高中數(shù)學(xué)必修+選修知識(shí)點(diǎn)歸納大全

.z..z.-高中數(shù)學(xué)必修+選修知識(shí)點(diǎn)歸納大全引言1.課程內(nèi)容：必修課程5函數(shù)〔指、對(duì)、冪函數(shù)〕何初步。3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。平面向量、三角恒等變換。5以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)根底知識(shí)和根本技能的主要平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好根底的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、開(kāi)展過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過(guò)高的要求。此外，根底內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。選修課程4系列1：由2個(gè)模塊組成。選修1—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。2—1線與方程、空間向量與立體幾何。選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。系列3：由6個(gè)專(zhuān)題組成。選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。3—23—3：球面上的幾何。3—4：對(duì)稱與群。選修—53—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)大。4104—14—2：矩陣與變換。4—3：數(shù)列與差分。4—44—5：不等式選講。選修4—6：初等數(shù)論初步。選修—74—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修4—9：風(fēng)險(xiǎn)與決策。4—10：2．重難點(diǎn)及考點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點(diǎn)：⑴集合與簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念與⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式應(yīng)用⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)

-關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓錐曲線的應(yīng)用⑼直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：空間棱錐、球、空間向量⑽排列、組合和概率：排列、組合及其應(yīng)用⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等等式、不等式的應(yīng)用⑺直線和圓的方程：直線的方程、系⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、

望、方差、抽樣、正態(tài)分布⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算1第一章：集合與函數(shù)概念§、集合1、把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無(wú)序性。2、只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等。3*或N，R.-4、集合的表示方法：列舉法、描述法.§、集合間的根本關(guān)系1A、B，ABBAB.2、如果集合AB，但存在元素xBxAABAB.3、把不含任何元素的集合叫做空是任何集合的子集.4An則集合A有2n2n1子集.

稱為A與B的交集.記作B3全集補(bǔ)集？C A{x|xU,且xU}U§、函數(shù)的概念1、設(shè)AB照*f，使對(duì)AxB中都有惟一確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng)，則就稱f:AB為集合AByfxA.2、一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域一樣，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等.§、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.§、單調(diào)性與最大〔小〕值1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：§、集合間的根本運(yùn)算

定義法：設(shè)x、x1 2

[a,b],x1

x則21A

f(x1

)f(x2

0f(x)[ab]函數(shù)；BAB

f(x1函數(shù).

)f(x2

)0f(x)[ab]AB.1 1 21 1

步驟：取值—作差—變形—定號(hào)—判斷格式：解：設(shè)x,x

且

x，集合B.

1

2z.--.z..z.yf(x在*個(gè)

⑤(ax)'axln

；⑥(ex)'ex；區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；

⑦(loga

x)'

1xlna

；⑧(lnx)'1x假設(shè)

，則 為減函數(shù)

3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則f(x)0

f(x)

〔1〕

(uv)'u'v'.§、奇偶性

〔2〕(uv)'u'vuv'.1fx的定

〔3〕

u u'vuv'( )'

(v0).v v2xfxfx，則就稱函數(shù)fx為

4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則yf(g(x的導(dǎo)數(shù)和函yf(uug(xyy

y對(duì)xy對(duì)uy

x

x u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.稱.2fxxfxffx為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.知識(shí)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

解題步驟:分層—層層求導(dǎo)—作積復(fù)原.5、函數(shù)的極值(1)極值定義：極值是在x0f(xf(x，則f(xf(x的極大0 0值；1yf(x在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)的幾

極值是在x0

附近所有的點(diǎn)，都何意義：yf(x)x0

處的導(dǎo)數(shù)是曲

f(xf(x，則f(xf(x的極0 0 yf(x在P(x0

,f(x0

))處的切線的斜

(2)判別方法：率f(x0

) yy0f(x0)(xx0).2、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①C'0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx(cosx)'sinx；①如果在

x附近的左側(cè)0

f'(x)

＞0，⑵an1n0；an右側(cè)f'(x)＜0，則f(x)是極大值；0②如果在xf(x)＜0，0右側(cè)f'(x)＞0，則f(x)是極小值.06、求函數(shù)的最值yf(x在(ab內(nèi)的極值〔極大或者極小值〕yf(xf(a),f(b)比擬，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為極小值。極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)展比擬〔局部性質(zhì)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)展比擬(整體性質(zhì))。

aa10a1圖象(1)定義域：R性〔20，+∞〕質(zhì)〔3〕過(guò)定點(diǎn)〔0，1*=0時(shí)，y=1〔4〕在R〔4R上是增函數(shù)(5)x0,ax1;x0,0ax1減函數(shù)(5)x0,0ax1;x0,ax14、運(yùn)算性質(zhì)：⑵⑴arasars0,r,sQ⑵第二章：根本初等函數(shù)〔Ⅰ〕

arsars

r,sQ；§、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1、一般地，如果xna，則x叫做an的次方根。其中n1,nN.n

⑶abrarbra,b,rQ.§、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：yaxa0,a1nan2、當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ； y nann a

2、性質(zhì)： y=anan當(dāng)nnan

a.

§

a>113、我們規(guī)定：man⑴man

1對(duì)；

x 互化式：am

axNxlog Na a0,m,nN*,m

2、對(duì)數(shù)恒等式：a

aNN..z..z.3、根本性質(zhì)：log10，log a1.a a4、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)aaMN0時(shí)：

-§2.3、冪函數(shù)1、幾種冪函數(shù)的圖象：第三章：函數(shù)的應(yīng)用⑴loga⑵log

loga M

Mlog N；aMlog N；

§、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程fx0有實(shí)根aN a a

yf的圖象與x軸有交點(diǎn)⑶loga

Mnnlog M.a

yf有零點(diǎn).5log

logbb ca log acma0,a1,c0,c1,b0.m

2、零點(diǎn)存在性定理：yf在區(qū)間上的圖6、重要公式：logan

bm logn a

象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有7 、 倒

數(shù) 關(guān) 系

： ff0yf在區(qū)間log

b 1

. b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cb，使得a log b

aabb1

fc0，這個(gè)cfx0的§2..2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)根.1ylogay2、性質(zhì)： y0<a<1a1

