工圖點線面課件

第二章正投影法基本原理第二章12·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法投影三要素：投射線、空間物體、投影面2·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投2中心投影法投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差:畫透視圖投影特性投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變中心投影法投射中心、物體、投影面三者之間的相3平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好斜角投影法:畫斜軸測圖正投影法:工程圖樣和正等軸測圖投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影4平行投影的基本性質(zhì)類似性積聚性真實性從屬性平行性定比性平行投影的基本性質(zhì)類似性積聚性真實性從屬性平行性定比性5Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B1●B2●B3●點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●2·2點的投影解決辦法？Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投6工圖點線面課件7工圖點線面課件8WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●xWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向9●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa10●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●a11三、兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左

▲y坐標大的在前▲

z坐標大的在上baa

abb●●●●●●B點在A點之前、之右、之下。XYHYWZ三、兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間12重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。A、C為H面的重影點●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個投影面的重影點呢？ac重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一13aaabbb●●●●●●2·3直線的投影兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●2·3直線的投影14⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面15baababbaabba⑴投影面平行線①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβbaaabbbaababbaabba⑴投影面平行線①16反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)反映17⑶一般位置直線投影特性：三個投影都縮短。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba實長和傾角?●●AB●●abα⑶一般位置直線投影特性：三個投影都縮短。即18例：求直線AB的實長及與H面的夾角。直角三角形法作圖：過水平投影ab的端點b(或a)作ab的垂線，在垂線上截bB0=Δz得B0，連接aB0，則aB0=TL，∠B0ab=α。也可在投影圖外作此三角形。B0βγ例：求直線AB的實長及與H面的夾角。直角三角形法作圖：過水平19例：分析AB、AC、BD對投影面的相對位置。AB：正垂線

AC：一般位置直線

BD：正平線

例：分析AB、AC、BD對投影面的相對位置。AB：正垂線20例：已知水平線AB端點投影a、a’，AB對V面的傾角β=45°，長25，B在A的右前方，求直線兩面投影。

aaXOb45°b例：已知水平線AB端點投影a、a’，AB對V面的傾角β=4521二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理從屬性定比性二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投22點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點C在直線AB上點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abca23例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點K不在AB上。應用定比定理abkabk●●另一判斷法?結(jié)論：一般位置直線，判斷兩個投影面上的投影即可。特殊位置直線，判斷三個投影面上的投影或應用定比定理例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a24三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平25abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。26bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？bdcacbaddbac對于27HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點HVABCDKabcdkabckdabcdba28●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與A29dbaabcdc

1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？3

4●●兩直線相交嗎？12●dbaabcdc1(2)3(4)⒊兩直30⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影定理：若空間兩直線垂直，且其中一直線平行于投影面，則在該投影面上的投影仍為直角。反之也成立。設直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影定理：31dabcabc●●d例：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.dabcabc●●d例：過C點作直線與AB垂直相交32小結(jié)★點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性?！稂c與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。★定比定理?！镏苯嵌ɡ?，即兩直線垂直時的投影特性。重點掌握：小結(jié)★點與直線的投影特性，尤33一、點的投影規(guī)律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離

aa⊥OZ軸一、點的投影規(guī)律aaZayayaXYYO●●●xaza①34二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。⒊投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個投影與各投影軸35三、直線上的點⒈點的投影在直線的同名投影上。⒉點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比——定比定理。四、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）同名投影互相平行。同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c”是兩直線上一對重影點的投影。三、直線上的點⒈點的投影在直線的同名投影上。⒉點分線段成36五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。直角定理五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面372.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上的三個點●●●●●●abcabc直線及線外一點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形1.用幾何元素表示平面2.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcab382.用平面的跡線表示平面一、平面的表示法平面的跡線：平面與投影面的交線。水平、正面、側(cè)面跡線。跡線的集合點：兩跡線相交時的交點，如圖中的PX、PZ。實際應用中，常用平面的一條具有積聚性的跡線來表示特殊位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，圖c。跡線平面：用跡線表示的平面。2.用平面的跡線表示平面一、平面的表示法平面的跡線：平面與39二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面的投影特性二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面40⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫姊财矫嬖谌队懊骟w系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分41abcacbcba⒈投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面為什么？γβ是什么位置的平面？abcacbcba⒈投影面垂直面類似性類似性積42投影特性：垂直投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。

