關(guān)于排列組合的解題策略課件

解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略1

名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn種不同的方法.名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個原2排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數(shù)符號計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)，從n個不同元素中取出m個元素，按一定的順序排成一列從n個不同元素中取出m個元素，把它并成一組所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定31、某校組織學(xué)生分4個組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游方案的種數(shù)是（）A.B.C.D.

C練習(xí)2、將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字都不相同的填法共有（）。A.6種B.9種C.11種D.23種

B1、某校組織學(xué)生分4個組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的4解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什5判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?

有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個,并確定這2個風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a,6合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏；按事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚.合理分類和準(zhǔn)確分步解排列（或）組合問題，應(yīng)7總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求對其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有例16個同學(xué)和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法。總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步解排列（或）組8把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)例1如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路,其中有6個焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點(diǎn)脫落，整個電路就會不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）A.63種B.64種C.6種D.36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)分析:由加法原理可知由乘法原理可9合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞,3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究:只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計(jì)數(shù)原理共有______________________種。++合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能10本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素11有不同的數(shù)學(xué)書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同一學(xué)科的書2本，共有多少種不同的取法？（7×5+7×4+5×4=83）有不同的數(shù)學(xué)書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同12（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （）A．300種 B．240種 C．144種 D．96種B（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、131.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______

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練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這5人共有多少乘船方法.271.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若14特殊元素和特殊位置問題特殊元素和特殊位置問題15特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以16學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門：（1）有兩門課時(shí)間沖突，不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門：17解法一：解法二：（1）有兩門課時(shí)間沖突,不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？解法一：解法二：（1）有兩門課時(shí)間沖突,不能同時(shí)學(xué)18解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的197種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不20小結(jié)：1、“在”與“不在”可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位置上用“定位法”，解決某些元素不在某些位置上一般用“間接法”或轉(zhuǎn)化為“在”的問題求解。2、排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn)“重”、“漏”現(xiàn)象，而重”、“漏”錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防“重”堵“漏”，在做題時(shí)需認(rèn)真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對答案小結(jié)：1、“在”與“不在”可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位21相鄰相間問題相鄰相間問題22相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相甲23例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?結(jié)論

捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種24有8本互不相同的書,其中數(shù)學(xué)書3本,外文書2本,其他書3本.若將這些書排成一列放在書架上,則數(shù)學(xué)書恰好排在一起,外文書也恰好排在一起的排法共有_____種(結(jié)果用數(shù)值表示).有8本互不相同的書,其中數(shù)學(xué)書3本,外文書2本,其他書3本.25不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,26不相鄰問題——插空法

對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。不相鄰問題——插空法對于某幾個元素不相鄰得排列問27某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習(xí)題某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個28（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（3）(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個．（用數(shù)字作答）

練習(xí)（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種29(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個．（用數(shù)字作答）

將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個空位中的兩個有種，故有種．

引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有___________種．（用數(shù)字作答）

(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８將30某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習(xí)題20某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不31“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、32例

學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結(jié)論

插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.例學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)33小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”?！安蹇铡庇型瑫r(shí)“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用34定序問題定序問題35定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法。

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一36（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再4*5*6*7定37例期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?解不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種.結(jié)論

對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同38分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略39住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）A.B.CD.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。A住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：40重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配

到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種nm重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí),共有解:411.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習(xí)題1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加42環(huán)排問題和多排問題環(huán)排問題和多排問題43環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌44練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？12045多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在46有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是______346練習(xí)題有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)47小集團(tuán)問題小集團(tuán)問題48小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４當(dāng)作一個小集團(tuán)與３排隊(duì)共有____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重49１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４2.5男生和50元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題不定方程的正整數(shù)解問題隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一個元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題隔板法的51元素相同問題隔板策略例.有10個運(yùn)動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為元素相同問題隔板策略例.有10個運(yùn)動員名額，在分給7個班，每52例高二年級8個班,組織一個12個人的年級學(xué)生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?解此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的隔板,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有種不同的放法,所以名額分配方案有種.結(jié)論

轉(zhuǎn)化法:對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.例高二年級8個班,組織一個12個人的年級學(xué)生分會,每班要求53練習(xí)（1）將10個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有（）種。（2）不定方程的正整數(shù)解共有（）組練習(xí)（1）將10個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個不同的班級，54練習(xí)題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？2.x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)練習(xí)題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一2.x+y+z+55小結(jié)：把n個相同元素分成m份每份,至少1個元素,問有多少種不同分法的問題可以采用“隔板法”得出共有種.小結(jié)：把n個相同元素分成m份每份,至少1個元素,問有多少種不56間接法解題間接法解題57正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有____,只含有1個偶數(shù)的取法有_____,和為偶數(shù)的取法共有_________再淘汰和小于10的偶數(shù)共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,758