0,a0a1

§1、掌握二分法.

o 1 a>1

§、幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型§、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例1

0

1 0 1

1、解決問(wèn)題的常規(guī)方法：先畫(huà)

象0，+∞〕

散點(diǎn)圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，〔2〕值域：R 最后檢驗(yàn).〔3*=1性〔4〕在〔0，+〔4∞〕上是增函數(shù)上是減函數(shù)

必修2數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)質(zhì)(5)xlog0x質(zhì)

x0；(5)xx0 0xlog

x0；0 第一章：空間幾何體a a--.z..z.1、空間幾何體的構(gòu)造

⑷體積公式：⑴常見(jiàn)的多面體有：棱柱、棱錐、

V Sh；V柱體 錐

1Sh3棱臺(tái)；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、

⑸球的外表積和體積：圓錐、圓臺(tái)、球。

S 球

4R3.3⑵棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。⑶棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的外表積與體積

置關(guān)系11面內(nèi)。22點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。33一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。44條直線平行.56、線線位置關(guān)系：平行、相交、異⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面⑶圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面

rlrlrlRl

面。7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。8、面面位置關(guān)系：平行、相交。9、線面平行：⑴判定：平面外一條直線與此平面

這條直線和這個(gè)平面垂直。⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的⑶性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。⑵性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，12、面面垂直：則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行〔簡(jiǎn)稱線面平行，則線線平行〕。10、面面平行：⑴判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行〔簡(jiǎn)稱線面平行，則面面平行〕。⑵性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行〔簡(jiǎn)稱面面平行，則線線平

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直〔簡(jiǎn)稱線面垂直，則面面垂直〕。⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。〔簡(jiǎn)稱面面垂直，則線面垂直〕。第三章：直線與方程

1ktan

y y2 111、線面垂直：⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)

2、直線方程：⑴yy0

kx0

x x2 1⑵斜截式：ykxb1⑶yy1

y2y

第四章：圓與方程1xx xx11 2 1⑷截距式：xy1

1、圓的方程：a b ⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2yb2r2⑸AxByC03、對(duì)于直線：

其中圓心為(a,b)，半徑為r.⑵一般方程：x2y2DxEyF0.l:yk1

xb,l1

:yk2

xb有：2

其中圓心為(D,E) ，半徑為⑴l//l

k k 2 21D2E21D2E24F；1 2 b b r1 2 2l和l1

相交k1

k；2

2、直線與圓的位置關(guān)系；AxByC0與圓；l和

重合

k k1 21 2 b b1 2

(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三⑷l l1

kk1

1. 種:4、對(duì)于直線：

dr0;dr0;l:AxByC ,有：1 1l :A2

1xB2

1yC 02

dr相交0.⑴l//l1

AB1 2BC1 2

AB；2 1；BC2 1

弦長(zhǎng)公式：l2r2d23dOr2d2l和l1

相交AB1 2

AB；2 1

1 2⑴外離：dRr；l和

重合

AB AB；1 2 2 1；

⑵外切： ；1 2 BC1 2

BC2 1

dRr⑷l l1

AA1

BB1

0.

⑶相交：RrdRr；5、兩點(diǎn)間距離公式：6、點(diǎn)到直線距離公式：7、兩平行線間的距離公式：

⑷內(nèi)切：dRr；⑸內(nèi)含：dRr.3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：l：AxByC1

0與l2

：AxByC2

0平

必修3數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)C C1 2A2C C1 2A2B2

第一章：算法--1、算法三種語(yǔ)言：2、流程圖中的圖框：判斷框、流程線等規(guī)*表示方法；3、算法的三種根本構(gòu)造：順序構(gòu)造、條件構(gòu)造、循環(huán)構(gòu)造當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)⑴順序構(gòu)造示意圖：

②直到型〔UNTIL型〕循環(huán)構(gòu)造示意圖：54體句：否①滿足條件？示內(nèi)容〞；變量是②輸出語(yǔ)句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容〞；表達(dá)式示內(nèi)容〞；表達(dá)式③賦值語(yǔ)句的一般格式：變量＝表達(dá)式達(dá)式nnn+1④條件語(yǔ)句的一般格式有兩種：⑵條件構(gòu)造示意圖：

1〕

IF—THEN—ELSE語(yǔ)句的一般格式為：①I(mǎi)F-THEN-ELSE

IF 條件 THEN語(yǔ)句12〕

ELSEENDIF

〔圖2〕的一般格式為：②IF-THEN格式： 否是

IF THEN語(yǔ)句1

3是語(yǔ)句

⑤的一般格式是兩種：⑶循環(huán)構(gòu)圖：

ENDIF

〔圖3〕否①〔WHILE句造示意圖：

當(dāng)型循環(huán)〔WHILE〕語(yǔ)句的一般格式：WHILE循環(huán)體WEND條件〔圖WHILE循環(huán)體WEND條件〔圖4〕. z.滿足條件？是否--.z..z.直到型循環(huán)〔UNTIL〕語(yǔ)句的一般格式：DO循環(huán)體條件LOOP 圖5〕條件⑹算法案例：①結(jié)果是以相除余數(shù)0利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：ⅰm

①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣〔總體個(gè)數(shù)較少〕②系統(tǒng)抽樣〔總體個(gè)數(shù)較多〕③分層抽樣〔總體中差異明顯〕N個(gè)個(gè)體組成樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到n。N2、總體分布的估計(jì)：⑴一表二圖：n

和一個(gè)余數(shù)R；

①頻率分布表——數(shù)據(jù)詳實(shí)ⅱ假設(shè)R＝，則n為0n的最大公約數(shù)；0

設(shè)R≠0，則用除數(shù)n

個(gè)商

和一個(gè)

②頻率分布直方圖——分布直觀余數(shù)R； 0 1ⅲ1 假設(shè)R＝，則R為m，n的

③頻率分布折線圖——便于觀察總最大公約數(shù)；1

設(shè)R≠01

則用除數(shù)R除以余數(shù)

1個(gè)商

和一個(gè)

體分布趨勢(shì)0數(shù)R2

；…1計(jì)算直至R

2＝0，此時(shí)所得

注：總體分布的密度曲線與橫軸圍到的R②

即為所求n最大公約數(shù)。1 損術(shù)—結(jié)果是以減數(shù)與

成的面積為1。相等而得到利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：ⅰ任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它2簡(jiǎn)；假設(shè)不是，執(zhí)行第二步。ⅱ以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，〔等數(shù)〕就是所求的最大公約數(shù)。③進(jìn)位制kk法k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計(jì)1、抽樣方法：

⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。②個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書(shū)寫(xiě)，一樣的數(shù)據(jù)重復(fù)寫(xiě)。3、總體特征數(shù)的估計(jì)：x⑴平均數(shù)：x

xx1

x x；3 n；

⑴事件：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，x,x1 2

,,xn

n

用大寫(xiě)英文字母表示；p,p,,p ，則其平均數(shù)為1 2 n

⑵必然事件、不可能事件、隨機(jī)事xpxp11 2

xp ；n n

件的特點(diǎn)；注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。⑵方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)x,x,,x1 2 n

⑶隨機(jī)事件A的概率：P(m,0P(1.n2、古典概型：⑴根本領(lǐng)件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)方差：

12；s2n112n(xx)ii1

(xii1

x)

的每一個(gè)根本結(jié)果；⑵古典概型的特點(diǎn)：s注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程①變量之間的兩類(lèi)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；②制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系

①所有的根本領(lǐng)件只有有限個(gè)；②每個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生。⑶古典概型概率計(jì)算公式：一次試nAm則事件A發(fā)生的概率P(A)m.n3、幾何概型：⑴幾何概型的特點(diǎn)：①所有的根本領(lǐng)件是無(wú)限個(gè)；③線性回歸方程：

〔最小二乘ybxa法〕

②每個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生。⑵幾何概型概率計(jì)算公式：注意：線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x,y)。第三章：概率1、隨機(jī)事件及其概率：

d的測(cè)度；P(；D的測(cè)度其中測(cè)度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：⑴不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件；

概念.2、與角終邊一樣的角的集合：2k,k§、弧度制⑵如果事件A,A1 2

,,An

任意兩個(gè)都是

1、把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的AA1 2

,,An

彼此互

圓心角叫做1弧度的角.斥。 2、l.r⑶A，BA+B

3l180

R.發(fā)生的概率，等于事件概率的和，

4SnR2360

1lR.2PAB)PP(B)

§、任意角的三角函數(shù)1、設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與⑷如果事件A,A1 2

,,An

彼此互斥，則

單位圓交于點(diǎn)Px,y，則：有：⑸對(duì)立事件：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)要發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。

siny, cosx, tanyxx2y22、設(shè)點(diǎn)Ax,y為角終邊上任意點(diǎn)，則〔設(shè)x2y2①事件

的對(duì)立事件記作

sinycosxtanycotxA A

r x y②對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對(duì)立事件。必修4數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：三角函數(shù)§、任意角1、正角、負(fù)角、零角、象限角的

3、sin，cos，yPTOM AyPTOM Ax函數(shù)線的畫(huà)法.正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270值.

2ksin,2kcos,kZ〕2ktan.23、誘導(dǎo)公式三：4、誘導(dǎo)公式四：5、誘導(dǎo)公式五：6、誘導(dǎo)公式六：0606432233432sintany=sinx y§、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式

21

余弦函2 -2 o

2 2 x1、平方關(guān)系：

.

-

域、sin2cos212tansin.cos3tancot1§1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式限〞kZ〕

2 2 2 2最大最小值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.3、會(huì)用五點(diǎn)法作圖.ysinx在x[0,上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為0 0 -.1、誘導(dǎo)公式一：

，，2

，2yy=tanxyy=tanx-32- -2o232x1、記住正切函數(shù)的圖象：

2、記住余切函數(shù)的圖象：-3、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.fxx取定義fTf，則函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)ysinx ycosx ytanx圖象定義R R {x|x域 2

k,kZ}值域x2k2最值x2k

[-1,1]kZkZ

1max1

[-1,1] Rx2k,kZ時(shí)1max2

x2k,kZ時(shí)，y

min

1無(wú)周期 TT性

T奇偶 奇 偶 性

[2k

上單調(diào)在[2k,2k上單調(diào)遞,2

(k

,k)2 2性kZ 遞增

增[2k,2k]

2 2上單調(diào)調(diào)遞增. z..z..z.--在[2k ,2k ]3上單調(diào)遞減22遞減對(duì)稱軸方程：xk2對(duì)稱軸方程：xk無(wú)對(duì)稱軸性kZ對(duì)稱中心(k,0)對(duì)稱中心(k 2,0)對(duì)稱中心(k2,0)§1.5y的圖象1、對(duì)于函數(shù)：yAsinBA0,0有：振幅

平移|B|個(gè)單位yAsinB〔上加下減〕A，周期T2

，

先伸縮后平移：fT

.2

ysinx 橫坐標(biāo)不變2ysinx的圖象與yAsinB的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.先平移后伸縮：ysinx 平移|| 個(gè)單位ysinx

yAsinxyAsin

A縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的|1|倍yAsinx

〔左加右減〕橫坐標(biāo)不變

yAsin

平移 個(gè)單位〔左加右減〕A縱坐標(biāo)不變yAsin

yAsin

平移|B|個(gè)單位xB〔上加下減〕橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的|1|倍

3、三角函數(shù)的周期，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心--.z..z.函數(shù)yx)，*∈R及函數(shù) 式y(tǒng)cos(x)，*∈R(A,,為常數(shù)，A≠0)的周期T||

；函數(shù)

1、sincoscossinytan(x)

，xk

,k2

(A,ω,

2、sincoscossin3、coscossinsinA≠0)的周期T||.

