大數(shù)定律和中心極限定理資料課件

第四章大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律從理論上解決：中心極限定理闡述：獨(dú)立隨機(jī)變量之和以正態(tài)分布為極限分布，即用正態(tài)分布作近似計(jì)算。用樣本均值近似代替理論均值問(wèn)題：用頻率近似代替概率問(wèn)題：第四章定義4.1

若存在常數(shù)a，使對(duì)任給常數(shù),有則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于a

。切比雪夫(Chebyshev)不等式

設(shè)的期望E和方差D存在，則對(duì)任給常數(shù)，有或當(dāng)n充分大時(shí)，幾乎所有的都落在a的鄰域內(nèi)。只要期望和方差存在，可用上式估計(jì)上述事件的概率。定義4.1若存在常數(shù)a，使對(duì)任給常數(shù)證（對(duì)連續(xù)型）設(shè)~則證（對(duì)連續(xù)型）設(shè)~則補(bǔ)例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7。各電燈開、關(guān)相互獨(dú)立。估計(jì)：同時(shí)開著的燈的數(shù)量在6800至7200之間的概率。解設(shè)表示同時(shí)開著的燈的數(shù)量，則~補(bǔ)例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈例設(shè)是擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定=1，計(jì)算并驗(yàn)證切比雪夫不等式例設(shè)是擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定=1，計(jì)算補(bǔ)例:設(shè)~e(),用切比雪夫不等式估計(jì)1/12C補(bǔ)例:設(shè)~e(),用切比雪夫不等式估計(jì)1/12C定理4.1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立，證前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均由切比雪夫不等式定理4.1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)推論（伯努利大數(shù)定律）設(shè)為n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)任給常數(shù)有即事件A的頻率依概率收斂于A的概率。這是用頻率近似代替概率的理論依據(jù)。證設(shè)則由定理4.1得證。推論（伯努利大數(shù)定律）設(shè)為n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的定理4.2（辛欽Khinchine大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立且同分布，即獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的算術(shù)平均依概率收斂于理論均值。由定理4.1定理4.2（辛欽Khinchine大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立且同分§4.2中心極限定理定理4.3（林德伯格－列維Lindberg-Levy定理）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，則對(duì)任何實(shí)數(shù)

x，有當(dāng)n充分大時(shí)，（近似）~§4.2中心極限定理定理4.3（林德伯格－列維Lin注意：不必知道的確切分布，只要求獨(dú)立、同分布。條件還隱含了每個(gè)對(duì)總和的影響不大。定理的實(shí)際意義：…注意：不必知道的確切分布，只要求獨(dú)立、同分布。條件補(bǔ)例（P.113A.3）設(shè)一袋味精的重量是隨機(jī)變量，平均值100克，標(biāo)準(zhǔn)差2克。求100袋味精的重量超過(guò)10.05公斤的概率。解設(shè)表示第袋味精的重量，可以認(rèn)為是獨(dú)立同分布的，又設(shè)表示100袋味精的重量，所求概率為：分布未知由中心極限定理,補(bǔ)例（P.113A.3）設(shè)一袋味精的重量是隨機(jī)變量，平均值1若將1500個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率.例1：計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，每個(gè)加數(shù)取整數(shù)。設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的,且都在[-0.5,0.5]上服從均勻分布.若將1500個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率.例1相互獨(dú)立,制造1200個(gè)零件,問(wèn)總重量大于1202kg的概率是多少？補(bǔ)例：用一機(jī)床制造大小相同的零件,由于隨機(jī)誤差，每個(gè)零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均勻分布.設(shè)每個(gè)零件重量相互獨(dú)立,制造1200個(gè)零件,問(wèn)總重量大于1202kg的概率定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）設(shè)~則對(duì)任何實(shí)數(shù)

