減肥的數(shù)學(xué)模型課件

隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營(yíng)養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會(huì)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。無(wú)論從健康角度還是從審美角度，人們?cè)絹?lái)越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會(huì)上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營(yíng)養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).問(wèn)題的提出隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對(duì)待減肥是我們一定要正確對(duì)待的問(wèn)題，于是了解減肥的機(jī)理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對(duì)于從事某些體育項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員（例如：舉重、體操、游泳等）來(lái)說(shuō)，在比賽前也有都一個(gè)正確減肥的問(wèn)題。以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對(duì)待減肥是我們一根據(jù)中國(guó)科學(xué)會(huì)修訂并建議的我國(guó)人民的每日膳食指南可知：每日膳食中，營(yíng)養(yǎng)素的供給量是作為保證正常人體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。營(yíng)養(yǎng)素的需求量系指維持身體正常的生理功能所需要的營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量。如果人們?cè)陲嬍持袛z入營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量低于這個(gè)數(shù)量，將對(duì)身體產(chǎn)生不利的影響。

背景知識(shí)根據(jù)中國(guó)科學(xué)會(huì)修訂并建議的我國(guó)人民的每日膳食人體的體重是評(píng)定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人們熱能需要量的多少，主要取決于三個(gè)方面：維持人們基本代謝所需的能量、從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量以及食物的特殊動(dòng)力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量）所消耗的能量。一般情況下，成年男子每1kg體重每小時(shí)平均消耗熱量為4200J。一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動(dòng)力作用所需要的額外的能量消耗相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10%。人體的體重是評(píng)定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人體的脂肪是存儲(chǔ)和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對(duì)于一個(gè)成年人來(lái)說(shuō)體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認(rèn)為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為J的能量。記D=J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。問(wèn)題分析與模型假設(shè)人體的脂肪是存儲(chǔ)和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)人的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥過(guò)程中，我們忽略了個(gè)體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對(duì)減肥的影響。體重隨時(shí)間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認(rèn)為能量的攝取和消耗是隨時(shí)發(fā)生的。人的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關(guān)，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同?？梢?，活動(dòng)對(duì)能量的消耗也不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但考慮到減肥的人會(huì)為自己制定一個(gè)合理且相對(duì)穩(wěn)定的減肥計(jì)劃，我們可以假設(shè)在單位時(shí)間(1日)內(nèi)人體活動(dòng)所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動(dòng)所消耗的能量不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且

根據(jù)上述背景知識(shí)和模型的假設(shè)，我們就可以組建減肥的數(shù)學(xué)模型。單位時(shí)間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對(duì)自己的飲食有相對(duì)嚴(yán)格的控制，在本問(wèn)題中，為簡(jiǎn)單計(jì)，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A。根據(jù)上述背景知識(shí)和模型的假設(shè)，我們就可以組

建模過(guò)程中，我們以“天”為時(shí)間單位。根據(jù)假設(shè)3，我們可以在任何一個(gè)時(shí)間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化。根據(jù)能量的平衡原理，任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時(shí)間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差。模型的建立

建模過(guò)程中，我們以“天”為時(shí)間單位。根

考慮時(shí)間區(qū)間內(nèi)能量的改變,根據(jù)能量平衡原理,有由積分中值定理有其中考慮時(shí)間區(qū)間內(nèi)能量的于是令取極限得*

這就是在一定化簡(jiǎn)層次上的減肥數(shù)學(xué)模型.我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理,但我們希望求解模型*,看看能否說(shuō)明一些問(wèn)題.于是令取極限得*

設(shè)為模型的初始時(shí)刻,這時(shí)人的體重為.模型*的求解方法很多,下面用積分因子法求解.在*的兩邊同時(shí)乘以得即模型的求解設(shè)為模型的初始時(shí)刻從0到t積分，并利用初值得從0到t積分，并利用初值模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個(gè)重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設(shè)a=0,即停止進(jìn)食，無(wú)任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時(shí)，

。模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個(gè)重要參（1）不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是很危險(xiǎn)的。因?yàn)?，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實(shí)際上，媒體報(bào)道過(guò)很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導(dǎo)致其它并發(fā)疾病而死亡。

（2）當(dāng)a=0時(shí)，由解式有

，這表明在[0，t]內(nèi)體重減少的百分率為，稱之為[0,t]內(nèi)體重消耗

（1）不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是很危險(xiǎn)的。因?yàn)槁?。特別的，是單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，事實(shí)上，所以自然為[0,t]內(nèi)的體重保存率，它表明t時(shí)刻體重占初始體重的百分率。