4、

coscossinsinyAsin(x)yAcos(x)來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.求函數(shù)yAsin(x)圖像的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，只需令

5、tantantan. 6、tantantan 1tan tan§、二倍角的正弦、余弦、正切公式xk2

(kZ與xk(kZ)

1、sin22sincos，解出x即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類(lèi)比可得.4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式Aymaxymin，2

變形：sincos1sin2.22、coscos2sin212sin2.B

max

y.min.2

變形如下：要根據(jù)周期來(lái)求,要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)求.

升冪公式：1cos2cos21cos2sin2cos21(1cos2)§1.6、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、要求熟悉課本例題.

降冪公式：sin2

21(1cos2第三章、三角恒等變換

3、tan 2tan .1tan2§、兩角差的余弦公式

4、tan sin1cos

1cossin21212sincostan64262423

§3.2、簡(jiǎn)單的三角恒等變換1、注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式§、兩角和與差的正弦、余弦、正切公〔其中輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定,tanb ).a第二章：平面向量§、向量的物理背景與概念1速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§、向量的幾何表示1方向、長(zhǎng)度.AB；2AB的大小，也就是向量ABAB；長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量；1單位向量.3、方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量〔或共線向量〕.規(guī)定：零向量與任意向量平行.§、相等向量與共線向量1、長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量叫做相等向量.§、向量加法運(yùn)算及其幾何意義

1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.2abab.§、向量減法運(yùn)算及其幾何意義1、與a做a的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.§、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1、規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的向規(guī)定如下：a⑴a ,a⑵當(dāng)0a的方向與a樣；當(dāng)0aa的方向相反.2、aa0與b 共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一實(shí)數(shù)，使ba.§、平面向量根本定理1ee是1 2同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1 2

5、abab0.§使ae11

e . 角2 2§平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 1、設(shè)a,y1 1

,bx,y2

，則：1、axiyjx,y.

⑴abxxx2x2y21 1

yy1 2§、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑵a1、設(shè)a

b,

，則：

⑶abab0x

yy 0⑴ab1

1 1x,y2

2 2y，2

12 12⑷a//babxyxy012 21⑵ab1

x,y2

y，2

2y1 1

,Bx,y2

，則：⑶ax1

, .ABABx2y2 1y22 1⑷a//bxy1 2

xy.2 1

3、兩向量的夾角公式2y1 1

,Bx,y2

，則：

4、點(diǎn)的平移公式ABx2

x,y1

y1

平移前的點(diǎn)為P(x,y)〔原坐標(biāo)〕，§、平面向量共線的坐標(biāo)表示

平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)〔新坐1y1 1

,Bx,y2

,Cx,y3

，則

PPh,k)xx⑴ABxx

,yy ，

xxh221 2 1 222⑵△ABC的重心坐標(biāo)為

yk.xxx,yyy1 2 3 1 2 33 3§、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義ab1、ab cos.aba2、a在b方向上的投影為：acos3、a2 2.aa24、a a2

函數(shù)yf(x) 的圖像按向量ahk平移后的圖像的解析式為ykf(xh).§、平面幾何中的向量方法§、向量在物理中的應(yīng)用舉例知識(shí)：空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)展總結(jié)歸納.1

-〔如圖〕2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系⑴線線平行⑴．直線的方向向量：

設(shè)直線l,l1 2

的方向向量分別是ab，A、B是直線l

則要證明ll1 2

，只需證明a∥b，即AB為直線lAB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.⑵．平面的法向量：假設(shè)向量n所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n，如果n，則向量n叫做平面的法向量.⑶①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．②設(shè)平面的法向量為n(x,y,z)．③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的

akb(kR).即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。⑵線面平行〔法一〕設(shè)直線l的方向向量是a的法向量是u，則要證明l∥，只需證明au，即au0.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②〔法二〕要證明一條直線和一坐標(biāo)aaaa),b,b,b．

量即可.1 2 3 1 2 3④根據(jù)法向量定義建立方程組.na0.nb0⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量..

⑶面面平行假設(shè)平面的法向量為u的法向量為vv，即證uv.z.-即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系⑴線線垂直

垂直。4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角a,b為兩異面直線，A，CB，D設(shè)直線l,l1 2

的方向向量分別是

分別是a,b上的任意兩點(diǎn)，a,b所成的abl1即ab0.

lab，2

角為，則cos

ACBD.ACBD即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。⑵線面垂直〔法一〕設(shè)直線la，平面的法向量是u，則要證明l，只需證明au，即au.〔法二〕設(shè)直線l的方向向量是a內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為mn，假設(shè)am0,則l.an0即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直假設(shè)平面的法向量為u，平面的法向量為vuv即證uv0.即：兩平面垂直兩平面的法向量.

⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角②設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u成的角為與u的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：⑶求二面角①定義：個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面?zhèn)€半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角z.--l

的棱上任取一點(diǎn)O

⑵A的距離個(gè)半平面內(nèi)作射線AOl,BOl，則AOB為二面角l的平面角.如圖：②求法：設(shè)二面角l的兩個(gè)mn，再設(shè)mn的夾角為，二面角l的平面角為為mn的夾角或其補(bǔ)角.根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：◆如果是銳角，則，mn，coscosmn即arccosmn；mn

假設(shè)點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，MPcosn,MP平面的法向量為nPMPnMPcosn,MP即d⑶直線a與平面之間的距離nMP.nnMP.n如果

是鈍角，則

即dcos

cos

mn，mn

⑷兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相即 mn

等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化arccos mn即d即dnMP.n5、利用法向量求空間距離⑴Ql距離QlP線la為直線l的方向向量，1|a|(|a||1|a|(|a||b|)2(ab)2h.

