏡面反映

(Reflectionacrossaplane)是晶體中的三種基本的點(diǎn)對(duì)稱操作。相應(yīng)的對(duì)稱元素有:對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、對(duì)稱面。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!晶體的對(duì)稱性定律的證明

如果繞A轉(zhuǎn)角,晶格保持不變(對(duì)稱操作).則該操作將使B

格點(diǎn)轉(zhuǎn)到位置,則由于轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作不改變格子,在處必定原來(lái)就有一個(gè)格點(diǎn)。因?yàn)锽

和A

完全等價(jià),所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞B進(jìn)行.如圖,A為格點(diǎn),B為離A最近的格點(diǎn)之一,則與平行的格點(diǎn)之間的距離一定是的整數(shù)倍。由此可設(shè)想繞B

轉(zhuǎn)角，這將使A格點(diǎn)轉(zhuǎn)到的位置。同樣處原來(lái)也必定有一個(gè)格點(diǎn)晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!通常把晶體中軸次最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱作主對(duì)稱軸，簡(jiǎn)稱主軸(但是立方晶系則以3次軸為主軸),其它為副軸.晶體的對(duì)稱操作除了旋轉(zhuǎn)、中心反演和鏡面反映3種基本對(duì)稱操作外，在某些晶體中還存在著等價(jià)于相繼進(jìn)行兩個(gè)基本對(duì)稱操作(乘法)而得到的獨(dú)立對(duì)稱操作，稱為組合操作，從而出現(xiàn)新的對(duì)稱元素

上述操作稱為非純旋轉(zhuǎn)操作。如果一個(gè)晶體先繞某軸旋轉(zhuǎn)2π/n，再進(jìn)行中心反演后，晶體保持不變，稱該軸為n次（或n度）旋轉(zhuǎn)反演軸，記為。由于晶體周期性的限制，旋轉(zhuǎn)反演軸也必須遵循晶體的對(duì)稱性定律，即：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!ABDCEFGH只有具有4次旋轉(zhuǎn)反演軸的晶體,既沒(méi)有4次純旋轉(zhuǎn)軸,也沒(méi)有對(duì)稱中心i，但包括一個(gè)與4次旋轉(zhuǎn)反演軸重合的2次軸.6=3+m1234566'6次旋轉(zhuǎn)反演軸等價(jià)于3次純旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱鏡面m，記為所以旋轉(zhuǎn)反演軸中只有是獨(dú)立的對(duì)稱素晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!還有一套標(biāo)記法，是固體物理中慣用的標(biāo)記，是熊夫利(Schoenflies)制訂的，因此稱為熊夫利符號(hào)(Schoenfliesnotation).熊夫利符號(hào)中Cn表示旋轉(zhuǎn)軸；Sn表示旋轉(zhuǎn)反演軸；Ci表示中心反演；Cs表示鏡面反映?？傊w的所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合來(lái)完成。晶體中8種獨(dú)立的宏觀對(duì)稱元素（或?qū)ΨQ操作）用熊夫利符號(hào)標(biāo)記則為C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4。

晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!由于把立方體相間的四個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)就構(gòu)成了正四面體，所以，正四面體所有對(duì)稱素和對(duì)稱操作包含于立方體中。由于正四面體沒(méi)有對(duì)稱中心，立方對(duì)稱的三條4次軸<100>和對(duì)稱中心退化為四次旋轉(zhuǎn)反演軸【6個(gè)非純轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)π/2或3π/2）加上3個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)π）】。同理，四條3次軸<111>和對(duì)稱中心退化為三次旋轉(zhuǎn)反演軸（等價(jià)于8個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)），六條2次軸<110>和對(duì)稱中心退化為二次旋轉(zhuǎn)反演軸（6個(gè)非純轉(zhuǎn)動(dòng)），加上不動(dòng)，共24個(gè)對(duì)稱操作。它保留了立方體的12個(gè)純旋轉(zhuǎn)操作和12個(gè)非純旋轉(zhuǎn)操作。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!

