2020年高考文科數(shù)學《三角函數(shù)》題型歸納與訓練

年高考文科數(shù)學《三角函數(shù)》題型歸納與訓練【題型歸納】題型一定義法求三角函數(shù)值..3兀3兀.例1若a的終邊所在直線經(jīng)過點P(cos,sin)，則sma=44：2【答案】土〒-2【解析】???直線經(jīng)過二、四象限，又點P在單位圓上，若a的終邊在第二象限，貝Vsin【解析】???直線經(jīng)過二、j2J2a的終邊在第四象限，則誠一亍，綜上可知sina=士于【易錯點】容易忽視對角終邊位置進行討論【思維點撥】定義法求三角函數(shù)值的兩種情況：已知角a終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r,然后利用三角函數(shù)的定義求解.已知角a的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關的問題.若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角a的三角函數(shù)值.題型二誘導公式的使用112兀]——a則cos+2a16丿3，13丿=(例1若sinB．CB．答案】解析】cos(2解析】cos(2兀]/兀、=cos兀一2a=cos——2a=1一2sin2—a13丿13丿13丿16丿79，故選D易錯點】三角函數(shù)的誘導公式可簡記為：“奇變偶不變，符號看象限”。這里的“奇、偶”指的是的倍數(shù)的奇I兀\偶；“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱變化；“符號看象限”的含義是：在該題中把整個角］-_2aJ看作銳角時，冗-_2a］所在象限的相應余弦三角函數(shù)值的符號13丿思維點撥】利用誘導公式化簡求值時的原則

(1)負化正”運用-a的誘導公式將任意負角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù).⑵大化小”利用k?60°+a(k€Z)的誘導公式將大于360°勺角的三角函數(shù)化為0°」360°勺三角函數(shù).“小化銳”，將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．“銳求值”，得」0°」90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得．例1已知函數(shù)例1已知函數(shù)f(x)2asin(2xb的定義域為［0，詁值域為［5，1］求a和b的值.【答案】a=12—6■<3,b=—23+12\''3或a=—12+6^3,b=19—12>/3.解析】0X202X32X3TTSin(X3)1當a>0時,|2a+b=1則：3a+b=-5'a=12-6v;3解得I=-23+120當a<0時,12a+b=-5

