數(shù)形結合思想方法的應用

課題：數(shù)形結合思想方法的應用—以形助數(shù)懷化市三中駱秀金一、教學設計1．教學內(nèi)容解析內(nèi)容：（1）數(shù)形結合思想方法的意義；（2）數(shù)形結合的形式；（3）數(shù)形結合在應用上的三個層次及其方法。內(nèi)容解析：（1）高考《考試說明》中明確指出“試題必須注重通性通法，強調(diào)考查數(shù)學思想和方法”，數(shù)形結合的思想方法是歷次高考考查的重點；（2）數(shù)形結合的思想方法貫穿于整個高中數(shù)學的始終，說它是一種思想是因為在數(shù)學學習中和數(shù)學問題的解決過程中它無時無刻不在指導我們思考；說它是方法是因為它在問題解決過程中的有效性和靈活性。基于這一點在高三的專題復習中很有必要組織數(shù)形結合思想方法的專題復習，本課是該專題復習的第一課時。（3）由于課本中對數(shù)形結合思想方法沒有明確的定義，更沒有理論方面的說明，所以本節(jié)課首先必須弄清思想方法的意義，探討數(shù)與形結合的主要點以及它們結合的方式用以探清這種思想方法在應用上的三個層次。教學重點：根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：掌握數(shù)形結合思想方法的三種形式，靈活應用這種思想方法解題。2．教學目標設置目標：了解數(shù)形結合的思想方法的意義；通過回顧課本，進一步加深學生對中學數(shù)學中主要的數(shù)形結合點的認識；通過課本題的梳理，理解數(shù)與形的三種結合方式，初步感受數(shù)形結合思想方法在應用上的三個層次；通過高考題的探究，使學生初步掌握以形助數(shù)的方法；通過經(jīng)歷解題思路的探究過程，初步感受數(shù)形結合思想方法的有效性和靈活性。3．學生學情分析數(shù)形結合的思想方法是附著在相應的知識點上的，在整個的數(shù)學學習和問題解決過程中，學生已經(jīng)有了一些基本的認識，但不夠系統(tǒng)，缺乏理論層面的了解，因此還沒有形成指導思考和解題的自然習慣，所以發(fā)掘數(shù)或式背后的形的特征以及變式造形自然成為了本節(jié)課的教學難點。教師通過引導觀察數(shù)和式的結構特征，捕捉信息是突破難點的關鍵手段。4．教學策略分析本節(jié)課是一節(jié)平時教學中容易忽視的比較系統(tǒng)的思想方法專題復習課思想方法的根在課本，它不是從天上掉下來的，不能講的懸浮，讓學生只是一種欣賞，要讓學生感受到這種思想方法就在我們的身邊，實用、方便。教學中采用從課本出發(fā)最后到達高考。開放探究解題思路的過程，讓學生感受到數(shù)形結合思想方法的魅力。教學中充分應用多媒體輔助手段，展示圖象的直觀，幫助學生以形助數(shù)，實現(xiàn)教學目的。教學流程：5．教學過程設計1．導入課題，解析思想的意義引言：同學們，在數(shù)學思想方法的體系中，有一種重要的思想方法，這種思想方法一直在指導我們思考，幫助我們解決數(shù)學問題，給我們提供了很多的方便，它就是數(shù)形結合！什么叫數(shù)形結合呢簡單的說就是以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”輔“形”本節(jié)課，我們著重探討前者板書課題數(shù)學大師華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)和形有哪些結合點是用什么方式結合的在什么條件下可以結合帶著這些問題，我們走進今天的課堂2．回顧課本，梳理思想的層次數(shù)形結合的思想方法貫穿了整個高中數(shù)學，我們先一起來回顧課本上的幾道小題（一，二組做第1、2兩題；三，四組做第3、4兩題）比一比看誰做的又對又快！1（必修一，P25，B組1改編）已知函數(shù)的圖象如圖一所示，當方程有兩個根時，常數(shù)c的取值范圍是_________圖一圖一2（必修四，P108，B組2）證明：對于任意的實數(shù),恒有不等式成立3（必修一，P45第五題改編）已知，設，則對任意,A，B的大小關系為_______4．（必修四，P104練習改編）若，滿足約束條件，則QUOTE的最大值為_________;的最大值為________【評析】通過回顧課本，進一步加深學生對中學數(shù)學中主要的數(shù)形結合點的認識師生共探：師：很好，第1題給我們提供了兩個方面的信息。