數(shù)學(xué)思維方法

1．?dāng)?shù)學(xué)思維方法將思維、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)展中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)新的思維過程作為自己的研究對(duì)象。2．思維是人腦借助于語言對(duì)客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律的間接與概括的反映。3．思維的特征：方向性，概括性、間接性4．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的兩個(gè)源頭：歐幾里得《幾何原本》和古代中國(guó)《九章算術(shù)》5．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的發(fā)展概述：①?gòu)乃阈g(shù)到代數(shù)是數(shù)學(xué)思想方法的一次重大發(fā)展。②從綜合幾何到代數(shù)幾何是數(shù)學(xué)思想的一次質(zhì)的飛躍。③從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思想方法的一次根本變革。④從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思想方法的一次深刻變革。⑤從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思想方法的一次辯證演變6抽象和概括為特點(diǎn)，對(duì)客觀事物按照數(shù)學(xué)自身的形式或規(guī)律做出的間接概括的反映。數(shù)學(xué)思維是由數(shù)學(xué)對(duì)象，并且主要是由數(shù)學(xué)問題推動(dòng)發(fā)展的。數(shù)學(xué)思維的過程就是不斷提出問題和解決問題的過程。7．?dāng)?shù)學(xué)思維簡(jiǎn)單地分為：具體實(shí)踐問題的數(shù)學(xué)化思維，具體數(shù)學(xué)問題的解題思維8．?dāng)?shù)學(xué)思維的特征：高度抽象性，形式化的嚴(yán)謹(jