離散付里葉變換課件

第八節(jié)

DFT的應(yīng)用第八節(jié)

DFT的應(yīng)用1引言DFT及FFT在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通訊理論方面有廣泛的應(yīng)用。歸結(jié)起來,有兩個(gè)大方面,一是計(jì)算線性卷積、線性相關(guān)；二是用DFT(FFT)作為連續(xù)傅里葉變換的近似.FFT并不是什么新的變換,只是DFT在計(jì)算機(jī)上的一種高速算法，雖實(shí)際中廣泛使用的是FFT,但其應(yīng)用的理論基礎(chǔ)仍是DFT.通過考察計(jì)算線性卷積(相關(guān))和連續(xù)傅里葉逼近這兩種DFT應(yīng)用,就可以說我們建立了一般FFT應(yīng)用的基本理論基礎(chǔ).引言DFT及FFT在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通2應(yīng)用方面一、采用DFT辦法求解線性卷積。二、采用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換(級數(shù))應(yīng)用方面一、采用DFT辦法求解線性卷積3一、采用DFT辦法求解線性卷積

（1）引入

？：若做卷積的兩序列都是有限長序列,能否用它們的圓周卷積結(jié)果代替它們的線性卷積結(jié)果呢?即圓周卷積與線性卷積的關(guān)系是什么?線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)y(n)=x(n)*h(n)x(n)一、采用DFT辦法求解線性卷積

（1）引入？：若做卷積4（2）定理設(shè)有限長序列x1(n)0≤n≤N1-1,x2(n)0≤n≤N2-1我們把x1(n)、x2(n)補(bǔ)零點(diǎn)至N點(diǎn),N≥max(N1,

N2).(注意:yc(n)是N點(diǎn)序列,yL(n)是L=N1+N2-1點(diǎn)序列)只要經(jīng)過簡單的推導(dǎo)當(dāng)N≥L,就會得到y(tǒng)c(n)與yL(n)的關(guān)系定理（2）定理設(shè)有限長序列x1(n5（3）圓卷積代替線卷積

的實(shí)現(xiàn)方法設(shè)x(n)是激勵(lì),是0≤n≤N1-1的有限長序列;h(n)是線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(沖激響應(yīng)),是0≤n≤N2-1的有限長序列;y(n)是激勵(lì)通過系統(tǒng)后的響應(yīng),即y(n)=x(n)*

h(n).選好圓卷積點(diǎn)數(shù)L（L≥N1+N2-1）圓卷積L點(diǎn)圓周延拓，再取主值線性卷積設(shè)L為圓卷積點(diǎn)數(shù):（3）圓卷積代替線卷積

的實(shí)現(xiàn)方法設(shè)x(n)是激勵(lì),6上圖依據(jù)的是圓周卷積定理,做的是圓周卷積.然而由于L選取符合條件,因而結(jié)果是與線性卷積結(jié)果一致的.L點(diǎn)DFTh(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTx(n)y(n)取L≥N1+N2-1情況下,圓周卷積代替線性卷積的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的框圖如下上圖依據(jù)的是圓周卷積定理,做的是圓周卷積.然而由于L選取符合7二、用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的付里葉變換（級數(shù)）我們知道DFT的最初引入就是為了使數(shù)字計(jì)算機(jī)能夠幫助分析連續(xù)時(shí)間信號的頻譜DFT的快速算法-------快速傅里葉變換(FFT)的出現(xiàn)使得DFT這種分析方法具有實(shí)用價(jià)值和重要性.我們這里將簡單的討論逼近的方法和同時(shí)產(chǎn)生的問題.二、用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的付里葉變換（級數(shù)）我們知8討論內(nèi)容1、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換。2、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)。3、用DFT逼近有限長信號的傅里葉變換。4、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題。討論內(nèi)容1、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換。91、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換在信號與系統(tǒng)中詳細(xì)討論的連續(xù)非周期信號的傅里葉變換是連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)，數(shù)字計(jì)算機(jī)難于處理的,因而我們采用DFT對其進(jìn)行逼近.1、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換在信號與系10（1）分析設(shè):對連續(xù)非周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣，抽樣間隔為T

