2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷xxx公司2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共18小題，每小題3分，共54分.每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選，多選，錯選均不給分.）1．（3分）函數(shù)y＝log3（x﹣2）的定義域為（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞0} C．{x|x＜2} D．R2．（3分）直線y＝﹣2x+6的斜率為（）A．2 B．﹣2 C． D．3．（3分）下列點中，在不等式3x+2y﹣6＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（1，2）4．（3分）設(shè){an}為等差數(shù)列，若a2＝2，a3＝3，則a5＝（）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）若α為銳角，，則cosα＝（）A． B． C． D．6．（3分）橢圓右焦點的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）7．（3分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3，則（）A．f（x）是偶函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù) B．f（x）是偶函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù) C．f（x）是奇函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù) D．f（x）是奇函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)8．（3分）在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD＝DB．若M為線段PB的中點，則直線DM與平面ABCD所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．（3分）若向量＝（x，4）與＝（2，1）垂直，則實數(shù)x的值為（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣810．（3分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝1，A＝30°，B＝45°，則b的值為（）A． B． C． D．211．（3分）已知m，n是空間兩條直線，α是一個平面，則“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．（3分）若雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率為（）A． B．1 C． D．213．（3分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．2π C． D．14．（3分）已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）＝4，則x的值為（）A．2或﹣2 B．2或3 C．3 D．515．（3分）設(shè){an}為等比數(shù)列，給出四個數(shù)列：①{2an}；②{an2}；③；④{log2|an|}，其中一定為等比數(shù)列的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④16．（3分）函數(shù)f（x）＝（3ax﹣b）2的圖象如圖所示，則（）A．a(chǎn)＞0且b＞1 B．a(chǎn)＞0且0＜b＜1 C．a(chǎn)＜0且b＞1 D．a(chǎn)＜0且0＜b＜117．（3分）已知a，b，c，d是四個互不相等的正實數(shù)，滿足a+b＞c+d，且|a﹣b|＜|c﹣d|，則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)2+b2＞c2+d2 B．|a2﹣b2|＜|c2﹣d2| C．+＜+ D．|﹣|＜|﹣|18．（3分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，空間一動點P滿足A1P⊥AB1，且∠APB1＝∠ADB1，則點P的軌跡為（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線二、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）19．（6分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，則A∩B＝；A∪B＝．20．（3分）已知實數(shù)x，y滿足x2+4y2＝2，則xy的最大值為．21．（3分）已知A，B為圓C上兩點，若AB＝2，則的值為．22．（3分）正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝．若對于任意的n∈N*，都有an＞k成立，則整數(shù)k的最大值為．三、解答題（本大題共3小題，共31分.）23．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxsin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y＝f（x+φ）（0＜φ＜）為偶函數(shù)，求φ的值．24．（10分）如圖，不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與拋物線y2＝2px（p＞0）有且只有一個公共點M．（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，2）時，求p的值及直線l的方程；（Ⅱ）若直線l與圓x2+y2＝1相切于點N，求|MN|的最小值．25．（11分）如果一個函數(shù)的值域與其定義域相同，則稱該函數(shù)為“同域函數(shù)”．已知函數(shù)的定義域為{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣1，b＝2，求f（x）的定義域；（Ⅱ）當(dāng)a＝1時，若f（x）為“同域函數(shù)”，求實數(shù)b的值；（Ⅲ）若存在實數(shù)a＜0且a≠﹣1，使得f（x）為“同域函數(shù)”，求實數(shù)b的取值范圍．