則Lj3a+b=1''a=12-^/3解得'b=19-1^;3；當a=0時,顯然不符合題意．a(chǎn)=12-6\；3,b=-23+12、：3或a=—12+6*3,b=19-12x/3.易錯點】對函數(shù)的結(jié)構分析容易不」位，函數(shù)f(x)2asin(2xb是一個復合函數(shù)，不是nsin2x3取最大值時，函數(shù)f(x)最大，因為它的前面還有個“a”而“a”勺符號不確定，直接影響了函數(shù)的最值，所以要分類討論。對含有字母參數(shù)的數(shù)學問題，一定要認真分析。【思維點撥】1．求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解涉及三角函數(shù)的值域(最值)的題目一般常用以下方法：利用sinx、cosx的值域；形式復雜的函數(shù)應化為y=Asin(e汁。+k的形式逐步分析ex+卩的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題.題型四三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)y=f(x)在［0,兀］的單調(diào)增區(qū)間；函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間(a,b)上恰有1°個零點，求b-a的最大值.【經(jīng)典錯解】(1)A=2,4冷-12=養(yǎng)，①=2，所以f(x)=2sin2x+—i3丿兀兀兀丁r5兀*兀*(2)令一一+2k兀<2x+<+2k兀，kgZ得一—+k兀<x<+k兀，23212125兀兀所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是［-+k兀,+k兀］kgz.1212(3)f(x)=2sin(c兀)—T5兀73兀、i2x+3J=-1，得x=kK+邁或x=kK+T(kgz)122兀17兀函數(shù)f(x)在每個周期上有兩個零點，所以共有5個周期，所以b-a最大值為5T+丁=刁一.答案】見解析4小T兀兀2兀小().(兀、【解析】(1)A=2，丁=廳-百=-，?=2，所以f(x)=2sin2x+~43124wi3丿?！感∝Ｘ！?rz2)令-—+2kK＜2x+＜+2k兀，kgZ2325?！柏！暗靡弧?k兀＜x＜+k兀1212當k=°時,竺＜x＜竺當k=1時，匹＜x＜竺12121212兀7兀又因為xG［0,兀］，所以函數(shù)y=f(x/在［0,兀］的單調(diào)增區(qū)間為［0,又因為xG［0,兀］，所以函數(shù)y=f丄乙丄乙3)同上．【易錯點】審題容易出錯，在把求三角函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間當作是求三角函數(shù)在R上的單調(diào)區(qū)間了.所以求出函數(shù)在R上的單調(diào)增區(qū)間后，還要把增區(qū)間和［0,兀］求交集.【思維點撥】求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時應注意以下幾點：形如y=Asin(ex+y)(A>0,e>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把?x+(p看作是一個整體，由一nn.n3n.2+2kn<rnx+y<2+2kn(k^Z)求得函數(shù)的增區(qū)間，由2+2kn<rnx+y^2+2kn(k^Z)求得函數(shù)的減區(qū)間.「n,”3n,”/、由2+2kn<ex—y<2「n,”3n,”/、由2+2kn<ex—y<2+2kn(kWZ)Asin(ex—y)，由一2+2kn<ex—y<2+2kn(k^Z)得到函數(shù)的減區(qū)間,得到函數(shù)的增區(qū)間.(3)對于y=Acos(ex+y)，y=Atan(ex+y)等，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法與y=Asin(ex+y)類似.題型五三角函數(shù)的周期性兀例1已知f(x)二sin2wx的最小正周期是一，則?=4【答案】±4【解析】f(x【解析】f(x)=sin2wx=1-cos2wx2_1兀\o"CurrentDocument"=-—cos2wx+—\o"CurrentDocument"24隔e±4【易錯點】三角函數(shù)的周期公式使用情景容易出錯。只有把三角函數(shù)化^y=Asin(ex+y)和y=Acos(ex2n+y)后，才可以代入周期公式T=ej，已知中的函數(shù)形式是二次，不是一般式，所以要用降幕公式化簡后再使用周期公式?！舅季S點撥】三角函數(shù)的奇偶性的判斷技巧首先要對函數(shù)的解析式進行恒等變換，再根據(jù)定義、誘導公式去判斷所求三角函數(shù)的奇偶性；也可以根據(jù)圖象做判斷.求三角函數(shù)周期的方法利用周期函數(shù)的定義；利用公式：y=Asin(ex+y)和y=Acos(ex+y)的最小正周期為爲y=tan(ex+y)的最小正周

期為冷利用圖象．3．三角函數(shù)的對稱性正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．正切函數(shù)的圖象只是中心對稱圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．題型六三角函數(shù)的圖象變換例1把函數(shù)y=sin(x舟的圖像上的點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)的解析式為【答案】y=sin(2x+彳)【解析】把函數(shù)y=sin(x+P-)的圖像上的點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)的解析式為y=sin(2x故填y=sin(1x式為y=sin(2x故填y=sin(1x【易錯點】把函數(shù)y=sin(x+1)的圖像上的點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)的解p1p1p析式為y=sm(x+丁)=sm(Tx+—).所以填y=sm匕x+—).錯在二角函數(shù)圖像的伸縮變換理解不透326261徹.(2)把函數(shù)y=(x)的圖像上的點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)為y=f(2x)，也就是說只是把函數(shù)的解析中有“x”的地方換成“1x”，其它的都不變，所以把函數(shù)y=sin(x+P-)的圖像上的點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)的解析式為y=sin(2x+1).【思維點撥】確定y=Asin(ex+y)+b(A>0，e>0)的步驟和方法(1)求A，b,確定函數(shù)的最大值(1)求A，b,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=M~m2M+m(2)求①，確定函數(shù)的周期T則可得2ne=t.（3）求?常用的方法有：代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時A,◎b已知）或代入圖象與直線y=b的交點求解（此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）．五點法：確定?值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口.具體如下：n“第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）時ex+0=0；“第二點”（即圖象的“峰點”）時ex+0=2；“第三3n點”（即圖象下降時與x軸的交點）時?x+（p=n?；第四點”（即圖象的“谷點”）時亦+卩=亍“第五點”時3x+申=2n（如例2）.題型七三角函數(shù)的恒等變換例1已知0<a<p,sina+cosa=—,則cos2a=2<【答案】-斗【解析】把三角方程平方—+2sinacosa=—【解析】把三角方程平方—+2sinacosa=—\2sinacosa=-0<a<psina+cosa=—>02psina+cosa=—>02\sina>0\cosa<0\<a<p2\p<2a<3p2\cos2a=-\；I-(-4)2=-^^，故填\p<2a<3p2【易錯點】在對三角函數(shù)的隱含條件挖掘不夠?qū)е氯菀壮霈F(xiàn)增解．三角函數(shù)的化簡求值時，如果出現(xiàn)多值就要注意挖掘已知中的隱含條件，以免增解.在同一個直角坐標系中作出正弦和余弦函數(shù)的圖像觀察得:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"小兀.c兀3兀.c3兀當0<a<—時，sinx+c?s>.0當一<a<——時，sinx+coxs>.0當一<a<兀時，4141\o"CurrentDocument"sinx+cos<0【思維點撥】三角恒等變換中常見的三種形式：一是化簡.二是求值.三是三角恒等式的證明．（—）三角函數(shù)的化簡常見的方法有切化弦、利用誘導公式、同角三角函數(shù)關系式及和、差、倍角公式進行轉(zhuǎn)化求解．（2）三角函數(shù)求值分為給值求值（條件求值）與給角求值，對條件求值問題要充分利用條件進行轉(zhuǎn)化求解．（3）三角恒等式的證明，要看左右兩側(cè)函數(shù)名、角之間的關系，不同名則化同名，不同角則化同角，利用公式求解變形即可．

鞏固訓練】題型一定義法求三角函數(shù)值1.已知角a的終邊上有一點P(t,t2+l)(t>0),則tana的最小值為()1-2【答案】Bt2＋11【解析】根據(jù)已知條件得tana=~^~=t+；^2，當且僅當t=1時，tana取得最小值2.2.已知角a的終邊上一點P的坐標為5n2.已知角a的終邊上一點P的坐標為5nA—A.62nB?亍，則角a的最小正值為()D.lln~6~答案】D【解析】由題意知點P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得【解析】由題意知點P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cosa^2nsin~3故a=2kn—$(k^Z)，所以11na的最小正值為肓.4已知角a的終邊經(jīng)過點P(m，—3)，且cosa=—5，則m等于(11A-才11A-才11B.匸C.－4D.答案】選C【解析】由題意可知，cos「時45,【解析】由題意可知，cos「時45,又mvO,解得m=—41.記?，；,那么I、朗⑴門-答案】B.題型二誘導公式的使用sin80*sin80*【解析】???窗八―*宀=，???tan100°=-辭°=-sin80sin80z；gJ「?故選氏3n“sina—4cosa2?已知sin(3n+a)=2siny+a，則5sina+2cosa【答案】—1—6-3ntana—4—1—6-【解析】法一：由sin(3n+a)=2siny+a得tano=2?原式=5tana+2=5^2+22cosa—4cosa1法二：由已知得sin^2cosa原式=5^.cosa+2cosa=—6-sinkn+acoskn+a3sinkn+acoskn+a3?已2sina+cosa（k€Z）,則A的值構成的集合是（）A．｛1，－A．｛1，－1,2，－2｝B．｛－1,1｝C．｛2，－2｝D．｛1，－1,0,，2－2}【答案】C.【解析】當!＜為偶數(shù)時，羔詳2；k為奇數(shù)時，ff-CO詈-2題型三三角函數(shù)的定義域或值域1.函數(shù)yAsin(x0,2，xR）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）.A.y4sin4x—84B.C.y4sin(x—84【答案】D.D.4sin(-84sin【解析】1.函數(shù)yAsin(x0,2，xR）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）.A.y4sin4x—84B.C.y4sin(x—84【答案】D.D.4sin(-84sin【解析】由圖像得A4,T2(62)16,2168'則『4sin（8X）代入（2,4），得2k2k3"43"43y4sin(8x—)4sin(4sin(8x4)?故選D-ny=2—3cosx+4的最大值為.此時x=【解析】當cos(x+4)=—1時'函數(shù)y=2—3cos

