統(tǒng)計學(xué)之概率分布與抽樣分布課件

1本資料來源1本資料來源2第四章概率、概率分布與抽樣分布廈門大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院計統(tǒng)系游家興2第四章概率、概率分布與抽樣分布廈門大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院計統(tǒng)系游3例1：擲銅板當你擲銅板的時候，結(jié)果只有兩種可能，正面或者反面。下圖顯示擲銅板1000次的結(jié)果。3例1：擲銅板當你擲銅板的時候，結(jié)果只有兩種可能，正面或者反4擲銅板的人法國自然主義者布方伯爵（CountBuffon，1707-1788）把銅板擲了4040次，結(jié)果：2048個正面，或者說正面比例是2048/4040=0.5069。大約1900年時，英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜（KarlPearson，1857-1936）很神勇地擲一個銅板24000次。結(jié)果：12012次正面，比例0.5005。南非數(shù)學(xué)家柯瑞屈（JohnKerrich）在第二次世界大戰(zhàn)被德國人關(guān)在牢里的時候，擲了銅板10000次。結(jié)果：5067次正面，比例0.5067。4擲銅板的人法國自然主義者布方伯爵（CountBuffon5例2：中兩次頭彩1986年時，亞當斯（Adams）第二度贏得新澤西州彩券，前一次亞當斯贏到了累積獎金390萬美元，這次又贏得了150萬美元?！都~約時報》（1986年2月14日）宣稱：同一個贏得兩次大獎的機會，差不是每170億次中有一次。兩星期后，《紐約時報》刊登了兩位統(tǒng)計學(xué)家的來信，說這是胡說八道。5例2：中兩次頭彩1986年時，亞當斯（Adams）第二度贏6亞當斯在一生中贏兩次大獎的機會誠然很小，但是幾乎可以確定：在美國幾百萬經(jīng)常買彩券的人當中，會有人贏得兩次頭獎。兩位統(tǒng)計學(xué)家估計：7年內(nèi)再有人贏到兩次大獎的機會是一半一半。果其不然，在1988年5月，漢弗萊斯（Humphri-es）贏得了他的第二個賓州彩券累積獎金（總計680萬美元）。6亞當斯在一生中贏兩次大獎的機會誠然很小，但是幾乎可以確定：7本章我們首先學(xué)習(xí)：什么是概率？什么是概率分布？7本章我們首先學(xué)習(xí)：8第一節(jié)隨機事件與概率一、隨機事件與概率（一）隨機試驗與事件隨機現(xiàn)象的特點是：在條件不變的情況下，一系列的試驗或觀測會得到不同的結(jié)果；在試驗或觀測前不能預(yù)見何種結(jié)果將出現(xiàn)。8第一節(jié)隨機事件與概率一、隨機事件與概率9對隨機現(xiàn)象的試驗或觀測稱為隨機試驗，它必須滿足以下的性質(zhì)：（1）每次試驗的可能結(jié)果不是唯一的；（2）每次試驗之前不能確定何種結(jié)果會出現(xiàn)；（3）試驗可在相同條件下重復(fù)進行。9對隨機現(xiàn)象的試驗或觀測稱為隨機試驗，它必須滿足以下的性質(zhì)：10在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，稱之為隨機事件，簡稱事件。試驗的結(jié)果可能是一個簡單事件，也可能是一個復(fù)雜事件。簡單事件就是不可以再分解的事件，又稱為基本事件。復(fù)雜事件是由簡單事件組合而成的事件。10在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，稱之為隨機事件11基本事件還可稱為樣本點，設(shè)試驗有n個基本事件，分別記為(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1,ω2,…,ωn}稱為樣本空間，Ω中的元素就是樣本點。11基本事件還可稱為樣本點，設(shè)試驗有n個基本事件，分別記為12例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是1、2、3、4、5、6共六種。這六種結(jié)果是基本結(jié)果，不可以再分解成更簡單的結(jié)果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}為該試驗的樣本空間。“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”這一事件就不是簡單事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}組合而成的。12例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是1、2、13我們通常用大寫字母A，B，C，…來表示隨機事件，例如，設(shè)A表示“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，則A={1，3，5}；設(shè)B表示“出現(xiàn)點數(shù)是偶數(shù)”，則B={2，4，6}。13我們通常用大寫字母A，B，C，…來表示隨機事件，例如，設(shè)14（二）概率1.概率的定義概率是指隨機事件發(fā)生的可能性，或稱為機率，是對隨機事件發(fā)生可能性的度量。概率的古典定義：假設(shè)事件A在等可能的n種方式中可以以m種方式發(fā)生，則事件發(fā)生的概率表示為：