x，有~連續(xù)型離散型當(dāng)n充分大時(shí),定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）設(shè)~則對(duì)任何實(shí)數(shù)下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7。各電燈開、關(guān)相互獨(dú)立。求同時(shí)開著的燈的數(shù)量在6800至7200之間的概率。例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開例2（P.111）某廠有同型號(hào)機(jī)器100臺(tái)，獨(dú)立工作，(1):在一段時(shí)間內(nèi)正常工作的概率為0.8。求正常工作的機(jī)器超過(guò)85臺(tái)的概率。解設(shè)為100臺(tái)中正常工作的臺(tái)數(shù)，則~B(100,0.8),由定理4.4得例2（P.111）某廠有同型號(hào)機(jī)器100臺(tái)，獨(dú)立工作，(1)機(jī)器正常工作的概率應(yīng)該提高到多少？(2)若該廠至少要85臺(tái)機(jī)器正常工作才不影響生產(chǎn)，欲使不影響生產(chǎn)的概率不低于95%，問(wèn)每臺(tái)解設(shè)為正常工作的臺(tái)數(shù)，則~B(100,p).機(jī)器正常工作的概率應(yīng)該提高到多少？(2)若該廠至少要85臺(tái)身高在160cm~180cm之間的概率是多少？補(bǔ)例設(shè)某地成年男子身高X~N(170，102)(單位：cm)，隨機(jī)抽取100名該地男子測(cè)量身高。問(wèn)其中至少有70人解:設(shè)身高在160cm～180cm之間用事件A表示,則設(shè)Y表示身高在160cm～180cm之間的人數(shù)，則np=68.26,npq=21.67.因而近似有Y～N(68.26,21.67),Y～B(100,0.6826),身高在160cm~180cm之間的概率是多少？補(bǔ)例設(shè)某注：~?可用正態(tài)分布近似；?當(dāng)p很小，np不太大時(shí)，可用泊松分布近似。當(dāng)n充分大時(shí)，~~~注：~?可用正態(tài)分布近似；?當(dāng)p很小，np不太大時(shí)，P.111解設(shè)每輛車裝n箱，重量為，第箱的重量為P.111解設(shè)每輛車裝n箱，重量為，第箱的重由中心極限定理，~N(50n,25n)查表得解得n<98.0199，即最多裝98箱。由中心極限定理，~N(50n,25n)查表得解得設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,補(bǔ)例~某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司虧本的概率設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中證補(bǔ)例證補(bǔ)例根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，例2（綜）設(shè)一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為10%.(1)解設(shè)為500件中的一級(jí)品數(shù)，則~B(500,0.1),由中心極限定理得(1)現(xiàn)從中任取500件,分別用切比雪夫不等式估計(jì)和中心極限定理計(jì)算:這500件中一級(jí)品比例與10%之差的絕對(duì)值小于2%的概率;由切比雪夫不等式例2（綜）設(shè)一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為10%.(1)解設(shè)(2)解:設(shè)至少應(yīng)取n件,為n件中的一級(jí)品數(shù),則~B(n,0.1

).(2)至少應(yīng)取多少件才能使一級(jí)品的比例與10%之差的絕對(duì)值小于2%的把握大于95%？(2)解:設(shè)至少應(yīng)取n件,為n件中的一級(jí)品數(shù),則(2)求有1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解練習(xí)對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言,來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立,且服從同一分布.(1)求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過(guò)450的概率;(2)求有1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，由德莫佛－拉普拉斯定理知,由德莫佛－拉普拉斯定理知,李雅普諾夫資料AleksandrMikhailovichLyapunovBorn:6Jun.1857inYaroslavl,Russia

Died:3Nov.1918inOdessa,Russia李雅普諾夫資料AleksandrMikhailovich德莫佛資料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England德莫佛資料AbrahamdeMoivreBorn:2拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5Mar.1827inParis,France拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplace作業(yè)P113-114

3,4,5,6,7,8,9作業(yè)P113-114

3,4,5,6,7,第四章大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律從理論上解決：中心極限定理闡述：獨(dú)立隨機(jī)變量之和以正態(tài)分布為極限分布，即用正態(tài)分布作近似計(jì)算。用樣本均值近似代替理論均值問(wèn)題：用頻率近似代替概率問(wèn)題：第四章定義4.1

若存在常數(shù)a，使對(duì)任給常數(shù),有則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于a

。切比雪夫(Chebyshev)不等式

設(shè)的期望E和方差D存在，則對(duì)任給常數(shù)，有或當(dāng)n充分大時(shí)，幾乎所有的都落在a的鄰域內(nèi)。只要期望和方差存在，可用上式估計(jì)上述事件的概率。定義4.1若存在常數(shù)a，使對(duì)任給常數(shù)證（對(duì)連續(xù)型）設(shè)~則證（對(duì)連續(xù)型）設(shè)~則補(bǔ)例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7。各電燈開、關(guān)相互獨(dú)立。估計(jì)：同時(shí)開著的燈的數(shù)量在6800至7200之間的概率。解設(shè)表示同時(shí)開著的燈的數(shù)量，則~補(bǔ)例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈例設(shè)是擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定=1，計(jì)算并驗(yàn)證切比雪夫不等式例設(shè)是擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定=1，計(jì)算補(bǔ)例:設(shè)~e(),用切比雪夫不等式估計(jì)1/12C補(bǔ)例:設(shè)~e(),用切比雪夫不等式估計(jì)1/12C定理4.1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立，證前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均由切比雪夫不等式定理4.1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)推論（伯努利大數(shù)定律）設(shè)為n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)任給常數(shù)有即事件A的頻率依概率收斂于A的概率。這是用頻率近似代替概率的理論依據(jù)。證設(shè)則由定理4.1得證。推論（伯努利大數(shù)定律）設(shè)為n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的定理4.2（辛欽Khinchine大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立且同分布，即獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的算術(shù)平均依概率收斂于理論均值。由定理4.1定理4.2（辛欽Khinchine大數(shù)定律）設(shè)相互獨(dú)立且同分§4.2中心極限定理定理4.3（林德伯格－列維Lindberg-Levy定理）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，則對(duì)任何實(shí)數(shù)

