常微分方程試題及答案

常微分方程試題及答案常微分方程試題及答案常微分方程試題及答案資料僅供參考文件編號：2022年4月常微分方程試題及答案版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線．2．二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是．3．方程的基本解組是．4．一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是區(qū)間．5．方程的常數(shù)解是．二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6．方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y軸外的全平面7.方程（）奇解．（A）有一個（B）有兩個（C）無（D）有無數(shù)個8．連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（）條件．（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9．二階線性非齊次微分方程的所有解（）．（A）構成一個2維線性空間（B）構成一個3維線性空間（C）不能構成一個線性空間（D）構成一個無限維線性空間10．方程過點(0,0)有（B）．(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解(D)只有三個解三、計算題（每小題６分，本題共30分）求下列方程的通解或通積分：11.12.13.14．15．四、計算題（每小題10分，本題共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程組的通解．五、證明題（每小題10分，本題共20分）18．設在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有．19．在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴格單調函數(shù)．常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．22．線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3．4．開5．二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6．D7．C8．B9．C10．A三、計算題（每小題６分，本題共30分）11．解：為常數(shù)解（1分）當，時，分離變量取不定積分，得（3分）通積分為（6分）注：包含在常數(shù)解中，當時就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。13．解：方程兩端同乘以，得（1分）令，則，代入上式，得（3分）這是一階線形微分方程，對應一階線形齊次方程的通解為（4分）利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為（5分）因此原方程通解為（6分）14．解：因為，所以原方程是全微分方程．（2分）取，原方程的通積分為（4分）計算得（6分）15．解：原方程是克萊洛方程，通解為（6分）四、計算題（每小題10分，本題共20分）16．解：對應齊次方程的特征方程為，（1分）特征根為，，（2分）齊次方程的通解為（4分）因為是特征根。所以，設非齊次方程的特解為（6分）代入原方程，比較系數(shù)確定出，，（9分）原方程的通解為（10分）17．解：齊次方程的特征方程為（1分）特征根為（2分）求得特征向量為（3分）因此齊次方程的通解為（4分）令非齊次方程特解為（5分）滿足（6分）解得（8分）積分，得，（9分）通解為（10分）五、證明題（每小題10分，本題共20分）18．證明：設是方程任一解，滿足，該解的表達式為（4分）取極限=（10分）19．證明：設，是方程的基本解組，則對任