p=p(A)=m/n14（二）概率15古典概率有兩個特點：1、結(jié)果有限，即基本空間中只含有限個元素。如擲銅板，只能出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果。2、各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性被認為是相同的。如擲銅板，出現(xiàn)正面或反面的機會被認為是相等的。15古典概率有兩個特點：16概率的古典定義有所缺陷，“等可能”這一詞模糊不清。事實上，這一詞看上去與“等概率”是同義的，那么我們實質(zhì)上是用概率來定義自己，形成循環(huán)定義。概率的統(tǒng)計定義：在相同條件下隨機試驗n次，某事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動，且波動的幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為該事件的概率，記為：

16概率的古典定義有所缺陷，“等可能”這一詞模糊不清。事實上17例：設(shè)一個袋子中裝有白球2個，黑球3個。(1)從中隨機摸出1只球，問剛好是白球的概率有多大？解：摸出的任何1只球形成一個基本事件，樣本點總數(shù)為n=5。用A表示摸出的是白球事件，則A由兩個基本點組成，即A={白球，白球}，有利場合數(shù)m=2。因此，剛好摸出白球的概率為:

P(A)=m/n=2/5=0.417例：設(shè)一個袋子中裝有白球2個，黑球3個。18(2)從中隨機摸出2只球，一問2只球都是白球的概率有多大?二問2只球一白一黑的概率有多大?三問2只球都是黑球的概率有多大?解：由于摸出2只球才成一個基本事件，所以樣本點總數(shù)為，故P(A)=P(2只球都是白球)=1/=1/10P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10P(C)=P(2只球都是黑球)=3/1018(2)從中隨機摸出2只球，一問2只球都是白球的概率有多192.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)11≥P(A)≥0。性質(zhì)2P(Ω)=1。性質(zhì)3若事件A與事件B互不相容，即AB=Ф，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。192.概率的基本性質(zhì)20例，從一副紙牌中抽牌一次（抽完放回），如果E1為事件“抽到A”，E2為事件“抽到K”，則：

P（E1）=4/52=1/13P（E2）=4/52=1/13因為不可能同時抽到A和K，所以它們是互不相容的，則抽到A或K的概率為：20例，從一副紙牌中抽牌一次（抽完放回），如果E1為事件“抽21重新定義，E1為事件“抽到A”，E2為事件“抽到黑桃”，因為有可能抽到黑桃A，所以E1和E2不是互不相容的，那么抽到A或黑桃的概率為：21重新定義，E1為事件“抽到A”，E2為事件“抽到黑桃”，22推論1：不可能事件的概率為0，即：

P(Ф)=0推論2：P()=1-P(A),表示A的對立事件，即它們二者必有一事件發(fā)生但又不能同時發(fā)生。3.事件的獨立性定義：對事件A與B，若p(AB)=p(A)p(B)，則稱它們是統(tǒng)計獨立的，簡稱相互獨立，即兩個事件中不論哪一個事件發(fā)生與否都不影響另一個事件發(fā)生的概率。22推論1：不可能事件的概率為0，即：23例：已知袋中有6只紅球,4只白球。從袋中有放回地取兩次球,每次都取1球。設(shè)表示第i次取到紅球。那么，因為也就是說，B1,B2相互獨立。題目將有放回改為無放回，則B1和B2相互獨立嗎？23例：已知袋中有6只紅球,4只白球。從袋中有放回地取兩次24第二節(jié)隨機變量及概率分布隨機變量是指隨機事件的量的表現(xiàn)。例如：投擲骰子，點數(shù)1、2、3、4、5、6是可能出現(xiàn)的隨機變量。隨機變量的概率分布是一個函數(shù)，它把隨機變量的每一個值與一個實數(shù)（概率）相對應(yīng)。概率分布反映了隨機變量的取值或隨機事件中各種結(jié)果的分布狀況和分布特征。24第二節(jié)隨機變量及概率分布隨機變量是指隨機事件的量的表25離散型隨機變量當隨機變量所有可能取值的集合只包含有限個元素時，就稱為離散型隨機變量。設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為x1,x2，…,xn,…，相應(yīng)的概率為p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用表格統(tǒng)一表示出來是：25離散型隨機變量當隨機變量所有可能取值的集合只包含有限個元26如：骰子各個點數(shù)的概率分布表26如：骰子各個點數(shù)的概率分布表27離散型概率分布的性質(zhì)(1)0≤p(xi)≤1(i=1,2,…)(2)

27離散型概率分布的性質(zhì)28隨機變量的期望值隨機變量的期望值（E）也稱為平均值，是隨機變量分布的集中趨勢，即分布的中心位置。離散型隨機變量的期望值:性質(zhì):其中X1，X2都是隨機變量，α，β是任意常數(shù)。28隨機變量的期望值隨機變量的期望值（E）也稱為平均值，是隨29有這樣的一個投資項目（如下表），試問它的預(yù)期回報是多少？該投資項目的期望收益率是6.9%。例題29有這樣的一個投資項目（如下表），試問它的預(yù)期回報是多少？30隨機變量的方差定義:離散型隨機變量X的方差為方差的平方根σ稱為標準差。方差σ2或標準差σ反映隨機變量X相對其期望值的離散程度，σ2或σ越小,說明期望值的代表性越好；σ2或σ越大，說明期望值的代表性越差。性質(zhì)：對于任意常數(shù)a，σ2(ax)=a2σ2(x)成立。30隨機變量的方差定義:離散型隨機變量X的方差為31二項分布二項分布是離散型隨機變量的一個重要的概率分布。在一些問題中，我們只對試驗中某事件A是否出現(xiàn)感興趣，如調(diào)查消費者對某種品牌是否喜歡，調(diào)查某地區(qū)住戶是否脫貧等等。31二項分布二項分布是離散型隨機變量的一個重要的概率分布。32這些例子所具有的共同性質(zhì)概括如下：試驗包含了n個相同的試驗；每個試驗只有兩個可能的結(jié)果；每一次試驗出現(xiàn)“是”或“否”的概率是相同的。試驗是互相獨立的。通常稱具有上述特征的n次重復(fù)試驗為n次貝努里試驗，簡稱貝努里試驗（Bernoullitrials）。32這些例子所具有的共同性質(zhì)概括如下：33以Bk表示n重貝努里試驗中事件A正好出現(xiàn)k次這一事件，則：

(k=0,1,2,…，n)33以Bk表示n重貝努里試驗中事件A正好出現(xiàn)k次這一事件，則34連續(xù)型隨機變量當一個隨機變量可能取值的集合為無窮不可數(shù)集合時，就稱為連續(xù)型隨機變量。由于連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值，無法一一列舉。一般用概率密度函數(shù)來表示連續(xù)型隨機變量的概率分布。34連續(xù)型隨機變量當一個隨機變量可能取值的集合為無窮不可數(shù)集35概率密度函數(shù)反映概率分布在某一區(qū)間的密集程度。它不直接給出隨機變量取某一特定值的概率值，而通過密度函數(shù)圖下相應(yīng)給定區(qū)間的面積表示連續(xù)型隨機變量在那一區(qū)間取值的概率。35概率密度函數(shù)反映概率分布在某一區(qū)間的密集程度。36概率密度函數(shù)

設(shè)p(x)為概率密度函數(shù)，它是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，滿足下述兩個條件：

(1)p(x)≥0(2)

36概率密度函數(shù)設(shè)p(x)為概率密度函數(shù)，它是分布函數(shù)的導(dǎo)37連續(xù)型隨機變量的概率是計算隨機變量落在某區(qū)域的可能性，也即通過對密度函數(shù)進行積分獲得相應(yīng)的概率值。如計算隨機變量X落在[a,b]區(qū)間內(nèi)的概率:a

bxP(a≤x≤b)概率密度曲線37連續(xù)型隨機變量的概率是計算隨機變量落在某區(qū)域的可能性，也38如：a

bx38如：abx39例子一個連續(xù)型隨機變量只在[0,4]范圍內(nèi)取值，其概率密度函數(shù)為，a是常數(shù)。計算a；求p（1<X<2）解：根據(jù)，可知，進一步，求積分：

39例子一個連續(xù)型隨機變量只在[0,4]范圍內(nèi)取值，其概率40012341/41/23/41P(X)X意味著整個三角形的面積為1p（1<X<2），求點X落入1至2區(qū)間的概率，即求梯形（陰影部分）的面積：40012341/41/23/41P(X)X意味著整個三41課堂練習(xí)設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)服從：（1）已知P（X>1）=7/8，求θ的值；（2）求隨機變量落入[0.5，1]區(qū)間的概率。41課堂練習(xí)設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)服從：42隨機變量的期望值與方差定義:連續(xù)型隨機變量X的期望值為