β

正垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦裕捍怪蓖队懊嫔系耐队胺e聚成直線。另外兩個投影面上的投43abcabcabc⒉投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面abcabcabc⒉投影面平行面積聚性積聚性實44投影特性：平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。正平面?zhèn)绕矫嫱队疤匦裕浩叫械耐队懊嫔系耐队胺从硨嵭?。另兩個投影面上的投影45abcacbabc⒊一般位置平面三個投影都類似。投影特性：abcacbabc⒊一般位置平面三個投影都類似46P：正垂面

R：水平面Q：鉛垂面

例:分析立體表面P、Q、R對投影面的相對位置

P：正垂面R：水平面Q：鉛垂面例:分析立體表面P、Q、R47三、平面上的直線和點判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點判斷直線在平面內(nèi)的方法定48abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。abcbcaabcbcadmnnmd例1：49例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到nmnm10c50⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①accakb●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abcabkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)的一51例2:判斷點M、N是否在平面Q內(nèi)。

M：不在平面內(nèi)

N：在平面內(nèi)

例2:判斷點M、N是否在平面Q內(nèi)。M：不在平面內(nèi)N：在52例3：判斷點M、N是否在三角形ABC內(nèi)。ddbbacmnacmnXOM：不在平面內(nèi)

N：在平面內(nèi)

例3：判斷點M、N是否在三角形ABC內(nèi)。ddbbac53bckadadbcadadbckbc例4：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二bckadadbcadadbckbc例4：54ababba例5:已知四棱臺表面上點A、B的水平投影a、b，求另兩面投影。ababba例5:已知四棱臺表面上點A、B的水55四、圓的投影平行于投影面的圓

四、圓的投影平行于投影面的圓56五、包含點或直線作平面aOPvQv包含點作水平面、正垂面，能作幾個？包含點作=30正垂面能作幾個？aXOabb包含一般位置直線，作投影面垂直面，能作幾個？cXORvddc包含投影面平行線，作投影面平行面，能作幾個？XaQv五、包含點或直線作平面aOPvQv包含點作水平面、正垂面，572.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包括⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。2.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相58n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行59正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解n正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面c●●ba60⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面61二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。直線與平面中至少有一個處于特殊位置。直線與平面中均處于一般位置。二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交62abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。求交點(交點兩邊可見性發(fā)生改變)②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線M63km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點法km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間64⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。兩平面中至少有一個處于特殊位置。兩平面均處于一般位置。②判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：

判別可見性。⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線65可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!如何判別？⑴兩平面均為特殊位置平面可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbe66bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點m、bc與fh的交點n即為兩個共有點的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●⑵一平面為投影面平行面，另一平面為一般位置平面bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析67cdefababcdef⑶一平面為投影面垂直面，另一平面為一般位置平面投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。n●n●m●k●m●k●互交cdefababcdef⑶一平面為投影面垂直面，68

一般位置情況：⑴直線和平面均處于一般位置k4312mnabcabcnmXOk4(3)Rv12(5)5作圖步驟：

⑸用重影點判斷可見性。⑴包含MN作輔助正垂面R，作出其具積聚性的正面跡線Rv。⑵求出平面R與ΔABC的交線12（12，1’2’）。⑶交線的水平投影12與mn的交點k就是所求交點的水平投影。⑷根據(jù)從屬性由k求出k’，則K(k,k’)即直線與平面交點輔助平面法一般位置情況：⑴直線和平面均處于一般位置k4369abcdefbcadefQvPvmsntmnllstkk2(1)213(3)XO作圖步驟：

⑴包含DF作輔助正垂面P，與ΔABC交于MN,求其與DF交點L。同法再求EF與ΔABC交點K。⑵連接K和L的同面投影。⑶利用重影點分別判斷各投影的可見性。輔助平面法全交？互交？

一般位置情況：

⑵二平面均處于一般位置abcdefbcadefQvPvmsnt70三面共點法求二一般位置平面交線dcabedcabgfefgXOR1V1243123R2V4mn作圖步驟：

