101微分方程的基本概念課件

第十章

微分方程與差分方程§10.1微分方程的基本概念§10.2一階微分方程§10.3高階微分方程§10.4差分方程的基本概念§10.5一階常系數(shù)線性差分方程§10.6二階常系數(shù)線性差分方程§10.7微分方程與差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第十章

微分方程與差分方程§10.1微分方程的基本概1

微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問(wèn)題中,往往很難直接得到所研究變量之間的函數(shù)關(guān)系,但卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系,從而得到一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,即微分方程.微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.

在自然科學(xué),生物科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)中的許多問(wèn)題都可以建立起微分方程的數(shù)學(xué)模型.例如,物體的冷卻、人口的增長(zhǎng)、電子波的傳播等.微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問(wèn)題中,2微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常見的微分方程求解方法.

本章還介紹差分方程的一些基本概念及一階、二階常系數(shù)線性差分方程求解方法.最后將簡(jiǎn)單地介紹微分方程和差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.3§10.1微分方程的基本概念一.引例二.微分方程的概念§10.1微分方程的基本概念一.引例二.微分方程4一.引例例1已知曲線通過(guò)點(diǎn)(0,1)且在該曲線上的任一點(diǎn)處的切線斜率為求該曲線方程.解設(shè)所求曲線的方程為y=f(x),

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,未知函數(shù)

應(yīng)滿足關(guān)系式并且滿足下列條件將方程(10.1.1)兩端積分,得將代入方程,得C=1.故所求曲線方程為一.引例例1已知曲線通過(guò)點(diǎn)(0,1)且在該曲線上的任一5

例2

某種商品的需求量Q對(duì)價(jià)格p的彈性為-1.5p.已知該商品的最大需求量為800(即p=0時(shí)的需求量),求需求量Q與價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系.解

設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系為Q=Q(p)則由題意可知，它應(yīng)滿足例2某種商品的需求量Q對(duì)價(jià)格p的彈性為6由（10.1.4），得C=800.

即得所求函數(shù)關(guān)系為將(10.1.3)式整理積分，得

上述兩個(gè)例子,有一個(gè)共同特點(diǎn)：

它們都是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程的求解問(wèn)題.數(shù)學(xué)上,人們把這種方程稱為微分方程.

由（10.1.4），得C=800.即得所求7

定義10.1.1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))的方程,稱為微分方程.當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí),稱為常微分方程;當(dāng)未知函數(shù)是多元函數(shù)時(shí),稱為偏微分方程.微分方程有時(shí)也簡(jiǎn)稱方程.二.微分方程的概念例如,方程等都是常微分方程.

等都是偏微分方程.而方程定義10.1.1含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))8

定義10.1.2

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱為微分方程的階.例如,方程

都是一階微分方程,

為二階微分方程.一般地,n階微分方程的形式為

其中F

是x,y,y',…,y(n)的已知函數(shù),x

為自變量,y為未知函數(shù),且方程中一定含有y(n).定義10.1.2微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的9

其中f

是x,y,y',…,y

(n-1)的已知函數(shù).n階微分方程的另一種形式為

如果微分方程中所含的未知函數(shù)和未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都是一次的,則稱方程為線性微分方程.線性微分方程的一般形式為:

其中a1(x)、…、a

n-1(x)、a

n

(x),f(x)都是x

的已知函數(shù)

.其他形式的微分方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.其中f是x,y,y',…,y10例如是線性微分方程是非線性微分方程

定義10.1.3

設(shè)函數(shù)y=φ(x)

在區(qū)間Ｄ上有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù),并且對(duì)任意的x∈Ｄ,均有

則稱函數(shù)y=φ(x)

為微分方程在區(qū)間Ｄ上的解.可以驗(yàn)證函數(shù)例如是線性微分方程是非線性微分方程定義10.1.11

定義10.1.4若n階微分方程的解中,含有n個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，則稱其為方程的通解;若n階微分方程的解中不含有任意常數(shù)，則稱其為方程的特解.例如確定n階微分方程通解中n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)時(shí),通常附加如下條件：定義10.1.4若n階微分方程的解中,含有n個(gè)獨(dú)立任12

我們稱這組條件為微分方程的初始條件.微分方程滿足初始條件的求解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題.n階微分方程的初值問(wèn)題通常記作

微分方程解的圖形是一條曲線,叫做微分方程的積分曲線.初值問(wèn)題的幾何意義,就是求微分方程的通的那條積分曲線.過(guò)點(diǎn)我們稱這組條件為微分方程的初始條件.微分方程滿13例3

驗(yàn)證函數(shù)y=C1cosx+C2sinx+x是微分方程的特解.