方差為

性質(zhì):42隨機變量的期望值與方差定義:連續(xù)型隨機變量X的期望值43離散型與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別43離散型與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別44正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的一種連續(xù)型隨機變量分布。如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為：則稱該變量X服從均值為μ，方差為σ2的正態(tài)分布，記為X~N(μ，σ2)。

44正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的一種連續(xù)型隨機變量分布。45如果一個正態(tài)分布的μ=0，σ=1，則稱該正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，相應(yīng)的隨機變量稱為標準正態(tài)隨機變量，用Z表示，即Z~N(0，1)，相應(yīng)的分布密度函數(shù)為45如果一個正態(tài)分布的μ=0，σ=1，則稱該正態(tài)分布為標準正46一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系:

若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則隨機變量

Z=

服從標準正態(tài)分布，即Z~N(0，1)。46一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系:47-368.27%95.45%99.73%0-11-223z值概率1.000.68271.650.90001.960.95002.000.95452.580.99003.000.9973例：p(-1<Z<1)表示變量Z落入(-1,1)的概率，等于0.682747-368.27%95.45%99.73%0-11-223483σ準則3σ準則在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有著重要的應(yīng)用。由標準正態(tài)分布表可求得：當時，有：這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3，3]區(qū)間內(nèi)，超過這個范圍的可能不到0.3%。483σ準則3σ準則在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有著重要的應(yīng)用。由標準正49這些結(jié)論推廣到一般正態(tài)分布，即，有：顯然，的概率很小，因此可以認為X的值幾乎一定落在區(qū)間內(nèi)，這在統(tǒng)計學(xué)上稱做“3σ準則”。49這些結(jié)論推廣到一般正態(tài)分布，即，50例題：課本P85第17題解題步驟：1、算出均值；2、算出標準差；3、計算兩個標準差的變動區(qū)間：

[均值-2個標準差，均值+2個標準差]4、判斷。50例題：課本P85第17題解題步驟：51學(xué)會查正態(tài)分布概率表P305

；學(xué)會運用正態(tài)分布的對稱性進行分割計算;學(xué)會將正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，再計算其概率。例如：求p(1<Z<1.25)？解：原式=0.5×[p(-1.25<Z<1.25)-p(-1<Z<1)]=0.5×(0.7887-0.6827)=0.05351學(xué)會查正態(tài)分布概率表P305；52例1：某大學(xué)英語考試成績服從正態(tài)分布，已知平均成績?yōu)?0分，標準差為10分。求該大學(xué)英語成績在60—75分的概率。計算步驟：1、先轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布；

2、查表計算。52例1：某大學(xué)英語考試成績服從正態(tài)分布，已知平均成績?yōu)?053例2：高考標準分計算第一步，標準化獲得Z值：Z＝（原始分－原始分的平均分）／原始分的標準差第二步，將Z值轉(zhuǎn)化為標準分：標準分T＝500＋100×Z

如，某省高考人數(shù)100000人，一考生高考標準分為800，那他在全省能排第幾？53例2：高考標準分計算第一步，標準化獲得Z值：54解：由T=800可得Z=3，

