節(jié)水洗衣機-數(shù)學建模

節(jié)水洗衣機數(shù)學建模

節(jié)水洗衣機摘要目前洗衣機已非常普及，節(jié)約洗衣機用水十分重要。假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的運行過程為:加水--漂水--脫水--加水--漂水--脫水?加水--漂水--脫水。本文中通過建立數(shù)學規(guī)劃模型，計算在某種情況下洗衣機的最少用水量，并為洗衣機設(shè)計一種運行程序，其中包括運行多少輪和加水量等，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，洗衣機洗衣總用水量最少。然后經(jīng)過系列的變量替換等操作優(yōu)化數(shù)學模型，讓過程更加簡方便計算和操作。最后選用合理的數(shù)據(jù)進行計算，并對照目前常用的洗衣機的運行情況，對此模型和結(jié)果作出評價。關(guān)鍵詞:洗衣機用水;數(shù)學規(guī)劃;優(yōu)化模型backbone,CountystandingwhenLieutenant,guerrillaactivitybehindenemylinesinthewaterzoneofWujiangCountyborder.Inearly1940,ChangShenLiqunsectorsYuQingzhiisappointedtothreedistrictandthreeenemyGuardCaptain.Yuassumedoffice,thepositiveinnovationgovernance,establishinginformationline,masterpuppetperformance.Three

目錄1問題分析1.1背景意義和構(gòu)想1.2洗衣機的基本原理和過程1.3“節(jié)水洗衣機”要點分析2問題建模2.1基本假設(shè)2.2變量定義2.3模型建立2.4優(yōu)化模型3分析與求解3.1最少洗衣輪數(shù)3.1算法3.1實例驗證參考文獻

backbone,CountystandingwhenLieutenant,guerrillaactivitybehindenemylinesinthewaterzoneofWujiangCountyborder.Inearly1940,ChangShenLiqunsectorsYuQingzhiisappointedtothreedistrictandthreeenemyGuardCaptain.Yuassumedoffice,thepositiveinnovationgovernance,establishinginformationline,masterpuppetperformance.Three節(jié)水洗衣機1問題分析1.1背景意義與構(gòu)想我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責，洗衣在家庭用水中占有相當大的份額;目前洗衣機已非常普及，節(jié)約洗衣機用水十分重要。假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的運行過程為:加水--漂水--脫水--加水--漂水--脫水?加水--漂水--脫水(稱“加水--漂水--脫水”為運行一輪)。請為洗衣機設(shè)計一種程序(包括運行多少輪，每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少。在實際生活中，衣服的洗滌是一個十分復雜的物理化學過程。洗衣機的運行過程可以理解為洗滌劑溶解在水中，通過水進入衣物并與衣物中的污物結(jié)合，再經(jīng)過一定時間的漂洗后，它在水中與衣物中的分配達到條件。經(jīng)過脫水去除了溶于水中的洗滌劑和洗滌劑與污物的結(jié)合物，之后再注入清水進入下一輪的洗滌過程，如此反復，最終使衣物中的有害物質(zhì)逐漸減少到滿意程度為止。不論人工洗衣還是洗衣機洗衣，都存在節(jié)水問題，顯然，若用水量為零，則衣服肯定洗不凈;若用水量為無窮大，則肯定浪費水，因此必然存在剛好“洗凈”衣物的“最少”用水量。機器能夠比人更精確地控制洗衣過程，所以提出“節(jié)水洗衣機”問題。