⑸異面直線間的距離n與兩異面直線a,b都垂直，MaPb則兩異面直線abz.--距離d就是MP 在向量n方向上投影

且BD⊥ADD.設(shè)AB與(AD)的絕對(duì)值。

所成的角為

，ADAC1nMP.n為 ，AB與ACnMP.n2即d

coscos1

cos.26、三垂線定理及其逆定理

8、面積射影定理平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為SS

，它在平面內(nèi)的射影圖形的⑴在平面內(nèi)的一條直

原S

，平面射

與平面所成和這個(gè)平面的一條斜線

的二面角的大小為銳二面角，則9、一個(gè)結(jié)論長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為POPOAa

l、l、l1 2

，夾角分別為、、1 2 3

,則有l(wèi)2l2l2l2co2co2

co21直，則它也和這條斜線垂直

1 2 3 1sin2sin2sin2

2 32.1 2 3PO,O

〔立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例〕.PA

aPAAa,aA⑵在平面內(nèi)

必修5數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：解三角形1、正弦定理：的一條直線，如果和這個(gè)平面的一

asinA

bsinB

csinC

2R.AA射影垂直P(pán)O,O

〔其中R為ABC外接圓的半徑〕用途：⑴三角形兩角和任一邊，求其它元素；PA

aAOa,aAP7、三余弦定理B.A12D C設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線B.A12D C

⑵三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它元素。2、余弦定理：用途：⑴三角形兩邊及其夾角，求其它元素；z.--.z..z.⑵做題中兩個(gè)定理經(jīng)常結(jié)合使

差數(shù)列Aab2⑶ 通 項(xiàng) 公 式 ：用.3、三角形面積公式：

a an 1

(n1)dam

(nm)d或4、三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)

a pnqp、是常數(shù)）.n⑷前n項(xiàng)和公式：C2 2

AB2

2(AB).

⑸常用性質(zhì)：5、一個(gè)常用結(jié)論：在 ABC 中 ，

①假設(shè)mnpqnpqN；

，則a a a aabsinAsinBAB;sin2Asin2B則A或AB.特

m n p 下標(biāo)為等

數(shù)列的項(xiàng)2

a,ak

k

,a ,k2m

，仍組成等差數(shù)列；sinAsinBAB不成立。

③數(shù)列an差數(shù)列；〔b為常數(shù)〕仍為等第二章：數(shù)列

④假設(shè){an

}n

}{ka、n1、數(shù)列中a與Sn n

之間的關(guān)系：

pbn

}kp是非零常數(shù))、S ,(n

注意通項(xiàng)能否合

{anpnqn

pqN*a 1

⑤的公差為d，則：n Sn

Sn1

,(n2).

ⅰ〕d0

為遞增數(shù)列；并。 ⅱ

d0

a為遞減數(shù)列；nnn2、等差數(shù)列：

?！砫0n

為常數(shù)列；⑴2

⑥

}為等差數(shù)列an

pnq每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于

〔p,q是常數(shù)〕⑦n

的前n項(xiàng)和S ，n同一個(gè)常數(shù)，即a－a =d〔nn n1≥2，n∈N則這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。⑵等差中項(xiàng)：假設(shè)三數(shù)a、A、b成等

則S、S S 、S S …是等差數(shù)k 2k k 3k 2k列。3、等比數(shù)列⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)則這個(gè)數(shù)列就叫做 a1

0,q或a1

0,0q1n

為遞增數(shù)等比數(shù)列。

a1

0,0qa1

0,q1n

為遞⑵等比中項(xiàng)：假設(shè)三數(shù)Gb成等比

減數(shù)列；數(shù)列G2ab〔ab反之不一定成立。

q1nq0

為常數(shù)列；為擺動(dòng)數(shù)列；⑶an

aqn11

aqnmm

n⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)⑷前n⑸常用性質(zhì)

a 1qn 11q

aqa 1 na1q

列是常數(shù)列。⑦n

的前n項(xiàng)和S ，n①假設(shè)mnpqnpqN；

，則

則S、Sk 2k列.

S 、Sk

S …是等比數(shù)2ka a a am n p q②a,k

km

,ak2m

, 為等比數(shù)列，公比為

4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求qk(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列)

法類(lèi)型Ⅰ觀察法：數(shù)列前假設(shè)干③數(shù)列an

〔為不等于零的常數(shù)〕

項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所仍是公比為q

給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而數(shù)列an

；則an

是公差為lgq的等

根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。差數(shù)列；

類(lèi)型Ⅱ公式法：假設(shè)數(shù)列的前n④假設(shè)

是等比數(shù)列，則

項(xiàng)和S與an

的關(guān)系，求數(shù)列n

的通n 項(xiàng)a可用公式

S

,(n1)構(gòu)造11

n n S

,(n2)caa2 ，

n n1n n an

兩式作差求解。arZn1

是等比數(shù)列，公比依次是

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二〞，即分，qr.q⑤單調(diào)性：

段式；另一種是“合二為一〞，即a1和an1和n--兩種情況分別進(jìn)展運(yùn)算，然后 an2

a

f(n1)類(lèi)型Ⅲ累加法：類(lèi)型Ⅲ累加法：

n1aan1n2...

f(n2)形如

n1

af(n型的遞推數(shù)列〔其n

a2f(1)f

是關(guān)于n

的函數(shù)〕可構(gòu)造：

a1將上述n1aa f(n1)n n1

f(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n 1a n 1

f(n2)n1 n2...aa2

f(1)

有時(shí)假設(shè)不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。將上述n1得：

㈠形如a pa q〔其中p,q均為常類(lèi)型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：n1 n類(lèi)型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：a f(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n 1①f(n是關(guān)于n加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;②假設(shè)f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;③f(n是關(guān)于n加后可分組求和;④f(n是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

數(shù)且p0〕型的遞推式：〔1p1a}為等差n數(shù)列;〔2q0a}為等比n數(shù)列;〔3〕假設(shè)p1且q0a}n類(lèi)型Ⅳ累乘法：為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求.方法有如下兩種：類(lèi)型Ⅳ累乘法：形如 a

型的遞推

法一： 設(shè)

n1

p(an

),展開(kāi)移項(xiàng)整a af(n) n1f(n)

理得a

(p1),與題設(shè)n1 n an

n1 n數(shù)列f(n是關(guān)于n的函數(shù)〕可

a paq比擬系數(shù)〔待定系數(shù)法〕n1 n得 q

,(p0)a

q p(a q )p1.

n1

p1 n p1z.--.z..z.a n

qp1

p(a

n1

qp1

),即a n

q p1

n1

pan

f(n)，構(gòu)成以

q

為公比的

n

n1

f(n1)兩式相減得：a p1 p1

a an1

p(an

an1

dbn

a a得：n1 n等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)

pbn

d轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出b，n公式求出a

q 的通項(xiàng)整理可得

再用類(lèi)型Ⅲ〔累加法〕便可求出a.n n p1a.