p(Z≥3)=0.5×[1-p(-3<Z<3)]=0.00135100000×0.00135=135

可知他在全省可排135位。再問：另一個考生高考標準分為672，試問他全省排第幾名？三問：超過一個、兩個、三個標準差的高考成績能排第幾名？54解：由T=800可得Z=3，55本資料來源1本資料來源56第四章概率、概率分布與抽樣分布廈門大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院計統(tǒng)系游家興2第四章概率、概率分布與抽樣分布廈門大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院計統(tǒng)系游57例1：擲銅板當你擲銅板的時候，結(jié)果只有兩種可能，正面或者反面。下圖顯示擲銅板1000次的結(jié)果。3例1：擲銅板當你擲銅板的時候，結(jié)果只有兩種可能，正面或者反58擲銅板的人法國自然主義者布方伯爵（CountBuffon，1707-1788）把銅板擲了4040次，結(jié)果：2048個正面，或者說正面比例是2048/4040=0.5069。大約1900年時，英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜（KarlPearson，1857-1936）很神勇地擲一個銅板24000次。結(jié)果：12012次正面，比例0.5005。南非數(shù)學(xué)家柯瑞屈（JohnKerrich）在第二次世界大戰(zhàn)被德國人關(guān)在牢里的時候，擲了銅板10000次。結(jié)果：5067次正面，比例0.5067。4擲銅板的人法國自然主義者布方伯爵（CountBuffon59例2：中兩次頭彩1986年時，亞當斯（Adams）第二度贏得新澤西州彩券，前一次亞當斯贏到了累積獎金390萬美元，這次又贏得了150萬美元?！都~約時報》（1986年2月14日）宣稱：同一個贏得兩次大獎的機會，差不是每170億次中有一次。兩星期后，《紐約時報》刊登了兩位統(tǒng)計學(xué)家的來信，說這是胡說八道。5例2：中兩次頭彩1986年時，亞當斯（Adams）第二度贏60亞當斯在一生中贏兩次大獎的機會誠然很小，但是幾乎可以確定：在美國幾百萬經(jīng)常買彩券的人當中，會有人贏得兩次頭獎。兩位統(tǒng)計學(xué)家估計：7年內(nèi)再有人贏到兩次大獎的機會是一半一半。果其不然，在1988年5月，漢弗萊斯（Humphri-es）贏得了他的第二個賓州彩券累積獎金（總計680萬美元）。6亞當斯在一生中贏兩次大獎的機會誠然很小，但是幾乎可以確定：61本章我們首先學(xué)習(xí)：什么是概率？什么是概率分布？7本章我們首先學(xué)習(xí)：62第一節(jié)隨機事件與概率一、隨機事件與概率（一）隨機試驗與事件隨機現(xiàn)象的特點是：在條件不變的情況下，一系列的試驗或觀測會得到不同的結(jié)果；在試驗或觀測前不能預(yù)見何種結(jié)果將出現(xiàn)。8第一節(jié)隨機事件與概率一、隨機事件與概率63對隨機現(xiàn)象的試驗或觀測稱為隨機試驗，它必須滿足以下的性質(zhì)：（1）每次試驗的可能結(jié)果不是唯一的；（2）每次試驗之前不能確定何種結(jié)果會出現(xiàn)；（3）試驗可在相同條件下重復(fù)進行。9對隨機現(xiàn)象的試驗或觀測稱為隨機試驗，它必須滿足以下的性質(zhì)：64在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，稱之為隨機事件，簡稱事件。試驗的結(jié)果可能是一個簡單事件，也可能是一個復(fù)雜事件。簡單事件就是不可以再分解的事件，又稱為基本事件。復(fù)雜事件是由簡單事件組合而成的事件。10在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，稱之為隨機事件65基本事件還可稱為樣本點，設(shè)試驗有n個基本事件，分別記為(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1,ω2,…,ωn}稱為樣本空間，Ω中的元素就是樣本點。11基本事件還可稱為樣本點，設(shè)試驗有n個基本事件，分別記為66例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是1、2、3、4、5、6共六種。這六種結(jié)果是基本結(jié)果，不可以再分解成更簡單的結(jié)果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}為該試驗的樣本空間?！俺霈F(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”這一事件就不是簡單事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}組合而成的。12例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是1、2、67我們通常用大寫字母A，B，C，…來表示隨機事件，例如，設(shè)A表示“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，則A={1，3，5}；設(shè)B表示“出現(xiàn)點數(shù)是偶數(shù)”，則B={2，4，6}。13我們通常用大寫字母A，B，C，…來表示隨機事件，例如，設(shè)68（二）概率1.概率的定義概率是指隨機事件發(fā)生的可能性，或稱為機率，是對隨機事件發(fā)生可能性的度量。概率的古典定義：假設(shè)事件A在等可能的n種方式中可以以m種方式發(fā)生，則事件發(fā)生的概率表示為：

p=p(A)=m/n14（二）概率69古典概率有兩個特點：1、結(jié)果有限，即基本空間中只含有限個元素。如擲銅板，只能出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果。2、各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性被認為是相同的。如擲銅板，出現(xiàn)正面或反面的機會被認為是相等的。15古典概率有兩個特點：70概率的古典定義有所缺陷，“等可能”這一詞模糊不清。事實上，這一詞看上去與“等概率”是同義的，那么我們實質(zhì)上是用概率來定義自己，形成循環(huán)定義。概率的統(tǒng)計定義：在相同條件下隨機試驗n次，某事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動，且波動的幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為該事件的概率，記為：