1.2洗衣機的基本原理和過程洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物?！叭芪畚?-脫污水”是由兩個根本要素構(gòu)成的一個“元動作”，無論是如何精心設(shè)計的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過程就是通過加水來實現(xiàn)上述“溶污物--脫污水”動作的反復執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直到滿意的程度。通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助溶解污物。但是洗滌劑本身也是不能留在衣物上的東西。因此“污物”應是衣物上原有污物與洗滌劑的總和。有了這種認識后，我們就可以統(tǒng)一地處理“洗滌”(即通常加洗滌劑的首輪洗衣)和“漂洗”(即通常的以后各輪洗衣，不再加洗滌劑，但水中還有剩余洗滌劑)，把二者都看作“溶污物”環(huán)節(jié)。“脫污水”在洗衣機中通常稱為“脫水”，常由排水和甩干兩個步驟組成。1.3“節(jié)水洗衣機”要點分析立足于“溶污物--脫污水”這種基本原理，我們可以找出“節(jié)水洗衣機”問題的基本要點如下:1)污物的溶解情況如何,這里將用“溶解特性”來描述;第1頁，共6頁2)每輪脫去污水后污物減少情況如何,這將由系統(tǒng)的動態(tài)方程表示;3)如何設(shè)計由一系列“溶污物--脫污水”構(gòu)成的節(jié)水洗衣程序,這將通過用水程序來反映，也是我們最終需要的結(jié)果。2問題建模2.1基本假設(shè)1)僅考慮離散的洗衣方案，即“加水--溶污物--脫污水”(以下稱為“加水--洗滌--脫水”)三個環(huán)節(jié)是分離的，這三個環(huán)節(jié)構(gòu)成一個洗衣周期，稱為“一輪”;2)每輪用水量不能低于L，否則洗衣機無法轉(zhuǎn)動;用水量不能高于H，否則會溢出，設(shè)L<H;3)每輪的洗滌時間是足夠的，以便衣物上的污物充分溶入水中，從而使每輪所用的水被充分利用;4)每輪的脫水時間是足夠的，以使污水脫出，即讓衣物所含的污水量達到一個低限，設(shè)這個低限是一個大于0的常數(shù)C，設(shè)C<L。)除首輪外，每輪的“用水量”包括該輪加水量和衣物中上輪脫水后殘留5的水量，即殘留水被自然地利用了。6)假設(shè)放入洗衣機的衣物重量看做是等重量的，即減少的衣物重量差異對用水量的影響。2.2變量定義1)設(shè)共進行n輪“加水--洗滌--脫水”的過程，依次為第0輪，第1輪，??，第n-1輪;2)第k輪用水量為(k=0，1，2，??，n-1);uk3)衣物上的初始污物量為x，在第k輪脫水后仍吸附在衣物上的污物量為0x(k=0，1，2，??，n-1)k，1具體詳細見下表:表示符號具體意義第k輪用水量uk第k輪脫水后仍在衣物上的污物量xk洗衣機每輪用水量下限L洗衣機每輪用水量上限H每次脫水完畢后衣物上殘留的污水量Cbackbone,CountystandingwhenLieutenant,guerrillaactivitybehindenemylinesinthewaterzoneofWujiangCountyborder.Inearly1940,ChangShenLiqunsectorsYuQingzhiisappointedtothreedistrictandthreeenemyGuardCaptain.Yuassumedoffice,thepositiveinnovationgovernance,establishinginformationline,masterpuppetperformance.Three節(jié)水洗衣機衣物上污物浸泡在水中的溶解率Q洗衣輪數(shù)n2.3模型建立第k輪洗滌之后和脫水之前，第k-1輪脫水之后的污物量已成為兩部分:xk，k=0，1，2，??，n-1x,p，qkkk其中表示已溶入水中的污物，表示尚未溶入水中的污物量。與第kppqkkk輪的加水量有關(guān)，總的規(guī)律是越大越大，且當=L時最小(=0，因ppuuukkkkk為此時洗衣機處于轉(zhuǎn)動臨界點，有可能無法轉(zhuǎn)動，該輪洗衣無效);當=H時，uk最大(=Q，0<Q<1，其中Q稱為“溶解率”)。