(3).宏觀對(duì)稱操作和晶體的介電常數(shù)

介電常數(shù)的一般表達(dá)式為介電常數(shù)通常它是一個(gè)二階張量。但是，對(duì)于具有立方對(duì)稱和正四面體對(duì)稱的晶體材料，介電常數(shù)退化為一個(gè)標(biāo)量.對(duì)于六角對(duì)稱的晶體，介電常數(shù)為晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!對(duì)于具有立方對(duì)稱的晶體,有三條4次軸,設(shè)某一條沿著z軸,由于轉(zhuǎn)180度晶體復(fù)原,所以：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!進(jìn)一步選擇沿著<111>方向轉(zhuǎn)120度晶體復(fù)原,所以以<111>軸為坐標(biāo)系的變換矩陣為：代入可得：進(jìn)一步選擇可得：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!代入可證.注意有的題解上寫(xiě)成,則矩陣A需要轉(zhuǎn)置.晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!(1)空間點(diǎn)陣中各點(diǎn)按一矢量進(jìn)行移動(dòng)的操作稱為平移，進(jìn)行平移所憑借的直線稱為平移軸。顯然，空間點(diǎn)陣應(yīng)是無(wú)限的情形，才會(huì)有平移對(duì)稱性。有限的晶體從微觀來(lái)看滿足無(wú)限的空間點(diǎn)陣的要求。所以含有平移的對(duì)稱操作都是晶體的微觀對(duì)稱操作所特有的。(2)由螺旋和平移構(gòu)成的復(fù)合操作稱為螺旋旋轉(zhuǎn)。若將晶體繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸，相應(yīng)的對(duì)稱操作稱為螺旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。其中T是軸方向的周期，l是小于n的整數(shù)。n只能取1、2、3、4、6。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!三、群和晶體結(jié)構(gòu)的分類定量研究對(duì)稱操作集合的性質(zhì)要用群論的知識(shí)。群論作為數(shù)學(xué)的分支，是處理有一定對(duì)稱性的物理體系的有力工具。它可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算，也可以預(yù)言物理過(guò)程的發(fā)展趨勢(shì)，還可以對(duì)體系的許多性質(zhì)作出定性的了解。群及其表示理論是物理類專業(yè)研究生的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，對(duì)于本科生不作要求。因此，我們不打算在這里講過(guò)多的群論的知識(shí)，只是簡(jiǎn)單介紹一下群的概念。并在此基礎(chǔ)上直接給出布拉維格子和晶體結(jié)構(gòu)按照點(diǎn)群和空間群的分類結(jié)果

1.群的定義所謂群(group)就是一些元素(elements)或操作的集合，常用符號(hào)

G來(lái)表示。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!2).群中一定包含一個(gè)不變?cè)?單位元素)E3).存在逆元素4).滿足組合定則在晶體的幾何對(duì)稱性的研究中，每一個(gè)能使晶體復(fù)原的對(duì)稱操作，都滿足上述群中的元素的要求，由這些元素(或操作)所構(gòu)成的群叫對(duì)稱操作群(symmetrygroup),包括點(diǎn)群(pointgroup)和空間群(spacegroup)晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!如果一些晶體具有相同的一組群元素，那么從對(duì)稱性來(lái)說(shuō)，這些晶體屬于同一類晶體。理論和實(shí)驗(yàn)證明,在點(diǎn)對(duì)稱操作基礎(chǔ)上,如果忽略基元的對(duì)稱性,也就是僅僅從三維空間點(diǎn)陣（或布拉維格子）角度來(lái)說(shuō),只存在7種不同的點(diǎn)群,稱為7個(gè)晶系。

用熊夫利符號(hào)表示的話，7個(gè)晶系隸屬的點(diǎn)群從低到高排序分別是三斜晶系屬Ci(或S1)群、單斜晶系屬C2h群、正交晶系屬D2h群、三角晶系屬D3d群、四方晶系屬D4h群、六角晶系屬D6h群、立方晶系屬Oh群。

我們知道晶體結(jié)構(gòu)等于布拉維格子加上基元,為此,晶體結(jié)構(gòu)的分類可以考慮基元的對(duì)稱性(晶體結(jié)構(gòu)),

也可以忽略基元的對(duì)稱性(布拉維格子).

晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!O四個(gè)3次軸、三個(gè)4次軸，按八面體型分布為了表明對(duì)稱面相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的位置，還有如下附加指標(biāo)：下角標(biāo)h(水平)表示垂直于旋轉(zhuǎn)軸下角標(biāo)v(鉛直)表示平行于旋轉(zhuǎn)軸下角標(biāo)d(對(duì)角)表示平行于主軸且平分2次軸之間的夾角國(guó)際符號(hào)熊夫利符號(hào)

國(guó)際符號(hào)以不超過(guò)三個(gè)幾何上的從優(yōu)方向來(lái)描述晶體的對(duì)稱類型，這些方向或平行于對(duì)稱軸或垂直于對(duì)稱面晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!總之,在不考慮基元的對(duì)稱性時(shí),以上的操作構(gòu)成7大晶系。垂直于一個(gè)鏡面但平行于其它反映面的n次旋轉(zhuǎn)軸7個(gè)晶系(crystalsystem)相應(yīng)的點(diǎn)群如果考慮基元的對(duì)稱性，則同一個(gè)晶系，可能會(huì)出現(xiàn)若干種不同的結(jié)構(gòu)。如A1型fcc結(jié)構(gòu)和B3型立方ZnS結(jié)構(gòu),按照點(diǎn)陣來(lái)說(shuō),都屬于立方晶系Oh群。但是ZnS結(jié)構(gòu),由于基元中兩種原子不同,當(dāng)考慮基元的對(duì)稱性時(shí),它的對(duì)稱性降低,屬于正四面體Td群。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!7個(gè)晶系的名稱和特征(1)三斜晶系(TriclinicSystem)：a≠b≠c,α≠β≠γ

;Ci群,無(wú)任何對(duì)稱軸,不過(guò)由于中心反演i是點(diǎn)陣的屬性,所以有2個(gè)群元素不動(dòng)E和i.(2)單斜晶系(MonoclinicSystem):a≠b≠c,α＝γ＝90°≠β;C2h群，具有一條2次軸和i，所以有4個(gè)群元素。因?yàn)樗挥衋和c互相不垂直，所以稱為單斜晶系

(3)正交晶系(OrthorhombicSystem):a≠b≠c,α＝β＝γ＝90;D2h群，具有三條2次軸和i，所以有8個(gè)群元素。正交晶系又稱斜方晶系

(4)三角晶系(TrigonalSystem)：a＝b＝c,α＝β＝γ≠90°<120°;D3d群，具有一條3次軸、三條與3次軸垂直的2次軸和i，所以有12個(gè)群元素。三角晶系又稱三方晶系。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!7.立方晶系：5.三角晶系：6.六角晶系：3.正交晶系：4.四方晶系2.單斜晶系：1.三斜晶系：

從幾何結(jié)構(gòu)劃分7個(gè)晶系晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!

7個(gè)晶系對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)都在晶胞的頂角上.

點(diǎn)陣晶胞通常是一個(gè)擴(kuò)大了的原胞。晶胞的體心和面心上都可以有格點(diǎn)

.例如sc、bcc、fcc點(diǎn)陣,從宏觀對(duì)稱性（點(diǎn)群）來(lái)看,都屬于立方晶系（Oh群）.但是,三者的原胞基矢不同,所以sc、bcc、fcc點(diǎn)陣具有不同的平移對(duì)稱性，也就是說(shuō)屬于不同的空間群

.我們可以通過(guò)對(duì)7個(gè)晶系采取加心（體心、面心、底心）的方法得到新的點(diǎn)陣類型。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：簡(jiǎn)單三斜(1)簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)三角(4)4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)簡(jiǎn)單四角(9)，體心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡(jiǎn)立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14)晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!4）.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5)底心正交(6)體心正交(7)面心正交(8)5）.四方晶系體心四方(10)簡(jiǎn)單四方(9)晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!從表面上來(lái)看，上述布拉維格子似乎還可以增加一些體心、面心或底心格子。但實(shí)際上，這樣做所得的格子仍是14種之一，或者不是布拉維格子。如四方晶系只有簡(jiǎn)單四角和體心四角；如果增加一個(gè)面心四角，結(jié)果仍是體心四角。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!總之，布拉維格子按照點(diǎn)群來(lái)分有7類，按空間群來(lái)分有14類；晶體結(jié)構(gòu)按照點(diǎn)群來(lái)分有32類，按空間群來(lái)分有230類。