(時(shí)域);對其連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)進(jìn)行頻域抽樣,頻域抽樣間隔為F(頻域).又因時(shí)域抽樣，頻域必然周期延拓；且延拓周期為時(shí)域抽樣的頻率值,即頻域周期Fp=1/T=fs;從頻域抽樣理論可知：頻域抽樣后對應(yīng)時(shí)域按頻域抽樣間隔的倒數(shù)周期延拓,即時(shí)域周期Tp=1/F.對無限長的信號計(jì)算機(jī)是不能處理的,必須對時(shí)域與頻域做截?cái)?若時(shí)域取N點(diǎn),則頻域至少也要取N點(diǎn).(參見頻域抽樣不失真條件).我們把以上的推演過程用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)公式來表示:（1）分析設(shè):對連續(xù)非周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣，抽樣間隔為11連續(xù)時(shí)間非周期信號的付里葉變換對連續(xù)時(shí)間非周期信號x(t)的付里葉變換為連續(xù)時(shí)間非周期信號的付里葉變換對連續(xù)時(shí)間非周期信號x(t)的12（2)時(shí)域的抽樣與截?cái)嗥漕l譜為：時(shí)域抽樣：（2)時(shí)域的抽樣與截?cái)嗥漕l譜為：時(shí)域抽樣：13再進(jìn)行時(shí)域截?cái)啵航財(cái)嗪笮蛄械拈L度內(nèi)包含有N個(gè)抽樣點(diǎn)。其頻譜為：可見：時(shí)域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓，如果頻域限帶信號，則有可能不產(chǎn)生混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，其頻域周期為Fp=fs=1/T.再進(jìn)行時(shí)域截?cái)啵航財(cái)嗪笮蛄械拈L度內(nèi)包含有N個(gè)抽樣點(diǎn)。其頻譜為14(3)頻域的抽樣與截?cái)囝l域也進(jìn)行抽樣，在頻域的一個(gè)周期fs內(nèi)中也抽N個(gè)樣點(diǎn)其中F0為頻域抽樣間隔第k個(gè)抽樣點(diǎn)頻率為：則(3)頻域的抽樣與截?cái)囝l域也進(jìn)行抽樣，在頻域的一個(gè)周期fs內(nèi)15頻域抽樣,截?cái)啵和瑫r(shí)，由于頻域抽樣、截?cái)?，?dǎo)致時(shí)域周期延拓.頻域抽樣,截?cái)啵和瑫r(shí)，由于頻域抽樣、截?cái)?，?dǎo)致時(shí)域周期延拓.16結(jié)論：結(jié)論：17（4）由對連續(xù)非周期信號進(jìn)行頻域抽樣就推出DFT變換式把后兩式進(jìn)行從連續(xù)域到離散域的必要的處理,如令T=1等,就得到了我們熟悉的DFT變換對定義式.（4）由對連續(xù)非周期信號進(jìn)行頻域抽樣就推出DFT變換式把18（5）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換結(jié)論1從以上分析,特別是最后得出的兩式,不難看出：如果用DFT定義式去計(jì)算一個(gè)非周期的信號的傅里葉變換,則頻譜的正常電平幅度與用DFT算得的頻譜幅度相差一個(gè)加權(quán)------T.（5）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅19（6）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換結(jié)論2同理,用IDFT定義式去計(jì)算一個(gè)非周期信號的傅里葉反變換,則需再加權(quán)一個(gè)N*F0=fs.由于fs=1/T,所以一個(gè)時(shí)間信號從時(shí)域到頻域再到時(shí)域的整個(gè)變換過程中,電平幅度并未受到影響.（6）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅20（7）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換注意點(diǎn)用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換過程中除了對幅度的線性加權(quán)外,由于用到了抽樣與截?cái)嗟姆椒?因此也會帶來一些可能產(chǎn)生的問題(如:混疊效應(yīng),頻譜泄漏,柵欄效應(yīng)等).（7）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅212、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)在信號與系統(tǒng)中詳細(xì)討論的連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)是數(shù)字計(jì)算機(jī)所難于處理的,因而我們采用DFT對其進(jìn)行逼近.2、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)在信號與系22（1）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的分析連續(xù)周期信號的時(shí)域是連續(xù)的,頻域是離散的.若用DFT逼近,則先要對時(shí)域抽樣(抽樣間隔為T),然后截?cái)嗳點(diǎn)序列(類似DFT逼近連續(xù)非周期信號傅里葉變換中的抽樣與截?cái)?下同).這將導(dǎo)致頻域周期延拓。（1）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里23復(fù)習(xí)：連續(xù)周期時(shí)間信號的付里葉級數(shù)對其中T0為連續(xù)周期時(shí)間信號的周期。正變換：反變換：復(fù)習(xí)：連續(xù)周期時(shí)間信號的付里葉級數(shù)對其中T0為連續(xù)周期時(shí)間信24（2）對連續(xù)周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)，則（2）對連續(xù)周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)25（3）對連續(xù)周期信號頻域進(jìn)行截?cái)嗳缓笤賹︻l域進(jìn)行截?cái)?若截?cái)嗪笥邢揲L序列長度正好是一個(gè)周期(或是其整數(shù)倍),則（3）對連續(xù)周期信號頻域進(jìn)行截?cái)嗳缓笤賹︻l域進(jìn)26（4）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的結(jié)論從上面得到的公式可以看出,利用DFT去求一個(gè)連續(xù)周期信號的DFS與正常級數(shù)之間相差加權(quán)1/N.同理,以IDFT計(jì)算的傅里葉級數(shù)反變換與正常值相差加權(quán)N.所以一個(gè)時(shí)間信號從時(shí)域到頻域再到時(shí)域的整個(gè)變換過程中,電平幅度并未受到影響.（4）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里27（5）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的注意點(diǎn)逼近值除了加權(quán)差別外,還有如下特別注意處:DFT逼近周期信號的DFS中,曾設(shè)頻域的截?cái)嚅L度為其周期的整數(shù)倍.如果截?cái)嚅L度不等于周期的整數(shù)倍,則會造成離散和連續(xù)傅里葉變換之間出現(xiàn)顯著差異,而不是只相差一個(gè)加權(quán)因子.另外當(dāng)長度不是周期的整數(shù)倍時(shí),時(shí)域會表現(xiàn)為有間斷點(diǎn)的周期函數(shù),頻域表現(xiàn)為頻譜泄漏成分增大.由于DFT逼近連續(xù)周期信號過程中用到抽樣與截?cái)?因此還會帶來一些可能產(chǎn)生的問題(如:混疊效應(yīng),頻譜泄漏,柵欄效應(yīng)等).（5）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里283、用DFT逼近有限長時(shí)間信號的傅里葉變換對于有限長的時(shí)域信號,其傅里葉變換的頻域必然是無限帶寬的.因而這種信號抽樣后頻域的混疊是不可避免的.混疊的大小由頻譜高頻分量衰減的速度決定:衰減越快混疊越小.如果選擇N小于長度有限的函數(shù)的樣本點(diǎn)數(shù),則誤差僅由混疊效應(yīng)造成.選抽樣間隔T足夠小,可減少這種效應(yīng)所引起的誤差.在這種情況下,DFT變換的計(jì)算值和連續(xù)傅里葉變換的樣本值將很好的一致(相差一個(gè)系數(shù)).3、用DFT逼近有限長時(shí)間信號的傅294、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題為了能在數(shù)字計(jì)算機(jī)上分析連續(xù)信號的頻譜,常常用DFT來逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換,但同時(shí)也產(chǎn)生以下問題:（1）混疊現(xiàn)象（2）頻譜泄漏（3）柵欄效應(yīng)4、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近30（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換,為避免混疊失真,要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則：

fs≥2fh

其中fs為抽樣頻率,fh為信號最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh,其上限要受抽樣間隔F0的約束.

抽樣間隔F0

即頻率分辨力,它是記錄長度的倒數(shù),即T0=1/F0

若抽樣點(diǎn)數(shù)為N,則抽樣間隔與fs的關(guān)系為

F0=fs/N≥2fh/N（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間31混疊現(xiàn)象的結(jié)論由F0=fs/N≥2fh/N

看出：在N給定時(shí),為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs,必然導(dǎo)致F0增加,即頻率分辨力下降;反之,若要提高頻率分辨力即減小F0,則導(dǎo)致減小fs,最終必須減小信號的高頻容量.以上兩點(diǎn)結(jié)論都是在記錄長度內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)N給定的條件下得到的.所以在高頻容量fh與頻率分辨力F0參數(shù)中,保持其中一個(gè)不變而使另一個(gè)性能得以提高的唯一辦法,就是增加記錄長度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N,即

fh和F0都給定時(shí),則N必須滿足

N

≥2fh/F0這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實(shí)現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件?；殳B現(xiàn)象的結(jié)論由F0=fs/N≥2fh/N32例子有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：（1）頻率分辨力≤10Hz(2)信號的最高頻率≤4kHz試確定以下參量：（1）最小記錄長度T0；（2）抽樣點(diǎn)的最大時(shí)間間隔T；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。例子有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)33解：（1）由分辨力的要求確定最小記錄長度T0.T0=1/F0=1/10=0.1(s)故最小記錄長度為0.1秒。（2）從信號的最高頻率確定最大的抽樣時(shí)間間隔T.fs≥2fh,T=1/fs

≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N，它應(yīng)滿足N≥2fh/F0=800該處理器所需最少采樣點(diǎn)數(shù)為N=210=1024點(diǎn)。（因?yàn)镹=29=512點(diǎn)不夠）解：（1）由分辨力的要求確定最小記錄長度T0.34作業(yè)第134頁，13、14題。作業(yè)第134頁，13、14題。35（2）頻譜泄漏在實(shí)際中，要把觀測的信號x(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。

時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號乘上一個(gè)窗函數(shù),使原連續(xù)時(shí)間函數(shù)成為兩端突然截?cái)?中間為原信號與窗函數(shù)相乘的結(jié)果.時(shí)域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積.由于窗函數(shù)不可能取無限寬,即其頻譜不可能為一沖激函數(shù),信號的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象.造成頻譜泄漏.所以在截取(即在窗函數(shù)的選取)時(shí),應(yīng)盡量選擇適當(dāng)形狀的窗函數(shù)對時(shí)域信號進(jìn)行截?cái)?使頻譜泄漏最小.（2）頻譜泄漏在實(shí)際中，要把觀測的信號x(n)限制在一36頻譜泄漏注意點(diǎn)由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT時(shí)，時(shí)域的截?cái)嗍潜厝坏?，因而泄漏也是必然存在的。為了減少頻率泄漏可采用：（1）適當(dāng)加大窗口寬度，增加M值；（2）采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)嘀赋觯盒孤┦遣荒芘c混疊完全分開的。頻譜泄漏注意點(diǎn)由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT37例子設(shè)信號為x(n)=1/（2π）,經(jīng)過矩形窗函數(shù)截?cái)?，求信號?jīng)過矩形窗函數(shù)前后的頻譜函數(shù)。解：設(shè)信號經(jīng)過矩形窗函數(shù)后的信號為x1(n),矩形窗函數(shù)為W(n),其頻譜函數(shù)為X1(ejw)x1(n)=x(n)W(n)時(shí)域相乘

