2023屆廣東省廣州市執(zhí)信中學高三上學期11月月考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆廣東省廣州市執(zhí)信中學高三上學期11月月考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集的定義即可得出答案.【詳解】，，所以.故選：C.2．已知是虛數(shù)單位，，則（

）A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】由已知條件，結合復數(shù)的運算可得，由模長公式可得答案．【詳解】；；故選：C【點睛】本題考查復數(shù)的模的求解，涉及復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎題．3．牛頓冷卻定律描述一個事物在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經過一定時間后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在55℃．經測量室溫為25℃，茶水降至75℃大約用時1分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待（

）（參考數(shù)據：，，）A．4分鐘 B．5分鐘 C．6分鐘 D．7分鐘【答案】C【分析】根據已知條件代入公式計算得到，再把該值代入，利用對數(shù)的運算即可求得結果.【詳解】根據題意，，即設茶水從降至大約用時t分鐘，則，即，即兩邊同時取對數(shù)：解得，所以從泡茶開始大約需要等待分鐘故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的實際應用，考查了對數(shù)的運算性質，解題的關鍵是熟練運用對數(shù)的運算公式，考查學生的審題分析能力與運算求解能力，屬于基礎題.4．已知等比數(shù)列的前5項積為32，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列性質求出，進而求出公比的取值范圍并用表示出，然后根據對勾函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由等比數(shù)列性質可知，，因為，所以，從而不妨令，則，由對勾函數(shù)性質可知，在上單調遞減，故對于，，，從而，則.故的取值范圍為.故選：D.5．將數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)隨機排成一列組成一個數(shù)列，則該數(shù)列為先減后增數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，求出這五個數(shù)隨機排成一列組成一個數(shù)列的所有可能情況，該數(shù)列為先減后增，可知1一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，結合1前面的情況，分類討論求出滿足條件的情況數(shù)，最后根據古典概型求出概率即可．【詳解】解：將數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)隨機排成一列組成一個數(shù)列，則所有可能情況有種情況，由于該數(shù)列為先減后增，則1一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，當1前面只有一個數(shù)時，有4種情況，當1前面只有2個數(shù)時，有種情況，當1前面有3個數(shù)時，有4種情況，故一共有，故數(shù)列為先減后增數(shù)列的概率．故選：B．【點睛】本題考查數(shù)學排列問題，考查分類加法計數(shù)原理、排列和組合在實際問題中的應用，以及古典概型的概率的公式，考查分類討論思想和運算能力．6．函數(shù)的一條對稱軸方程為，則（）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】試題分析：的對稱軸是化簡得【解析】三角函數(shù)性質點評：利用對稱軸處取最值求解7．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可得出和的大小，從而可得出的大小關系，將兩邊同時取對數(shù)，然后作差，從而可得出的大小關系，即可得出結論.【詳解】解：，，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因為，所以，所以，所以，即，所以，綜上所述.故選：A.【點睛】本題考查了比較大小的問題，考查了同構的思想，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，解決本題的關鍵在于構造函數(shù)，有一定的難度.8．定義在R上的函數(shù)滿足：的對稱軸為，，且在區(qū)間上單調遞增，已知是鈍角三角形中的兩銳角，則和的大小關系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能【答案】A【分析】由題意可推得函數(shù)為偶函數(shù)且2為其一個周期，由此判斷其單調性情況，結合正弦函數(shù)的單調性可得答案.【詳解】由題意知的對稱軸為，可得的對稱軸為，即有，函數(shù)為偶函數(shù)，又，即，可得，即為，即2為函數(shù)的的周期，在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞增，可得在上遞減，由是鈍角三角形中兩銳角，可得，即有，則，即為，則，故選：A.9．醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層.內層為親膚材質（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.國家質量監(jiān)督檢驗標準中，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標，根據長期生產經驗，某企業(yè)在生產線狀態(tài)正常情況下生產的醫(yī)用口罩的過濾率.若生產狀態(tài)正常，有如下命題：甲：；乙：的取值在內的概率與在內的概率相等；丙：；?。河洷硎疽惶靸瘸槿〉?0只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則.（參考數(shù)據：若，則，，；）其中假命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據可判斷甲；根據兩個區(qū)間長度相等，對稱軸落在區(qū)間可判斷乙；根據概率的對稱性可判斷丙；求出1只口罩的的過濾率大于的概率，再由二項分布的概率以及對立事件的概率即可判斷丁，進而可得正確答案.【詳解】由知，，，對于甲：由正態(tài)分布曲線可得：，故甲為真命題；對于乙：，兩個區(qū)間長度均為1個，但，由正態(tài)分布性質知，落在內的概率大于落在內的概率，故乙是假命題；對于丙：由知，丙正確；對于?。?只口罩的的過濾率大于的概率，，所以，，故丁是真命題.故選：B.二、多選題10．已知雙曲線的左、右焦點分別是，，點是雙曲線右支上的一點，且，則下列結論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．內切圓的半徑為C．D．點到軸的距離為【答案】ABD【分析】由雙曲線的標準方程求出漸近線方程即可判斷A；因為，對兩邊同時平方結合勾股定理可求得，再由代入可判斷C；由求得內切圓的半徑可判斷B；由等面積法可判斷D.【詳解】解：由雙曲線的方程，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確；因為，，，所以，，解得，故，C錯誤；內切圓的半徑為，B正確；設點到軸的距離為，由的面積為，可得，解得.故選：ABD．11．如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別為，，的中點，則（