空間格子與晶體結(jié)構(gòu)這兩個(gè)概念含義并不相同，“格子”純屬幾何概念，是晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)抽象；而“晶體結(jié)構(gòu)”則具有物理意義。3.230種空間群國(guó)際符號(hào)說(shuō)明：空間群國(guó)際符號(hào)的個(gè)字母表示布拉維格子的類型。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!晶體結(jié)構(gòu)的群表示符號(hào)的用處：1942年美國(guó)材料試驗(yàn)協(xié)會(huì)出版了一套卡片，約1300張，通常稱為ASTM卡片，用來(lái)標(biāo)記人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的材料的晶體學(xué)性質(zhì)，以后，逐步增加和修改。1969年改由粉末衍射標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)合委員會(huì)(JCPDS)負(fù)責(zé)卡片的編輯出版，改稱PDF卡片。到1977年止，已有4萬(wàn)余張卡片，其中無(wú)機(jī)物3萬(wàn)余張。每張卡片的第4欄標(biāo)明材料晶系、空間群、晶格常數(shù)等。卡片的第4欄的這些標(biāo)記，很方便人們查找得到的新的材料的大體結(jié)構(gòu)。因?yàn)?，畢竟只?4種布拉維格子。つづき晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作

1.概念解釋

晶體的宏觀對(duì)稱性就是晶體外形所包圍的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性.晶體的宏觀對(duì)稱性來(lái)源于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，相應(yīng)的宏觀對(duì)稱操作是一種非平移對(duì)稱操作。晶體結(jié)構(gòu)可以用布拉維格子或布拉維點(diǎn)陣來(lái)描述,這樣以來(lái),晶體變?yōu)闊o(wú)限大的空間點(diǎn)陣.從而,晶體具有了平移對(duì)稱性,借助于點(diǎn)陣平移矢量,晶格能夠完全復(fù)位.我們把考慮平移后的對(duì)稱性稱為晶體的微觀對(duì)稱性.晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!其中：A為變換矩陣,由于點(diǎn)對(duì)稱操作不改變兩點(diǎn)間的距離,所以易證A是一個(gè)正交矩陣.亦即滿足兩點(diǎn)間的距離不變,即用矩陣表示即得證.晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!同理可得繞y軸和繞z軸的變換矩陣所以，繞x軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣為：且矩陣行列式均為：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!(3)鏡面反映(Reflectionacrossaplane)一個(gè)鏡面反映對(duì)稱操作(symmetryoperationofmirrorimage)意味著將點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)于某一個(gè)面進(jìn)行反射,點(diǎn)陣保持不變.這表明一系列格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這個(gè)反射面的位置是等價(jià)的,點(diǎn)陣具有鏡面反射對(duì)稱性.如以xy面為鏡面，則(x,y,z)→(x,y,-z)。用矩陣形式表示，則有晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!一個(gè)晶體的對(duì)稱操作愈多,就表明它的對(duì)稱性愈高.但是,由于晶體的宏觀對(duì)稱性是受到微觀周期性的制約和影響,所以,晶體的宏觀對(duì)稱元素不是任意的.對(duì)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作(rotationalsymmetryoperation)來(lái)說(shuō)，由于晶體周期性的限制，轉(zhuǎn)角θ只能是2π/n，n=1、2、3、4和6。晶體只能具有有限個(gè)數(shù)的宏觀對(duì)稱操作或?qū)ΨQ元素，對(duì)稱元素的組合也是一定的，這稱為晶體的宏觀對(duì)稱性破缺

如果一個(gè)晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)2π/n及其倍數(shù)不變，稱該軸為n次（或n度）旋轉(zhuǎn)軸。晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱軸只能是1、2、3、4和6次軸，稱為晶體的對(duì)稱性定律

晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!亦即：而且,m必須為整數(shù),所以,m只能取-1,0,1,2,3由于組成等腰梯形,m為整數(shù)因此與m=-1,0,1,2,3相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為:晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素。12123456121次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價(jià)于對(duì)稱中心i

2次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價(jià)于垂直于該軸的對(duì)稱鏡面m

3次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價(jià)于3次純旋轉(zhuǎn)軸加上對(duì)稱中心,記為晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作中只有4度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作是獨(dú)立的

晶體中獨(dú)立的宏觀對(duì)稱操作(或?qū)ΨQ元素)只有8種,即：1、2、3、4、6、i、m、。其中數(shù)字n(1、2、3、4、6)表示純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作(或轉(zhuǎn)動(dòng)軸)；i表示中心反演（或?qū)ΨQ中心）；m表示鏡面反映（或?qū)ΨQ鏡面）。1234還有一些其它的組合操作，如旋轉(zhuǎn)+鏡面反映，但不再給出新的對(duì)稱元素。