第一，給出了函數(shù)圖象，可以根據(jù)圖象直接觀察，屬于數(shù)與形的直接結合，在中學數(shù)學中有很多數(shù)學概念和公式是直接用“形”定義的生回答后，教師歸納師（邊說邊展示）：絕對值，復數(shù)的模，向量的運算，向量的模，兩點所在直線的斜率，兩點間的距離，幾何概型的概率計算公式，等等；第二，將方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，通過坐標系這座橋梁使數(shù)與形結合起來想一想，在中學數(shù)學中由坐標系而產(chǎn)生的數(shù)與形的結合常用的還有哪些生回答后，教師再整理函數(shù)函數(shù)圖象曲線向量方程坐標圖二師：1函數(shù)圖象的最高點，最低點，反映了函數(shù)的最大值,最小值，圖象的上升下降反映了函數(shù)的單調(diào)性，還可從圖象中觀察出對稱性，奇偶性等等；2如二元一次方程對應直線，不同的圓錐曲線，對應不同的二元二次方程；3向量有了坐標表示，就架起了代數(shù)，幾何，三角函數(shù)的橋梁有了坐標系代數(shù)和幾何就可以實現(xiàn)有效的轉(zhuǎn)化，有了坐標系數(shù)和形就能實現(xiàn)有效的結合！（點同學回答第二題）生1：展開化簡，通過基本不等式可以證明生2：還可以通過構造向量!設向量，則由，得師：回答的很好！這一道題給我們這樣一種啟示，即有些數(shù)學關系式，表面看起來與形沒有聯(lián)系，但是經(jīng)過改造以后，使其結構特征具備幾何意義這是通過構造的方法實現(xiàn)數(shù)與形的結合（點同學起來回答第3題）生：通過一元二次函數(shù)的圖象，結合在圖象中的意義，可以發(fā)現(xiàn)師：很好！第3題發(fā)現(xiàn)數(shù)的幾何特征是解決本題的關鍵，借助二次函數(shù)的圖象，我們就能很直觀地比較出的大小了，如果變式為開口向下的拋物線，的大小又如何存不存在一種函數(shù)，能讓的值恒相等這里也體現(xiàn)了數(shù)形結合的一種方法，即“數(shù)比大小，形比高低”！生：第4題，我們聯(lián)想到斜率的幾何意義和兩點間的距離公式師：非常好！通過構造代數(shù)式的幾何意義，直觀解題，體現(xiàn)了大家見數(shù)思形的思維品質(zhì)像第2、3、4這三題我們都是通過轉(zhuǎn)化，構造以后使其具有了幾何特征，這是數(shù)形結合的最高層次——通過轉(zhuǎn)化構造變式造形，我們梳理一下，哪些數(shù)與形可以相互轉(zhuǎn)化方程的根方程的根，函數(shù)的零點圖象的交點不等關系：“數(shù)”比大小形比高低幾何意義代數(shù)式圖三概括起來，數(shù)形結合一般有三種結合方式：1直接定義：用“形”直接定義的概念和公式；2橋梁溝通：通過數(shù)軸或坐標系的聯(lián)結而產(chǎn)生的結合；3變式造形：通過轉(zhuǎn)化與構造產(chǎn)生幾何意義三種結合方式從簡單到復雜，確定了數(shù)形結合思想方法在以形助數(shù)上的三個層次在下面的環(huán)節(jié)中，我們來進一步感受數(shù)形結合思想的魅力【評析】通過課本題的梳理，理解數(shù)與形的三種結合方式，初步感受數(shù)形結合思想方法在應用上的三個層次3．例題探法，感受思想的魅力1．（最新湖北卷12）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若，，則實數(shù)的取值范圍為（）．．．．生：用圖象解題師：本題中的代數(shù)特征，哪一點觸發(fā)了你想到以形助數(shù)生：，師：很好，數(shù)比大小，形比高低！從代數(shù)上講，是函數(shù)值的大小關系，從幾何上講是什么意思生：的圖象恒在的圖象的下方師：的圖象如何得到生：將的圖象向右平移一個單位得到師：的圖象如何作出生：分類討論，寫出的分段函數(shù)表達式師：很好，大家的思路非常清晰了，下面請大家畫出的圖象……（可以讓學生展示所作的圖象）師：（點評）本題的關鍵點是抓住不等式的實質(zhì)就是數(shù)比大小，形比高低，解題時要時刻抓住數(shù)背后的幾何特征實現(xiàn)以形助數(shù)有了以形助數(shù)的意識后，如何快速準確的確定函數(shù)圖象呢下面我們看第二題2．