）．A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．直線和夾角的余弦值為 D．點到平面的距離為【答案】BCD【解析】由與不垂直，所以直線與直線不垂直，可判定A不正確；取的中點，分別連接，根據面面平行的判定定理，得到平面平面，進而判定B正確；連接，把直線和所成的角即為直線和所成的角，在等邊中，可判定C正確；根據等體積法，可判定D正確.【詳解】在棱長為2的正方體中，可得，又由與不垂直，所以直線與直線不垂直，所以A不正確；取的中點，分別連接，可得，進而可得平面，平面，根據面面平行的判定定理，可得平面平面，又由平面，所以平面，所以B正確；連接，可得，所以直線和所成的角即為直線和所成的角，即，在等邊中，可得，即直線和所成的角的余弦值為，所以C正確；設點到平面的距離為，由，在直角中，，在直角中，，在中，，又在中，由余弦定理可得，則，所以的面積為，因為，可得，可得，即點到平面的距離為，所以D正確.故選：BCD12．已知函數(shù)是的導函數(shù)，下列命題正確的有（

）A．成立B．成立C．在上有兩個零點D．“”是“成立”的充要條件【答案】ABD【分析】構造函數(shù)，借助導數(shù)判斷單調性判斷A；利用導數(shù)判斷單調性判斷B；分析函數(shù)在上的單調性判斷C；利用充要條件的定義判斷D作答.【詳解】依題意，，對于A，，令，則，令，當時，，即在上遞增，當時，，因此在上遞減，，即恒成立，A正確；對于B，令，當時，，即函數(shù)在上遞增，當時，，函數(shù)在上遞增，，B正確；對于C，由選項知，函數(shù)在上遞增，當時，，無零點，當時，，即函數(shù)在上遞減，而，即函數(shù)在上有唯一零點，因此函數(shù)在有1個零點，錯誤；對于D，當時，，由選項知，不等式成立，反之，若，，令，，，由選項B知，在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，，當時，，則存在，使得，因此當時，，則在上單調遞減，當時，，不符合題意，綜上得，所以“”是“成立”的充要條件，D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，利用導數(shù)探求函數(shù)單調性、最值是解決問題的關鍵.三、填空題13．已知，則的值為___________.【答案】【分析】賦值法求，根據二項式展開式通項求，即可求.【詳解】令，由的展開式的通項為，令，得，令，得，所以，所以.故答案為：14．如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若，則______.【答案】【分析】以，為基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出結果.【詳解】設，則，由于可得，解得，所以故答案為：【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用，考查向量的加法運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.15．已知函數(shù)，若直線與曲線相切，求最大值_____________.【答案】【分析】先利用直線與曲線相切得到，所以.設，利用導數(shù)討論單調性，求出g(a)的最大值.【詳解】設直線y=x與曲線相切于點.因為，所以，所以.又因為P在切線y=x上，所以，所以，因此.設，則由，令，解得：；令，解得：；所以g(a)在上單調遞增，在上單調遞減，可知g(a)的最大值為，所以ab的最大值為.故答案為：四、雙空題16．已知拋物線的準線與軸的交點為，拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，，則________；若的中點到準線的距離為，則_________.【答案】