⑴作輔助水平面R1。⑵R1與P、Q分別相交于ⅠⅡ和ⅢⅣ。⑶ⅠⅡ和ⅢⅣ交點M，即為二平面的一個交點。⑷同法作平面R2，求出一個交點N。⑸連接MN,即為所求交線。mn

一般位置情況：

⑵二平面均處于一般位置三面共點法求二一般位置平面交線dcabedcab71三、垂直問題直線與平面垂直平面與平面垂直⒈直線與平面垂直特殊情況：原理圖直線與鉛垂面垂直直線與正垂面垂直三、垂直問題直線與平面垂直平面與平面垂直⒈直線與平面垂直722.兩平面垂直原理圖二鉛垂面垂直一般位置平面與鉛垂面垂直

若一平面包含另一平面的一條垂線，則二平面垂直。

2.兩平面垂直原理圖73小結(jié)重點掌握：二、如何在平面上確定直線和點。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對應平行。四、直線與平面的交點及平面與平面的交線是兩者的共有點或共有線。解題思路：★空間及投影分析目的是找出交點或交線的已知投影?！锱袆e可見性尤其是如何利用重影點判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。小結(jié)重點掌握：二、如何在平面上確定直線和74要點一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線——積聚性。另外兩個投影類似。在其平行的投影面上的投影反映實形——實形性。另外兩個投影積聚為直線。要點一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面75二、平面上的點與直線⒈平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉平面上的直線⑴過平面上的兩個點。⑵過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉兩平面平行必須是一個平面上的一對相交直線對應平行于另一個平面上的一對相交直線。二、平面上的點與直線⒈平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上76四、相交問題⒈求直線與平面的交點的方法⑴一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有性和平面的積聚性直接求解。⑵投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。⒉求兩平面的交線的方法⑴兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影。⑵一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共有點，求出交線。四、相交問題⒈求直線與平面的交點的方法⑴一般位置直線與特772.6換面法一、問題的提出★如何求一般位置直線的實長？★如何求一般位置平面的真實大小？

換面法：物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進行投射。解決方法：更換投影面。2.6換面法一、問題的提出★如何求一般位置直線的實長？78VHABabab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構成一個相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b1VHABabab二、新投影面的選擇原則1.新投影面79VHAaaaxX⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點的兩個投影：a，aA點的兩個投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.VHAaaaxX⒈更換一次投影面舊投影80ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新舊投影之間的關系

aa1

X1a1ax1=aax點的二相間投影到投影軸的距離相等。axa一般規(guī)律：點的相鄰投影的連線，垂直于新投影軸。.ax1VHXP1HX1aaa1VHAaax81XVHaaax更換H面⑶求新投影的作圖方法VHXP1HX1由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aaX1P1Va1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：..XVHaaax更換H面⑶求新投影的作圖方法VHX82⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2P1，得到新投影體系:X2—P1P2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVHaaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中83ax2aaXVH⑵求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸a2ax2=aax1a1axax1..ax2aaXVH⑵求新投影的作圖方法a2X1HP84VHABabab四、換面法的四個基本問題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實長及與H面的夾角。ababXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。.VHABabab四、換面法的四個基本問題1.把一般85a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？a2b2ax2a2b2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直線86一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把一般位置平面變換成投影面垂直面如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空間分析：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進行一次變換？思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換87αab

cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。dd★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●反映平面對哪個投影面的夾角？.αabcacbXVH例：把三角形ABC變換成投影88a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面變換成投影面平行面abacbXVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c1●X2軸的位置？平面的實形.X1HP1.與其平行a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換89b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求點C到直線AB的距離，并求垂足D。ccbaabXVH五、換面法的應用如下圖：當直線AB垂直于投影面時，CD平行于投影面，其投影反映實長。APBDCcabd作圖:求C點到直線AB的距離，就是求垂線CD的實長?？臻g及投影分析：c1a1a2b2d2過c1作線平行于x2軸。...如何確定d1點的位置？b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求點90baabcd●c例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑=MN●n●m當直線AB垂直于投影面時，MN平行于投影面，這時它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：請注意各點的投影如何返回？求m點是難點。..baabcd●c例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線91空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（60°），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。例3:過C點作直線CD與AB相交成60o角。dX1HP1X1P1P2ab