因此簡單地選用線性關(guān)系表pxkk示這種溶解特性則有:u,Lkp,QxkkH,L在第k輪脫水之后，衣物上尚有污物，有污水C，其中污水Cq,x,pkkk中所含污物量為(/)C。于是第k輪完成之后衣物上尚存的污物總量為:pukkpkx,x,p，C()kkk，1uk將前面的p式子代入上式并整理后得系統(tǒng)動態(tài)方程:k，，,,u,LCk,,x,x1,Q1,,k,0,1,2,. ,n,1,,，1kk,,uH,Lk,,，，2.4優(yōu)化模型xx由于是洗衣全過程結(jié)束后衣服上最終殘留的污物量，而是初始污物量n0xx故/反映了洗凈效果由系統(tǒng)動態(tài)方程得:n0n,1，，,,xuLC,nk,,Q,1,1,,,,,,xuHL,k,0,,0k，，又總用水量為:n,1u,kk,0于是可得優(yōu)化模型如下n,1minu,kk,0n,1，，,,CuL,k,,stQ..1,1,,,,0,,,1,,,,,uHL,k,0k,,，，L,u,H(k,0,1,2,...,n,1)k其中代表對洗凈效果的要求。若令:,u,Lkv,,k,HL則:u,(H,L)v，Lkk于是優(yōu)化模型化為更簡潔的形式n,1minv,kk,0n,1,,Qvk,,..1,，,,,0,,,1,stQv,k,,Av，Bk,0K,,0,v,1,k,0,1,2,...,n,1k其中:H,LHL,,A,,B,1,B,,,CLC,,3分析與求解3.1最少洗衣輪數(shù)定義函數(shù)backbone,CountystandingwhenLieutenant,guerrillaactivitybehindenemylinesinthewaterzoneofWujiangCountyborder.Inearly1940,ChangShenLiqunsectorsYuQingzhiisappointedtothreedistrictandthreeenemyGuardCaptain.Yuassumedoffice,thepositiveinnovationgovernance,establishinginformationline,masterpuppetperformance.Three節(jié)水洗衣機Qtr(t),1,Qt，,0,t,1At，B易知，，Br'(t),Q,1,0,0,t,1,,2(At，B)，，可見r(t)是區(qū)間[0，1]上的單調(diào)減函數(shù)，所以:QCr,r(1),1,Q，,(0,1)minH第k輪的洗凈效果為:xk，1,r(v),k,0,1,2,...,n,1kxk由此不難得出n輪洗完后的洗凈效果最多可達到:nQC，，1,Q，,,H，，給定洗凈效果的要求，則應有:,nQC，，1Q,，,,,,H，，于是有:,logn,QC,,log1,Q，,,H,,設(shè)N為滿足上式的最小整數(shù)，則最少洗衣輪數(shù)即為N。003.2算法n,N,N,N,......,N可采用非線性規(guī)劃算法，對(憑常識洗衣的輪數(shù)不00，10，2N應太多,比如取N=10已足夠)進行枚舉求解，然后選出最好的結(jié)果。其中是0滿足洗衣次數(shù)的最小整數(shù)。3.3實例驗證對某款洗衣機的參數(shù)查詢，有C=1，H=5。假設(shè)衣物上污物的溶解率Q=0.5，N,則對于衣物潔凈要求=0.05有n2.4882，即=3，于是:,0n次數(shù)(輪)總用水量(升)uk第5頁，共6頁3754815896101即對于一個特定的衣物潔凈度，最佳的洗衣次數(shù)為3次?？梢妼τ诓煌匆聶C的不同的參數(shù)值，洗衣機的節(jié)水程度均有差異。3.4參考文獻[1]劉國鈞，王連成(圖書館史研究[M](北京:高等教育出版社，1979:[2]徐萃薇.計算方法引論[M].北京:高等教育出版社,1985[3]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學(第3版)[M].北京:高等教育出版社,1988[4]蘇金明等編.MATLAB工具箱應用[M].北京:電子工業(yè)出版社,1988backbone,CountystandingwhenLieutenant,guerrillaactivitybehindenemylinesinthe