2019年4月浙江省普通高校招生學(xué)考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共18小題，每小題3分，共54分.每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選，多選，錯選均不給分.）1．（3分）函數(shù)y＝log3（x﹣2）的定義域為（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞0} C．{x|x＜2} D．R【分析】由函數(shù)定義域的求法得：要使函數(shù)有意義，則需x﹣2＞0，解得：x＞2，得解【解答】解：要使函數(shù)有意義，則需x﹣2＞0，解得：x＞2，即函數(shù)的定義域為：，故選：A．【點評】本題考查了函數(shù)定義域的求法及解一元一次不等式，屬簡單題2．（3分）直線y＝﹣2x+6的斜率為（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】根據(jù)題意，由直線的斜截式方程直接分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線的方程為y＝﹣2x+6，則其斜率為﹣2；故選：B．【點評】本題考查直線的斜截式方程的應(yīng)用，涉及直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）下列點中，在不等式3x+2y﹣6＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（1，2）【分析】將點的坐標(biāo)代入不等式進行驗證即可．【解答】解：當(dāng)x＝1，y＝2時，3+4﹣6＝1＞0，即點D（1，2）位于不等式對應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi)，故選：D．【點評】本題主要考查點與平面區(qū)域的關(guān)系，利用代入法是解決本題的關(guān)鍵．4．（3分）設(shè){an}為等差數(shù)列，若a2＝2，a3＝3，則a5＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】{an}為等差數(shù)列，a2＝2，a3＝3可求d，將d代入等差數(shù)列的通項公式，即可求a5【解答】解：{an}為等差數(shù)列，因為所以d＝1，a3﹣a2＝1，所以a5＝a3+2d＝5，故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的項的計算，屬基礎(chǔ)題．5．（3分）若α為銳角，，則cosα＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．【解答】解：∵α為銳角，且，∴cosα＝．故選：D．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．（3分）橢圓右焦點的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定幾何量，即可得到雙曲線的右焦點的坐標(biāo)．【解答】解：∵橢圓，∴a2＝2，b2＝1∴c2＝a2﹣b2＝1，∴c＝1∴橢圓的右焦點坐標(biāo)為（1，0）故選：A．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（3分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3，則（）A．f（x）是偶函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù) B．f（x）是偶函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù) C．f（x）是奇函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù) D．f（x）是奇函數(shù)，且在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得f（x）的單調(diào)性，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝﹣x3，有f（﹣x）＝﹣（﹣x）3＝x3＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；又由f′（x）＝﹣3x2，則f′（x）≤0在R上恒成立，則f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD＝DB．若M為線段PB的中點，則直線DM與平面ABCD所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】取BD的中點N，連接MN，可證MN⊥平面ABCD，在Rt△MND中計算tan∠MDB即可得出結(jié)論．【解答】解：取BD的中點N，連接MN，∵M，N分別是PB，BD的中點，∴MN∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDB為直線DM與平面ABCD所成的角，∵tan∠MDB＝＝＝＝1，∴∠MDB＝45°．故選：B．【點評】本題考查了直線與平面所成的角的計算，作出線面角是關(guān)鍵．9．（3分）若向量＝（x，4）與＝（2，1）垂直，則實數(shù)x的值為（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出x的值．【解答】解：∵；∴；∴x＝﹣2．故選：B．【點評】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算．10．（3分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝1，A＝30°，B＝45°，則b的值為（）A． B． C． D．2【分析】由sinA，sinB，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的長．