a

cbXVHc作圖：c2●●●c1●a1b1●a2●d2●d●b2●

幾個解？兩個解！已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，求等邊三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D點的投影如何返回？..空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反92P2P1X2HP1X1cdbadacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡

b2θVHXθ例4：求平面ABC和ABD的兩面角?？臻g及投影分析：由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交時所得兩交線之間的夾角。在投影圖中,兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。..P2P1X2HP1X1cdbadacb●d1●c1●93小結(jié)本章主要介紹了投影變換的一種常用方法——換面法。一、換面法就是改變投影面的位置，使它與所給物體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置。二、換面法的關鍵是要注意新投影面的選擇條件，即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關系，同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī)律繼續(xù)有效。三、點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎，四個基本問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。小結(jié)本章主要介紹了投影變換的一種94換面法的四個基本問題：

2.把一般位置直線變成投影面垂直線1.把一般位置直線變成投影面平行線3.把一般位置平面變成投影面垂直面4.把一般位置平面變成投影面平行面變換一次投影面變換一次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面需先在面內(nèi)作一條投影面平行線換面法的四個基本問題：2.把一般位置直線變成投影面垂直95四、解題時一般要注意下面幾個問題：⒈分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中

物體與原投影面的相對位置，并把這些條件抽象成幾何元素（點、線、面等）。⒉根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關幾何元素對新投影面應處于什么樣的特殊位置（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方法。⒊在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影在變換前后的關系，既要在新投影體系中正確無誤地求得結(jié)果，又能將結(jié)果返回到原投

影體系中去。四、解題時一般要注意下面幾個問題：⒈分析已給條件的空間情況96ENDEND97第二章正投影法基本原理第二章982·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法投影三要素：投射線、空間物體、投影面2·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投99中心投影法投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差:畫透視圖投影特性投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變中心投影法投射中心、物體、投影面三者之間的相100平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好斜角投影法:畫斜軸測圖正投影法:工程圖樣和正等軸測圖投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影101平行投影的基本性質(zhì)類似性積聚性真實性從屬性平行性定比性平行投影的基本性質(zhì)類似性積聚性真實性從屬性平行性定比性102Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B1●B2●B3●點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●2·2點的投影解決辦法？Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投103工圖點線面課件104工圖點線面課件105WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●xWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向106●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa107●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影?！馻●●a108三、兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左

▲y坐標大的在前▲

z坐標大的在上baa

abb●●●●●●B點在A點之前、之右、之下。XYHYWZ三、兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間109重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。A、C為H面的重影點●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個投影面的重影點呢？ac重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一110aaabbb●●●●●●2·3直線的投影兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●2·3直線的投影111⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面112baababbaabba⑴投影面平行線①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβbaaabbbaababbaabba⑴投影面平行線①113反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)反映114⑶一般位置直線投影特性：三個投影都縮短。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba實長和傾角?●●AB●●abα⑶一般位置直線投影特性：三個投影都縮短。即115例：求直線AB的實長及與H面的夾角。直角三角形法作圖：過水平投影ab的端點b(或a)作ab的垂線，在垂線上截bB0=Δz得B0，連接aB0，則aB0=TL，∠B0ab=α。也可在投影圖外作此三角形。B0βγ例：求直線AB的實長及與H面的夾角。直角三角形法作圖：過水平116例：分析AB、AC、BD對投影面的相對位置。AB：正垂線

AC：一般位置直線

BD：正平線

例：分析AB、AC、BD對投影面的相對位置。AB：正垂線117例：已知水平線AB端點投影a、a’，AB對V面的傾角β=45°，長25，B在A的右前方，求直線兩面投影。

aaXOb45°b例：已知水平線AB端點投影a、a’，AB對V面的傾角β=45118二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理從屬性定比性二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投119點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點C在直線AB上點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abca120例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點K不在AB上。應用定比定理abkabk●●另一判斷法?結(jié)論：一般位置直線，判斷兩個投影面上的投影即可。特殊位置直線，判斷三個投影面上的投影或應用定比定理例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a121三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平122abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。123bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？bdcacbaddbac對于124HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點HVABCDKabcdkabckdabcdba125●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與A126dbaabcdc