⑵f

為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型〔即等比數(shù)n由

n1

pan

q得an

pa

n1

q(n2)

列〕時(shí)：

an1

p,即

設(shè)an

f(n)pan1

f(n1)，

a n

n1

的值，轉(zhuǎn)化成an1

an

aa2

為首項(xiàng)，以p為 公比的等比數(shù)列.求出an1

a的通n

以af(1)p為公比的等項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ〔累加法〕便可 1求出a.n

比數(shù)列an

fn1nn1n

pa

f(n)p1)型的遞推

的通項(xiàng)公式求出an

f的通項(xiàng)整式： 理可得a.n⑴f(n列〕時(shí)：法一：設(shè)

f(n的公比為q時(shí)，由遞推式得：a pa f(n)——①，n1 na pa f(n1)，兩邊同時(shí)乘以q得n n1aAnBpan (n1)B

aqpqan

n1

qf(n1)——②，由①②兩AB的值，轉(zhuǎn)化成以

式相減得a aqp(a qa )，即n1 n n n1aABp為公比的等比1

an1

qan

p，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可數(shù)列a

An

a n

n1n通項(xiàng)公式求出a

An的通項(xiàng)整理

求出a.nn可得a.

法三：遞推公式為a

n1

pan

qnn

f

的公差為d

〔其中q

n1

pan

rqn〔其中p，q,r均為常數(shù)〕時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qn1，

1an

的表達(dá)式，再求a；n

p a 1引入輔助數(shù)列

還有形如a

ma 的遞推式，也可nn1qn1

nq qn q

b n

paqn采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成1

m1m〔其中

a

p 1再應(yīng)

a qa pn1 nb n qn

bn1

b q n q

形式，化歸為a

n1

pan

q1的a用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決。⑶f(n為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在a pa f(n)兩邊同時(shí)除以nn1 nn

n表達(dá)式，再求a.n類(lèi)型Ⅷ形如類(lèi)型Ⅷ形如an2pa qa 型的n1n遞推式：n1npn1可得到a n1npn1

a f(n)，令apn pn1 pn

b，n

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解。方法為：設(shè)則b

f(n

n

}n1n1

n pn1

an2

n1

h(a

n1

kan

)，比擬系數(shù)得，求出bn

之后得an

pnb.n

hkp,hkq，可解得hk，于是ka是公比為h的等比數(shù)列，這n1 n類(lèi)型Ⅵ對(duì)數(shù)變換法：形如a paq(p0,a 0)型的遞推式：類(lèi)型Ⅵ對(duì)數(shù)變換法：n1 n在原遞推式a paq兩邊取對(duì)數(shù)n1

樣就化歸為a paq型。n1 n總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)得lga

n1

qlgan

lgp，令bn

lga得：n

數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，bn1

qbn

lgp，化歸為

n1

pan

q型，

對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)求出bn

之后得an

列，可用歸納、猜測(cè)、證明方法求10，

出數(shù)列通項(xiàng)公式a.n類(lèi)型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如類(lèi)型Ⅶ倒數(shù)變換法：

an1

pa

a〔n1n

pp0〕

5n的求法的遞推式：兩邊同除于a a，轉(zhuǎn)化n1n

⑴錯(cuò)位相減法為1 1 p形式化歸為a a

n1

pa qn

①假設(shè)數(shù)列a為等差數(shù)列，數(shù)列nn n1

n

b的求n和就要采用此法.

⑤nn!(nn!.②n

b的每一項(xiàng)分別乘n

⑶分組法求和以n

的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)

有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，而可得到數(shù)列an

b的前n項(xiàng)和.n

也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類(lèi)數(shù)列此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n⑵裂項(xiàng)相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)

適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項(xiàng)公式②由通項(xiàng)公式確定如何分ca (a,b,

,為常數(shù)時(shí)往 組.n (anb)(anb) 1 21 2

⑷倒序相加法往可將an

變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)

如果一個(gè)數(shù)列an

相消法求和.可用待定系數(shù)法進(jìn)展裂項(xiàng)：

的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式設(shè)a n anb1

anb2

相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特后與原式相比擬，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得 c ，從而可得

征：aa a1 n 2

n1

...bb2 1

⑸記住常見(jiàn)數(shù)列的前n

項(xiàng)和：常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：

①123...nn(n1);2①1 1 1 ；n(n1) n n1

②135...(2n1)n2;③2222...n21n(n1)(n1).② 1(2n1)(2n1)

1(2

12n1

1 );2n1

6第三章：不等式a a b④

1 (aaba

b);

§3.1、不等關(guān)系與不等式1、不等式的根本性質(zhì)Cm1n

Cmn1

Cm;n①〔對(duì)稱性〕abba②〔傳遞性〕ab,bcac③〔可加性〕abacbc3abc〔同向可加3abc

用根本不等式求最值時(shí)〔積定和最小，和定積最大〕，要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等〞.③〔三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不ab,cdacbd〔異向可減性〕

等式〕abc3

(a、b、cR)〔當(dāng)dacbd④〔可積性〕a0acbc⑤〔同向正數(shù)可乘性〕ab0,cd0acbd〔異向正數(shù)可除性〕 ab0,0cd a b

且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)〕.④a2b2c2abbccaR〔當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)〕.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)〔當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)〕.c d⑥〔平方法則〕