這種表示方法屬于國(guó)際符號(hào)(Internationalnotation)標(biāo)記法，是海爾曼(Hermann)和毛袞(Mauguin)制訂的，在晶體結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!例如立方對(duì)稱有三條4次軸<100>，繞每個(gè)4次軸旋轉(zhuǎn)π/2、π、3π/2都是對(duì)稱操作，這樣對(duì)于三條4次軸，共有9個(gè)對(duì)稱操作；還有四條3次軸<111>（空間對(duì)角線），繞每個(gè)3次軸旋轉(zhuǎn)2π/3、4π/3都是對(duì)稱操作，這樣對(duì)于四條3次軸，共有8個(gè)對(duì)稱操作；再就是六條2次軸<110>（面對(duì)角線），繞每個(gè)2次軸旋轉(zhuǎn)π都是對(duì)稱操作，這樣對(duì)于六條2次軸，共有6個(gè)對(duì)稱操作；不動(dòng)（旋轉(zhuǎn)2π）本身也是1個(gè)對(duì)稱操作。所以純旋轉(zhuǎn)操作加起來(lái)共24個(gè)，由于立方對(duì)稱有對(duì)稱中心，所以純旋轉(zhuǎn)操作加上中心反演的組合操作，即非純旋轉(zhuǎn)操作共24個(gè)，合起來(lái)48個(gè)。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!

4.宏觀對(duì)稱操作和物理性質(zhì)對(duì)于一個(gè)具體的晶體材料，如果知道了它的點(diǎn)對(duì)稱性，那么它的某種物理性質(zhì)就可以確定，這稱為Neumann原理。(1).一個(gè)晶體如果具有鏡像反映對(duì)稱性,則該對(duì)稱操作變矢量左旋為右旋,因而該晶體無(wú)旋光性；(2).一個(gè)晶體如果具有中心反演對(duì)稱性，則該對(duì)稱操作使矢量改變符號(hào)，因而該晶體無(wú)固有偶極矩。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!為了證明上述關(guān)系，首先我們給出介電常數(shù)在點(diǎn)對(duì)稱操作后的形式

電位移矢量D與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E滿足

其中ε為介電常數(shù),設(shè)晶體有點(diǎn)對(duì)稱操作(變換矩陣)A，現(xiàn)在對(duì)晶體實(shí)施該對(duì)稱操作，則有所以從而所以介電常數(shù)在點(diǎn)對(duì)稱操作后的形式為由于A是點(diǎn)對(duì)稱操作，所以介電常數(shù)在操作前后不變。因而有:晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!類似沿著x軸,轉(zhuǎn)180度晶體復(fù)原,所以：代入可得：晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!令：則有：亦即對(duì)于具有立方對(duì)稱的晶體,介電常數(shù)退化為一個(gè)標(biāo)量.對(duì)于具有正四面體對(duì)稱的晶體,證明方法相同,可在上面的證明中指出所選對(duì)稱操作完全適用于正四面體.對(duì)于具有六角對(duì)稱的晶體：對(duì)六角晶系，繞x(即a)軸旋180度和繞z(即c)軸旋轉(zhuǎn)120度都是對(duì)稱操作．晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!二、晶體的微觀對(duì)稱性和微觀對(duì)稱操作上面我們主要討論了晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作。因?yàn)椴话揭?所以宏觀對(duì)稱操作又稱為點(diǎn)對(duì)稱操作。由于晶體可以抽象為無(wú)限大的空間點(diǎn)陣,所以,晶體又具有平移對(duì)稱性?？紤]平移后的對(duì)稱性稱為晶體的微觀對(duì)稱性。對(duì)于晶體的微觀對(duì)稱性而言，除了前面所講的宏觀對(duì)稱操作完全適用于微觀對(duì)稱來(lái)說(shuō)，微觀對(duì)稱操作中還應(yīng)包含三種新的對(duì)稱操作，即:平移、螺旋旋轉(zhuǎn)和滑移反映。對(duì)應(yīng)三種新的對(duì)稱元素，即:平移軸、螺旋軸和滑移面。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!(3)由平移和反映構(gòu)成的復(fù)合操作稱為滑移反映，進(jìn)行此操作所憑借的平面稱為滑移面。若經(jīng)過(guò)某面進(jìn)行鏡象操作后,再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后,晶體能自身重合,則稱此面為滑移反映面,相應(yīng)的操作稱為滑移反映對(duì)稱操作。T是平移方向的周期,n可取2或4。4度螺旋軸滑移反映面總之,平移、螺旋旋轉(zhuǎn)和滑移反映對(duì)稱操作無(wú)需憑借一個(gè)保持不動(dòng)的點(diǎn)來(lái)完成,它們都包含平移操作,適用于無(wú)限大點(diǎn)陣.無(wú)限大點(diǎn)陣和晶體的微觀結(jié)構(gòu)一致,所以上述操作稱為微觀對(duì)稱操作.

晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!構(gòu)成群的元素要滿足以下條件：設(shè)等表示群G中所包含的元素或操作

即：必須滿足下列條件：1).封閉性(closureproperty)

按照給定的乘法規(guī)則，群G中任何兩個(gè)元素相乘，得到的還是該群的一個(gè)元素。晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁(yè)!對(duì)稱操作群中：乘法規(guī)則就是連續(xù)操作；單位元素E為不動(dòng)操作；逆元素為轉(zhuǎn)角和平移矢量大小相等、方向相反的操作；中心反演的逆元素還是中心反演；由于都是對(duì)稱操作，每一個(gè)操作之后晶體都能夠復(fù)原，所以組合定則顯然成立。

2.點(diǎn)群和七個(gè)晶系

晶體中獨(dú)立的宏觀對(duì)稱操作(或?qū)ΨQ元素)只有8種,即：1、2、3、4、6、i、m、。宏觀對(duì)稱操作也稱為點(diǎn)對(duì)稱操作，在點(diǎn)對(duì)稱操作基礎(chǔ)上構(gòu)成的對(duì)稱操作群稱為點(diǎn)群。

晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁(yè)!為了便于大家看懂晶體學(xué)點(diǎn)群，下面簡(jiǎn)單給出符號(hào)的說(shuō)明表示n次旋轉(zhuǎn)軸n=1,2,3,4,6表示n次旋轉(zhuǎn)-反演軸n=1,2,3,4,6表示n個(gè)垂直于主軸的2次旋轉(zhuǎn)軸n=2,3,4,6表示中心反演T四個(gè)3次軸、三個(gè)2次軸，按四面體型分布熊夫利符號(hào)表示鏡面反映晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁(yè)!國(guó)際符號(hào)n1,2,3,4,6n次旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)-反演軸

鏡面反映表示中心反演I垂直于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)軸平行于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)軸垂直于一個(gè)或多個(gè)2次軸的n次主軸垂直于一個(gè)或多個(gè)2次軸的旋轉(zhuǎn)反演軸平行于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)反演軸晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁(yè)!通常晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性低于它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)陣的對(duì)稱性,從而導(dǎo)致新的群的產(chǎn)生.可以證明7個(gè)晶系,考慮基元的對(duì)稱性后,在點(diǎn)對(duì)稱操作基礎(chǔ)上,可以另外衍生出25種新點(diǎn)群.也就是說(shuō),晶體結(jié)構(gòu)的宏觀對(duì)稱性,可概括為32種晶體點(diǎn)群.另外，7個(gè)晶系也可以從幾何圖形上來(lái)考慮晶體的三維周期性結(jié)構(gòu)可由a、b、c三個(gè)基矢的方向(夾角)和長(zhǎng)度來(lái)決定。規(guī)定a,b間的夾角為γ；b,c間的夾角為α；c,a間的夾角為β.按照a,b,c三個(gè)基矢的大小和夾角之間的關(guān)系,在點(diǎn)陣對(duì)稱性的制約下,存在7類不同的組合,即7個(gè)晶系.晶體的對(duì)稱性和分類共58頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁(yè)!(5)四方晶系(TetragonalSystem)：a＝b≠c,α＝β＝γ＝90°。D4h群，具有一條4次軸、四條2次軸和i，所以有16個(gè)群元素。四方晶系又稱正方晶系或四角晶系。

(6)六角晶系(HexagonalSystem)：a＝b≠c,α＝β＝90°,γ＝120°;D6h群，具有一條6次軸、六條與6次軸垂直的2次軸和i，所以有24個(gè)群元素。六角晶系又稱六方晶系。(7)立方晶系(CubicSystem)