（最新課標全國卷Ⅰ12）已知函數(shù),其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是（）師：大家先思考一下哪位同學能說說生1：師：他是構造函數(shù)的方法，將不等式轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)圖象的位置關系，還有不同的構造方法嗎生2：師：這兩種方法都是構造函數(shù)，那么你會選擇哪一種請大家自由選擇，作出函數(shù)圖象，再相互之間比較一下學生分組研究討論后，由學生起來交流分析生1：我選擇方案1，可以先求出函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，故這部分圖象在軸下方，且當越來越小時，越來越接近于0，所以軸作為函數(shù)圖象的漸近線，另一方面，隨著值的增加，指數(shù)函數(shù)的值增加的越來越快，所以的函數(shù)值增加的速度越來越快，圖象向下凹再以數(shù)輔形得故師：這位同學是借助導數(shù)工具分析函數(shù)的單調(diào)性，極值等，畫出函數(shù)的圖象，再分析圖象定量計算，我們動畫演示一下（打開幾何畫板）結合圖象的位置，在處滿足條件，只需將處兩個函數(shù)圖象上點的位置高低，轉(zhuǎn)化為不小于即可師：第二種方法誰能說一下生2：我選方案2，根據(jù)導數(shù)可以研究出的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極大值為1，極小值為；當或時，大于0，當時，小于0；當?shù)闹到咏跓o窮小時，的值接近于0，當?shù)闹祻?左邊接近1時，的值越來越接近于，當?shù)闹祻?的右邊接近于1時，的值越來越接近于，當?shù)闹到咏跁r，的值也越來越接近于，從而可以做出的圖象再分析與的位置關系（生講解完后，老師演示幻燈片）師：大家覺得哪一種構造更簡單生：第一種！師：不錯，第一種便于分析函數(shù)關系，不用分類討論，作圖也相對簡單同學們，如何合理構造函數(shù)，大家明白了嗎例1，例2都是對函數(shù)先進行定性分析，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)圖象和圖象間的位置關系即定形，最后進行定量計算這兩個例子充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想在我們解決問題的過程中具有實用性和有效性【評析】通過高考題的探究，使學生初步掌握以形助數(shù)的方法，通過經(jīng)歷解題思路的探究過程，初步感受數(shù)形結合思想方法的有效性和靈活性4課堂小結，提煉思想的精華師：同學們，通過本節(jié)課的學習，你對以形助數(shù)有哪些體會和認識，我們交流一下生：……師：利用以形助數(shù)解題時要注意什么問題生：……師：大家總結的很好，老師也為今天的內(nèi)容總結了一個口訣：心中有形，見數(shù)想形有形用形，無形畫形捕捉信息，變式造形如有誤差，數(shù)來輔形以形助數(shù)，說行就行5．課后練習，鞏固思想與方法1最新年新課標全國卷第10題已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題其中真命題是ABCD2．（必修一P99例題改編）函數(shù)有_____個零點3（最新新課標全國卷改編）設點P在曲線上，點Q在曲線上，求的最小值二、課后反思數(shù)形結合包括兩個方面，一是以形助數(shù)，二是以數(shù)輔形。一節(jié)課是不能面面俱到的，因此，作為第一課時只能選擇第一個方面，以突出教學重點?？扇≈帲涸诒竟?jié)課教學中，一是教師對本節(jié)課要解決的三個問題：數(shù)形結合點和數(shù)形結合的方式的梳理以及數(shù)形結合思想方法在應用上的三個層次處理的較好；二是從課本到高考由淺入深，從知識到思想方法再到具體應用，五個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣；三是課堂教學模式做了大膽地嘗試即變過去思想方法專題復習只講好題，以讓學生欣賞感悟為主改為知識方法應用并舉，實踐證明這種模式效果不錯。改進之處：（1）教學容量偏大，時間不太夠，學生思考和做題時間比較倉足（2）課堂中，教師放的不開。三、教學點評本節(jié)課采用從課本到高考的方法展開教學，探索了數(shù)學思想方法專題復習課的有效教學模式，是一種創(chuàng)新。其特點突出表現(xiàn)在如下兩個方面：一．教學內(nèi)容邏輯關系明確。本節(jié)課涉及兩個方面的內(nèi)容：從知識方面來講有數(shù)形結合的思想方法的意義、結合點以及數(shù)形結合的結合方式；從應用方面來講有思想方法的應用層次。從回顧課本開始，逐步展開，由簡到繁、由淺入深，層次分明。二．教學方法特點鮮明。教學中，將有效創(chuàng)設學生探究活動線、與系統(tǒng)建構知識線、和思想方法蘊涵線以及問題解決的應用線貫通融合成為“四線交