第五章根軌跡設(shè)計(jì)方法-控制工程基礎(chǔ)課件

主要內(nèi)容第一節(jié)根軌跡的基本概念第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件第三節(jié)繪制根軌跡的基本規(guī)則第四節(jié)廣義根軌跡第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能1主要內(nèi)容第一節(jié)根軌跡的基本概念1

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)極點(diǎn)全部具有負(fù)的實(shí)部。閉環(huán)極點(diǎn)決定了閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征。因此，在分析和處理閉環(huán)系統(tǒng)問題時(shí)，確定閉環(huán)極點(diǎn)在[s]平面上的位置是十分重要的。而且在設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，也往往通過調(diào)整開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，使閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)位于[s]平面上所希望的區(qū)域。根軌跡設(shè)計(jì)方法是基于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系建立的一種圖解方法，是經(jīng)典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)極點(diǎn)全部具有負(fù)的實(shí)部。閉環(huán)第一節(jié)根軌跡的基本概念根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根(即閉環(huán)極點(diǎn))隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時(shí)在[s]平面上的變化軌跡。一﹑根軌跡(圖)開環(huán)極點(diǎn)沒有零點(diǎn)。式中為開環(huán)增益。為了說明根軌跡的基本概念，以圖5-1-1所示系統(tǒng)為例，分析系統(tǒng)參數(shù)K由零到正無窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在[s]平面上變化的情況。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(5-1-1)圖5-1-1控制系統(tǒng)方框圖3第一節(jié)根軌跡的基本概念根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是當(dāng)時(shí),圖5-1-1控制系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)開環(huán)增益K和系統(tǒng)閉環(huán)特征根的關(guān)系:當(dāng)K＝0時(shí)，當(dāng)K＝0.25時(shí)，當(dāng)K＝0.5時(shí)，當(dāng)K＝1時(shí)，4系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是當(dāng)當(dāng)變化時(shí)，則K由變化時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在[s]平面上移動(dòng)的軌跡如圖5-1-2。圖5-1-2圖5-1-1的根軌跡5當(dāng)變化時(shí)，則K由變化時(shí)，閉環(huán)特征方當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在[S]平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能。值的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。

1948年伊萬斯（W·R·EVANS）解決了這個(gè)問題，提出了根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可會(huì)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。6當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件一﹑閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系

(5-2-1)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-2-2)圖5-2-1控制系統(tǒng)方框圖開環(huán)傳遞函數(shù)為一般情況下，前向通道的傳遞函數(shù)G(s)可表示成

B(s)7第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件一﹑閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)(5-2-3)前向通路增益前向通路根軌跡增益(5-2-4)式中，

反饋通路傳遞函數(shù)H(s)可分別表示(5-2-5)反饋通路增益反饋通路根軌跡增益(5-2-6)式中，

8(5-2-3)前向通路增益前向通路根軌跡增益(5-2-4)式前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)。前向通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)。反饋通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)。反饋通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)。(5-2-7)開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。9前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)。前向通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)。反饋通路傳遞函數(shù)⑵閉環(huán)零點(diǎn)由前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)所組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。結(jié)論：⑴閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益；⑶閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。(5-2-8)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下10⑵閉環(huán)零點(diǎn)由前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)極根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。11根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌二、根軌跡方程-相角條件、幅值條件閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

(5-2-9)

繪制根軌跡的實(shí)質(zhì)就是尋求閉環(huán)特征方程在參數(shù)發(fā)生變化時(shí)的根

。

因此滿足方程式

(5-2-10)或

(5-2-11)的s值，都必定是根軌跡上的點(diǎn)，稱式（5-2-11）為根軌跡方程(Root-LocusEquation)。12二、根軌跡方程-相角條件、幅值條件閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：由于為復(fù)數(shù)，根軌跡方程，根據(jù)等式兩邊的相角和幅值分別相等的條件，可將式（5-2-11）分解為下面兩個(gè)方程。

向量-1的幅值相角形式為

相角條件(AngleCondition)

(5-2-12)或

(5-2-13)13由于為復(fù)數(shù)，根軌幅值條件(MagnitudeCondition)

(5-2-14)即

(5-2-15)因此，滿足幅值條件和相角條件的s值，就是特征方程的根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。14幅值條件(MagnitudeCondition)(5-2滿足相角條件的s值代入幅值條件方程式中，總可以求得一個(gè)對(duì)應(yīng)的。也就是說，s值滿足相角條件方程，則必定也同時(shí)滿足幅值條件方程。所以，相角條件方程是決定閉環(huán)特征根的充要條件。也就是說要畫出系統(tǒng)的根軌跡，只要在[s]平面上找到滿足相角條件的點(diǎn)就可以了。

由根軌跡方程可以看出：15也就是說，s值滿足相角條件方程，則必定也同時(shí)滿足幅值圖5-2-2系統(tǒng)的根軌跡圖

圖5-2-2系統(tǒng)解：為開環(huán)極點(diǎn)

幅值條件

相角條件

即(極點(diǎn)－3到

可構(gòu)成的向量與實(shí)軸成。例5-1

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制其根軌跡。

16圖5-2-2系統(tǒng)的根軌跡圖圖5-2-2系統(tǒng)解：為開環(huán)例5-2

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制其根軌跡。解：為開環(huán)極點(diǎn)

為開環(huán)零點(diǎn)