n3取得最大值5,此時x+”=n+2kn,從而x=jn+2kn,kEZ.3.函數(shù)3.函數(shù)y=2+log2x+ptanx的定義域為.n【答案】”0<x<2，或n<x<4[<解析】要使函數(shù)有意義則2+log^x^O,x>0<解析】要使函數(shù)有意義則2+log^x^O,x>0,tanx>0,0vx<4,<.nkn<x<kn+2kEZnx^kn+2'kEZ利用數(shù)軸可得0Irn!n函數(shù)的定義域是”0<x<2，或n<x<4>.題型四三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間已知函數(shù)y=sin(￡—2x),求:1)函數(shù)的周期；(2)求函數(shù)在[—n,0]上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】由y=sin(舟一2』可化為y=—sin(2x—申)(1)周期(1)周期T=2n_2n_怎=T所以xER時，y=sin的減區(qū)間為所以xER時，y=sin的減區(qū)間為kn—j|,kn+誇從而xE[—n,0]時,y=sin(3的減區(qū)間為—n,7n[「n正」，L—12°」nInn.5n(2)令2kn—2<2x—3<2kn+2，kEZ,得kn—12<x<kn+j2，kEZ.kEZ.2.函數(shù)y=Itanxl的增區(qū)間為答案】n\kn,kn十刃，kEZ

【解析】作出y=ltanxI的圖象，觀察圖象可知，y=ltanxl的增區(qū)間是kn,kn+2)，kWZ.已知函數(shù)f(x)=sinx+V3cosx,設a=f7j，b=f6)，c=f3)，則a，b，c的大小關系是()a<b<cc<a<bb<a<cb<c<aa<b<cc<a<bb<a<cb<c<a答案】B解析】f(x)=sinx+V3cosx=2sin(x+3)，因為函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，所以f7)<(6)，而c==2sin3=2sin3=f(0)<(7^，所以cvavb.題型五三角函數(shù)的周期性1.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+￥)(xGR)，給出下面四個命題：函數(shù)f(x)的最小正周期為兀；②函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=n對稱；④函數(shù)f(x)在區(qū)間2］上是增函數(shù).其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【答案】C.【解析】函數(shù)f(x)=sin(2x+￥)=—cos2x,貝V其最小正周期為兀，故①正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，正確；由f(x)=—cos2x的圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象不關于直線x=4對稱，③錯誤；由f(x)的圖n象易知函數(shù)f(x)在|_o,2」上是增函數(shù)，故④正確.綜上可知，選C.nn2.下列函數(shù)中，周期為兀，且在|_4，2_|2.D.y=cos(x+2nn且在4,2上是減函數(shù).A.y=sin(2x+2)B.y=cos(2x+2D.y=cos(x+2nn且在4,2上是減函數(shù).答案】A【解析】對于選項A,注意到y(tǒng)=sin(2x+2)=cos2x的周期為n,=sinax+cosax(a>0)的最小正周期為1,則它的圖象的一個對稱中心為()B.(0,0)C.(―8，°)D.(8，°)

【答案】C【解析】由條件得f(x)=\/2sin(ax+4)，又函數(shù)的最小正周期為1，故乎=l，?°?a=2兀，故f(x)=\/2sin(2nx+4)將x=—8代入得函數(shù)值為0.題型六三角函數(shù)的圖象變換冗1?要得到f(x)二tan(2x--)的圖象，只須將f(x)=tan2x的圖象()兀A兀A.向右平移-個單位3冗C?向左平移；個單位6【答案】D.冗B.向左平移-個單位3兀D.向右平移-個單位6廠口、兀兀解析】由于tan2x-—=tan2(x-：),只須將函數(shù)f(x)=tan2x的圖象向右平移—個單位就可以得到解析】由于66冗函數(shù)f(x)二tan(2x-丁)的圖象，故選D.TOC\o"1-5"\h\z(n\1nx+6丿圖象上各點的橫坐標縮短為原來的2倍(縱坐標不變)，再將圖象向右平移3個單位,那么所得圖象的一條對稱軸方程為()nnnnA.x=—2B.x=—4C.x=8D.x=4【答案】A【解析】依題意得，經(jīng)過圖象變換后得到的圖象相應的解析式是y=sin2(J—彳)+6=sin(2x—2丿=—cos2x，nn注意到當x=—2時，y=—cos(—n)=1,此時y=—cos2x取得最大值，因此直線x=—2是該圖象的一條對稱軸.3.已知函數(shù)f(x)=3sin訃x—4),x^R.(1)畫出函數(shù)f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；(2)將函數(shù)y=sinx的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？【答案】見解析

xn232n52n72n92n1n0n32n2x-42n2nf(x)030—30解析】解析】(1)列表取值：描出五個關鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖．n(2)先把y=sinx的圖象向右平移4個單位，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f(x)的圖象.題型七三角函數(shù)的恒等變換1.已知函數(shù)f(x)=sin(x+乎)+cos(x—普)，x^R.求f(