平面與平面垂直的性質(zhì)定理(典型)課件

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)（１）利用定義（２）利用判定定理［線面垂直面面垂直］AB線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直的判定

［作出二面角的平面角，證明平面角是直角］（１）利用定義（２）利用判定定理AB線面垂直面面垂直線線αβEF思考1

如圖，長方體中，α⊥β,(1)α里的直線都和β垂直嗎？(2)什么情況下α里的直線和β垂直？與AD垂直不一定αβEF思考1如圖，長方體中，α⊥β,(2)什么情況下α思考2

垂足為B，那么直線AB與平面β的位置關系如何？αβABDCE垂直思考2αβABDC∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,且BECD=B垂足為B.∴AB⊥則∠ABE就是二面角的平面角.證明:在平面內(nèi)作BE⊥CD,αβABDCE∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,垂足為B平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．面面垂直線面垂直平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB兩個平面垂直，則思考3

設平面⊥平面，點P在平面內(nèi)，過點P作平面的垂線a，直線a與平面具有什么位置關系?aβαP直線a在平面內(nèi)思考3設平面⊥平面，點P在平面內(nèi)，過點P作αβAbal分析：尋找平面α內(nèi)與a平行的直線.αβAbal分析：尋找平面α內(nèi)與a平行的直線.解：在α內(nèi)作垂直于交線的直線b，

∵∴∵∴a∥b.

又∵∴a∥α.

即直線a與平面α平行.結論：垂直于同一平面的直線和平面平行（）.αβAbal解：在α內(nèi)作垂直于交線的直線b，結論：垂直于同一平αβAbalB垂直αβAbalB垂直abαβlγmnabαβlγmn如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面.結論αβγl如圖：如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直兩個平面垂直應用舉例例1

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點，直線DE與平面VBC有什么關系？試說明理由．平面VAC⊥平面VBC及DE⊥VC．AC垂直于平面VBC及DE∥AC.兩個平面垂直應用舉例例1

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙例2．S為三角形ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.SCBAD證明：過A點作AD⊥SB于D點.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.例2．S為三角形ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面練習：1.如圖，以正方形ABCD的對角線AC為折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的兩個面，求BD與平面ABC所成的角。ABCDDABCOO折成練習：1.如圖，以正方形ABCD的對角線AC為折痕，使△AD2.如圖，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，（1）求證：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝，求EC與平面ABCD所成的角。2.如圖，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等邊三角形，(2012·北京模擬)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點.(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：平面BDE⊥平面BEC.(2012·北京模擬)如圖，正方形ADEF與梯形AB【證明】(1)取DE中點N，連接MN，AN.在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=CD.由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB,且MN=AB,所以四邊形ABMN為平行四邊形.所以BM∥AN.又因為AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.【證明】(1)取DE中點N，連接MN，AN.(2)因為四邊形ADEF為正方形，所以ED⊥AD，又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD.又因為ED平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.(2)因為四邊形ADEF為正方形，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=，在△BCD中，BD=BC=，CD=4，所以BC⊥BD，BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE，又因為BC平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC.在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)（１）利用定義（２）利用判定定理［線面垂直面面垂直］AB線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直的判定

［作出二面角的平面角，證明平面角是直角］（１）利用定義（２）利用判定定理AB線面垂直面面垂直線線αβEF思考1

如圖，長方體中，α⊥β,(1)α里的直線都和β垂直嗎？(2)什么情況下α里的直線和β垂直？與AD垂直不一定αβEF思考1如圖，長方體中，α⊥β,(2)什么情況下α思考2

垂足為B，那么直線AB與平面β的位置關系如何？αβABDCE垂直思考2αβABDC∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,且BECD=B垂足為B.∴AB⊥則∠ABE就是二面角的平面角.證明:在平面內(nèi)作BE⊥CD,αβABDCE∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,垂足為B平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．面面垂直線面垂直平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB兩個平面垂直，則思考3

設平面⊥平面，點P在平面內(nèi)，過點P作平面的垂線a，直線a與平面具有什么位置關系?aβαP直線a在平面內(nèi)思考3設平面⊥平面，點P在平面內(nèi)，過點P作αβAbal分析：尋找平面α內(nèi)與a平行的直線.αβAbal分析：尋找平面α內(nèi)與a平行的直線.解：在α內(nèi)作垂直于交線的直線b，

∵∴∵∴a∥b.

又∵∴a∥α.

即直線a與平面α平行.結論：垂直于同一平面的直線和平面平行（）.αβAbal解：在α內(nèi)作垂直于交線的直線b，結論：垂直于同一平αβAbalB垂直αβAbalB垂直abαβlγmnabαβlγmn如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面.結論αβγl如圖：如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直兩個平面垂直應用舉例例1

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點，直線DE與平面VBC有什么關系？試說明理由．平面VAC⊥平面VBC及DE⊥VC．AC垂直于平面VBC及DE∥AC.兩個平面垂直應用舉例例1

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙例2．S為三角形ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.SCBAD證明：過A點作AD⊥SB于D點.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.例2．S為三角形ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面練習：1.如圖，以正方形ABCD的對角線AC為折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的兩個面，求BD與平面ABC所成的角。ABCDDABCOO折成練習：1.如圖，以正方形ABCD的對角線AC為折痕，使△AD2.如圖，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，（1）求證：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝，求EC與平面ABCD所成的角。2.如圖，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等邊三角形，(2012·北京模擬)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點.(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：平面BDE⊥平面BEC.(2012·北京模擬)如圖，正方形ADEF與梯形AB【證明】(1)取DE中點N，連接MN，AN.在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=CD.由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB,且MN=AB,所以四邊形ABMN為平行四邊形.所以BM∥AN.又因為AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.【證明】(1)取DE中點N，連接MN，AN.(2)因為四邊形ADEF為正方形，所以ED⊥AD，又因為平面ADEF⊥