⑥若ab0,則b a

a=bab0anbn(nN且n1)ab0

nanb(nN且n1)na

等號(hào)〕若ab

aba

a=b時(shí)?、唷驳箶?shù)法則〕

0,ab2ab0a

1;ab011b a b

⑦bb

1ana2、幾個(gè)重要不等式

a am

bn ba2b22abRab時(shí)取"號(hào)〕.變形公式：aba2b2.2

其中(ab0，m0，n0)1同加則變小.⑧ababab2

R,

a時(shí)ax2a2xx;⑨絕對(duì)值三角不等式ababab.〔當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)〕.ab2ababab2ab

3、幾個(gè)著名不等式2 ①平均不等式：2 ab2 ab

ab

順序和〕a1b1 2

當(dāng)且僅當(dāng) 或a2b22a2b22

a

時(shí)取""

aa1

...an

bb1

...bn號(hào)〕.算術(shù)平均變形公式：

時(shí)，反序和等于順序和.⑨琴生不等式:〔特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)〕假設(shè)定義在*區(qū)間上的函數(shù)f(x),②冪平均不等式：

對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)xx(x1 2 1

x),有2③二維形式的三角不等式：④二維形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2acbd)2(abcdR當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.⑤三維形式的柯西不等式：

則稱f(*)為凸〔或凹〕函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，(a2a2a2)(b2b2b2)(ab

aba

)2.1 2 3 1 2 3

11 22 33

數(shù)學(xué)歸納法等.⑥一般形式的柯西不等式：設(shè),設(shè),是兩個(gè)向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)kk

常見(jiàn)不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，如1 3 (a )2 (a )2;1 3 2 4 2②將分子或分母放大〔縮小〕，如⑧

1 2

(kN*,k1)等.kk kkk k11 2

...a,bbn 1 2

...b為兩n

5、一元二次不等式的解法c,c

,...,

是b

,...,

的任一排

求一元二次不等式ax2bxc0(或0)1 2 n列，則

1 2 n

(a0,b24ac0)解集的步驟：abab...ab

〔反序和亂序和

一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).11 22 nn二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.

⑵ a(a0)f(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)⑶ g(x)g(x)0 或f(xf(x)五解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集. ⑷規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于

f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)f(x)f(x)[g(x)]2

g(x)0f(x)取中間，大于取兩邊. f(x)6、高次不等式的解法：穿根法.

f(x)0g(x)g(x)g(x)f(x)g(x)奇穿偶切7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小〞的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：⑴當(dāng)a1afx)agx)f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1afx)agx)f(x)g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.f(x)g(x)f(x)g(x)

0f(x)g(x)00f(x)g(x)0g(x)0

或時(shí)同

10、對(duì)數(shù)不等式的解法⑴當(dāng)a1理〕規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整

loga

f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)式不等式求解.8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

⑵當(dāng)0a1時(shí),log f(x)loga

f(x)0g(x)g(x)0 .f(x)g(x)f(x)⑴ a(a0)f(x)f(x)f(x)a2

規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法：⑴定義法：aa (a0).a(a0)

實(shí)數(shù)〔或恒成立〕的條件是：⑵f(x)g(x)f2(xg2(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);xaxxa(a0);③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④

①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;②當(dāng)a0時(shí)⑵ax2bxc0實(shí)數(shù)〔或恒成立〕的條件是：①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;②當(dāng)a0時(shí)fx)gx)fx)gxfx)g(x)(g(x)0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).

⑶f(x)

a恒成立

f(x)

max

a;12、含有兩個(gè)〔或兩個(gè)以上〕絕對(duì)

f(xa恒成立f(x)

max

a;值的不等式的解法：

f(x)a恒成立f(x)

min

a;規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取

f(xa恒成立f(x)15、線性規(guī)劃問(wèn)題

min

a.各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2bxc0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)展分類(lèi)討論，分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)有：⑴討論a0⑵討論0

⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：AxByC0的同一側(cè)AxByC后所*⑶討論兩根的大小.

一特殊點(diǎn)(x,y0 0

)〔如原點(diǎn)〕，由14、恒成立問(wèn)題

AxBy0

C的正負(fù)即可判斷出⑴ax2bxc0的解集是全體

AxByC0(或0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).根據(jù)AxByC0(或0)，

標(biāo)函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值法二：畫(huà)——移——定——求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)觀察B的符號(hào)與不等式開(kāi)口的符號(hào)，出可行域；第二步，作直線假設(shè)同號(hào)，AxByC0(或0)表示直線上方的區(qū)域；假設(shè)異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.異號(hào)下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部.

lAxBy0〔據(jù)可行域，0 0將直線l0三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標(biāo)函數(shù)zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解確實(shí)定方法：利用z的幾何意義：yAxz,B Bz為直線的縱截距.B⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)zAxByB為常數(shù)〕的最值：

①

B

則使目標(biāo)函數(shù)法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù)zAxBy〔y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)〕的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)z

zAxBy所表示直線的縱截距最大z取得最小值；②假設(shè)B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大z值.⑷常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型：①“截距〞型：zAxBy;

-結(jié)詞構(gòu)成的命題.pqr，s，……表示命題.2、四種命題及其相互關(guān)系四種命題的真假性之間的關(guān)系：②z

y或zx

ybxa

⑴、兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有一樣的真假性；距離〞型：zx2y2或z x2y2;z(xa)2(yb)2或z (xa)2(yb)2.在求該“三型〞的目標(biāo)函數(shù)的

⑵、兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果pq，則就說(shuō)：p最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式

是q

p的必要條件；的幾何意義求解，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.選修數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題一：常用邏輯用語(yǔ)1、命題：可以判斷真假的語(yǔ)句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題;復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián).

pqp是q件，簡(jiǎn)稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條p論q之間的關(guān)系：Ⅰ、從邏輯推理關(guān)系上看：①假設(shè)pqp是qq是p的必要條件；②pq，但qpp是q充分而不必要條件;③pq，但qpp是q必要z.而不充分條件;④pq且qpp是q條件；⑤pq且qpp是q的既不充分也不必要條件.

