交通大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一學(xué)期期末考試試卷6及答案

2014-2015學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案PagePAGE11ofNUMPAGES11第11頁(yè)共11頁(yè)P(yáng)AGE1交通大學(xué)2015~2016學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷（A卷）一．（本題滿(mǎn)分7分）考察甲、乙兩座城市某日氣溫．設(shè)：“甲城市氣溫不低于”；“乙城市氣溫不低于”；“甲、乙兩座城市氣溫較高者不低于”；“甲、乙兩座城市氣溫較低者不低于”．已知：，，，求概率．解：由概率的加法公式，有，，而由題意，，，因此有，，所以，將上面兩式相減，并利用上面的公式，得，由此得，．二．（本題滿(mǎn)分14分）甲擲一枚硬幣，該硬幣落地時(shí)正面向上的概率為，甲看到結(jié)果后告訴乙，然而，當(dāng)甲到乙處時(shí)會(huì)有的概率忘掉結(jié)果．如果甲忘了，他告訴乙硬幣落地時(shí)正面向上與反面向上的概率相等；如果甲未忘，他會(huì)將正確結(jié)果告訴乙．求：⑴乙得知硬幣正面向上的概率是多少？（4分）⑵乙得知正確結(jié)果的概率是多少？（4分）⑶假設(shè)乙得知硬幣正面向上，那么，硬幣真的是正面向上的概率是多少？（6分）解：設(shè)“硬幣正面向上”，“甲忘記硬幣投擲結(jié)果”，“乙得知硬幣正面向上”，“乙得知硬幣投擲的正確結(jié)果”．⑴所求概率為，由全概率公式，得．⑵所求概率為，由全概率公式，得．⑶所求概率為，由條件概率的計(jì)算公式，得，而所以，．三．（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)顧客在某銀行等待服務(wù)的時(shí)間（單位：分鐘）是服從的指數(shù)分布．某顧客在窗口等待服務(wù)，若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，他便離開(kāi)．⑴求某次該顧客因等待時(shí)間超過(guò)10分鐘而離開(kāi)的概率（4分）．⑵若在某月中，該顧客來(lái)到該銀行7次，但有3次顧客的等待時(shí)間都超過(guò)10分鐘，該顧客是否有理由推斷該銀行的服務(wù)十分繁忙（6分）．解：由于隨機(jī)變量服從的指數(shù)分布，所以的概率密度函數(shù)為．⑴⑵設(shè)表示該顧客在一個(gè)月內(nèi)等待時(shí)間超過(guò)10分鐘的次數(shù)，則．所以，．這表明，隨機(jī)事件是一個(gè)小概率事件，由于小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，現(xiàn)在發(fā)生了．因此該顧客有理由推斷該銀行的服務(wù)十分繁忙．四．（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，而，試求隨機(jī)變量的密度函數(shù)．解：由隨機(jī)變量在區(qū)間上取值，可知隨機(jī)變量在區(qū)間上取值．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則有①.如果，則有；②.如果，則有③.如果，則有即所以，即五．（本題滿(mǎn)分8分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，，．求數(shù)學(xué)期望．解：因?yàn)殡S機(jī)變量與相互獨(dú)立，而且都服從正態(tài)分布，因此隨機(jī)變量也服從正態(tài)分布．而，．所以，隨機(jī)變量．．六．（本題滿(mǎn)分15分）設(shè)平面區(qū)域由直線(xiàn)，，，所圍，二維隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布．求：⑴二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)（4分）；⑵隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)（6分）；⑶求條件密度函數(shù)（5分）．解：⑴區(qū)域的面積為，所以，而為隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為．⑵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，所以，隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)為．⑶當(dāng)時(shí)，，此時(shí)條件密度函數(shù)為．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)條件密度函數(shù)為．七．（本題滿(mǎn)分8分）將一顆均勻的骰子獨(dú)立地?cái)S次．令表示點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)，表示點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)，求及相關(guān)系數(shù)．（提示：設(shè)，，．）解：設(shè)，；，．則，．所以，，．由于，故下面計(jì)算．因?yàn)椋⑶乙驗(yàn)榕c都取值或者，且在第次拋擲骰子時(shí)，不可能既出現(xiàn)點(diǎn)，又出現(xiàn)點(diǎn)，故，再由于當(dāng)時(shí)，與相互獨(dú)立，因此有所以，．所以，．．八．（本題滿(mǎn)分8分）一報(bào)刊亭出售4種報(bào)紙，它們的價(jià)格分別為（元），而且每份報(bào)紙售出的概率分別為．若某天售出報(bào)紙400份，試用中心極限定理計(jì)算該天收入至少450元的概率．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的值：解：設(shè)：該天售出第份報(bào)紙的收入．則的分布律為，，所以，令表示該天的總收入，則有．由獨(dú)立同分布場(chǎng)合下的大數(shù)定律，有．九．（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)總體等可能地取值，從中抽取一個(gè)樣本量為的樣本，求順序統(tǒng)計(jì)量的分布律．解：的取值為，而且，，因此有，，，，．十．（本題滿(mǎn)分12分）設(shè)總體，其中是已知參數(shù)，是未知參數(shù)．是從該總體中抽取的一個(gè)樣本，⑴求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量（6分）；⑵判斷是否為未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)（6分）．解：