例：用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有_______種。間接法(總體淘汰法,正難則反）

對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減又不能少減。

分析：五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有個，0排在首位的有個，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數(shù)，再加回百位為0同時(shí)個位為1的排列數(shù)（為什么？）故共有種。例：用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)間接法59例我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?解43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長,團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.結(jié)論

去雜法:有些問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.例我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部60平均分組問題除法策略“分書問題”平均分組問題除法策略“分書問題”61平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆62變式：6本不同的書，按照以下要求處理，各有多少種方法？（4）平均分給3個人，（1）一堆一本，一堆2本，一堆3本（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）一人一本，一人2本，一人3本（6）每人至少一本（5）平均分成3堆變式：6本不同的書，按照以下要求處理，各有多少種方法？631將13個球隊(duì)分成3組,一組5個隊(duì),其它兩組4個隊(duì),有多少分法？2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

1將13個球隊(duì)分成3組,一組5個隊(duì),其它兩組42.10名64小結(jié)：排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序;m等分的組合問題是非等分情況的;而元素相同時(shí)又要另行考慮.小結(jié)：排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序;m等分的組合問題是65構(gòu)造模型策略例.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決構(gòu)造模型策略例.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,66練習(xí)題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120練習(xí)題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右12067先選后排問題先選后排問題68八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個不同的小球,裝入469練習(xí)題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192練習(xí)題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人192703名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有多少種?先選后排問題的處理方法解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每71解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士.解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)72為支援西部開發(fā),有3名教師去銀川市三所學(xué)校任教,每校分配1人,不同的分配方法共有_______種(用數(shù)字作答).練習(xí)改為4名教師？改為5名教師？為支援西部開發(fā),有3名教師去銀川市三所學(xué)校任教,每校分配173小結(jié)：本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后排列。小結(jié)：本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的74實(shí)驗(yàn)法（窮舉法），（枚舉法）應(yīng)用舉例實(shí)驗(yàn)法（窮舉法），（枚舉法）應(yīng)用舉例75實(shí)驗(yàn)法（窮舉法）

題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。

例將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A.6B.9C.11D.23實(shí)驗(yàn)法（窮舉法）題中附加條件增多，直接解決困76實(shí)際操作窮舉策略例.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法？解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時(shí)，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345實(shí)際操作窮舉策略例.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號77實(shí)際操作窮舉策略例.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法？解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時(shí)，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時(shí),4,5號球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種實(shí)際操作窮舉策略例.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號78練習(xí)：（不對號入座問題）（1）（2004湖北）將標(biāo)號為1，2，3，……，10的10個球放入標(biāo)號為1，2，3，……，10的10個盒子中，每個盒內(nèi)放一個球，恰好有3個球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法有___________種（2）編號為1、2、3、4、5的五個球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子里，至多有2個對號入座的情形有___________種109直接法：間接法：練習(xí)：（不對號入座問題）（1）（2004湖北）將標(biāo)號為179注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（）(A)480種（B）240種（C）180種（D）120種小結(jié)：“恰好有一個”是“只有一個”的意思?！爸辽儆幸粋€”則是“有一個或一個以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個”的反面，故可用“排除法”。解：注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其80練習(xí)從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有____種解：練習(xí)從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套81對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題1.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用練習(xí)題1.給圖中區(qū)域涂82其它特殊方法其它特殊方法83分解與合成策略例.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：例17.正方體的8個頂點(diǎn)可連成多少對異面直線分解與合成策略例.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：84解：我們先從8個頂點(diǎn)中任取4個頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共__________每個四面體有___對異面直線,正方體中的8個頂點(diǎn)可連成____________對異面直線33×58=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略解：我們先從8個頂點(diǎn)中任取4個頂點(diǎn)構(gòu)成四每個四面體有___對85化歸策略例.25人排成5×5方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3×3方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，化歸策略例.25人排成5×5方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要解：將這86從5×5方隊(duì)中選取3行3列有_____選法所以從5×5方隊(duì)選不在同一行也不在同一列的3人有__________________選法。處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題如此繼續(xù)下去.從3×3方隊(duì)中選3人的方法有___________種。再從5×5方隊(duì)選出3×3方隊(duì)便可解決問題從5×5方隊(duì)中選取3行3列有_____選法處理復(fù)雜的排列組合87對應(yīng)法例11、在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？

分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要進(jìn)行一場比賽，所以淘汰99名選手就需要99場比賽。對應(yīng)法例11、在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽88某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習(xí)題BA某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成練習(xí)題BA89例袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?解把所有的硬幣全部取出來,將得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有種取法.結(jié)論

剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應(yīng)的,因此,當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法.例袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個,如果從袋中取出2元905、世上最美好的事是：我已經(jīng)長大，父母還未老;我有能力報(bào)答，父母仍然健康。

6、沒什么可怕的，大家都一樣，在試探中不斷前行。

7、時(shí)間就像一張網(wǎng)，你撒在哪里，你的收獲就在哪里。紐扣第一顆就扣錯了，可你扣到最后一顆才發(fā)現(xiàn)。有些事一開始就是錯的，可只有到最后才不得不承認(rèn)。

8、世上的事，只要肯用心去學(xué)，沒有一件是太晚的。要始終保持敬畏之心，對陽光，對美，對痛楚。

9、別再去抱怨身邊人善變，多懂一些道理，明白一些事理，畢竟每個人都是越活越現(xiàn)實(shí)。

10、山有封頂，還有彼岸，慢慢長途，終有回轉(zhuǎn)，余味苦澀，終有回甘。

11、人生就像是一個馬爾可夫鏈，你的未來取決于你當(dāng)下正在做的事，而無關(guān)于過去做完的事。

12、女人，要么有美貌，要么有智慧，如果兩者你都不占絕對優(yōu)勢，那你就選擇善良。

13、時(shí)間，抓住了就是黃金，虛度了就是流水。理想，努力了才叫夢想，放棄了那只是妄想。努力，雖然未必會收獲，但放棄，就一定一無所獲。

14、一個人的知識，通過學(xué)習(xí)可以得到;一個人的成長，就必須通過磨練。若是自己沒有盡力，就沒有資格批評別人不用心。開口抱怨很容易，但是閉嘴努力的人更加值得尊敬。

15、如果沒有人為你遮風(fēng)擋雨，那就學(xué)會自己披荊斬棘，面對一切，用倔強(qiáng)的驕傲，活出無人能及的精彩。5、人生每天都要笑，生活的下一秒發(fā)生什么，我們誰也不知道。所以，放下心里的糾結(jié)，放下腦中的煩惱，放下生活的不愉快，活在當(dāng)下。人生喜怒哀樂，百般形態(tài)，不如在心里全部淡然處之，輕輕一笑，讓心更自在，生命更恒久。積極者相信只有推動自己才能推動世界，只要推動自己就能推動世界。

6、人性本善，純?nèi)缜逑魉冬摖q。欲望與情緒如風(fēng)沙襲擾，把原本如天空曠蔚藍(lán)的心蒙蔽。但我知道，每個人的心靈深處，不管烏云密布還是陰淤蒼茫，但依然有一道彩虹，亮麗于心中某處。

7、每個人的心里，都藏著一個了不起的自己，只要你不頹廢，不消極，一直悄悄醞釀著樂觀，培養(yǎng)著豁達(dá)，堅(jiān)持著善良，只要在路上，就沒有到達(dá)不了的遠(yuǎn)方！

8、不要活在別人眼中，更不要活在別人嘴中。世界不會因?yàn)槟愕谋г共粷M而為你改變，你能做到的只有改變你自己！

9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天賜，不都是一路披荊斬棘才換來的。

10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你會覺得解脫。但舌頭總會不由自主地往那個空空的牙洞里舔，一天數(shù)次。不痛了不代表你能完全無視，留下的那個空缺永遠(yuǎn)都在，偶爾甚至?xí)惓炷睢＿m應(yīng)是需要時(shí)間的，但牙總是要拔，因?yàn)樘矗越K歸還是要放手，隨它去。

11、這個世界其實(shí)很公平，你想要比別人強(qiáng)，你就必須去做別人不想做的事，你想要過更好的生活，你就必須去承受更多的困難，承受別人不能承受的壓力。

12、逆境給人寶貴的磨煉機(jī)會。只有經(jīng)得起環(huán)境考驗(yàn)的人，才能算是真正的強(qiáng)者。自古以來的偉人，大多是抱著不屈不撓的精神，從逆境中掙扎奮斗過來的。

13、不同的人生，有不同的幸福。去發(fā)現(xiàn)你所擁有幸運(yùn)，少抱怨上蒼的不公，把握屬于自己的幸福。你，我，我們大家都可以經(jīng)歷幸福的人生。

14、給自己一份堅(jiān)強(qiáng)，擦干眼淚；給自己一份自信，不卑不亢；給自己一份灑脫，悠然前行。輕輕品，靜靜藏。為了看陽光，我來到這世上；為了與陽光同行，我笑對憂傷。

15、總不能流血就喊痛，怕黑就開燈，想念就聯(lián)系，疲憊就放空，被孤立就討好，脆弱就想家，不要被現(xiàn)在而蒙蔽雙眼，終究是要長大，最漆黑的那段路終要自己走完。5、從來不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起來，才是最大的榮耀。

