微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

二、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.5函數(shù)極值的判定[定理4.6]如果函數(shù)f(x)在x0附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么⑴若f"(x0)＜0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值⑵若f"(x0)＞0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!例4.11求下列函數(shù)的極值⑴f(x)＝2x3－3x2⑵f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6令6x2－6x＝0，得駐點(diǎn)為x1＝1，x2＝0∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0把x1＝1，x2＝0代入原函數(shù)計(jì)算得f(1)＝－1、f(0)＝0∴當(dāng)x＝1時(shí)，y極?。剑?，x＝0時(shí)，y極大＝0微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!例4.11求下列函數(shù)的極值⑵f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]解:⑵f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0，得駐點(diǎn)為x1＝，x2＝，又f"(x)＝－sinx－cosx，把x1＝，x2＝代入原函數(shù)計(jì)算得f()＝、f()＝－。所以當(dāng)x＝時(shí)，y極大＝，x＝時(shí)，y極小＝－[注意]如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本定理無(wú)效，則需要考察點(diǎn)x0兩邊f(xié)'(x)的符號(hào)來(lái)判定是否為函數(shù)的極值點(diǎn)。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!4.6函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)1.曲線的凹凸性設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果對(duì)應(yīng)的曲線段位于其每一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凹的，如果對(duì)應(yīng)的曲線段位于其每一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凸的。從圖象上來(lái)看，曲線段向上彎曲是凹的，曲線段向下彎曲是凸的。[定理4.7]設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在(a,b)內(nèi)f"(x)＞0，那么對(duì)應(yīng)的曲線在(a,b)內(nèi)是凹的，如果在(a,b)內(nèi)f"(x)＜0，那么對(duì)應(yīng)的曲線在(a,b)內(nèi)是凸的。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!例4.14判定曲線y＝cosx在(0,2π)的凹凸性解：∵y'＝－sinx，y"＝－cosx，令y"＝0，得x1＝，x2＝∴當(dāng)x∈(0,)時(shí)，f”(x)＜0，曲線在(0,)內(nèi)為凸的，當(dāng)x∈()時(shí)，f”(x)＞0，曲線在()內(nèi)是凹的，當(dāng)x∈(,2π)時(shí)，f”(x)＜0，曲線在(,2π)內(nèi)為凸的。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!例4.15求曲線y＝x3－4x＋4的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0當(dāng)x＜0時(shí)，y”＜0，曲線在(－∞,0)內(nèi)為凸的，當(dāng)x＞0時(shí)，y"＞0，曲線在(0,＋∞)內(nèi)是凹的。在x＝0的左右兩側(cè)，y”由正變負(fù)，所以(0,4)為曲線上的拐點(diǎn)。例4.16討論曲線y＝x4－1的凹凸性和拐點(diǎn)解：∵f"(x)＝12x2

∴當(dāng)x≠0時(shí)，f"(x)＞0，而f"(0)＝0因此曲線y＝x4－1在(－∞,＋∞)內(nèi)都是凹的，點(diǎn)(0,－1)不是拐點(diǎn)。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!三、高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.8用多項(xiàng)式近似表達(dá)函數(shù)──泰勒公式如果我們能用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，這樣將會(huì)帶來(lái)很大的方便。一般地說(shuō)，多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)。那么我們?cè)鯓影岩粋€(gè)函數(shù)近似地化為多項(xiàng)式函數(shù)呢?微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!當(dāng)x→0時(shí)，拉格朗日余項(xiàng)Rn(x)是關(guān)于xn的高階無(wú)窮小量，可表示為Rn(x)＝O(xn)。O(xn)稱為皮亞諾余項(xiàng)。這樣，函數(shù)f(x)在x＝0點(diǎn)附近的泰勒展開式又表示為：一般地，函數(shù)f(x)在x＝x0點(diǎn)附近泰勒展開式為：微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!例4.20求函數(shù)f(x)＝sinx在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosxf(4)(x)＝sinx，…∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1f(4)(0)＝0，…f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0于是，sinx在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式為：微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!例4.22求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式解：∵f'(x)＝，f"(x)＝-，f"'(x)＝，f(4)(x)＝-，…∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!f(4)(0)＝-3!，…f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)!于是，ln(1＋x)在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式為：微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!證明：根據(jù)柯西定理有∵ξ在x與a之間，∴當(dāng)x→a時(shí)ξ→a∵，∴這說(shuō)明求可導(dǎo)函數(shù)與商的極限時(shí)可以轉(zhuǎn)化為求它們導(dǎo)數(shù)的商的極限。當(dāng)x→∞時(shí)，上述定理也成立。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!例4.25求極限解：當(dāng)x→∞時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!例4.26求解：當(dāng)x→0+時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有例4.27證明當(dāng)a＞0時(shí)，＝0證明：根據(jù)羅必塔法則這表明，無(wú)論是α一個(gè)多么小的正數(shù)，xα趨于＋∞的速度都比lnx趨于＋∞的速度快。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!例4.13判定曲線y＝的凹凸性解：∵y＝∴f'(x)＝－，f"(x)＝，無(wú)拐點(diǎn)但有間斷點(diǎn)x＝0當(dāng)x＜0時(shí)，f”(x)＜0，曲線在(－∞,0)內(nèi)為凸的，當(dāng)x＞0時(shí)，f"(x)＞0，曲線在(0,＋∞)內(nèi)是凹的。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!2.曲線的拐點(diǎn)曲線上凸部和凹部的分界點(diǎn)叫做拐點(diǎn)。因此拐點(diǎn)一定是使f"(x)＝0的點(diǎn)，但是使f"(x)＝0的點(diǎn)不一定都是拐點(diǎn)。[求拐點(diǎn)的一般步驟]⑴求二階導(dǎo)數(shù)f"(x)；⑵求出f"(x)＝0的全部實(shí)根；⑶對(duì)于每一個(gè)實(shí)根x0，檢查f”(x)在x0左右兩側(cè)的符號(hào)，如果x0兩側(cè)f"(x)的符號(hào)不同，則點(diǎn)(x0,f(x0))是曲線的拐點(diǎn)；如果x0兩側(cè)f”(x)的符號(hào)相同，則點(diǎn)(x0,f(x0))不是曲線的拐點(diǎn)。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!4.7函數(shù)圖象的描繪利用函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，我們可以較準(zhǔn)確地用描點(diǎn)法描繪函數(shù)的圖象。一般步驟為：⑴確定函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性，求出函數(shù)圖象和兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；⑵計(jì)算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)和增減區(qū)間；⑶計(jì)算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間；⑷計(jì)算駐點(diǎn)、拐點(diǎn)處的函數(shù)值；⑸列表，描繪函數(shù)的圖象。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)![定理4.8]設(shè)f(x)在x＝0點(diǎn)及其附近有直到n＋1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么其中Rn(x)＝(ξ在0與x之間)上式稱為函數(shù)f(x)在x＝0點(diǎn)附近關(guān)于x的泰勒展開式簡(jiǎn)稱泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余項(xiàng)。微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!4.9幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒公式例4.19求函數(shù)f(x)＝ex在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1于是，ex在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式為：在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!例4.21求函數(shù)f(x)＝cosx在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式解：∵f'(x)＝-sinx，f"(x)＝-cosx，f"'(x)＝sinxf(4)(x)＝cosx，…∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0f(4)(0)＝1，…f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n于是，cosx在x＝0點(diǎn)的泰勒展開式為：微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!4.10羅必塔法則1.不定式[定理4.9]如果當(dāng)x→a時(shí)函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于零，在點(diǎn)a的某一鄰域內(nèi)(點(diǎn)a除外)，f’(x)、g’(x)均存在，g’(x)≠0，且存在(或無(wú)窮大)，則微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!例4.23求極限解：當(dāng)x→0時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有例4.24求極限解：當(dāng)x→1時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!2.不定式[定理4.10]如果當(dāng)x→a時(shí)函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于無(wú)窮大，在點(diǎn)a的