16

4【分析】由題可得，可設直線方程與拋物線聯(lián)立，可得，根據拋物線方程可得，，進而可得，再結合條件即得.【詳解】由題可知，設直線，代入拋物線方程可得，，則，因為，所以，又，∴，，∴，又的中點到準線的距離為，∴，即，∴，即.故答案為：16；4.五、解答題17．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求外接圓面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式將已知轉化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【詳解】（1）因為，所以，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.（2）因為，當且僅當時，等號成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.18．已知數(shù)列滿足.(1)若，證明是等差數(shù)列；(2)設，數(shù)列的前項和為，若，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題設中的遞推關系可得均為等差數(shù)列，求出它們的通項后再利用等差數(shù)列的定義可證明是等差數(shù)列；（2）利用分組求和和裂項相消法可求.【詳解】（1）因為，所以，故均為等差數(shù)列，公差均為3，故，且，故，所以，所以是等差數(shù)列.（2）由（1）可得，，當時，，當時，，而19．在四棱錐中，平面，，，，，點，在線段上，滿足，.（1）求證：；（2）若為線段上的一點，且平面，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明，再證明可得，由線面垂直的判定定理證明平面，即可求證；（2）連接交于點，連接，由可得，再由線面平行的性質定理可得，即可得，建立如圖空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，面的一個法向量，利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，，，，，，所以四邊形為矩形.因為，所以，所以，所以，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）連接交于點，連接，因為，所以，因為平面，平面，平面平面，所以，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，由（1）知平面，則為平面的一個法向量，因為，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，設平面與平面所成銳二面角為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．甲?乙?丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去，三人經過抽簽決定由甲?乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗每局比賽中：甲乙比賽甲勝概率為，乙丙比賽乙勝概率為，丙甲比賽丙勝概率為，每場比賽相互獨立且每場比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲?乙?丙各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設丙作為旁觀者的局數(shù)為隨機變量X，求的X分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為．【分析】（1）用表格列舉出4局比賽的可能對手情況，可分析出甲?乙?丙各勝1局的兩種情形，由此可計算出概率；（2）由比賽規(guī)則分析丙至少比賽2局，因此可得的可能值為1或2，計算出概率后得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】（1）用表格列出4局比賽可能的對手．1234甲乙甲丙甲乙甲丙乙丙丙乙丙甲乙甲乙丙乙甲乙丙甲丙丙甲丙乙甲乙考慮前3局，甲?乙?丙各勝1局，有兩種情形：第一局若甲勝，則第2局甲丙比賽，丙勝，第3局丙乙比賽，乙勝，第一局若乙勝，則第2局乙丙比賽，丙勝，第3局丙甲比賽，甲勝，所求概率為．（2）根據比賽規(guī)則，丙第一局作為旁觀者，第二局必須參賽，第三局如果是旁觀者，則第四局必定參與比賽，而第三局比賽時，第四局可能參與比賽了可能作為旁觀，的可能值是1或2．由（1）中表格知，，，所以的分布列為12．21．如圖，橢圓M：的兩焦點為，，A，B是左右頂點，直線l與橢圓交于異于頂點的C，D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BC斜率之積為．(1)求橢圓M的方程；(2)直線AC與直線BD交于點Q，設點P與點Q橫坐標分別為，，則是否為常數(shù)，若是，求出該常數(shù)值；若不是，