數(shù)字信號處理-330十

連續(xù)周期信號--級數(shù)連續(xù)非周期信號--變換離散非周期信號--序列的變換離散周期信號--離散級數(shù)連續(xù)時間信號的變

(

3、在一個周期內絕對可積

k

x(t)

k

x(t)e-jk x(t)e-jk0t -

第KX(k0)

X(j)

x(t)e

x(t)

1

X(j)e2Xj)是的連續(xù)函數(shù)，稱為信號x(t)的頻譜（密度函數(shù)e

周期x(t

Xk

X

j)

2k

X

0

周期信號——級數(shù) 連續(xù)非周期信號——變換3、級數(shù)與變換的關時頻域對應關系不都有變換條件要

物理意義不

FTXj頻譜密

FSX(k0k

0)(

0T x(t)e-jk0tdt，T0T01 -100

X

)

2X(k0

x(t)ejt

X

0 0

由上式及前兩圖可看Parseval定

X(k0)1

1XTT

22周期信號功率：Px

x(t)T-T2

k-

X(k0能量信號能量

x(t)2dt

X(j)2P92-3.1.15式的推導過程證3.1.16周期信號x(t)

k

(k0

1

k

e0

(k0

: n

nT)

0(k

k0離散時間信號的變換DTFTX(ej)

x(n)en離散時間序列 反變換定義為x(n)

1

以是(02x(n)

X(ej

X

j

X(ej)x(n)enH(ej)

h(n)ejnnej(2

e

X

j(2))

X

jX(ej是關于的連續(xù)函數(shù)單位圓上的ZT：X(ej

X(z)

ze例：設序列x(n)的波形如下圖所示，求其離散時間變解：由定義式可5 5X(ej) R(n)ejn

e1ej ej

j31e

j

j1j5

1

(e 2

習題2|x(n)|DTFTP97-圖時頻形DTFT的性線X則

(ej)

X

(ej

(n)]

aX1

j

2

j時移

FT[x(n)]

X(ejFT[x(nn0

e

X(ej證明

X(ej)

DTFT[x(nn)]x(n

)e x(n

)e

n

ne

x(n)ejneX(ej頻移

DTFT[x(n)]

X(ej

j0nx(n)]

X

j(0)證明

DTFT[ej0nx(n)]

ej0nx(n)ejnnx(n)ej(0)nnX(ej(0)序列的反

X(ejFT[x(n)]X(ej由ZT[x(n

X(1)z

線性性

X(ej

dX(ej 由Znx

)]znn

X()

可看指數(shù)性DTFT[x(n)]

X(ejDTFT[anx(n)]

X(a

ej由ZT[anx(nX(a1z)可共軛性設則

X(ejFT[x(n)]

X(ejFT[x*(n)]

X*

j由ZT[x*(n)]X*(z*)可 變換為X(ej求序列Re[x(n

1

n-

ene

n-

x(n)

n1X

(ej)

X*(ej時域卷積定

X(ej

FT[y(n)]

Y

j(n)

x(n)

W(ej

FT[x(n)

y(n)]

頻域卷積定

X(ej)[y(n)]

Y

j(n)

x(n)

則W

j)

1X

j

Y

j

X(e

j()注意：系數(shù)證明W

j)

x(n)

y(n)enDTFT反變換x(n)

1

1

X(e

y(n)en2 X交換求和順序得 X

y(n)

j()n

(e

n

X(e

j() 變換為X(ej)，

g(n)

x(2)

2

G(ej)

g(n)e

g(n)

x(2)

nn g(n)en

n

n為偶 令n2n'

n'

2n'2

)ejx(n')ejn'X(e2j

DTFT[x(n)]

X(ej)

x(n)e

x(2n)n 抽DTFT[x(2n)]

x(2n)en

x(4)ej2

x(n n2x(n')2

x(n'

e1

1x(n' 21

x(n' 2n'1 x(n')e2n'

2

2n'1 x(n')e2n'

j()n'2

e1X(ej2)

X

j( )

1X(ej2)

jX(e2習題Y(ej)

y(n)ejnx(2n1)ejnm2n1

j2

[x(n)-(1)nx(n)]

jn- 1

2

(1)n

22 21ej2 j

j2j

-1ej2 j

(e

j)nj(

j2 e2

2 2

2 12

j2X

j2)-X

j() j j j 2

2X

2)-X

2Y(ej)

x(2n1)ejnnx(3)ej(2)

x(1)ej

x(3)ej(1)

[x(n)-(1)nx(n)]

x(3)e

0

x(1)ej

0

0

x(3)ej(1)時域相關定若y(n)是x(n)和h(n)的相關函即y(m)

n-

則Y(ej

X*(ej

)H(ejx其DTFT為E(ejxx則E(ejx

X*(e

)X(ej)

X(ej)能量信號x(n)的自相關函數(shù)DTFT是x(n)DTFT的幅平方證明Y

j)

y(m)em

x(n)h(n

m)emn

jm交換求和順序

x(n)h(n

m) n

m DTFT時移性x(ne

H(ejnH(ej)

x(n)enX*(ej)H(ej10．巴塞伐（Parseval）定 周期信號功率：x

T-T2

dt

k-

X(k0

2dt

X

22巴塞伐（Parseval）定2

n-

x(n)

X

j)表明：信號時域總能量2n-2

2等其頻域總能量

X

j)X(ejX(ej

222證明信號能量n-

x(n)

n-

xDTFT反變換x(n)

)n-)

x(n)

X(ej)e交換求和順序

X(e

x

jn21221

n- X(ej)X*(ej

X(ej)

能量譜X(ej時域能量

2能量譜X(ej2

習題X2(ej)X2(ej)

(m)

N

2N1

其中

(ej是

(n)

|n|

2 2

0|nN1x功率信號x(n)的總功率Px0|nN1x

P(ej證明功率信號的自相關 其DTFT為

rx(m)

N2N

n

x(n)x(nr(m)e

lim

1x(n)x(n1

m) m)m

mN2N1n NN

|n|

x(n)x(n

定義x2N(n)

|n|

mn

x2

N(n自相關的

2N1N

2N1|

j)

2 N

2N1|

j)

2

存在,N

2N1X2(ej)功率信號X2(ej)

j

(m)

N

2N1

(ej即：功率信號x(n)的自相關函數(shù)rxx與其功率譜Px )是一對DTFT變換x1功率信號x(n)的總功率Px1

P(ej

能量譜

(ejx能量譜E(ejx

X(ej)能量為1

X )d

x(n)

n-X2(ejX2(ej)

(ej

(ej)

N

2N1

Nx(n)

N

n-1能量譜、功率譜始終為的實函數(shù)，失去了相位信1DTFT的奇偶虛實對稱對于實序列

n，

(e)(e

XR

e

jX

ejXe

(ej)RIX(ej)RIX(ej)X(ej)

(ejRIX(ejRIX(ejX(ej

幅頻響應

()

相頻響應Ix(n)實偶時，X(ejIRx(n)實奇時 (ej)R X(ej

x(n)cos(n)II

jx(n)XR

(ej)

x(n)n

X(ej)

x(n)nR可 (ej)R

(ej

X(ej

X(ejRIIX(ej)RII

X(ej)

jX(ejRIX(ejRI

X(ej)RR (ej)RRX*(ej

jX(ejIIjX(ejIIX2(ej)X2(ej)X2(ejRI

X(ej幅頻響應

X(ej

IIR (ejRX(ej X(ej()

arctan

RXRR

j

(ej

x(n)實偶

X(ej

x(n)sin(n)nIRIR

x(n)實奇

(ej

x(n)cos(n)n3.2.4一些典型信號的(nX(ej1所有幅頻響，相頻響(nm)

X(ej)

(nm)ejnn

ejm所有幅頻響X(ej arctan[

] XR

e

X(ej)

2k

2k),k

j證明：x(n)

2(k

2k

d

(0

d sin(0n)

j[(

2k)(

2k)],k

[(k

u(n)

2k

k1e

ke

X(ej)

2k

圓周頻率為0的離散復正弦序列以及n)33 1-1 n X(ej)

x(n)eX(ej0)

n3x(n)ej0n3

x(n)n

n

n1

x(n)

1

X(ej

2x(0)

根據(jù)Parvesal

n-

x(n)

X

X(ej)

d2|x(n)

n3.2.5信號截短對DTFT矩形窗函數(shù)d

n0,1,,N1 xN(n)

x(n)d(n自然

j

N

jn

1e1e

ejN/ej/

ejN/ej/

ejN/ej/sin(N/

ej(N1)/

sin(N/設

(ej)

gg

ej(N1)/

D(ejN

ej(N1)/

sin(N/

)n0設

(ej)

sin(N/2)sin(/2)

/N2

k

N k

543210 6420 50 0 50 g0時，D(ejgN2

k

0)時，D(ej

2kggNsin(sin(N2/sin(/0NN,

(n)

x(n),D(ej

(xN(n)

x(n)dN (ej)N

X(ej)*D(ej

X(ej)D(ej()g其中X(ejg

DTFT[d(n)]

D(ej)

ej(N1)/

D(ejN (ejN降低頻譜分辨 主瓣平頻

邊頻譜中兩個靠得很近的譜峰保持分開的能力

cos(4則X(ej

2l2l l

xN(n)

x(n)dN (ej)N

X(ej)*D(ej

X(ej)D(ej()DDg)N (ej)X(ej)*D(ejN降低頻譜分辨力

頻譜------邊 4N4N

N

2fs 2

0000 N,N

當然數(shù)據(jù)也不能太長，否則會增加運算量和量P268連續(xù)時間信號xa

x(n)a a

Xa

Xs

?

X(ejXs

j)

Xa

j)*

Xs

j)

Xa

j)*

Xak

j

jks

Tsk

TXa(Ts

s1

X(j

ksaTsk as

sTs

其頻譜的最高頻率為fc以采樣頻率fs對x(t)采樣時，設采樣信號為xs(tffs2fc頻譜分頻譜分 …

xs(t)…0…0…stP(P(sXs(2s 2ss c 2sP( s2s0 Xs(s0sX( c X( c

0 s

Xs

X( c s

c0 s2

2s fcs:奈頻fs

xs(t)

xa(t)

y(t) 頻域：Y

Xs(j)H

時域：y(t)

xs(t)*h(t)

F1T[H

j)]

Sa(st2y

h tt xa nxa

)Sa(s

2n n

f1

f2現(xiàn)以fs80Hz對這兩個信號