X1(ejw)=X(ejw)*W(ejw)頻域卷積很明顯：X1(ejw)≠X(ejw)相當(dāng)于X(ejw)失真，這種失真是由于X(ejw)的頻譜泄漏引起，其現(xiàn)象為“拖尾”（擴(kuò)展現(xiàn)象），稱之頻譜泄漏。因?yàn)閄(ejw)=δ(w),矩形窗函數(shù)例子設(shè)信號為x(n)=1/（2π）,經(jīng)過矩形窗函數(shù)截?cái)?，求?8wX(ejw)X1(ejw)w產(chǎn)生泄漏wX(ejw)X1(ejw)w產(chǎn)生泄漏39（3）柵欄效應(yīng)利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)而是基頻F0

的整數(shù)倍。用DFT計(jì)算頻譜,就如通過一個(gè)柵欄觀看一個(gè)景色,只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象,從而產(chǎn)生柵欄效應(yīng).如果在兩離散的譜線間頻譜有很大變化,不作特殊處理,則無法將其檢測出來.（3）柵欄效應(yīng)利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間40減小柵欄效應(yīng)方法減小柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法是在所取數(shù)據(jù)的末端加一些零值點(diǎn),使一個(gè)周期內(nèi)點(diǎn)數(shù)增加,但是不改變原有的記錄數(shù)據(jù).這種方法等效于加長了周期T0.因公式F0

=1/

T0(F0是抽樣間隔).T0

增加,抽樣間隔變小,從而能保持原來頻譜形式不變的情況下使譜線變密,也就使頻譜抽樣點(diǎn)數(shù)增加.這樣,原來看不到的頻譜分量就有可能看到了. 減小柵欄效應(yīng)方法減小柵欄效應(yīng)的一41補(bǔ)零加長使譜線細(xì)化在DFT與Z變換的關(guān)系一節(jié)中,我們也曾從另一角度闡明時(shí)域補(bǔ)加零值點(diǎn)后對頻域的影響。下圖從該角度解釋這一現(xiàn)象的.補(bǔ)零加長譜線細(xì)化補(bǔ)零加長使譜線細(xì)化在DFT與Z變換的關(guān)系一節(jié)中,我們也曾從另42減小柵欄效應(yīng)注意點(diǎn)補(bǔ)加零點(diǎn)以改變周期時(shí),所用窗函數(shù)寬度卻不能變,亦即必須按數(shù)據(jù)記錄原長來選擇窗函數(shù),而不能按補(bǔ)了零值點(diǎn)后的長度來選擇窗函數(shù).通俗地說,就是應(yīng)先加窗,再補(bǔ)零.減小柵欄效應(yīng)注意點(diǎn)補(bǔ)加零點(diǎn)以改變43例子畫出x(n)=1,0≤n≤3,x(n)=0,其它n時(shí)的4點(diǎn)DFT，8點(diǎn)DFT，16點(diǎn)DFT圖形。例子畫出x(n)=1,0≤n≤3,44（4）頻率分辨力一般來說，信號長度Tp越長，即N越大，則分辨力越好，但是這個(gè)長度Tp是指真正實(shí)際的信號長度，抽樣點(diǎn)數(shù)N也是指這個(gè)長度上的抽樣點(diǎn)數(shù)，而不是補(bǔ)零后的長度或抽樣點(diǎn)數(shù)。Tp是信號長度（真正信號的長度），所以說頻率分辨力與信號實(shí)際長度成反比，信號越長（Tp越大），其分辨力（F0越?。?。0（4）頻率分辨力一般來說，信號長度Tp越長，即N越大，則分辨45設(shè)原數(shù)據(jù)長度T01，抽樣點(diǎn)數(shù)N1，補(bǔ)零后的數(shù)據(jù)長度T02，抽樣點(diǎn)數(shù)N2，則例子看出：N2>N1,故F02<F01。故認(rèn)為補(bǔ)零后，頻率分辨力提高了，這是錯(cuò)誤的。因?yàn)椋貉a(bǔ)零不能增加數(shù)據(jù)的有效長度，上面實(shí)際數(shù)據(jù)的有效長度仍為T01（有效抽樣點(diǎn)數(shù)為N1），因而補(bǔ)零是不能提高頻率分辨力的。設(shè)原數(shù)據(jù)長度T01，抽樣點(diǎn)數(shù)N1，補(bǔ)零后的數(shù)據(jù)長度T02，抽46補(bǔ)零的好處（1）可使X(ejw)的抽樣更密，即對X(k)取中間的插值，可克服柵欄效應(yīng)；（2）使N為2的整數(shù)冪值，便于FFT計(jì)算。補(bǔ)零的好處（1）可使X(ejw)的抽樣更密，即對X(k)取中47作業(yè)參看程佩青的光盤中第三章的由連續(xù)付里葉變換引出DFT的測驗(yàn)題作業(yè)參看程佩青的光盤中第三章的由連續(xù)付里葉變換引出DFT的測48第九節(jié)

序列的抽取與插值第九節(jié)

序列的抽取與插值49引言前面抽樣頻率fs為固定的抽樣頻率?，F(xiàn)討論抽樣頻率的變換問題，系統(tǒng)工作在“多抽樣率”情況下。例如：多種媒體如語言、視頻、數(shù)據(jù)的傳輸?shù)龋鼈兊念l率很不相同，抽樣率自然不同，必須實(shí)行抽樣率的轉(zhuǎn)換；又如：為了減少抽樣率太高造成的數(shù)據(jù)冗余，有時(shí)需要降低抽樣率；引言前面抽樣頻率fs為固定的抽樣頻率。50再如：兩數(shù)字系統(tǒng)的時(shí)鐘頻率不同，信號要在此系統(tǒng)中傳輸時(shí)，為了便于信號的處理、編碼、傳輸和存儲，則要求根據(jù)時(shí)鐘頻率對信號的抽樣率加以轉(zhuǎn)換，等等。上面的各種應(yīng)用都要求轉(zhuǎn)換抽樣率，或者要求系統(tǒng)工作在多抽樣率狀態(tài)?！岸喑闃勇蕯?shù)字信號處理”的重要性逐漸顯現(xiàn)出來，使它成為數(shù)字信號處理的一個(gè)重要內(nèi)容。再如：兩數(shù)字系統(tǒng)的時(shí)鐘頻率不同，信號要在此系統(tǒng)中傳輸時(shí)，為了51實(shí)現(xiàn)抽樣率轉(zhuǎn)換的方法以往把離散時(shí)間信號(序列)x(n)經(jīng)過D/A變換器變成模擬信號x(t),再經(jīng)A/D變換器對x(t)以另一種抽樣率抽樣。但是，經(jīng)過D/A和A/D變換器都會產(chǎn)生量化誤差，影響精度。我們采用直接在數(shù)字域?qū)Τ闃有盘杧(n)作抽樣頻率的變換，以得到新的抽樣信號。實(shí)現(xiàn)抽樣率轉(zhuǎn)換的方法以往把離散時(shí)間信號(序列)x(n)經(jīng)過D52抽取、插值概念減少抽樣率的過程稱為信號的“抽取”也稱為“抽樣率壓縮”。增加抽樣率的過程稱為信號的“插值”，亦稱為“抽樣率擴(kuò)張”。二者即為信號時(shí)間尺度變換。抽取和插值有時(shí)是整數(shù)倍，有時(shí)是有理分?jǐn)?shù)倍的。抽取和插值是多抽樣率數(shù)字信號處理的基本環(huán)節(jié)。抽取、插值概念減少抽樣率的過程稱為信號的“抽取”53復(fù)習(xí)1、連續(xù)時(shí)間信號的尺度變換其付里葉變換2、連續(xù)時(shí)間信號付里葉變換與抽樣后信號的付里葉變換的關(guān)系復(fù)習(xí)1、連續(xù)時(shí)間信號的尺度變換其付里葉變換2、連續(xù)時(shí)間信號付54一、序列的抽取當(dāng)信號的抽樣數(shù)據(jù)量太大時(shí)，可以在每D個(gè)抽樣中取出一個(gè)，或說每隔D-1個(gè)抽樣取出一個(gè)，以便減小數(shù)據(jù)量，D是整數(shù)，稱為抽樣因子，這樣的抽取，稱為整數(shù)倍抽取。一、序列的抽取當(dāng)信號的抽樣數(shù)據(jù)量太大時(shí)，可以在每D個(gè)抽樣中取55例子模擬信號xa(t),序列為x(n),其抽樣時(shí)間間隔為T1，抽樣頻率為：再進(jìn)行整數(shù)倍（D）抽取，抽取后的序列是xd(n),其抽樣時(shí)間間隔為T2，抽樣頻率為fs2,由于是D個(gè)抽樣取一個(gè)，所以有：例子再進(jìn)行整數(shù)倍（D）抽取，抽取后的序列是xd(n),56tnn原信號采樣后的信號x(n)=xa(t)|t=nT抽取后的信號xd(n)(D=T2/T1=3)tnn原信號采樣后的信號抽取后的信號571、抽取過程對頻域產(chǎn)生的影響用連續(xù)信號抽樣的概念來直觀地討論抽取過程對頻域所產(chǎn)生的影響.如果令序列x(n),xd(n)所對應(yīng)的模擬信號為xa(t),它們各自滿足以下的付里葉變換關(guān)系；1、抽取過程對頻域產(chǎn)生的影響用連續(xù)信號抽樣的概念來直觀地討論58可得序列的付里葉變換與連續(xù)信號付里葉變換的關(guān)系：可得序列的付里葉變換與連續(xù)信號付里葉變換的關(guān)系：59離散付里葉變換課件60xa(t)信號的頻譜0x(n)信號的頻譜0xd(n)信號頻譜0xa(t)信號的頻譜0x(n)信號的頻譜0xd(n)信號頻譜612、抽取器框圖其中

D表示抽樣率降低為原來的1/D，即表示抽取器。抽取器DD等效于2、抽取器框圖其中D表示抽樣率降低為原來的1/D，即表示62從圖看出：時(shí)域抽取得愈大，即D愈大，或抽樣率愈低，則頻域周期延拓的間隔愈近，因而有可能產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。所以，對x(n)不能隨意抽取，只有在抽取之后的抽樣率仍滿足抽樣定理要求時(shí)，才不會產(chǎn)生混疊失真，才能恢復(fù)出原來的信號，否則必須采取另外的措施。從圖看出：63例子例如，在抽取器之前加上防混疊的濾波器。即：把序列x(n)先通過數(shù)字低通濾波器H(ejw)，使信號的頻帶限制在：以下，得到Y(jié)(ejw).然后進(jìn)行抽取得到Xd(ejw).例子例如，在抽取器之前加上防混疊的濾波器。即：把序列x(n)64h(n)H(ejw)抽樣D抽取過程框圖h(n)抽樣D抽取過程框圖65離散付里葉變換課件663、序列域的直接抽取

------其頻譜間的關(guān)系（2）然后去掉零值點(diǎn)得到抽取序列xd(n)。如圖所示。（3）（1）將x(n)序列進(jìn)行脈沖抽樣得到xp(n)已知：求：3、序列域的直接抽取

------其頻譜間的關(guān)系（2）然后67nn0n序列x(n)抽樣序列p(n)已抽樣序列抽取序列nn0n序列x(n)抽樣序列p(n)已抽樣序列抽取序列68（1）直接抽取過程直接抽?。杭葱蛄械拿}沖串抽樣問題。（1）直接抽取過程直接抽?。杭葱蛄械拿}沖串抽樣問題。69（2）脈沖串p(n)的時(shí)頻表示即：每D個(gè)抽樣中取一個(gè)抽樣。P(n)其為離散周期序列(周期為D個(gè)點(diǎn)），其頻域?yàn)楦独锶~級數(shù)表示：（2）脈沖串p(n)的時(shí)頻表示即：每D個(gè)抽樣中取一個(gè)抽樣。P70即：

(2)式中，用(1)式和(3)代入

即：(2)式中，用(1)式和(3)代入71再研究p(n)的付里葉變換P(ejw).把周期序列表示成頻域中的沖激，那么周期序列p(n)也可以付里葉變換表達(dá)式。p(n)的付里葉變換P(ejw)為：一個(gè)周期序列的付里葉變換P(ejw)，可以直接從它的離散付里葉級數(shù)系數(shù)P(k)得到。式中是ws=2/D抽樣頻率.再研究p(n)的付里葉變換P(ejw).一個(gè)72（3）抽樣后的序列xp(n)時(shí)頻表示即：抽樣過程在時(shí)域上就是相乘，即在頻域就是卷積關(guān)系為（3）抽樣后的序列xp(n)時(shí)頻表示即：抽樣過程在時(shí)域上就是73（5）抽樣后序列xp(n)的頻譜代入式中可得抽樣后序列xp(n)的頻譜Xp(ejw)為將上面求得的式子（5）抽樣后序列xp(n)的頻譜代入式中可得抽樣后序列xp(74（6）X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的關(guān)系為了確定抽取后在頻域的效果，求xd(n)的付里葉變換Xd(ejw)和X(ejw)之間的關(guān)系.xp(n)和x(n)在D的整數(shù)倍上的值都是相等的，可等效為由下圖可知：（6）X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的關(guān)系75nn0n序列x(n)抽樣序列p(n)已抽樣序列抽取序列nn0n序列x(n)抽樣序列p(n)已抽樣序列抽取序列76Xd(ejw)表示為:令n=Dk或k=n/D,就可得Xd(ejw)表示為:令n=Dk或k=n/D,就可得77Xd(ejw)表示為:當(dāng)n不為D的整數(shù)倍時(shí)又因?yàn)閄d(ejw)表示為:當(dāng)n不為D的整數(shù)倍時(shí)又因?yàn)?8原信號的頻譜000原信號的頻譜00079看出:(1)已抽樣序列xp(n)和抽取序列xd(n)的頻譜差別在頻率尺度上不同。(2)原來的頻譜X(ejw)限帶，則Xp(ejw)中不存在頻率響應(yīng)的混疊失真。抽取的效果使原序列的頻譜帶寬擴(kuò)展。（3）為避免在抽取過程中發(fā)生頻率響應(yīng)的混疊失真，原序列x(n)的頻譜X(ejw)就不能占滿整個(gè)頻帶(0~).（4）減抽樣：如果序列能夠抽取而又不產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，其原來的連續(xù)時(shí)間信號是過抽樣，使原抽樣率可以減小而不發(fā)生混疊，此抽取的過程稱之減抽樣。看出:80二、序列的插值將x(n)的抽樣頻率fs增加I倍，即為I倍插值結(jié)果。最簡單的整數(shù)倍插值方法：在已知的相鄰抽樣點(diǎn)之間插入(I-1)個(gè)抽樣值，但由于這(I-1)個(gè)抽樣值并不是已知的，所以這個(gè)問題比整數(shù)倍抽取看起來要復(fù)雜一些。二、序列的插值將x(n)的抽樣頻率fs增加I倍，即為I倍插值81理論上說，和抽取時(shí)一樣。（1）將序列:x(n)=xa(nT1)進(jìn)行D/A變換得到原來的連續(xù)時(shí)間信號xa(t)。（2）再對xa(t)作較高抽樣率的抽樣得到x1(n)=xa(nT2),T1=IT2式中I是大于1的整數(shù)，稱為插值因子。但是這樣做是不經(jīng)濟(jì)的，因此，我們都是在離散時(shí)域進(jìn)行插值。理論上說，和抽取時(shí)一樣。821、整數(shù)倍（I倍）插值的方法整數(shù)倍（I倍）插值的方法：（1）在已知抽樣序列x(n)的相鄰兩抽樣點(diǎn)之間等間隔地插入(I-1)個(gè)零值點(diǎn)（2）然后進(jìn)行數(shù)字低通濾波，即可求得I倍插值的結(jié)果。1、整數(shù)倍（I倍）插值的方法整數(shù)倍（I倍）插值的方法：832、整數(shù)倍（I倍）插值的框圖圖中I表示在x(n)的相鄰抽樣點(diǎn)間補(bǔ)（I-1）個(gè)零值點(diǎn)，也就是它表示零值插值，稱為零值插值器.x(n)經(jīng)零值插值器后得到xp(n),再經(jīng)數(shù)字低通濾波(抗鏡像濾波器）得到I倍插值的結(jié)果x1(n).I2、整數(shù)倍（I倍）插值的框圖圖中I表示在x(n)的相鄰抽樣843、插值過程=抽取過程的逆過程插值過程可以看成抽取過程的逆過程。由下圖可知，通過插值和數(shù)字低通濾波器后，這些插值的零點(diǎn)將不再是零，從而得到插值后的輸出x1(n)。3、插值過程=抽取過程的逆過程插值過程可以看成抽取過程的逆過85(a)原信號x(n)及其頻譜X(ejw)原信號的頻譜原信號x(n)(a)原信號x(n)及其頻譜X(ejw)原信號的頻譜原信號x860插入零值后信號的頻譜0插值后信號頻譜(b)插入零值點(diǎn)后的信號及其頻譜0插入零值后信號的頻譜0插值后信號頻譜(b)插入零值點(diǎn)后的信870插值后信號0插值后信號頻譜(c)插值后的信號及其頻譜0插值后信號0插值后信號頻譜(c)插值后的信號及其頻譜88三、比值為有理數(shù)的抽樣率轉(zhuǎn)換給定信號x(n)，若將抽樣率轉(zhuǎn)變?yōu)镮/D倍.例如:原來的抽樣率為1KHz的序列，要變成抽樣率為1.4kHz的序列.解：（1）思路：先將序列經(jīng)過I=7倍的插值轉(zhuǎn)換為的抽樣率為7kHz的序列，然后再進(jìn)行D=5倍的抽取，得到抽樣率為1.4kHz的序列。(2)作法：先做I倍的插值，再做D倍的抽樣實(shí)現(xiàn)抽樣率的有理數(shù)轉(zhuǎn)換?；蛳瘸槿?、后插值。但先抽取使x(n)的數(shù)據(jù)點(diǎn)減少，會產(chǎn)生信息丟失，并可能產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。三、比值為有理數(shù)的抽樣率轉(zhuǎn)換給定信號x(n)，若將抽樣率轉(zhuǎn)變891、插值和抽取的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)合理的方法：先對信號插值，然后再抽取。Ih1(n)插值Ih(n)（a)使用兩個(gè)低通濾波器（b)使用一個(gè)低通濾波器1、插值和抽取的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)合理的方法：先對信號插值，然后再抽取902、抽取和插值的級聯(lián)的頻率響應(yīng)圖(a)中:(1)h1(n)是插值所必須的抗鏡像低通濾波器(2)h2(n)是抽取前級聯(lián)的防混疊低通濾波器(3)抽樣信號的抽樣率是Ifs(4)可合并成一個(gè)濾波器h(n),圖(b)所示.(5)h(n)的頻率響應(yīng)為2、抽取和插值的級聯(lián)的頻率響應(yīng)圖(a)中:913、結(jié)論可知：無論是抽取或是插值，其輸入到輸出的變換都相當(dāng)于經(jīng)過一個(gè)線性移變（時(shí)變）系統(tǒng)。3、結(jié)論可知：924、例子用一例子說明：(1)比值為有理數(shù)(I/D)抽樣率的轉(zhuǎn)換。即如何將插值與抽取結(jié)合，以便對序列進(jìn)行抽樣變化而又不會帶來混疊失真。(2)抽樣率減小到使序列頻譜在一個(gè)周期內(nèi)的非零部分已經(jīng)擴(kuò)展到-到的整個(gè)頻帶內(nèi)，就不能再減小抽樣率。4、例子用一例子說明：93（1）題目求將序列的付里葉變換擴(kuò)展到0~全頻段，所需的抽取與插值。原信號的頻譜某序列x(n)的付里葉變換為X(ejw),如圖所示。（1）題目求將序列的付里葉變換擴(kuò)展到0~全頻段，所需的抽取94解：（1）將此序列降低抽樣率，若此序列只采用整數(shù)抽?。疵}沖抽樣），則其D最大取3，此時(shí)數(shù)字頻率為即每3個(gè)抽樣值抽取一次。這樣就得到序列xd(n)(注意，抽取后序列抽取值之間的零值已被摒棄）它的頻譜如下圖所示。解：（1）將此序列降低抽樣率，若此序列只采用整數(shù)抽?。疵}95顯然，不產(chǎn)生混疊.然而在6/7|w|這段頻帶內(nèi)頻譜還是零.可進(jìn)一步減抽樣。顯然，不產(chǎn)生混疊.96將頻率尺度擴(kuò)大7/2倍，所得到的頻譜的非零值就占滿了整個(gè)-到的頻率范圍。7/2是有理數(shù)，（1）可先進(jìn)行I=2的插值，即將x(n)以2來增抽樣，得到序列xI(n),其頻譜為XI(ejw)。（2）再進(jìn)行D=7的抽取，即x(n)再以7來減抽樣得到xId(n),其頻譜XId(ejw)。將頻率尺度擴(kuò)大7/2倍，所得到的頻譜的非零值就占滿了整個(gè)-97離散付里葉變換課件98抽取和插值聯(lián)合作用的結(jié)果是：（1）x(n)以一個(gè)非整數(shù)的有理數(shù)7/2進(jìn)行減抽樣。（2）如果x(n)代表一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號xa(t)的無混疊抽樣序列，則這個(gè)經(jīng)過插值(I=2)和抽取(D=7)的序列xId(n)就代表了xa(t)的最大無混疊的減抽樣序列。抽取和插值的概念應(yīng)用于很多重要的信號處理中，其中包括通信系統(tǒng)、數(shù)字高頻、高分辨率電視以及其他很多應(yīng)用領(lǐng)域。抽取和插值聯(lián)合作用的結(jié)果是：99作業(yè)P136頁23，24，25，26題作業(yè)P136頁23，24，25，26題100小結(jié)本章主要講幾個(gè)問題：（1）付里葉變換的四種形式（2）離散付里葉級數(shù)（3）離散付里葉變換（4）離散付里葉變換的有關(guān)性質(zhì)（5）頻率抽樣理論（6）離散付里葉變換的應(yīng)用（7）DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號產(chǎn)生的問題（8）序列的抽取與插值小結(jié)本章主要講幾個(gè)問題：101四種不同付里葉變換對傅里葉級數(shù)(FS)：連續(xù)時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換。連續(xù)傅里葉變換(FT)：連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。序列的傅里葉變換(DTFT):離散時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換.離散傅里葉變換(DFT):離散時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換四種不同付里葉變換對傅里葉級數(shù)(FS)：連續(xù)時(shí)102傅里葉級數(shù)(FS)周期連續(xù)時(shí)間信號非周期離散頻譜密度函數(shù)。周期為Tp的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可展成傅里葉級數(shù)X(jkΩ0),是離散非周期性頻譜,表示為:FS傅里葉級數(shù)(FS)周期連續(xù)時(shí)間信號103DFT正變換反變換X(k)、x(n)為有限長序列的離散付里葉變換對，已知其中一個(gè)序列就能確定另一個(gè)序列。DFT正變換104DFT性質(zhì)一覽表1DFT性質(zhì)一覽表1105DFT性質(zhì)一覽表2DFT性質(zhì)一覽表2106頻率抽樣理論（1）頻域抽樣不失真條件:長度為M的有限長序列,頻域抽樣不失真的條件：頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長度M,即滿足N≥M.此時(shí)可得到（2）頻域內(nèi)插公式頻率抽樣理論（1）頻域抽樣不失真條件:長度為M的有限長序列,107DFT的應(yīng)用（1）用DFT計(jì)算線性卷積（2）用DFT去逼近連續(xù)信號（3）用DFT進(jìn)行譜分析DFT的應(yīng)用（1）用DFT計(jì)算線性卷積108DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題混疊現(xiàn)象:頻譜泄漏柵欄效應(yīng)DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時(shí)109一、序列的抽取當(dāng)信號的抽樣數(shù)據(jù)量太大時(shí)，可以在每D個(gè)抽樣中取出一個(gè)，或說每隔D-1個(gè)抽樣取出一個(gè)，以便減小數(shù)據(jù)量，D是整數(shù)，稱為抽樣因子，這樣的抽取，稱為整數(shù)倍抽取。一、序列的抽取當(dāng)信號的抽樣數(shù)據(jù)量太大時(shí)，可以在每D個(gè)抽樣中取1101、抽取器框圖其中

D表示抽樣率降低為原來的1/D，即表示抽取器。抽取器DD等效于1、抽取器框圖其中D表示抽樣率降低為原來的1/D，即表示1112、序列域的直接抽取

------頻譜間的關(guān)系（2）然后去掉零值點(diǎn)得到抽取序列xd(n)。如圖所示。（1）將x(n)序列進(jìn)行脈沖抽樣得到xp(n)2、序列域的直接抽取

------頻譜間的關(guān)系（2）然后1123、抽樣后序列xp(n)的頻譜

抽樣后序列xp(n)的頻譜Xp(ejw)為3、抽樣后序列xp(n)的頻譜

抽樣后序列xp(n)的頻譜X1134、X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的關(guān)系4、X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的關(guān)系114(1)已抽樣序列xp(n)和抽取序列xd(n)的頻譜差別在頻率尺度上不同。(2)原來的頻譜X(ejw)限帶，則Xp(ejw)中不存在頻率響應(yīng)的混疊失真。抽取的效果使原序列的頻譜帶寬擴(kuò)展。（3）為避免在抽取過程中發(fā)生頻率響應(yīng)的混疊失真，原序列x(n)的頻譜X(ejw)就不能占滿整個(gè)頻帶(0~).（4）減抽樣：如果序列能夠抽取而又不產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊夫真，其原來的連續(xù)時(shí)間信號是過抽樣，使原抽樣率可以減小而不發(fā)生混疊，此抽取的過程稱之。5、結(jié)論(1)已抽樣序列xp(n)和抽取序列xd(n)的頻譜差別在頻115二、序列的插值將x(n)的抽樣頻率fs增加I倍，即為I倍插值結(jié)果。理論上說，和抽取時(shí)一樣。（1）將序列:x(n)=xa(nT1)進(jìn)行D/A變換得到原來的連續(xù)時(shí)間信號xa(t)。（2）再對xa(t)作較高抽樣率的抽樣得到x1(n)=xa(nT2),T1=IT2式中I是大于1的整數(shù)，稱為插值因子。二、序列的插值將x(n)的抽樣頻率fs增加I倍，即為I倍插值1161、整數(shù)倍（I倍）插值的框圖圖中I表示在x(n)的相鄰抽樣點(diǎn)間補(bǔ)（I-1）個(gè)零值點(diǎn)，也就是它表示零值插值，稱為零值插值器.x(n)經(jīng)零值插值器后得到xp(n),再經(jīng)數(shù)字低通濾波后得到I倍插值的結(jié)果x1(n).I1、整數(shù)倍（I倍）插值的框圖圖中I表示在x(n)的相鄰抽樣1173、插值過程=抽取過程的逆過程插值過程可以看成抽取過程的逆過程。由下圖可知，通過插值和數(shù)字低通濾波器后，這些插值的零點(diǎn)將不再是零，從而得到插值后的輸出x1(n)。3、插值過程=抽取過程的逆過程插值過程可以看成抽取過程的逆過118三、比值為有理數(shù)的抽樣率轉(zhuǎn)換給定信號x(n)，若將抽樣率轉(zhuǎn)變?yōu)镮/D倍.作法；先做I倍的插值，再做D倍的抽樣實(shí)現(xiàn)抽樣率的有理數(shù)轉(zhuǎn)換.或先抽取、后插值。但先抽取使x(n)的數(shù)據(jù)點(diǎn)減少，會產(chǎn)生信息丟失，并可能產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。三、比值為有理數(shù)的抽樣率轉(zhuǎn)換給定信號x(n)，若將抽樣率轉(zhuǎn)變1191、插值和抽取的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)合理的方法：先對信號插值，然后再抽取。Ih1(n)插值Ih(n)（a)使用兩個(gè)低通濾波器（b)使用一個(gè)低通濾波器1、插值和抽取的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)合理的方法：先對信號插值，然后再抽取1202、抽取和插值的級聯(lián)的頻率響應(yīng)無論是抽取或是插值，其輸入到輸出的變換都相當(dāng)于經(jīng)過一個(gè)線性移變（時(shí)變）系統(tǒng)。2、抽取和插值的級聯(lián)的頻率響應(yīng)無論是抽121抽取和插值聯(lián)合作用的結(jié)果是：（1）x(n)以一個(gè)非整數(shù)的有理數(shù)7/2進(jìn)行減抽樣。（2）如果x(n)代表一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號xa(t)的無混疊抽樣序列，則這個(gè)經(jīng)過插值(I=2)和抽取(D=7)的序列x1d(n)就代表了xa(t)的最大可能無混疊的減抽樣序列。我們知道抽取和插值的概念出現(xiàn)在很多重要的信號處理的實(shí)際應(yīng)用中，其中包括通信系統(tǒng)、數(shù)字高頻、高分辨率電視以及其他很多應(yīng)用領(lǐng)域。抽取和插值聯(lián)合作用的結(jié)果是：122第八節(jié)

DFT的應(yīng)用第八節(jié)

DFT的應(yīng)用123引言DFT及FFT在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通訊理論方面有廣泛的應(yīng)用。歸結(jié)起來,有兩個(gè)大方面,一是計(jì)算線性卷積、線性相關(guān)；二是用DFT(FFT)作為連續(xù)傅里葉變換的近似.FFT并不是什么新的變換,只是DFT在計(jì)算機(jī)上的一種高速算法，雖實(shí)際中廣泛使用的是FFT,但其應(yīng)用的理論基礎(chǔ)仍是DFT.通過考察計(jì)算線性卷積(相關(guān))和連續(xù)傅里葉逼近這兩種DFT應(yīng)用,就可以說我們建立了一般FFT應(yīng)用的基本理論基礎(chǔ).引言DFT及FFT在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通124應(yīng)用方面一、采用DFT辦法求解線性卷積。二、采用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換(級數(shù))應(yīng)用方面一、采用DFT辦法求解線性卷積125一、采用DFT辦法求解線性卷積

（1）引入

？：若做卷積的兩序列都是有限長序列,能否用它們的圓周卷積結(jié)果代替它們的線性卷積結(jié)果呢?即圓周卷積與線性卷積的關(guān)系是什么?線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)y(n)=x(n)*h(n)x(n)一、采用DFT辦法求解線性卷積

（1）引入？：若做卷積126（2）定理設(shè)有限長序列x1(n)0≤n≤N1-1,x2(n)0≤n≤N2-1我們把x1(n)、x2(n)補(bǔ)零點(diǎn)至N點(diǎn),N≥max(N1,

N2).(注意:yc(n)是N點(diǎn)序列,yL(n)是L=N1+N2-1點(diǎn)序列)只要經(jīng)過簡單的推導(dǎo)當(dāng)N≥L,就會得到y(tǒng)c(n)與yL(n)的關(guān)系定理（2）定理設(shè)有限長序列x1(n127（3）圓卷積代替線卷積

的實(shí)現(xiàn)方法設(shè)x(n)是激勵(lì),是0≤n≤N1-1的有限長序列;h(n)是線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(沖激響應(yīng)),是0≤n≤N2-1的有限長序列;y(n)是激勵(lì)通過系統(tǒng)后的響應(yīng),即y(n)=x(n)*

h(n).選好圓卷積點(diǎn)數(shù)L（L≥N1+N2-1）圓卷積L點(diǎn)圓周延拓，再取主值線性卷積設(shè)L為圓卷積點(diǎn)數(shù):（3）圓卷積代替線卷積

的實(shí)現(xiàn)方法設(shè)x(n)是激勵(lì),128上圖依據(jù)的是圓周卷積定理,做的是圓周卷積.然而由于L選取符合條件,因而結(jié)果是與線性卷積結(jié)果一致的.L點(diǎn)DFTh(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTx(n)y(n)取L≥N1+N2-1情況下,圓周卷積代替線性卷積的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的框圖如下上圖依據(jù)的是圓周卷積定理,做的是圓周卷積.然而由于L選取符合129二、用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的付里葉變換（級數(shù)）我們知道DFT的最初引入就是為了使數(shù)字計(jì)算機(jī)能夠幫助分析連續(xù)時(shí)間信號的頻譜DFT的快速算法-------快速傅里葉變換(FFT)的出現(xiàn)使得DFT這種分析方法具有實(shí)用價(jià)值和重要性.我們這里將簡單的討論逼近的方法和同時(shí)產(chǎn)生的問題.二、用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的付里葉變換（級數(shù)）我們知130討論內(nèi)容1、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換。2、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)。3、用DFT逼近有限長信號的傅里葉變換。4、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題。討論內(nèi)容1、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換。1311、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換在信號與系統(tǒng)中詳細(xì)討論的連續(xù)非周期信號的傅里葉變換是連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)，數(shù)字計(jì)算機(jī)難于處理的,因而我們采用DFT對其進(jìn)行逼近.1、用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換在信號與系132（1）分析設(shè):對連續(xù)非周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣，抽樣間隔為T

(時(shí)域);對其連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)進(jìn)行頻域抽樣,頻域抽樣間隔為F(頻域).又因時(shí)域抽樣，頻域必然周期延拓；且延拓周期為時(shí)域抽樣的頻率值,即頻域周期Fp=1/T=fs;從頻域抽樣理論可知：頻域抽樣后對應(yīng)時(shí)域按頻域抽樣間隔的倒數(shù)周期延拓,即時(shí)域周期Tp=1/F.對無限長的信號計(jì)算機(jī)是不能處理的,必須對時(shí)域與頻域做截?cái)?若時(shí)域取N點(diǎn),則頻域至少也要取N點(diǎn).(參見頻域抽樣不失真條件).我們把以上的推演過程用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)公式來表示:（1）分析設(shè):對連續(xù)非周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣，抽樣間隔為133連續(xù)時(shí)間非周期信號的付里葉變換對連續(xù)時(shí)間非周期信號x(t)的付里葉變換為連續(xù)時(shí)間非周期信號的付里葉變換對連續(xù)時(shí)間非周期信號x(t)的134（2)時(shí)域的抽樣與截?cái)嗥漕l譜為：時(shí)域抽樣：（2)時(shí)域的抽樣與截?cái)嗥漕l譜為：時(shí)域抽樣：135再進(jìn)行時(shí)域截?cái)啵航財(cái)嗪笮蛄械拈L度內(nèi)包含有N個(gè)抽樣點(diǎn)。其頻譜為：可見：時(shí)域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓，如果頻域限帶信號，則有可能不產(chǎn)生混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，其頻域周期為Fp=fs=1/T.再進(jìn)行時(shí)域截?cái)啵航財(cái)嗪笮蛄械拈L度內(nèi)包含有N個(gè)抽樣點(diǎn)。其頻譜為136(3)頻域的抽樣與截?cái)囝l域也進(jìn)行抽樣，在頻域的一個(gè)周期fs內(nèi)中也抽N個(gè)樣點(diǎn)其中F0為頻域抽樣間隔第k個(gè)抽樣點(diǎn)頻率為：則(3)頻域的抽樣與截?cái)囝l域也進(jìn)行抽樣，在頻域的一個(gè)周期fs內(nèi)137頻域抽樣,截?cái)啵和瑫r(shí)，由于頻域抽樣、截?cái)?，?dǎo)致時(shí)域周期延拓.頻域抽樣,截?cái)啵和瑫r(shí)，由于頻域抽樣、截?cái)啵瑢?dǎo)致時(shí)域周期延拓.138結(jié)論：結(jié)論：139（4）由對連續(xù)非周期信號進(jìn)行頻域抽樣就推出DFT變換式把后兩式進(jìn)行從連續(xù)域到離散域的必要的處理,如令T=1等,就得到了我們熟悉的DFT變換對定義式.（4）由對連續(xù)非周期信號進(jìn)行頻域抽樣就推出DFT變換式把140（5）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換結(jié)論1從以上分析,特別是最后得出的兩式,不難看出：如果用DFT定義式去計(jì)算一個(gè)非周期的信號的傅里葉變換,則頻譜的正常電平幅度與用DFT算得的頻譜幅度相差一個(gè)加權(quán)------T.（5）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅141（6）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換結(jié)論2同理,用IDFT定義式去計(jì)算一個(gè)非周期信號的傅里葉反變換,則需再加權(quán)一個(gè)N*F0=fs.由于fs=1/T,所以一個(gè)時(shí)間信號從時(shí)域到頻域再到時(shí)域的整個(gè)變換過程中,電平幅度并未受到影響.（6）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅142（7）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換注意點(diǎn)用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換過程中除了對幅度的線性加權(quán)外,由于用到了抽樣與截?cái)嗟姆椒?因此也會帶來一些可能產(chǎn)生的問題(如:混疊效應(yīng),頻譜泄漏,柵欄效應(yīng)等).（7）用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅1432、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)在信號與系統(tǒng)中詳細(xì)討論的連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)是數(shù)字計(jì)算機(jī)所難于處理的,因而我們采用DFT對其進(jìn)行逼近.2、用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)在信號與系144（1）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的分析連續(xù)周期信號的時(shí)域是連續(xù)的,頻域是離散的.若用DFT逼近,則先要對時(shí)域抽樣(抽樣間隔為T),然后截?cái)嗳點(diǎn)序列(類似DFT逼近連續(xù)非周期信號傅里葉變換中的抽樣與截?cái)?下同).這將導(dǎo)致頻域周期延拓。（1）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里145復(fù)習(xí)：連續(xù)周期時(shí)間信號的付里葉級數(shù)對其中T0為連續(xù)周期時(shí)間信號的周期。正變換：反變換：復(fù)習(xí)：連續(xù)周期時(shí)間信號的付里葉級數(shù)對其中T0為連續(xù)周期時(shí)間信146（2）對連續(xù)周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)，則（2）對連續(xù)周期信號進(jìn)行時(shí)域抽樣設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)147（3）對連續(xù)周期信號頻域進(jìn)行截?cái)嗳缓笤賹︻l域進(jìn)行截?cái)?若截?cái)嗪笥邢揲L序列長度正好是一個(gè)周期(或是其整數(shù)倍),則（3）對連續(xù)周期信號頻域進(jìn)行截?cái)嗳缓笤賹︻l域進(jìn)148（4）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的結(jié)論從上面得到的公式可以看出,利用DFT去求一個(gè)連續(xù)周期信號的DFS與正常級數(shù)之間相差加權(quán)1/N.同理,以IDFT計(jì)算的傅里葉級數(shù)反變換與正常值相差加權(quán)N.所以一個(gè)時(shí)間信號從時(shí)域到頻域再到時(shí)域的整個(gè)變換過程中,電平幅度并未受到影響.（4）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里149（5）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)的注意點(diǎn)逼近值除了加權(quán)差別外,還有如下特別注意處:DFT逼近周期信號的DFS中,曾設(shè)頻域的截?cái)嚅L度為其周期的整數(shù)倍.如果截?cái)嚅L度不等于周期的整數(shù)倍,則會造成離散和連續(xù)傅里葉變換之間出現(xiàn)顯著差異,而不是只相差一個(gè)加權(quán)因子.另外當(dāng)長度不是周期的整數(shù)倍時(shí),時(shí)域會表現(xiàn)為有間斷點(diǎn)的周期函數(shù),頻域表現(xiàn)為頻譜泄漏成分增大.由于DFT逼近連續(xù)周期信號過程中用到抽樣與截?cái)?因此還會帶來一些可能產(chǎn)生的問題(如:混疊效應(yīng),頻譜泄漏,柵欄效應(yīng)等).（5）用DFT逼近連續(xù)周期信號的傅里1503、用DFT逼近有限長時(shí)間信號的傅里葉變換對于有限長的時(shí)域信號,其傅里葉變換的頻域必然是無限帶寬的.因而這種信號抽樣后頻域的混疊是不可避免的.混疊的大小由頻譜高頻分量衰減的速度決定:衰減越快混疊越小.如果選擇N小于長度有限的函數(shù)的樣本點(diǎn)數(shù),則誤差僅由混疊效應(yīng)造成.選抽樣間隔T足夠小,可減少這種效應(yīng)所引起的誤差.在這種情況下,DFT變換的計(jì)算值和連續(xù)傅里葉變換的樣本值將很好的一致(相差一個(gè)系數(shù)).3、用DFT逼近有限長時(shí)間信號的傅1514、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題為了能在數(shù)字計(jì)算機(jī)上分析連續(xù)信號的頻譜,常常用DFT來逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換,但同時(shí)也產(chǎn)生以下問題:（1）混疊現(xiàn)象（2）頻譜泄漏（3）柵欄效應(yīng)4、用DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近152（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換,為避免混疊失真,要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則：

fs≥2fh

其中fs為抽樣頻率,fh為信號最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh,其上限要受抽樣間隔F0的約束.

抽樣間隔F0

即頻率分辨力,它是記錄長度的倒數(shù),即T0=1/F0

若抽樣點(diǎn)數(shù)為N,則抽樣間隔與fs的關(guān)系為

F0=fs/N≥2fh/N（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間153混疊現(xiàn)象的結(jié)論由F0=fs/N≥2fh/N

看出：在N給定時(shí),為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs,必然導(dǎo)致F0增加,即頻率分辨力下降;反之,若要提高頻率分辨力即減小F0,則導(dǎo)致減小fs,最終必須減小信號的高頻容量.以上兩點(diǎn)結(jié)論都是在記錄長度內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)N給定的條件下得到的.所以在高頻容量fh與頻率分辨力F0參數(shù)中,保持其中一個(gè)不變而使另一個(gè)性能得以提高的唯一辦法,就是增加記錄長度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N,即

fh和F0都給定時(shí),則N必須滿足

N

≥2fh/F0這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實(shí)現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件。混疊現(xiàn)象的結(jié)論由F0=fs/N≥2fh/N154例子有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：（1）頻率分辨力≤10Hz(2)信號的最高頻率≤4kHz試確定以下參量：（1）最小記錄長度T0；（2）抽樣點(diǎn)的最大時(shí)間間隔T；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。例子有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)155解：（1）由分辨力的要求確定最小記錄長度T0.T0=1/F0=1/10=0.1(s)故最小記錄長度為0.1秒。（2）從信號的最高頻率確定最大的抽樣時(shí)間間隔T.fs≥2fh,T=1/fs

≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N，它應(yīng)滿足N≥2fh/F0=800該處理器所需最少采樣點(diǎn)數(shù)為N=210=1024點(diǎn)。（因?yàn)镹=29=512點(diǎn)不夠）解：（1）由分辨力的要求確定最小記錄長度T0.156作業(yè)第134頁，13、14題。作業(yè)第134頁，13、14題。157（2）頻譜泄漏在實(shí)際中，要把觀測的信號x(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。

時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號乘上一個(gè)窗函數(shù),使原連續(xù)時(shí)間函數(shù)成為兩端突然截?cái)?中間為原信號與窗函數(shù)相乘的結(jié)果.時(shí)域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積.由于窗函數(shù)不可能取無限寬,即其頻譜不可能為一沖激函數(shù),信號的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象.造成頻譜泄漏.所以在截取(即在窗函數(shù)的選取)時(shí),應(yīng)盡量選擇適當(dāng)形狀的窗函數(shù)對時(shí)域信號進(jìn)行截?cái)?使頻譜泄漏最小.（2）頻譜泄漏在實(shí)際中，要把觀測的信號x(n)限制在一158頻譜泄漏注意點(diǎn)由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT時(shí)，時(shí)域的截?cái)嗍潜厝坏?，因而泄漏也是必然存在的。為了減少頻率泄漏可采用：（1）適當(dāng)加大窗口寬度，增加M值；（2）采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)嘀赋觯盒孤┦遣荒芘c混疊完全分開的。頻譜泄漏注意點(diǎn)由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT159例子設(shè)信號為x(n)=1/（2π）,經(jīng)過矩形窗函數(shù)截?cái)?，求信號?jīng)過矩形窗函數(shù)前后的頻譜函數(shù)。解：設(shè)信號經(jīng)過矩形窗函數(shù)后的信號為x1(n),矩形窗函數(shù)為W(n),其頻譜函數(shù)為X1(ejw)x1(n)=x(n)W(n)時(shí)域相乘

X1(ejw)=X(ejw)*W(ejw)頻域卷積很明顯：X1(ejw)≠X(ejw)相當(dāng)于X(ejw)失真，這種失真是由于X(ejw)的頻譜泄漏引起，其現(xiàn)象為“拖尾”（擴(kuò)展現(xiàn)象），稱之頻譜泄漏。因?yàn)閄(ejw)=δ(w),矩形窗函數(shù)例子設(shè)信號為x(n)=1/（2π）,經(jīng)過矩形窗函數(shù)截?cái)?，求?60wX(ejw)X1(ejw)w產(chǎn)生泄漏wX(ejw)X1(ejw)w產(chǎn)生泄漏161（3）柵欄效應(yīng)利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)而是基頻F0

的整數(shù)倍。用DFT計(jì)算頻譜,就如通過一個(gè)柵欄觀看一個(gè)景色,只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象,從而產(chǎn)生柵欄效應(yīng).如果在兩離散的譜線間頻譜有很大變化,不作特殊處理,則無法將其檢測出來.（3）柵欄效應(yīng)利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間162減小柵欄效應(yīng)方法減小柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法是在所取數(shù)據(jù)的末端加一些零值點(diǎn),使一個(gè)周期內(nèi)點(diǎn)數(shù)增加,但是不改變原有的記錄數(shù)據(jù).這種方法等效于加長了周期T0.因公式F0

=1/

T0(F0是抽樣間隔).T0

增加,抽樣間隔變小,從而能保持原來頻譜形式不變的情況下使譜線變密,也就使頻譜抽樣點(diǎn)數(shù)增加.這樣,原來看不到的頻譜分量就有可能看到了. 減小柵欄效應(yīng)方法減小柵欄效應(yīng)的一163補(bǔ)零加長使譜線細(xì)化在DFT與Z變換的關(guān)系一節(jié)中,我們也曾從另一角度闡明時(shí)域補(bǔ)加零值點(diǎn)后對頻域的影響。下圖從該角度解釋這一現(xiàn)象的.補(bǔ)零加長譜線細(xì)化補(bǔ)零加長使譜線細(xì)化在DFT與Z變換的關(guān)系一節(jié)中,我們也曾從另164減小柵欄效應(yīng)注意點(diǎn)補(bǔ)加零點(diǎn)以改變周期時(shí),所用窗函數(shù)寬度卻不能變,亦即必須按數(shù)據(jù)記錄原長來選擇窗函數(shù),而不能