【解答】解：∵在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，A＝30°，B＝45°，∴由正弦定理：，得：b＝＝＝，故選：C．【點評】此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11．（3分）已知m，n是空間兩條直線，α是一個平面，則“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：m，n是空間兩條直線，α是一個平面，則“m⊥α，n⊥α”則能推出“m∥n，但是由m∥n不能m⊥α，n⊥α，也可能m∥α，n∥α，故“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用線面垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．12．（3分）若雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率為（）A． B．1 C． D．2【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得a＝b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y＝±x，由兩條漸近線互相垂直，可得﹣?＝﹣1，可得a＝b，即有c＝＝a，可得離心率e＝＝．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（3分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．2π C． D．【分析】由三視圖得到幾何體是半個球與倒放的圓錐的組合體．【解答】解：由三視圖得到幾何體是半個球與倒放圓錐的組合體，其中球的半徑為1，圓錐的高為2，所以體積為××π×13+×12π×2＝；故選：A．【點評】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的體積；關(guān)鍵是正確還原幾何體．14．（3分）已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）＝4，則x的值為（）A．2或﹣2 B．2或3 C．3 D．5【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分2種情況討論：當(dāng)|x|≤1時，f（x）＝x2＝4，當(dāng)|x|＞1時，f（x）＝x+1＝4，求出x的值，驗證是否符合題意，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝，當(dāng)|x|≤1時，f（x）＝x2＝4，解可得x＝±2，不符合題意，當(dāng)|x|＞1時，f（x）＝x+1＝4，解可得x＝3，符合題意，故x＝3；故選：C．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)值的計算，注意分析函數(shù)解析式的形式，屬于基礎(chǔ)題．15．（3分）設(shè){an}為等比數(shù)列，給出四個數(shù)列：①{2an}；②{an2}；③；④{log2|an|}，其中一定為等比數(shù)列的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，分別驗證即可．【解答】解：{an}為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則通項為，所以對于①，2an是以2a1為首項，以q為公比的等比數(shù)列，對于②，為常數(shù)，又因為≠0，故②為等比數(shù)列，對于③，＝，不一定為常數(shù)，對于④，＝，不一定為常數(shù)，故選：A．【點評】本題查了等比數(shù)列的判斷，屬于基礎(chǔ)題．16．（3分）函數(shù)f（x）＝（3ax﹣b）2的圖象如圖所示，則（）A．a(chǎn)＞0且b＞1 B．a(chǎn)＞0且0＜b＜1 C．a(chǎn)＜0且b＞1 D．a(chǎn)＜0且0＜b＜1【分析】分別取特殊值，根據(jù)函數(shù)的零點和函數(shù)值的變化趨勢即可判斷【解答】解：當(dāng)a＝1時，b＝2時，f（x）＝（3x﹣2）2，當(dāng)x＝log32時，f（x）＝0，故A不符合，當(dāng)a＝1時，b＝﹣時，f（x）＝（3x﹣）2，當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞，故B不符合，當(dāng)a＝﹣1時，b＝2時，f（x）＝（（）x﹣2）2，當(dāng)x＝﹣log32時，f（x）＝0，此時符合，當(dāng)a＝﹣1時，b＝時，f（x）＝（（）x﹣）2，當(dāng)x＝log32時，f（x）＝0，此時不符合，故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了指數(shù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題17．（3分）已知a，b，c，d是四個互不相等的正實數(shù)，滿足a+b＞c+d，且|a﹣b|＜|c﹣d|，則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)2+b2＞c2+d2 B．|a2﹣b2|＜|c2﹣d2| C．+＜+ D．|﹣|＜|﹣|【分析】取特值排除．【解答】解：取a＝6，b＝5，c＝2，d＝8可排除A，C；取a＝7，b＝4，c＝2．d＝6可排除B；故選：D．【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，排除法，屬基礎(chǔ)題．18．（3分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，空間一動點P滿足A1P⊥AB1，且∠APB1＝∠ADB1，則點P的軌跡為（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【分析】正方體ABCD﹣A1B1C1D1，空間一動點P滿足A1P⊥AB1，可得點P在對角面A1BCD1內(nèi)，根據(jù)∠APB1＝∠ADB1，可得點P的軌跡為以PB1為母線，AB1所在直線為高對圓錐對底面圓上．