16概率的古典定義有所缺陷，“等可能”這一詞模糊不清。事實上71例：設(shè)一個袋子中裝有白球2個，黑球3個。(1)從中隨機摸出1只球，問剛好是白球的概率有多大？解：摸出的任何1只球形成一個基本事件，樣本點總數(shù)為n=5。用A表示摸出的是白球事件，則A由兩個基本點組成，即A={白球，白球}，有利場合數(shù)m=2。因此，剛好摸出白球的概率為:

P(A)=m/n=2/5=0.417例：設(shè)一個袋子中裝有白球2個，黑球3個。72(2)從中隨機摸出2只球，一問2只球都是白球的概率有多大?二問2只球一白一黑的概率有多大?三問2只球都是黑球的概率有多大?解：由于摸出2只球才成一個基本事件，所以樣本點總數(shù)為，故P(A)=P(2只球都是白球)=1/=1/10P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10P(C)=P(2只球都是黑球)=3/1018(2)從中隨機摸出2只球，一問2只球都是白球的概率有多732.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)11≥P(A)≥0。性質(zhì)2P(Ω)=1。性質(zhì)3若事件A與事件B互不相容，即AB=Ф，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。192.概率的基本性質(zhì)74例，從一副紙牌中抽牌一次（抽完放回），如果E1為事件“抽到A”，E2為事件“抽到K”，則：

P（E1）=4/52=1/13P（E2）=4/52=1/13因為不可能同時抽到A和K，所以它們是互不相容的，則抽到A或K的概率為：20例，從一副紙牌中抽牌一次（抽完放回），如果E1為事件“抽75重新定義，E1為事件“抽到A”，E2為事件“抽到黑桃”，因為有可能抽到黑桃A，所以E1和E2不是互不相容的，那么抽到A或黑桃的概率為：21重新定義，E1為事件“抽到A”，E2為事件“抽到黑桃”，76推論1：不可能事件的概率為0，即：

P(Ф)=0推論2：P()=1-P(A),表示A的對立事件，即它們二者必有一事件發(fā)生但又不能同時發(fā)生。3.事件的獨立性定義：對事件A與B，若p(AB)=p(A)p(B)，則稱它們是統(tǒng)計獨立的，簡稱相互獨立，即兩個事件中不論哪一個事件發(fā)生與否都不影響另一個事件發(fā)生的概率。22推論1：不可能事件的概率為0，即：77例：已知袋中有6只紅球,4只白球。從袋中有放回地取兩次球,每次都取1球。設(shè)表示第i次取到紅球。那么，因為也就是說，B1,B2相互獨立。題目將有放回改為無放回，則B1和B2相互獨立嗎？23例：已知袋中有6只紅球,4只白球。從袋中有放回地取兩次78第二節(jié)隨機變量及概率分布隨機變量是指隨機事件的量的表現(xiàn)。例如：投擲骰子，點數(shù)1、2、3、4、5、6是可能出現(xiàn)的隨機變量。隨機變量的概率分布是一個函數(shù)，它把隨機變量的每一個值與一個實數(shù)（概率）相對應(yīng)。概率分布反映了隨機變量的取值或隨機事件中各種結(jié)果的分布狀況和分布特征。24第二節(jié)隨機變量及概率分布隨機變量是指隨機事件的量的表79離散型隨機變量當隨機變量所有可能取值的集合只包含有限個元素時，就稱為離散型隨機變量。設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為x1,x2，…,xn,…，相應(yīng)的概率為p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用表格統(tǒng)一表示出來是：25離散型隨機變量當隨機變量所有可能取值的集合只包含有限個元80如：骰子各個點數(shù)的概率分布表26如：骰子各個點數(shù)的概率分布表81離散型概率分布的性質(zhì)(1)0≤p(xi)≤1(i=1,2,…)(2)

27離散型概率分布的性質(zhì)82隨機變量的期望值隨機變量的期望值（E）也稱為平均值，是隨機變量分布的集中趨勢，即分布的中心位置。離散型隨機變量的期望值:性質(zhì):其中X1，X2都是隨機變量，α，β是任意常數(shù)。28隨機變量的期望值隨機變量的期望值（E）也稱為平均值，是隨83有這樣的一個投資項目（如下表），試問它的預(yù)期回報是多少？該投資項目的期望收益率是6.9%。例題29有這樣的一個投資項目（如下表），試問它的預(yù)期回報是多少？84隨機變量的方差定義:離散型隨機變量X的方差為方差的平方根σ稱為標準差。方差σ2或標準差σ反映隨機變量X相對其期望值的離散程度，σ2或σ越小,說明期望值的代表性越好；σ2或σ越大，說明期望值的代表性越差。性質(zhì)：對于任意常數(shù)a，σ2(ax)=a2σ2(x)成立。30隨機變量的方差定義:離散型隨機變量X的方差為85二項分布二項分布是離散型隨機變量的一個重要的概率分布。在一些問題中，我們只對試驗中某事件A是否出現(xiàn)感興趣，如調(diào)查消費者對某種品牌是否喜歡，調(diào)查某地區(qū)住戶是否脫貧等等。31二項分布二項分布是離散型隨機變量的一個重要的概率分布。86這些例子所具有的共同性質(zhì)概括如下：試驗包含了n個相同的試驗；每個試驗只有兩個可能的結(jié)果；每一次試驗出現(xiàn)“是”或“否”的概率是相同的。試驗是互相獨立的。通常稱具有上述特征的n次重復(fù)試驗為n次貝努里試驗，簡稱貝努里試驗（Bernoullitrials）。32這些例子所具有的共同性質(zhì)概括如下：87以Bk表示n重貝努里試驗中事件A正好出現(xiàn)k次這一事件，則：

(k=0,1,2,…，n)33以Bk表示n重貝努里試驗中事件A正好出現(xiàn)k次這一事件，則88連續(xù)型隨機變量當一個隨機變量可能取值的集合為無窮不可數(shù)集合時，就稱為連續(xù)型隨機變量。由于連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值，無法一一列舉。一般用概率密度函數(shù)來表示連續(xù)型隨機變量的概率分布。34連續(xù)型隨機變量當一個隨機變量可能取值的集合為無窮不可數(shù)集89概率密度函數(shù)反映概率分布在某一區(qū)間的密集程度。它不直接給出隨機變量取某一特定值的概率值，而通過密度函數(shù)圖下相應(yīng)給定區(qū)間的面積表示連續(xù)型隨機變量在那一區(qū)間取值的概率。35概率密度函數(shù)反映概率分布在某一區(qū)間的密集程度。90概率密度函數(shù)

設(shè)p(x)為概率密度函數(shù)，它是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，滿足下述兩個條件：

(1)p(x)≥0(2)

36概率密度函數(shù)設(shè)p(x)為概率密度函數(shù)，它是分布函數(shù)的導(dǎo)91連續(xù)型隨機變量的概率是計算隨機變量落在某區(qū)域的可能性，也即通過對密度函數(shù)進行積分獲得相應(yīng)的概率值。如計算隨機變量X落在[a,b]區(qū)間內(nèi)的概率:a

bxP(a≤x≤b)概率密度曲線37連續(xù)型隨機變量的概率是計算隨機變量落在某區(qū)域的可能性，也92如：a

bx38如：abx93例子一個連續(xù)型隨機變量只在[0,4]范圍內(nèi)取值，其概率密度函數(shù)為，a是常數(shù)。計算a；求p（1<X<2）解：根據(jù)，可知，進一步，求積分：

39例子一個連續(xù)型隨機變量只在[0,4]范圍內(nèi)取值，其概率94012341/41/23/41P(X)X意味著整個三角形的面積為1p（1<X<2），求點X落入1至2區(qū)間的概率，即求梯形（陰影部分）的面積：40012341/41/23/41P(X)X意味著整個三95課堂練習(xí)設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)服從：（1）已知P（X>1）=7/8，求θ的值；（2）求隨機變量落入[0.5，1]區(qū)間的概率。41課堂練習(xí)設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)服從：96隨機變量的期望值與方差定義:連續(xù)型隨機變量X的期望值為

方差為

性質(zhì):42隨機變量的期望值與方差定義:連續(xù)型隨機變量X的期望值97離散型與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別43離散型與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別98正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的一種連續(xù)型隨機變量分布。如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為：則稱該變量X服從均值為μ，方差為σ2的正態(tài)分布，記為X~N(μ，σ2)。

44正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的一種連續(xù)型隨機變量分布。99如果一個正態(tài)分布的μ=0，σ=1，則稱該正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，相應(yīng)的隨機變