幅值條件相角條件

閉環(huán)極點(diǎn)到-6的夾角與到-4的夾角差為-4-60

圖5-2-3例5-2的根軌跡圖17例5-2單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例5-3

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，如何應(yīng)用根軌跡方程在[s]平面上找到閉環(huán)極點(diǎn)。

解：系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)

幅值條件或

相角條件

如圖5-2-4所示，假設(shè)s1,s2分別為系統(tǒng)根軌跡上的點(diǎn)，根據(jù)相角條件，有

18例5-3單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為故橫軸上(0,-0.5)區(qū)間為系統(tǒng)根軌跡，過點(diǎn)(-0.25，j0)且與橫軸垂直的直線為系統(tǒng)的根軌跡。如圖5-2-4所示。圖5-2-4系統(tǒng)的根軌跡19故橫軸上(0,-0.5)區(qū)間為系統(tǒng)根軌跡，過點(diǎn)從上述幾個(gè)圖可以看出：

(1)根據(jù)幅值條件和相角條件，可以繪制出系統(tǒng)的根軌跡；(2)當(dāng)k值取定后，根軌跡圖給出了一組閉環(huán)極點(diǎn)的分布；

(3)根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的情況，可大致知道系統(tǒng)的性能。

20從上述幾個(gè)圖可以看出：(1)根據(jù)幅值條件和相角條件，可以繪第三節(jié)繪制根軌跡的規(guī)則通常把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為普通根軌跡或一般根軌跡。。下面討論繪制普通根軌跡的基本規(guī)則，這些基本規(guī)則同樣適用于其他參數(shù)可變的情況

。規(guī)則一根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性、對(duì)稱性規(guī)則二根軌跡的始點(diǎn)和終點(diǎn)規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡規(guī)則四根軌跡的漸近線規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)規(guī)則六根軌跡的起始角與終止角（出射角或入射角）

規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值21第三節(jié)繪制根軌跡的規(guī)則通常把以開環(huán)根軌跡增規(guī)則一根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性分支數(shù)：即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在[s]平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。其階次為故分支數(shù)為連續(xù)性：系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實(shí)變量）與復(fù)變量[s]有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)由零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量[s]在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是連續(xù)的曲線。對(duì)稱性：由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，如果它的特征方程有復(fù)數(shù)根的話，一定是對(duì)稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸的。系統(tǒng)的特征方程式22規(guī)則一根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性分支數(shù)：即根根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線。結(jié)論：23根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連規(guī)則二根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)(5-3-3)(5-3-4)即：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。所以根軌跡方程(5-3-2)

時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)等于開環(huán)極點(diǎn)。終點(diǎn)(5-3-5)24規(guī)則二根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)(5-3-3)(5-3-4)所以即：根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。2．當(dāng)m<n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限零點(diǎn))。3．當(dāng)m>n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限極點(diǎn))。25所以即：根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于[s]平面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點(diǎn))，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于[s]平面的無窮遠(yuǎn)處(無限極點(diǎn))。結(jié)論：26根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。規(guī)則三

實(shí)軸上的根軌跡即：實(shí)軸上的根軌跡，其右邊開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和

為奇數(shù)。

由相角條件

(5-3-6)可知，開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)到某條根軌跡上的某一點(diǎn)的夾角為的奇數(shù)倍。

27若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇為確定實(shí)軸上的根軌跡，選擇s0作為試驗(yàn)點(diǎn)。圖5-3-1中，開環(huán)極點(diǎn)到s0的向量的相角為開環(huán)零點(diǎn)到s0的向量的相角為

共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

和

到s0的向量的相角和為共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)

和到s0的向量的相角和為。因此，當(dāng)我們?cè)诖_定實(shí)軸上的某點(diǎn)是否在根軌跡上時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。圖5-3-1實(shí)軸上的根軌跡28為確定實(shí)軸上的根軌跡，選擇s0作為試驗(yàn)點(diǎn)。圖5-3-下面分析位于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。實(shí)軸上，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)到s0的向量的相角為0，而s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)到s0的向量的相角均為。若s0為根軌跡上的點(diǎn)，則必須滿足相角條件，即由以上分析可知，只有s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才能滿足相角條件。所以，在圖5-3-1中，實(shí)軸上的根軌跡為和兩段。

29下面分析位于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。實(shí)軸規(guī)則四根軌跡的漸近線漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于[s]平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置為,與實(shí)軸正方向的交角為(5-3-7)

(5-3-8)取不同值時(shí),有個(gè)

,故漸近線有條，事實(shí)上有個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。30規(guī)則四根軌跡的漸近線漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)兩條或兩條以上根軌跡分支在[s]平面上相遇又立即分開的點(diǎn),稱為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d

(5-3-9)或開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值。開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。(5-3-10)分離角為進(jìn)入分離點(diǎn)的分支數(shù)。必須指出，規(guī)則五中用來確定分離點(diǎn)的條件只是必要條件，而不是充分條件。

31規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)兩條或兩條以上根軌跡一般情況下(1)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰極點(diǎn)間的根軌跡必有一分離點(diǎn)；

(2)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的根軌跡必有一會(huì)合點(diǎn)；(3)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰的零極點(diǎn)間若存在根軌跡，則該段根軌跡上一般無會(huì)合點(diǎn)；(4)實(shí)軸上，分離點(diǎn)的分離角恒為。

32一般情況下(1)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰極點(diǎn)間的根軌跡必有一⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。圖5-3-2-a根軌跡的起始角規(guī)則六起始角與終止角

33⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。（2）終止角圖5-3-2-b根軌跡的終止角

34根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。（例5-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且和為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，和分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們?cè)赱s]平面上的分布如圖4-2-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和的起始角和。35例5-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且和為對(duì)于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得由于A點(diǎn)無限靠近點(diǎn),解：圖5-3-3起始角的求取

[s]swj1z1p2p3p)(31pp-D)(21pp-D)(11zp-D01pqA36對(duì)于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得由于A點(diǎn)無限靠推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)系式為37推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。此時(shí)對(duì)應(yīng)的增益為臨界增益。令得即具體做法：實(shí)部方程虛部方程使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。的物理含義：38規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值根軌跡例5-5已知一負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。即

解：(1)用勞斯判據(jù)計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為由上式列勞斯表當(dāng)時(shí)，表中行元素全為零。按行的元素組成下列的輔助方程式：39例5-5已知一負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)根軌跡由于，因而該方程式的處，對(duì)應(yīng)的

值為260。

(2)用

直接代入方程求解這時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)

由有又由解臨界增益值

和與虛軸的交點(diǎn)

聯(lián)立解上述方程式，得

40由于，因而該方程式的處，對(duì)應(yīng)的值為260。(2)用以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，繪制一幅完整的根軌跡圖尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法。⑴根軌跡的起點(diǎn)(開環(huán)極點(diǎn))用符號(hào)“”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn))用符號(hào)“”標(biāo)示。⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑶要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的值，其中直接標(biāo)出的有起點(diǎn)(或)，終點(diǎn)()；根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)即實(shí)軸上的分離點(diǎn)()；與虛軸的交點(diǎn)()。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析和綜合。41以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)例5-6

已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其根軌跡。

解：規(guī)則一分支數(shù)為3規(guī)則二起點(diǎn)為0，-2，-3；終點(diǎn)為-1，無窮遠(yuǎn)。規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡[-1，0]和[-3，-2]。規(guī)則四漸進(jìn)線

規(guī)則五分離點(diǎn)在[-3，-2]內(nèi)?；蛞?yàn)?20-1-3圖5-3-4根軌跡圖解得(分離點(diǎn))

(舍去)

42例5-6已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其根軌例5-7

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。解：規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則四規(guī)則五分離點(diǎn)圖5-3-5例5-7的根軌跡圖規(guī)則六無起始角和終止角規(guī)則七43例5-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為規(guī)則七令得虛部實(shí)部44規(guī)則七令得虛部實(shí)部44例5-8

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該

系統(tǒng)完整的根軌跡圖。規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則四規(guī)則五規(guī)則六實(shí)軸上由-2至-∞的線段為實(shí)軸上的根軌跡45例5-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s0-1-2-3-4[s]1-1圖5-3-6例5-8的根軌跡圖46s0-1-2-3-4[s]1-1圖5-3-6例5-8的根結(jié)論由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓(當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí))或圓的一部分(當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí))。47結(jié)論由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開47例5-9

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

利用MATLAB繪制的系統(tǒng)的根軌跡。圖5-3-7例5-9的根軌跡圖symssnum=1;den=sym2poly(expand(s*(s+4)*(s^2+4*s+20)));rlocus(num,den)48例5-9閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為利用MATLAB繪制的系統(tǒng)的練習(xí)

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。49練習(xí)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s[s])(3￥=rKP)(4￥=rKP)0(2=rKP)0(1=rKP°-90￥?rK￥?rKrK?￥rK?￥-20-1-0.2351a2a)5(1=rcKj圖（a）

根軌跡圖50s[s])(3￥=rKP)(4￥=rKP)0(2=rKP)0第四節(jié)廣義根軌跡以上所述的根軌跡都是以開環(huán)增益作為可變參量，這在實(shí)際系統(tǒng)中是最常見的。但在實(shí)際中還有許多種類的根軌跡，它們是：(1)參數(shù)根軌跡。(2)多回路系統(tǒng)的根軌跡。

(3)正反饋回路和零度根軌跡。

通常將以上這些根軌跡稱為廣義根軌跡。

51第四節(jié)廣義根軌跡以上所述的根軌跡都是以開環(huán)增益一、

參數(shù)根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)位置，時(shí)間常數(shù)或反饋系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響。繪制這類參數(shù)變化的根軌跡的方法與前面討論的規(guī)則相同，但在繪制根軌跡之前，要先求出系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)。

(5-4-1)

(5-4-2)將方程左端展開成多項(xiàng)式，用不含待討論參數(shù)的各項(xiàng)除以方程兩端，得到52一、參數(shù)根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

(5-4-3)即是系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。

2.