基于上面的分析，又解式可知，t時(shí)刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于率。特別的，是單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗能量消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。3)另外對(duì)于此模型，容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)<時(shí)有dw/dt<0，這表明只有當(dāng)<才有可能產(chǎn)生減肥的效果。由解式有也就是說(shuō)此模型的解漸進(jìn)穩(wěn)定與，他給出了減肥的最終結(jié)果，稱為減肥效果指標(biāo)。能量消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量因?yàn)樗p很快，在有限時(shí)間內(nèi)，就很小，可以忽略；當(dāng)t充分大時(shí)，w(t)=a/b=A/(B+C),這表明任何人都不必為自己的體重?fù)?dān)心（肥胖、瘦小）。從理論上講，體重要多重就有多重，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A（進(jìn)食）、B（活動(dòng)）、C（新陳代謝）。同時(shí)也說(shuō)明了，任何減肥方法都是考慮和調(diào)節(jié)上述三個(gè)要素：節(jié)食是調(diào)節(jié)A、活動(dòng)是調(diào)節(jié)B、減肥藥是調(diào)節(jié)C。由于C是基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力的消耗，因?yàn)樗p很快，在有限時(shí)間內(nèi)，他不可能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人而言可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。有大量事實(shí)表明，通過(guò)調(diào)整新陳代謝的方法來(lái)減肥是值得推敲的。于是我們有如下結(jié)論，減肥的效果主要由兩個(gè)因素控制：進(jìn)食攝取能量和活動(dòng)消耗能量，從而減肥的兩個(gè)重要措施是控制飲食和增加活動(dòng)量。這也是熟知的常識(shí)。他不可能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人而

4)進(jìn)一步討論能量的攝取量A與活動(dòng)消耗量B對(duì)減肥效果的影響。由=A/(B+C)有A=B+C,在A-B坐標(biāo)系內(nèi)表示一條過(guò)點(diǎn)（-C,0）斜率為的直線。根據(jù)背景知識(shí)，任何人通過(guò)飲食攝取的能量不能低于用于維持正常生理公能所需要的能量。因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個(gè)下限，當(dāng)<時(shí)表明能量攝入過(guò)低，無(wú)法滿足維持人體正常的生理功能所需要的能量。這時(shí)減肥得到的結(jié)果不能認(rèn)為是有效的，它將危及人體的健康，是非常危險(xiǎn)的，因而稱為減肥臨界指標(biāo)。此外，人們?yōu)闇p肥所采用的各種體力活動(dòng)對(duì)能量的消耗也有一個(gè)人體所能承受

的范圍，即存在使得0<B<,于是在A-B平面上由B=0、B=和A=0所界出的上半帶形區(qū)域被直線：A=B+C和：A=B+C分割成三個(gè)區(qū)域：、和，這表明減肥的效果是控制飲食和增加消耗綜合作用、相互協(xié)調(diào)的結(jié)果。在區(qū)域中，能量的攝取量A大于體重為（初始體重）時(shí)的消耗量（B+C），這時(shí)體重將在基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，故稱之為非減肥區(qū)。而在區(qū)域中，能量的攝取量A低于體重為時(shí)的消耗量（B+C)

AB-col0l1B1w0cw1c的范圍，即存在使得0<B<,于是在A-B平面上由B=精品課件！精品課件！精品課件！精品課件！體重將減少到臨界減肥指標(biāo)以下，這將危及人的健康，故稱為減肥危險(xiǎn)區(qū)。只有區(qū)域所表示的A和B的組合才能實(shí)現(xiàn)有效的減肥，故稱為有效減肥區(qū)。（如上圖）實(shí)際上，減肥的過(guò)程是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程。這個(gè)模型是一個(gè)簡(jiǎn)化的模型，只是為了揭示飲食和活動(dòng)這兩個(gè)主要因素與減肥的關(guān)系。至于對(duì)減肥問(wèn)題的更為深入地分析有賴于構(gòu)建更精細(xì)的模型。體重將減少到臨界減肥指標(biāo)以下，這將危及人的健康，故稱為

隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營(yíng)養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會(huì)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。無(wú)論從健康角度還是從審美角度，人們?cè)絹?lái)越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會(huì)上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營(yíng)養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).問(wèn)題的提出隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對(duì)待減肥是我們一定要正確對(duì)待的問(wèn)題，于是了解減肥的機(jī)理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對(duì)于從事某些體育項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員（例如：舉重、體操、游泳等）來(lái)說(shuō)，在比賽前也有都一個(gè)正確減肥的問(wèn)題。以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對(duì)待減肥是我們一根據(jù)中國(guó)科學(xué)會(huì)修訂并建議的我國(guó)人民的每日膳食指南可知：每日膳食中，營(yíng)養(yǎng)素的供給量是作為保證正常人體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。營(yíng)養(yǎng)素的需求量系指維持身體正常的生理功能所需要的營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量。如果人們?cè)陲嬍持袛z入營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量低于這個(gè)數(shù)量，將對(duì)身體產(chǎn)生不利的影響。