1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！铩敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼瘛ⅱ蚴牵置娴闹赜包c，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？3

4●●兩直線相交嗎？12●dbaabcdc1(2)3(4)⒊兩直127⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影定理：若空間兩直線垂直，且其中一直線平行于投影面，則在該投影面上的投影仍為直角。反之也成立。設直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影定理：128dabcabc●●d例：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.dabcabc●●d例：過C點作直線與AB垂直相交129小結(jié)★點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性?！稂c與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性?！锒ū榷ɡ??！镏苯嵌ɡ恚磧芍本€垂直時的投影特性。重點掌握：小結(jié)★點與直線的投影特性，尤130一、點的投影規(guī)律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離

aa⊥OZ軸一、點的投影規(guī)律aaZayayaXYYO●●●xaza①131二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。⒊投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個投影與各投影軸132三、直線上的點⒈點的投影在直線的同名投影上。⒉點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比——定比定理。四、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）同名投影互相平行。同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c”是兩直線上一對重影點的投影。三、直線上的點⒈點的投影在直線的同名投影上。⒉點分線段成133五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。直角定理五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面1342.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上的三個點●●●●●●abcabc直線及線外一點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形1.用幾何元素表示平面2.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcab1352.用平面的跡線表示平面一、平面的表示法平面的跡線：平面與投影面的交線。水平、正面、側(cè)面跡線。跡線的集合點：兩跡線相交時的交點，如圖中的PX、PZ。實際應用中，常用平面的一條具有積聚性的跡線來表示特殊位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，圖c。跡線平面：用跡線表示的平面。2.用平面的跡線表示平面一、平面的表示法平面的跡線：平面與136二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面的投影特性二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面137⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫姊财矫嬖谌队懊骟w系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分138abcacbcba⒈投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面為什么？γβ是什么位置的平面？abcacbcba⒈投影面垂直面類似性類似性積139投影特性：垂直投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。

β

正垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦裕捍怪蓖队懊嫔系耐队胺e聚成直線。另外兩個投影面上的投140abcabcabc⒉投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面abcabcabc⒉投影面平行面積聚性積聚性實141投影特性：平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。正平面?zhèn)绕矫嫱队疤匦裕浩叫械耐队懊嫔系耐队胺从硨嵭巍Ａ韮蓚€投影面上的投影142abcacbabc⒊一般位置平面三個投影都類似。投影特性：abcacbabc⒊一般位置平面三個投影都類似143P：正垂面

R：水平面Q：鉛垂面

例:分析立體表面P、Q、R對投影面的相對位置

P：正垂面R：水平面Q：鉛垂面例:分析立體表面P、Q、R144三、平面上的直線和點判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點判斷直線在平面內(nèi)的方法定145abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。abcbcaabcbcadmnnmd例1：146例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到nmnm10c147⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①accakb●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abcabkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)的一148例2:判斷點M、N是否在平面Q內(nèi)。

M：不在平面內(nèi)

N：在平面內(nèi)

例2:判斷點M、N是否在平面Q內(nèi)。M：不在平面內(nèi)N：在149例3：判斷點M、N是否在三角形ABC內(nèi)。ddbbacmnacmnXOM：不在平面內(nèi)

N：在平面內(nèi)

例3：判斷點M、N是否在三角形ABC內(nèi)。ddbbac150bckadadbcadadbckbc例4：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二bckadadbcadadbckbc例4：151ababba例5:已知四棱臺表面上點A、B的水平投影a、b，求另兩面投影。ababba例5:已知四棱臺表面上點A、B的水152四、圓的投影平行于投影面的圓

四、圓的投影平行于投影面的圓153五、包含點或直線作平面aOPvQv包含點作水平面、正垂面，能作幾個？包含點作=30正垂面能作幾個？aXOabb包含一般位置直線，作投影面垂直面，能作幾個？cXORvddc包含投影面平行線，作投影面平行面，能作幾個？XaQv五、包含點或直線作平面aOPvQv包含點作水平面、正垂面，1542.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包括⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。2.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相155n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行156正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcm