§1含參量正常積分§2§3歐拉積分

§1含參量正常積分

§2含參量反常積分

§3歐拉積分第12章含參量積分

級(jí)數(shù)與積分是構(gòu)造函數(shù)的兩個(gè)重要分析工具。我們已經(jīng)介紹了一種利用定積分構(gòu)造的函數(shù)──積分上限的函數(shù)。本章介紹另一種利用Riemann積分與廣義積分構(gòu)造的函數(shù)──含參變量的積分與含參變量的廣義積分，并研究它們的分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性、可積性。第12章含參量積分§1含參量正常積分一、含參量正常積分設(shè)是定義在矩形域上的二元函數(shù),當(dāng)取上某定值時(shí),函數(shù)則是定義在上以為自變量的一元函數(shù).若此時(shí)在上可積,則其積分值是在上取值的函數(shù),表為稱(chēng)為含參量的正常積分,或簡(jiǎn)稱(chēng)含參量積分.類(lèi)似地稱(chēng)為含參變量的積分。

是一個(gè)由含參變量的積分所確定的函數(shù)，下面我們研究這種函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性。若二元函數(shù)在矩形域上連續(xù),則函數(shù)在上連續(xù)若函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形域上連續(xù),則在上可微,且下面考慮的可積性。

設(shè)在矩形上連續(xù)，那末由定理19.1，函數(shù)分別在及上連續(xù)。因此在上可積，在上可積。記為要研究這兩個(gè)積分是否相等？若二元函數(shù)在矩形域上連續(xù),則和在和可微,且設(shè)是定義在區(qū)域上的的二元函數(shù),其中,為定義在上的連續(xù)函數(shù),若對(duì)于每一固定的值,作為的函數(shù)在上可積,則其積分值是在上取值的函數(shù),表為

稱(chēng)為含參量的正常積分,或簡(jiǎn)稱(chēng)含參量積分.xyoGY=c(x)Y=d(x)若二元函數(shù)在矩形域上連續(xù),其中,為定義在上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)在上連續(xù)對(duì)于參變量的積分：它的分析性質(zhì)也有類(lèi)似的結(jié)果。在上連續(xù)。都在上連續(xù)，并且定理19.2

設(shè)在矩形上連續(xù)，則證明當(dāng)時(shí)，上式右端的三個(gè)積分都趨于零，于是上其值含于內(nèi)的可微函數(shù),則函數(shù)在上可微,且請(qǐng)結(jié)合復(fù)合函數(shù)及活動(dòng)上限積分的求導(dǎo)法則完成證明若在上連續(xù),為定義在在可導(dǎo)，并且定理19.4

設(shè)和都在矩形上連續(xù)，則對(duì)于參變量的積分：它的分析性質(zhì)也有類(lèi)似的結(jié)果.證明現(xiàn)在分別考慮在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。由定理19.2得由積分中值定理這里在和之間。由于的連續(xù)性及可微同樣可以證明定理證畢。例3設(shè)，求解例4求解設(shè)那末在矩形連續(xù)。于是由定理19.2再對(duì)積分，得由于，所以從而例5求解考慮含參量的積分函數(shù)及其關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)都在矩形上連續(xù)，據(jù)定理19.2，有將上式兩邊關(guān)于從0到1積分，得因?yàn)樗越夥?因?yàn)樗?1),含參量正常積分的概念;(2),含參量正常積分的性質(zhì):(i),連續(xù)性;(ii),可微性;(iii),可積性;第12章含參量積分§2含參量反常積分本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性。下面只對(duì)無(wú)窮限積分討論，無(wú)界函數(shù)的情況可類(lèi)似處理。含參量反常積分設(shè)是定義在無(wú)界區(qū)域上,若對(duì)每一個(gè)固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱(chēng)為定義在上的含參量的無(wú)窮限反常積分,或簡(jiǎn)稱(chēng)為含參量反常積分.對(duì)于含參量反常積分和函數(shù)則稱(chēng)含參量反常積分在上一致收斂于.一致收斂的柯西準(zhǔn)則:含參量反常積分在上一致收斂的充要

一致收斂的充要條件;含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列(其中),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂.

魏爾斯特拉斯M判別法;設(shè)有函數(shù),使得魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因?yàn)槭諗?，所以由廣義積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則，有且收斂，則關(guān)于從而所以關(guān)于一致收斂。魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因?yàn)槭諗?，所以由廣義積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則，有且收斂，則關(guān)于從而所以關(guān)于一致收斂。例1在內(nèi)一致收斂解因?yàn)槎e分收斂，所以在內(nèi)一致收斂

狄利克雷判別法;

阿貝耳判別法;二、一致收斂積分的性質(zhì)1.連續(xù)性定理因?yàn)樵趦?nèi)一致收斂，所以證明因此，當(dāng)時(shí)，設(shè)在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則一元函數(shù)在上連續(xù)。又在上連續(xù)，所以作為的函數(shù)在連續(xù)，于是從而，當(dāng)時(shí)，有定理證畢。2.積分順序交換定理設(shè)在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則在可積，并且3.積分號(hào)下求導(dǎo)的定理設(shè)在上連續(xù)，收斂，關(guān)于在上一致收斂，則在可導(dǎo)，且證明因?yàn)樵谶B續(xù)，由連續(xù)性定理在連續(xù)，沿區(qū)間積分，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得定理證畢。連續(xù)性即:可微性可微性定理表明在定理?xiàng)l件下,求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換.即可積性含參量反常積分在上一致收斂.證明反常積分在上一致收斂.證明含參量反常積分

在上一致收斂.在上一致收斂.證明含參量反常積分

在上一致收斂.含參量反常積分

在上一致收斂.例4證明證（1）用分段處理的方法.

因?yàn)?/p>

例4計(jì)算積分

例5利用積分號(hào)下求導(dǎo)求積分

解因?yàn)?/p>

因?yàn)?/p>

故

由數(shù)學(xué)歸納法易證于是

例6計(jì)算積分

解

令

在第二項(xiàng)積分中令

得故

(2),含參量