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文檔簡介

第一章向量與坐標§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數(shù)量乘向量§1.4向量的線性關系與分解§1.5標架與坐標§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數(shù)量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積§1.5標架與坐標

定義1.5.1空間中一個定點,連同三個不共面的有序向量的全體,叫做空間中的一個標架,記.若,那么叫做笛卡爾標架;兩兩相互垂直的笛卡爾標架叫做笛卡爾直角標架,簡稱直角標架;一般情況下,叫做仿射標架.

注:右手標架和左手標架定義1.5.2式中的叫做向量關于標架的坐標或稱為分量,記做或.

定義1.5.3對于取定了標架的空間中任意點,向量叫做點的向徑,或稱點的位置向量,向徑關于標架的坐標叫做點關于標架的坐標,記做或.注:點與三數(shù)組的一一對應的關系稱為坐標系,為坐標原點,為坐標向量.類似有左右手坐標系等概念.

約定:用(其中為單位向量)表示直角坐標系,一般為右手直角坐標系.過點沿三坐標向量的方向引三條軸就構成空間坐標系.這樣就有坐標系的原點,坐標軸,坐標平面的概念.對于平面有類似的概念.卦限及卦限內的點的坐標符號Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量的坐標運算(1)向量的坐標表示證明:設向量的始點與終點分別為與,則定理向量的坐標等于其終點的坐標減去其始點的坐標.所以即(2)向量的線性運算證明:設,,則所以定理兩向量和的坐標等于兩向量對應坐標的和.

定理數(shù)乘向量等于這個數(shù)與向量的對應坐標的積.證明:設,則所以(3)共線和共面的條件定理1.5.4兩個非零向量和共線對應坐標成比例,即證明:由定理1.4.1知共線,則,得推論三點共線的充分必要條件是所以

定理1.5.5三個非零向量共面充要條件是證明:由定理1.4.7知共面存在不全為0的數(shù),使得.由此可得因為不全為0,所以.

推論四點共面或證明:四點共面共面,即(4)線段的定比分點定義對于有向線段,如果點滿足,則稱點是把有向線段分成定比的分點.當時,在之間;當時,在外部.

定理1.5.6設有向線段的始點終點,那么分成定比的分點的坐標是證明:由于,即所以推論設,,則中點坐標為

例(重心坐標公式)已知三角形的三頂點為,求的重心坐標.解:如圖,設中線為

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