6、這個世界到處充滿著不公平，我們能做的不僅僅是接受，還要試著做一些反抗。

7、一個最困苦、最卑賤、最為命運(yùn)所屈辱的人，只要還抱有希望，便無所怨懼。

8、有些人，因?yàn)榕隳阕叩臅r(shí)間長了，你便淡然了，其實(shí)是他們給你撐起了生命的天空；有些人，分開了，就忘了吧，殘缺是一種大美。

9、照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被別人的意見引入歧途。

10、沒人能讓我輸，除非我不想贏！

11、花開不是為了花落，而是為了開的更加燦爛。

12、隨隨便便浪費(fèi)的時(shí)間，再也不能贏回來。

13、不管從什么時(shí)候開始，重要的是開始以后不要停止；不管在什么時(shí)候結(jié)束，重要的是結(jié)束以后不要后悔。

14、當(dāng)你決定堅(jiān)持一件事情，全世界都會為你讓路。

15、只有在開水里，茶葉才能展開生命濃郁的香氣。5、世上最美好的事是：我已經(jīng)長大，父母還未老;我有能力報(bào)答，91解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略92

名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn種不同的方法.名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個原93排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數(shù)符號計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)，從n個不同元素中取出m個元素，按一定的順序排成一列從n個不同元素中取出m個元素，把它并成一組所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定941、某校組織學(xué)生分4個組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游方案的種數(shù)是（）A.B.C.D.

C練習(xí)2、將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字都不相同的填法共有（）。A.6種B.9種C.11種D.23種

B1、某校組織學(xué)生分4個組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的95解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什96判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?

有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個,并確定這2個風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a,97合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏；按事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚.合理分類和準(zhǔn)確分步解排列（或）組合問題，應(yīng)98總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求對其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有例16個同學(xué)和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法。總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步解排列（或）組99把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)例1如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路,其中有6個焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點(diǎn)脫落，整個電路就會不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）A.63種B.64種C.6種D.36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)分析:由加法原理可知由乘法原理可100合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞,3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究:只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計(jì)數(shù)原理共有______________________種。++合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能101本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素102有不同的數(shù)學(xué)書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同一學(xué)科的書2本，共有多少種不同的取法？（7×5+7×4+5×4=83）有不同的數(shù)學(xué)書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同103（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （）A．300種 B．240種 C．144種 D．96種B（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、1041.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______

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練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這5人共有多少乘船方法.271.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若105特殊元素和特殊位置問題特殊元素和特殊位置問題106特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以107學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門：（1）有兩門課時(shí)間沖突，不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門：108解法一：解法二：（1）有兩門課時(shí)間沖突,不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？解法一：解法二：（1）有兩門課時(shí)間沖突,不能同時(shí)學(xué)109解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的1107種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不111小結(jié)：1、“在”與“不在”可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位置上用“定位法”，解決某些元素不在某些位置上一般用“間接法”或轉(zhuǎn)化為“在”的問題求解。2、排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn)“重”、“漏”現(xiàn)象，而重”、“漏”錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防“重”堵“漏”，在做題時(shí)需認(rèn)真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對答案小結(jié)：1、“在”與“不在”可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位112相鄰相間問題相鄰相間問題113相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相甲114例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?結(jié)論

捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種115有8本互不相同的書,其中數(shù)學(xué)書3本,外文書2本,其他書3本.若將這些書排成一列放在書架上,則數(shù)學(xué)書恰好排在一起,外文書也恰好排在一起的排法共有_____種(結(jié)果用數(shù)值表示).有8本互不相同的書,其中數(shù)學(xué)書3本,外文書2本,其他書3本.116不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,117不相鄰問題——插空法

對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。不相鄰問題——插空法對于某幾個元素不相鄰得排列問118某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習(xí)題某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個119（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（3）(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個．（用數(shù)字作答）

練習(xí)（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種120(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個．（用數(shù)字作答）

將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個空位中的兩個有種，故有種．

引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有___________種．（用數(shù)字作答）

(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８將121某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習(xí)題20某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不122“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、123例

學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結(jié)論

插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.例學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)124小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”。“插空”有同時(shí)“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用125定序問題定序問題126定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法。

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一127（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再4*5*6*7定128例期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?解不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種.結(jié)論

對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同129分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略130住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）A.B.CD.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。A住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：131重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配

到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種nm重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí),共有解:1321.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習(xí)題1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加133環(huán)排問題和多排問題環(huán)排問題和多排問題134環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌135練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120136多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在137有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是______346練習(xí)題有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)138小集團(tuán)問題小集團(tuán)問題139小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４當(dāng)作一個小集團(tuán)與３排隊(duì)共有____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其