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1，空間一動點P滿足A1P⊥AB1，則點P在對角面A1BCD1內(nèi)，∵∠APB1＝∠ADB1，則點P的軌跡為以PB1為母線，AB1所在直線為高對圓錐對底面圓上．因此點P的軌跡為圓．故選：B．【點評】本題考查了空間位置關(guān)系、圓錐與圓的定義、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）19．（6分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，則A∩B＝{2}；A∪B＝{1，2，3}．【分析】利用交集、并集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，∴A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}．故答案為：{2}，{1，2，3}．【點評】本題考查交集、并集的求法，考查交集、并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．（3分）已知實數(shù)x，y滿足x2+4y2＝2，則xy的最大值為．【分析】利用基本不等式即可求出結(jié)果．【解答】解：實數(shù)x，y滿足x2+4y2＝2，則2＝x2+4y2≥4|xy|，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝2|y|時取等號即|xy|≤，∴﹣≤xy≤故xy的最大值為，故答案為：【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．21．（3分）已知A，B為圓C上兩點，若AB＝2，則的值為2．【分析】由圓的性質(zhì)得出cos∠CAD＝＝，由數(shù)量積的定義可得答案．【解答】解：如圖所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD＝＝，而?＝AB×AC×cos∠CAD＝2×AC×＝2．故答案為：2【點評】本題考查數(shù)量積的求解，涉及圓的知識和數(shù)量積的定義，屬基礎(chǔ)題．22．（3分）正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝．若對于任意的n∈N*，都有an＞k成立，則整數(shù)k的最大值為1．【分析】根據(jù)可求得，進而得到an的通項公式，根據(jù)通項公式可證得數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，可求得，由此得到k的最大值為1．【解答】解：當(dāng)n＝1時，，解得，當(dāng)n≥2且n∈N*時，由得：，即，整理得：?，即＝，∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝＝＝，因為滿足，∴，則，∴＝＝＝，∵，∴，即，∴an+1﹣an＜0，即數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，又＝＝1，∴an＞1，則整數(shù)k的最大值為1．故答案為：1．【點評】本題考查數(shù)列綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠利用Sn求得an的通項公式，進一步證明得到數(shù)列為遞減數(shù)列，從而通過極限求得結(jié)果，難點是對于數(shù)列是遞減數(shù)列的證明上，對計算能力要求較高．三、解答題（本大題共3小題，共31分.）23．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxsin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y＝f（x+φ）（0＜φ＜）為偶函數(shù)，求φ的值．【分析】（Ⅰ）直接在函數(shù)解析式中取x＝0求解；（Ⅱ）利用誘導(dǎo)公式及倍角公式變形，再由周期公式求周期；（Ⅲ）由y＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）為偶函數(shù)，可得對任意實數(shù)x都有sin2xcos2φ＝0，即cos2φ＝0，再結(jié)合φ的范圍求解．【解答】解：（Ⅰ）由，得f（0）＝2sin0sin；（Ⅱ）∵＝2sinxcosx＝sin2x，∴f（x）的最小正周期為π；（Ⅲ）∵y＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）為偶函數(shù)，∴對任意x∈R都有sin（﹣2x+2φ）＝sin（2x+2φ），即﹣sin2xcos2φ+cos2xsin2φ＝sin2xcos2φ+cos2xsin2φ，即sin2xcos2φ＝0，∴cos2φ＝0，∵0＜φ＜，∴φ＝．【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是中檔題．24．（10分）如圖，不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與拋物線y2＝2px（p＞0）有且只有一個公共點M．（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，2）時，求p的值及直線l的方程；（Ⅱ）若直線l與圓x2+y2＝1相切于點N，求|MN|的最小值．【分析】（1）將M點坐標(biāo)代入拋物線方程，可得到p的值已以及拋物線的方程，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與拋物線相切，聯(lián)立直線和拋物線的方程，消去x，令△＝0可得直線方程．（2）設(shè)出直線方程，根據(jù)直線和拋物線相切，直線與圓相切，將參數(shù)減少的一個，再根據(jù)|MN|2＝|OM|2﹣|ON|2將|MN|表示成參數(shù)的函數(shù)，求最值即可．【解答】解：（1）點M（2，2）在拋物線y2＝2px（p＞0）上，故有22＝4p，所以p＝1，從而拋物線的方程為y2＝2x，設(shè)直線l的方程為x＝m（y﹣2）+2，代入y2＝2x，得y2﹣2my+4m﹣4＝0．由l與拋物線相切可知，△＝4m2﹣4（4m﹣4）＝0，解得m＝2，所以直線l的方程為x＝2（y﹣2）+2，即y＝．（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+t（m≠0），代入y2＝2px得y2﹣2pmy﹣2