的通解.并求滿足初始條件解求出所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

－C1cosx

－C2sinx+C1cosx+C2sinx+x≡x所以把代入原方程，得于是函數(shù)y=C1cosx+C2sinx+x是給定方程的解.例3驗(yàn)證函數(shù)y=C1cosx+C2sin14提問(wèn)與解答環(huán)節(jié)QuestionsAndAnswers提問(wèn)與解答環(huán)節(jié)15謝謝聆聽·學(xué)習(xí)就是為了達(dá)到一定目的而努力去干,是為一個(gè)目標(biāo)去戰(zhàn)勝各種困難的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程會(huì)充滿壓力、痛苦和挫折LearningIsToAchieveACertainGoalAndWorkHard,IsAProcessToOvercomeVariousDifficultiesForAGoal謝謝聆聽LearningIsToAchieveAC16第十章

微分方程與差分方程§10.1微分方程的基本概念§10.2一階微分方程§10.3高階微分方程§10.4差分方程的基本概念§10.5一階常系數(shù)線性差分方程§10.6二階常系數(shù)線性差分方程§10.7微分方程與差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第十章

微分方程與差分方程§10.1微分方程的基本概17

微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問(wèn)題中,往往很難直接得到所研究變量之間的函數(shù)關(guān)系,但卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系,從而得到一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,即微分方程.微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.

在自然科學(xué),生物科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)中的許多問(wèn)題都可以建立起微分方程的數(shù)學(xué)模型.例如,物體的冷卻、人口的增長(zhǎng)、電子波的傳播等.微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問(wèn)題中,18微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常見的微分方程求解方法.

本章還介紹差分方程的一些基本概念及一階、二階常系數(shù)線性差分方程求解方法.最后將簡(jiǎn)單地介紹微分方程和差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.19§10.1微分方程的基本概念一.引例二.微分方程的概念§10.1微分方程的基本概念一.引例二.微分方程20一.引例例1已知曲線通過(guò)點(diǎn)(0,1)且在該曲線上的任一點(diǎn)處的切線斜率為求該曲線方程.解設(shè)所求曲線的方程為y=f(x),

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,未知函數(shù)

應(yīng)滿足關(guān)系式并且滿足下列條件將方程(10.1.1)兩端積分,得將代入方程,得C=1.故所求曲線方程為一.引例例1已知曲線通過(guò)點(diǎn)(0,1)且在該曲線上的任一21

例2

某種商品的需求量Q對(duì)價(jià)格p的彈性為-1.5p.已知該商品的最大需求量為800(即p=0時(shí)的需求量),求需求量Q與價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系.解

設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系為Q=Q(p)則由題意可知，它應(yīng)滿足例2某種商品的需求量Q對(duì)價(jià)格p的彈性為22由（10.1.4），得C=800.

即得所求函數(shù)關(guān)系為將(10.1.3)式整理積分，得

上述兩個(gè)例子,有一個(gè)共同特點(diǎn)：

它們都是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程的求解問(wèn)題.數(shù)學(xué)上,人們把這種方程稱為微分方程.

由（10.1.4），得C=800.即得所求23

定義10.1.1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))的方程,稱為微分方程.當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí),稱為常微分方程;當(dāng)未知函數(shù)是多元函數(shù)時(shí),稱為偏微分方程.微分方程有時(shí)也簡(jiǎn)稱方程.二.微分方程的概念例如,方程等都是常微分方程.

等都是偏微分方程.而方程定義10.1.1含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))24

定義10.1.2

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱為微分方程的階.例如,方程

都是一階微分方程,

為二階微分方程.一般地,n階微分方程的形式為

其中F

是x,y,y',…,y(n)的已知函數(shù),x

為自變量,y為未知函數(shù),且方程中一定含有y(n).定義10.1.2微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的25

其中f

是x,y,y',…,y

(n-1)的已知函數(shù).n階微分方程的另一種形式為

如果微分方程中所含的未知函數(shù)和未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都是一次的,則稱方程為線性微分方程.線性微分方程的一般形式為:

其中a1(x)、…、a

n-1(x)、a

n

(x),f(x)都是x

的已知函數(shù)

.其他形式的微分方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.其中f是x,y,y',…,y26例如是線性微分方程是非線性微分方程

定義10.1.3

設(shè)函數(shù)y=φ(x)

在區(qū)間Ｄ上有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù),并且對(duì)任意的x∈Ｄ,均有

則稱函數(shù)y=φ(x)

為微分方程在區(qū)間Ｄ上的解.可以驗(yàn)證函數(shù)例如是線性微分方程是非線性微分方程定義10.1.27

定義10.1.4若n階微分方程的解中,含有n個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，則稱其為方程的通解;若n階微分方程的解中不含有任意常數(shù)，則稱其為方程的特解.例如確定n階微分方程通解中n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)時(shí),通常附加如下條件：定義10.1.4若n階微分方程的解中,含有n個(gè)獨(dú)立任28

我們稱這組條件為微分方程的初始條件.微分方程滿足初始條件的求解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題.n階微分方程的初值問(wèn)題通常記作