-pq〞形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一假必假；p方法：真假相對(duì).5、全稱量詞與存在量詞Ⅱ、從集合與集合之間的關(guān)系上看：⑴全稱量詞與全稱命題Ax滿足條件x滿足條件 短語(yǔ)“所有的〞“任意一個(gè)〞在q：①ABp是q充分條件；②假設(shè)BAp是q必要條件；③ABp是q條件;④假設(shè)B A，則p是q必要而不充分條件;

邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符叫做全稱命題.⑵存在量詞與特稱命題在邏輯中通常叫做存在量詞，并用〞表示.含有存在量詞的命⑤假設(shè)AB，則p是q的充要條件； 題，叫做特稱命題.⑥AB且BAp是q充分也不必要條件.4、復(fù)合命題⑴p或q

⑶全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否認(rèn)①pxp(x，它的否認(rèn)：xp(x全稱命題的否認(rèn)0 0〔pq且〔pq非〔. 是特稱命題．⑵復(fù)合命題的真假判斷pq斷方法：一真必真；

②特稱命題p：x,p(x),，它的否0 0認(rèn)xp(x是全稱命題.. z.-專(zhuān)題二：圓錐曲線與方程1．橢圓焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸圖形標(biāo)準(zhǔn)方程

x2y2a2 b2

1ab0

y2x2a2 b2

1ab0F

的距離之和等于常數(shù)2a，即|

||

|2a第一定義

1 2 1 2〔2aFF|〕1 2第二定義*圍

與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù) e，即MFe(0e1)daxa且byb bxb且aya頂點(diǎn) 1

a,0、20,b、

0,b

a、1 、

a1 2 1 2軸長(zhǎng)對(duì)稱性

長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a短軸的長(zhǎng)2b關(guān)于xy軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn) F1

、F2

F1

c、F2

0,c焦距 FF (c2a2b2)離心率

ec

1 c2

a2b2

1

(0e1)準(zhǔn)線方程

a a2 a2xa2c

a2ya2c焦半徑

MF1

aex0

MF1

aey0. z.M(x0,

y) MF0

-aex0

MF2

aey0焦點(diǎn)三角形

S b2tan

(FMF)12面積 MFF 2 1 212通徑

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：

HHb2aA(x

y),B(x

y)，AB 1k2x

1k2 (x

x)24xx公式 1,

2, 2

1 2 1 2 12焦點(diǎn)的位置

焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程

x2y2a2 b2

1a0,b0

y2x2a2 b2

1a0,b0第一定義

到兩定點(diǎn)FF的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a，即1 2|MF||MF|2a〔02aFF|〕1 2 12第二定義*圍

與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)eMFe(e1)dxa或xa，yR ya或ya，xR頂點(diǎn) 1

a,0、2

1

a、2

a軸長(zhǎng)對(duì)稱性

實(shí)軸的長(zhǎng)2a虛軸的長(zhǎng)2b關(guān)于xy軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn) F1

、F2

F1

c、F2

0,c. z.-焦距 FF

(c2a2b2)心率

ec

1 2c2

a2b2

1

(e1)a a2 a2 a2方程

y22px

xy2a2a2

2px

x22py

y

a2c

2py程漸近線方

p0 p0 p0 p0

y

x yax程

F和一條

l叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)M在右支左焦MF ex

M在上支左焦MF eya焦半徑

1 0

1 02頂點(diǎn) 右焦2

ex0

a

2

ey a0M(x y)

在左支左焦MF exa

在下支左焦MF eya離心0, 0 M

1 0

e1 M

1 0焦點(diǎn)三角

2

ex012S12

ab2cot

F

2)

ey a0形面積

MFF 2 1 2通徑23．拋物線

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：

HHb2a. z..z..z.--對(duì)稱軸x軸y軸*圍x0x0y0y0焦點(diǎn)Fp,02F2p,0F0,p2F0,p2程xp2xp2yp2yp2焦半徑MFxpM(x y)0, 002MFxp02MFy p02MFy p02通徑HH2p焦點(diǎn)弦長(zhǎng)ABxxp1 2公式p的幾何pp越大，開(kāi)口越闊意義關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：ABy傾斜角為，則

2px(p0)A(xyB(xy1 1 2 2

)，直線AB的⑴xx p2,y

p2;⑵AB 2p ;12

12 sin2⑶AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑷焦點(diǎn)FAB在準(zhǔn)線上射影的*角為；2⑸1 1 2.|FA| |FB| P.z..z.專(zhuān)題三：定積分1、定積分的概念f(x在區(qū)間[ab上連續(xù)，用

-可積，則bf(x)dxF(x)a

F(b)F(a)，分點(diǎn)ax0

x…x x1 i1

…xn

b將

【其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)，區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)

因?yàn)镕(xCF(xf(x】小區(qū)間[xi1

x上任取一點(diǎn)i

3、常用定積分公式(i1,2,…,n)，作和式i

0dxc〔c為常數(shù)〕⑵1dxxcL n f)xn bafn i n

),，當(dāng)ni1 i1*個(gè)常數(shù)，這

⑶xdx1c 1)xx

f(x)

[ab上

⑷1dxlnxx的定積分.記作，即a

⑸exdxexcn ba

⑹ axbf(x)dxlim f

與b分

axdx

c (a0,a1)a

n ii1

lna別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,bf(x)叫做被

⑺sinxdxcosxc⑻cosxdxsinxc

x

f(x)dx叫

⑼sinaxdx1cosaxc (a0)a做被積式.說(shuō)明：〔1〕定積分的值是一2

⑽cosaxdx1sinaxc (a0)a4、定積分的性質(zhì)用定義求定積分的四個(gè)根本步驟：

⑴bkf(x)dxk

f(x)dx〔ka a①分割；②近似代替；③求和；④取極限.

⑵bf(x)g(x)dxbf(x)dxbg(x)dx；a a a2、微積分根本定理(牛頓-萊布尼茲公式)

⑶bf(x)dxcf(x)dxba a cacb);

f(x)dx〔其中如果F(x)f(xf(x)在[ab]上

⑷利用函數(shù)的奇偶性求定積分