由等效開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)與原系統(tǒng)有相同的閉環(huán)極點(diǎn)，但閉環(huán)零點(diǎn)不一定相同。說明：1.根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)，按照上節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，就可繪制出以為變量的參數(shù)根軌跡。53(5-4-3)即是系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。2.例5-10

已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以T為參變量的根軌跡。解：系統(tǒng)的特征方程為（1）求系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）根據(jù)規(guī)則一分支數(shù)為3規(guī)則二起點(diǎn)為終點(diǎn)為54例5-10已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以T為參變規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡(-∞,-2]。

規(guī)則六起始角-2以

為參變量的根軌跡如圖5-4-1所示。

圖5-4-1例5-10根軌跡55規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡(-∞,-2]。規(guī)則六起始角-2以用去除等式兩邊得解：⑴系統(tǒng)的特征方程是或令則有稱為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。練習(xí)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。56用去除等式兩邊得解：⑴系統(tǒng)的特征方程是規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則六規(guī)則七虛部方程實(shí)軸上的根軌跡起始角與虛軸的交點(diǎn)令實(shí)部方程57規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則六規(guī)則七虛部方程實(shí)軸上的根軌跡起始角與練習(xí)題根軌跡圖s[s]wj)(1￥=Tz)(2￥=Tz0)0(2=Tp1)0(pT=1pq2pqT?0°120°60-1-0.53)(zT￥=1)1(jTc=)1(1=-cTj58練習(xí)題根軌跡圖s[s]wj)(1￥=Tz)(2￥=Tz0由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個(gè)步驟：⑴先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，使與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)有相同的形式，即繪制參數(shù)根軌跡的可變參數(shù)⑵然后根據(jù)繪制普通根軌跡的八條基本規(guī)則和等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。總結(jié)：59由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法⑴先根據(jù)系統(tǒng)的特征方二、正反饋回路和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的特征方程即相角條件幅值條件

(1)規(guī)則三修改為：正反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡只能是在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)零點(diǎn)和開環(huán)實(shí)極點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)或零的線段。(2)規(guī)則四修改為：正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線與實(shí)軸正方向的夾角應(yīng)為（3）規(guī)則六修改為：正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為60二、正反饋回路和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的特征方程即相角條件幅值6161試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。

例5-11

已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)規(guī)則一解：規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則四規(guī)則五規(guī)則七62試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。例5-11已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞s[s]wj0°120°-120-1-2分離點(diǎn)圖5-4-2例5-11根軌跡圖63s[s]wj0°120°-120-1-2分離點(diǎn)圖5-4-2在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。64在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)性能

自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，其動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在[s]平面上的分布有關(guān)。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在[s]平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布，是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先要解決的問題。解決的方法1.解析法2.根軌跡法特點(diǎn)：對(duì)低階系統(tǒng)比較精確，對(duì)高階系統(tǒng)是很困難的。特點(diǎn):圖解方法。

直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在[S]平面上分布的大致情況。65第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)性能自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一、

附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例5-12

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a＞0）試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響。解：(1)首先做出原系統(tǒng)的根軌跡如下a圖所示。由于根軌跡部分位于[s]平面的右半部，

所以該系統(tǒng)無論取何值，都是不穩(wěn)定的。

在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，有時(shí)為改善系統(tǒng)的性能而增設(shè)開環(huán)零點(diǎn)，由此給根軌跡帶來較為明顯的變化?，F(xiàn)舉例說明。wjs[s]0(a)

66一、附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例5-12已知系統(tǒng)的開環(huán)傳(2)如果給原系統(tǒng)增加一個(gè)負(fù)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)(b＞0）,則開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)b＜a時(shí)，根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角為當(dāng)b>a時(shí)，根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角為67(2)如果給原系統(tǒng)增加一個(gè)負(fù)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)(b＞圖5-5-1附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響wjswj0(b)s0(c)68圖5-5-1附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響wjswj0(b)二、確定具有指定阻尼比ξ的閉環(huán)極點(diǎn)和單位階躍響應(yīng)根據(jù)指定的阻尼比ξ值，由根軌跡圖的坐標(biāo)原點(diǎn)作一與負(fù)實(shí)軸夾角為的射線。該射線與根軌跡的交點(diǎn)就是所求的一對(duì)閉環(huán)例5-13

已知圖5-5-2所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-5-2控制系統(tǒng)的方框圖設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比

試求：（1）系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和相應(yīng)的根軌跡增益（2）在單位階躍信號(hào)的作用下的輸出響應(yīng)。主導(dǎo)極點(diǎn)，由幅值條件確定這對(duì)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的

值。然后用上述方法確定閉環(huán)的其它極點(diǎn)。

69二、確定具有指定阻尼比ξ的閉環(huán)極點(diǎn)和單位階躍響應(yīng)根據(jù)指定的阻解：由圖5-5-3可知

因?yàn)樗浴８鶕?jù)幅值條件，求得相應(yīng)的由于極點(diǎn)

距虛軸的距離是極點(diǎn)

距虛軸的7倍多，因而是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖5-5-3所示。由圖5-5-3可知，系統(tǒng)的一對(duì)閉環(huán)的兩條射線上。顯然，這兩條射線與根軌跡的兩條分支必然相交，交點(diǎn)

就是所求的一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

主導(dǎo)極點(diǎn)位于通過坐標(biāo)原點(diǎn)且與負(fù)實(shí)軸組成夾角為70解：由圖5-5-3可知因?yàn)樗浴８鶕?jù)幅值條件，求得相應(yīng)的圖5-5-3例5-13根軌跡∞K*K*-1-20-3-0.423∞71圖5-5-3例5-13根軌跡∞K*K*-1-20-3-0.若令則式中，于是，上式改寫為對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得式中，等號(hào)右邊第一項(xiàng)是輸出的穩(wěn)態(tài)分量，第二、三項(xiàng)是瞬態(tài)分量。基于第二項(xiàng)的幅值小、衰減速度快，因而它對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)僅在起始階段起作用，因而對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的是式中的第三項(xiàng)。72若令則式中，于是，上式改寫為對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得練習(xí)已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比