背景知識(shí)根據(jù)中國(guó)科學(xué)會(huì)修訂并建議的我國(guó)人民的每日膳食人體的體重是評(píng)定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人們熱能需要量的多少，主要取決于三個(gè)方面：維持人們基本代謝所需的能量、從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量以及食物的特殊動(dòng)力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量）所消耗的能量。一般情況下，成年男子每1kg體重每小時(shí)平均消耗熱量為4200J。一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動(dòng)力作用所需要的額外的能量消耗相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10%。人體的體重是評(píng)定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人體的脂肪是存儲(chǔ)和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對(duì)于一個(gè)成年人來(lái)說(shuō)體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認(rèn)為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為J的能量。記D=J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。問(wèn)題分析與模型假設(shè)人體的脂肪是存儲(chǔ)和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)人的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥過(guò)程中，我們忽略了個(gè)體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對(duì)減肥的影響。體重隨時(shí)間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認(rèn)為能量的攝取和消耗是隨時(shí)發(fā)生的。人的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關(guān)，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同?？梢?，活動(dòng)對(duì)能量的消耗也不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但考慮到減肥的人會(huì)為自己制定一個(gè)合理且相對(duì)穩(wěn)定的減肥計(jì)劃，我們可以假設(shè)在單位時(shí)間(1日)內(nèi)人體活動(dòng)所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動(dòng)所消耗的能量不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且

根據(jù)上述背景知識(shí)和模型的假設(shè)，我們就可以組建減肥的數(shù)學(xué)模型。單位時(shí)間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對(duì)自己的飲食有相對(duì)嚴(yán)格的控制，在本問(wèn)題中，為簡(jiǎn)單計(jì)，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A。根據(jù)上述背景知識(shí)和模型的假設(shè)，我們就可以組

建模過(guò)程中，我們以“天”為時(shí)間單位。根據(jù)假設(shè)3，我們可以在任何一個(gè)時(shí)間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化。根據(jù)能量的平衡原理，任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時(shí)間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差。模型的建立

建模過(guò)程中，我們以“天”為時(shí)間單位。根

考慮時(shí)間區(qū)間內(nèi)能量的改變,根據(jù)能量平衡原理,有由積分中值定理有其中考慮時(shí)間區(qū)間內(nèi)能量的于是令取極限得*

這就是在一定化簡(jiǎn)層次上的減肥數(shù)學(xué)模型.我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理,但我們希望求解模型*,看看能否說(shuō)明一些問(wèn)題.于是令取極限得*

設(shè)為模型的初始時(shí)刻,這時(shí)人的體重為.模型*的求解方法很多,下面用積分因子法求解.在*的兩邊同時(shí)乘以得即模型的求解設(shè)為模型的初始時(shí)刻從0到t積分，并利用初值得從0到t積分，并利用初值模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個(gè)重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設(shè)a=0,即停止進(jìn)食，無(wú)任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時(shí)，

。模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個(gè)重要參（1）不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是很危險(xiǎn)的。因?yàn)?，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實(shí)際上，媒體報(bào)道過(guò)很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導(dǎo)致其它并發(fā)疾病而死亡。

（2）當(dāng)a=0時(shí)，由解式有

，這表明在[0，t]內(nèi)體重減少的百分率為，稱之為[0,t]內(nèi)體重消耗

（1）不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是很危險(xiǎn)的。因?yàn)槁?。特別的，是單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，事實(shí)上，所以自然為[0,t]內(nèi)的體重保存率，它表明t時(shí)刻體重占初始體重的百分率。

基于上面的分析，又解式可知，t時(shí)刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于率。特別的，是單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗能量消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。3)另外對(duì)于此模型，容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)<時(shí)有dw/dt<0，這表明只有當(dāng)<才有可能產(chǎn)生減肥的效果。由解式有也就是說(shuō)此模型的解漸進(jìn)穩(wěn)定與，他給出了減肥的最終結(jié)果，稱為減肥效果指標(biāo)。能量消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量因?yàn)樗p很快，在有限時(shí)間內(nèi)，就很小，可以忽略；當(dāng)t充分大時(shí)，w(t)=a/b=A/(B+C),這表明任何人都不必為自己的體重?fù)?dān)心（肥胖、瘦?。?。從理論上講，體重要多重就有多重，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A（進(jìn)食）、B（活動(dòng)）、C（新陳代謝）。同時(shí)也說(shuō)明了，任何減肥方法都是考慮和調(diào)節(jié)上述三個(gè)要素：節(jié)食是調(diào)節(jié)A、活動(dòng)是調(diào)節(jié)B、減肥藥是調(diào)節(jié)C。由于C是基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力的消耗，因?yàn)樗p很快，在有限時(shí)間內(nèi)，他不可能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人而言可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。有大量事實(shí)表明，通過(guò)調(diào)整新陳代謝的方法來(lái)減肥是值得推敲的。于是我們有如下結(jié)論，減肥的效果主要由兩個(gè)因素控制：進(jìn)食攝取能量和活動(dòng)消耗能量，從而減肥的兩個(gè)重要措施是控制飲食和增加活動(dòng)量。這也是熟知的常識(shí)。他不可能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人而

4)進(jìn)一步討論能量的攝取量A與活動(dòng)消耗量B對(duì)減肥效果的影響。由=A/(B+C)有A=B+C,在A-B坐標(biāo)系內(nèi)表示