x，有當(dāng)n充分大時(shí)，（近似）~§4.2中心極限定理定理4.3（林德伯格－列維Lin注意：不必知道的確切分布，只要求獨(dú)立、同分布。條件還隱含了每個(gè)對(duì)總和的影響不大。定理的實(shí)際意義：…注意：不必知道的確切分布，只要求獨(dú)立、同分布。條件補(bǔ)例（P.113A.3）設(shè)一袋味精的重量是隨機(jī)變量，平均值100克，標(biāo)準(zhǔn)差2克。求100袋味精的重量超過(guò)10.05公斤的概率。解設(shè)表示第袋味精的重量，可以認(rèn)為是獨(dú)立同分布的，又設(shè)表示100袋味精的重量，所求概率為：分布未知由中心極限定理,補(bǔ)例（P.113A.3）設(shè)一袋味精的重量是隨機(jī)變量，平均值1若將1500個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率.例1：計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，每個(gè)加數(shù)取整數(shù)。設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的,且都在[-0.5,0.5]上服從均勻分布.若將1500個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率.例1相互獨(dú)立,制造1200個(gè)零件,問(wèn)總重量大于1202kg的概率是多少？補(bǔ)例：用一機(jī)床制造大小相同的零件,由于隨機(jī)誤差，每個(gè)零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均勻分布.設(shè)每個(gè)零件重量相互獨(dú)立,制造1200個(gè)零件,問(wèn)總重量大于1202kg的概率定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）設(shè)~則對(duì)任何實(shí)數(shù)

x，有~連續(xù)型離散型當(dāng)n充分大時(shí),定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）設(shè)~則對(duì)任何實(shí)數(shù)下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7。各電燈開、關(guān)相互獨(dú)立。求同時(shí)開著的燈的數(shù)量在6800至7200之間的概率。例（P.113A.2)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開例2（P.111）某廠有同型號(hào)機(jī)器100臺(tái)，獨(dú)立工作，(1):在一段時(shí)間內(nèi)正常工作的概率為0.8。求正常工作的機(jī)器超過(guò)85臺(tái)的概率。解設(shè)為100臺(tái)中正常工作的臺(tái)數(shù)，則~B(100,0.8),由定理4.4得例2（P.111）某廠有同型號(hào)機(jī)器100臺(tái)，獨(dú)立工作，(1)機(jī)器正常工作的概率應(yīng)該提高到多少？(2)若該廠至少要85臺(tái)機(jī)器正常工作才不影響生產(chǎn)，欲使不影響生產(chǎn)的概率不低于95%，問(wèn)每臺(tái)解設(shè)為正常工作的臺(tái)數(shù)，則~B(100,p).機(jī)器正常工作的概率應(yīng)該提高到多少？(2)若該廠至少要85臺(tái)身高在160cm~180cm之間的概率是多少？補(bǔ)例設(shè)某地成年男子身高X~N(170，102)(單位：cm)，隨機(jī)抽取100名該地男子測(cè)量身高。問(wèn)其中至少有70人解:設(shè)身高在160cm～180cm之間用事件A表示,則設(shè)Y表示身高在160cm～180cm之間的人數(shù)，則np=68.26,npq=21.67.因而近似有Y～N(68.26,21.67),Y～B(100,0.6826),身高在160cm~180cm之間的概率是多少？補(bǔ)例設(shè)某注：~?可用正態(tài)分布近似；?當(dāng)p很小，np不太大時(shí)，可用泊松分布近似。當(dāng)n充分大時(shí)，~~~注：~?可用正態(tài)分布近似；?當(dāng)p很小，np不太大時(shí)，P.111解設(shè)每輛車裝n箱，重量為，第箱的重量為P.111解設(shè)每輛車裝n箱，重量為，第箱的重由中心極限定理，~N(50n,25n)查表得解得n<98.0199，即最多裝98箱。由中心極限定理，~N(50n,25n)查表得解得設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,補(bǔ)例~某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司虧本的概率設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中證補(bǔ)例證補(bǔ)例根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，例2（綜）設(shè)一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為10%.(1)解設(shè)為500件中的一級(jí)品數(shù)，則~B(500,0.1),由中心極限定理得(1)現(xiàn)從中任取500件,分別用切比雪夫不等式估計(jì)和中心極限定理計(jì)算:這500件中一級(jí)品比例與10%之差的絕對(duì)值小于2%的概率;由切比雪夫不等式例2（綜）設(shè)一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為10%.(1)解設(shè)(2)解:設(shè)至少應(yīng)取n件,為n件中的一級(jí)品數(shù),則~B(n,0.1

).(2)至少應(yīng)取多少件才能使一級(jí)品的