時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：規(guī)則一、二:四條根軌跡，起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即,,,；且四條根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)處。規(guī)則三:實(shí)軸上的根軌跡0至-1線段和由-2至-3線段。規(guī)則四：規(guī)則五：規(guī)則七：73練習(xí)已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分-22P[s]j3.37j3j2j1-j1-j2-j3-j3.370-0.3-1-1.5-3-2.7j0.52°60A5.0=x1P3P4P1S2S3S4S練習(xí)題根軌跡74-22P[s]j3.37j3j2j1-j1-j2-j3-j3⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析臨界開環(huán)根軌跡增益臨界開環(huán)放大系數(shù)⑶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)作圖法作出等阻尼比線測(cè)得由幅值條件可求出閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益75⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析臨界開環(huán)根軌跡增益臨界開環(huán)放大系數(shù)⑶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)此時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)求出系統(tǒng)的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)如下：(秒)(秒)76此時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)求出系統(tǒng)的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)如下：(秒)例5-14

開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB程序：num=[1,3];den1=[1,6,5];den=conv(den1,den1);subplot(2,2,1.5)rlocus(num,den)[k,p]=rlocfind(num,den)%analyzingthestabilityk=159;num1=k*[1,3];den=[1,6,5];den1=conv(den,den);%analyzingthestabilityk=159;num1=k*[1,3];den=[1,6,5];解：den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);subplot(2,2,3)impulse(num,den)title('ImpulseResponse(k=160)')%analyzingthestabilityk=161;num1=k*[1,3];den=[1,6,5];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);subplot(2,2,4)impulse(num,den)77例5-14開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析系統(tǒng)

(a)系統(tǒng)的根軌跡圖78(a)系統(tǒng)的根軌跡圖78

(b)時(shí)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

(c)時(shí)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)79(b)時(shí)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)(c)執(zhí)行第2、3段程序后，得到圖5-5-4（b）和（c）。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)具有正實(shí)部的復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是收斂的，故系統(tǒng)穩(wěn)定。時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是發(fā)散的，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)的阻尼比非常小，超調(diào)量近似為100%，已接近臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。

由第一段程序得到根軌跡后，將十字線移到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)上，可得到在交點(diǎn)處。由此可知，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的根軌跡增益為，根軌跡如圖5-5-4（a）所示。80執(zhí)行第2、3段程序后，得到圖5-5-4（b）和（c）。當(dāng)謝謝！81謝謝！81主要內(nèi)容第一節(jié)根軌跡的基本概念第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件第三節(jié)繪制根軌跡的基本規(guī)則第四節(jié)廣義根軌跡第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能82主要內(nèi)容第一節(jié)根軌跡的基本概念1

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)極點(diǎn)全部具有負(fù)的實(shí)部。閉環(huán)極點(diǎn)決定了閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征。因此，在分析和處理閉環(huán)系統(tǒng)問題時(shí)，確定閉環(huán)極點(diǎn)在[s]平面上的位置是十分重要的。而且在設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，也往往通過調(diào)整開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，使閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)位于[s]平面上所希望的區(qū)域。根軌跡設(shè)計(jì)方法是基于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系建立的一種圖解方法，是經(jīng)典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。83系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)極點(diǎn)全部具有負(fù)的實(shí)部。閉環(huán)第一節(jié)根軌跡的基本概念根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根(即閉環(huán)極點(diǎn))隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時(shí)在[s]平面上的變化軌跡。一﹑根軌跡(圖)開環(huán)極點(diǎn)沒有零點(diǎn)。式中為開環(huán)增益。為了說明根軌跡的基本概念，以圖5-1-1所示系統(tǒng)為例，分析系統(tǒng)參數(shù)K由零到正無窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在[s]平面上變化的情況。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(5-1-1)圖5-1-1控制系統(tǒng)方框圖84第一節(jié)根軌跡的基本概念根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是當(dāng)時(shí),圖5-1-1控制系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)開環(huán)增益K和系統(tǒng)閉環(huán)特征根的關(guān)系:當(dāng)K＝0時(shí)，當(dāng)K＝0.25時(shí)，當(dāng)K＝0.5時(shí)，當(dāng)K＝1時(shí)，85系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是當(dāng)當(dāng)變化時(shí)，則K由變化時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在[s]平面上移動(dòng)的軌跡如圖5-1-2。圖5-1-2圖5-1-1的根軌跡86當(dāng)變化時(shí)，則K由變化時(shí)，閉環(huán)特征方當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在[S]平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能。值的變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。

1948年伊萬斯（W·R·EVANS）解決了這個(gè)問題，提出了根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可會(huì)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。87當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件一﹑閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系

(5-2-1)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-2-2)圖5-2-1控制系統(tǒng)方框圖開環(huán)傳遞函數(shù)為一般情況下，前向通道的傳遞函數(shù)G(s)可表示成

B(s)88第二節(jié)繪制根軌跡的基本條件一﹑閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)(5-2-3)前向通路增益前向通路根軌跡增益(5-2-4)式中，

反饋通路傳遞函數(shù)H(s)可分別表示(5-2-5)反饋通路增益反饋通路根軌跡增益(5-2-6)式中，

89(5-2-3)前向通路增益前向通路根軌跡增益(5-2-4)式前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)。前向通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)。反饋通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)。反饋通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)。(5-2-7)開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。90前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)。前向通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)。反饋通路傳遞函數(shù)⑵閉環(huán)零點(diǎn)由前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)極點(diǎn)所組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。結(jié)論：⑴閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益；⑶閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。(5-2-8)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下91⑵閉環(huán)零點(diǎn)由前向通路傳遞函數(shù)零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)極根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。92根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌二、根軌跡方程-相角條件、幅值條件閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

(5-2-9)

繪制根軌跡的實(shí)質(zhì)就是尋求閉環(huán)特征方程在參數(shù)發(fā)生變化時(shí)的根

。

因此滿足方程式

(5-2-10)或

(5-2-11)的s值，都必定是根軌跡上的點(diǎn)，稱式（5-2-11）為根軌跡方程(Root-LocusEquation)。93二、根軌跡方程-相角條件、幅值條件閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：由于為復(fù)數(shù)，根軌跡方程，根據(jù)等式兩邊的相角和幅值分別相等的條件，可將式（5-2-11）分解為下面兩個(gè)方程。

向量-1的幅值相角形式為

相角條件(AngleCondition)

(5-2-12)或

(5-2-13)94由于為復(fù)數(shù)，根軌幅值條件(MagnitudeCondition)

(5-2-14)即

(5-2-15)因此，滿足幅值條件和相角條件的s值，就是特征方程的根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。95幅值條件(MagnitudeCondition)(5-2滿足相角條件的s值代入幅值條件方程式中，總可以求得一個(gè)對(duì)應(yīng)的。也就是說，s值滿足相角條件方程，則必定也同時(shí)滿足幅值條件方程。所以，相角條件方程是決定閉環(huán)特征根的充要條件。也就是說要畫出系統(tǒng)的根軌跡，只要在[s]平面上找到滿足相角條件的點(diǎn)就可以了。

由根軌跡方程可以看出：96也就是說，s值滿足相角條件方程，則必定也同時(shí)滿足幅值圖5-2-2系統(tǒng)的根軌跡圖

圖5-2-2系統(tǒng)解：為開環(huán)極點(diǎn)

幅值條件

相角條件

即(極點(diǎn)－3到

可構(gòu)成的向量與實(shí)軸成。例5-1

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制其根軌跡。

97圖5-2-2系統(tǒng)的根軌跡圖圖5-2-2系統(tǒng)解：為開環(huán)例5-2

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制其根軌跡。解：為開環(huán)極點(diǎn)

為開環(huán)零點(diǎn)

幅值條件相角條件

閉環(huán)極點(diǎn)到-6的夾角與到-4的夾角差為-4-60

圖5-2-3例5-2的根軌跡圖98例5-2單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例5-3

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，如何應(yīng)用根軌跡方程在[s]平面上找到閉環(huán)極點(diǎn)。

解：系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)

幅值條件或

相角條件

如圖5-2-4所示，假設(shè)s1,s2分別為系統(tǒng)根軌跡上的點(diǎn)，根據(jù)相角條件，有

99例5-3單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為故橫軸上(0,-0.5)區(qū)間為系統(tǒng)根軌跡，過點(diǎn)(-0.25，j0)且與橫軸垂直的直線為系統(tǒng)的根軌跡。如圖5-2-4所示。圖5-2-4系統(tǒng)的根軌跡100故橫軸上(0,-0.5)區(qū)間為系統(tǒng)根軌跡，過點(diǎn)從上述幾個(gè)圖可以看出：

(1)根據(jù)幅值條件和相角條件，可以繪制出系統(tǒng)的根軌跡；(2)當(dāng)k值取定后，根軌跡圖給出了一組閉環(huán)極點(diǎn)的分布；

(3)根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的情況，可大致知道系統(tǒng)的性能。

101從上述幾個(gè)圖可以看出：(1)根據(jù)幅值條件和相角條件，可以繪第三節(jié)繪制根軌跡的規(guī)則通常把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為普通根軌跡或一般根軌跡。。下面討論繪制普通根軌跡的基本規(guī)則，這些基本規(guī)則同樣適用于其他參數(shù)可變的情況

。規(guī)則一根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性、對(duì)稱性規(guī)則二根軌跡的始點(diǎn)和終點(diǎn)規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡規(guī)則四根軌跡的漸近線規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)規(guī)則六根軌跡的起始角與終止角（出射角或入射角）

規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值102第三節(jié)繪制根軌跡的規(guī)則通常把以開環(huán)根軌跡增規(guī)則一根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性分支數(shù)：即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在[s]平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。其階次為故分支數(shù)為連續(xù)性：系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實(shí)變量）與復(fù)變量[s]有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)由零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量[s]在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是連續(xù)的曲線。對(duì)稱性：由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，如果它的特征方程有復(fù)數(shù)根的話，一定是對(duì)稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸的。系統(tǒng)的特征方程式103規(guī)則一根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性分支數(shù)：即根根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線。結(jié)論：104根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連規(guī)則二根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)(5-3-3)(5-3-4)即：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。所以根軌跡方程(5-3-2)

時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)等于開環(huán)極點(diǎn)。終點(diǎn)(5-3-5)105規(guī)則二根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)(5-3-3)(5-3-4)所以即：根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。2．當(dāng)m<n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限零點(diǎn))。3．當(dāng)m>n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限極點(diǎn))。106所以即：根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于[s]平面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點(diǎn))，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于[s]平面的無窮遠(yuǎn)處(無限極點(diǎn))。結(jié)論：107根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。規(guī)則三

實(shí)軸上的根軌跡即：實(shí)軸上的根軌跡，其右邊開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和

為奇數(shù)。

由相角條件

(5-3-6)可知，開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)到某條根軌跡上的某一點(diǎn)的夾角為的奇數(shù)倍。

108若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇為確定實(shí)軸上的根軌跡，選擇s0作為試驗(yàn)點(diǎn)。圖5-3-1中，開環(huán)極點(diǎn)到s0的向量的相角為開環(huán)零點(diǎn)到s0的向量的相角為

共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

和

到s0的向量的相角和為共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)

和到s0的向量的相角和為。因此，當(dāng)我們?cè)诖_定實(shí)軸上的某點(diǎn)是否在根軌跡上時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。圖5-3-1實(shí)軸上的根軌跡109為確定實(shí)軸上的根軌跡，選擇s0作為試驗(yàn)點(diǎn)。圖5-3-下面分析位于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。實(shí)軸上，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)到s0的向量的相角為0，而s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)到s0的向量的相角均為。若s0為根軌跡上的點(diǎn)，則必須滿足相角條件，即由以上分析可知，只有s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才能滿足相角條件。所以，在圖5-3-1中，實(shí)軸上的根軌跡為和兩段。

110下面分析位于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。實(shí)軸規(guī)則四根軌跡的漸近線漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于[s]平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置為,與實(shí)軸正方向的交角為(5-3-7)

(5-3-8)取不同值時(shí),有個(gè)

,故漸近線有條，事實(shí)上有個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。111規(guī)則四根軌跡的漸近線漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)兩條或兩條以上根軌跡分支在[s]平面上相遇又立即分開的點(diǎn),稱為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d

(5-3-9)或開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值。開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。(5-3-10)分離角為進(jìn)入分離點(diǎn)的分支數(shù)。必須指出，規(guī)則五中用來確定分離點(diǎn)的條件只是必要條件，而不是充分條件。

112規(guī)則五根軌跡的分離點(diǎn)兩條或兩條以上根軌跡一般情況下(1)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰極點(diǎn)間的根軌跡必有一分離點(diǎn)；

(2)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的根軌跡必有一會(huì)合點(diǎn)；(3)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰的零極點(diǎn)間若存在根軌跡，則該段根軌跡上一般無會(huì)合點(diǎn)；(4)實(shí)軸上，分離點(diǎn)的分離角恒為。

113一般情況下(1)在實(shí)軸上，兩個(gè)相鄰極點(diǎn)間的根軌跡必有一⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。圖5-3-2-a根軌跡的起始角規(guī)則六起始角與終止角

114⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。（2）終止角圖5-3-2-b根軌跡的終止角

115根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。（例5-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且和為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，和分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們?cè)赱s]平面上的分布如圖4-2-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和的起始角和。116例5-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且和為對(duì)于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得由于A點(diǎn)無限靠近點(diǎn),解：圖5-3-3起始角的求取

[s]swj1z1p2p3p)(31pp-D)(21pp-D)(11zp-D01pqA117對(duì)于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得由于A點(diǎn)無限靠推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)系式為118推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。此時(shí)對(duì)應(yīng)的增益為臨界增益。令得即具體做法：實(shí)部方程虛部方程使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。的物理含義：119規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值根軌跡例5-5已知一負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。即

解：(1)用勞斯判據(jù)計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為由上式列勞斯表當(dāng)時(shí)，表中行元素全為零。按行的元素組成下列的輔助方程式：120例5-5已知一負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)根軌跡由于，因而該方程式的處，對(duì)應(yīng)的

值為260。

(2)用

直接代入方程求解這時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)

由有又由解臨界增益值

和與虛軸的交點(diǎn)

聯(lián)立解上述方程式，得

121由于，因而該方程式的處，對(duì)應(yīng)的值為260。(2)用以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，繪制一幅完整的根軌跡圖尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法。⑴根軌跡的起點(diǎn)(開環(huán)極點(diǎn))用符號(hào)“”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn))用符號(hào)“”標(biāo)示。⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑶要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的值，其中直接標(biāo)出的有起點(diǎn)(或)，終點(diǎn)()；根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)即實(shí)軸上的分離點(diǎn)()；與虛軸的交點(diǎn)()。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析和綜合。122以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)例5-6

已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其根軌跡。

解：規(guī)則一分支數(shù)為3規(guī)則二起點(diǎn)為0，-2，-3；終點(diǎn)為-1，無窮遠(yuǎn)。規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡[-1，0]和[-3，-2]。規(guī)則四漸進(jìn)線

規(guī)則五分離點(diǎn)在[-3，-2]內(nèi)?；蛞?yàn)?20-1-3圖5-3-4根軌跡圖解得(分離點(diǎn))

(舍去)

123例5-6已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其根軌例5-7

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。解：規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則四規(guī)則五分離點(diǎn)圖5-3-5例5-7的根軌跡圖規(guī)則六無起始角和終止角規(guī)則七124例5-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為規(guī)則七令得虛部實(shí)部125規(guī)則七令得虛部實(shí)部44例5-8

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該

系統(tǒng)完整的根軌跡圖。規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則四規(guī)則五規(guī)則六實(shí)軸上由-2至-∞的線段為實(shí)軸上的根軌跡126例5-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s0-1-2-3-4[s]1-1圖5-3-6例5-8的根軌跡圖127s0-1-2-3-4[s]1-1圖5-3-6例5-8的根結(jié)論由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓(當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí))或圓的一部分(當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí))。128結(jié)論由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開47例5-9

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

利用MATLAB繪制的系統(tǒng)的根軌跡。圖5-3-7例5-9的根軌跡圖symssnum=1;den=sym2poly(expand(s*(s+4)*(s^2+4*s+20)));rlocus(num,den)129例5-9閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為利用MATLAB繪制的系統(tǒng)的練習(xí)

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。130練習(xí)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s[s])(3￥=rKP)(4￥=rKP)0(2=rKP)0(1=rKP°-90￥?rK￥?rKrK?￥rK?￥-20-1-0.2351a2a)5(1=rcKj圖（a）

根軌跡圖131s[s])(3￥=rKP)(4￥=rKP)0(2=rKP)0第四節(jié)廣義根軌跡以上所述的根軌跡都是以開環(huán)增益作為可變參量，這在實(shí)際系統(tǒng)中是最常見的。但在實(shí)際中還有許多種類的根軌跡，它們是：(1)參數(shù)根軌跡。(2)多回路系統(tǒng)的根軌跡。

(3)正反饋回路和零度根軌跡。

通常將以上這些根軌跡稱為廣義根軌跡。

132第四節(jié)廣義根軌跡以上所述的根軌跡都是以開環(huán)增益一、

參數(shù)根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)位置，時(shí)間常數(shù)或反饋系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響。繪制這類參數(shù)變化的根軌跡的方法與前面討論的規(guī)則相同，但在繪制根軌跡之前，要先求出系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)。

(5-4-1)

(5-4-2)將方程左端展開成多項(xiàng)式，用不含待討論參數(shù)的各項(xiàng)除以方程兩端，得到133一、參數(shù)根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

(5-4-3)即是系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。

2.

由等效開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)與原系統(tǒng)有相同的閉環(huán)極點(diǎn)，但閉環(huán)零點(diǎn)不一定相同。說明：1.根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)，按照上節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，就可繪制出以為變量的參數(shù)根軌跡。134(5-4-3)即是系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。2.例5-10

已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以T為參變量的根軌跡。解：系統(tǒng)的特征方程為（1）求系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）根據(jù)規(guī)則一分支數(shù)為3規(guī)則二起點(diǎn)為終點(diǎn)為135例5-10已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以T為參變規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡(-∞,-2]。

規(guī)則六起始角-2以

為參變量的根軌跡如圖5-4-1所示。

圖5-4-1例5-10根軌跡136規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡(-∞,-2]。規(guī)則六起始角-2以用去除等式兩邊得解：⑴系統(tǒng)的特征方程是或令則有稱為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。練習(xí)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。137用去除等式兩邊得解：⑴系統(tǒng)的特征方程是規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則六規(guī)則七虛部方程實(shí)軸上的根軌跡起始角與虛軸的交點(diǎn)令實(shí)部方程138規(guī)則一規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則六規(guī)則七虛部方程實(shí)軸上的根軌跡起始角與練習(xí)題根軌跡圖s[s]wj)(1￥=Tz)(2￥=Tz0)0(2=Tp1)0(pT=1pq2pqT?0°120°60-1-0.53)(zT￥=1)1(jTc=)1(1=-cTj139練習(xí)題根軌跡圖s[s]wj)(1￥=Tz)(2￥=Tz0由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個(gè)步驟：⑴先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，使與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)有相同的形式，即繪制參數(shù)根軌跡的可變參數(shù)⑵然后根據(jù)繪制普通根軌跡的八條基本規(guī)則和等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。總結(jié)：140由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法⑴先根據(jù)系統(tǒng)的特征方二、正反饋回路和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的特征方程即相角條件幅值條件

(1)規(guī)則三修改為：正反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡只能是在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)零點(diǎn)和開環(huán)實(shí)極點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)或零的線段。(2)規(guī)則四修改為：正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線與實(shí)軸正方向的夾角應(yīng)為（3）規(guī)則六修改為：正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為141二、正反饋回路和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的特征方程即相角條件幅值14261試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。

例5-11

已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)規(guī)則一解：規(guī)則二規(guī)則三規(guī)則四規(guī)則五規(guī)則七143試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。例5-11已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞s[s]wj0°120°-120-1-2分離點(diǎn)圖5-4-2例5-11根軌跡圖144s[s]wj0°120°-120-1-2分離點(diǎn)圖5-4-2在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。145在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)性能

自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，其動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在[s]平面上的分布有關(guān)。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在[s]平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布，是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先要解決的問題。解決的方法1.解析法2.根軌跡法特點(diǎn)：對(duì)低階系統(tǒng)比較精確，對(duì)高階系統(tǒng)是很困難的。特點(diǎn):圖解方法。

直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在[S]平面上分布的大致情況。146第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)性能自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一、

附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例5-12

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a＞0）試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)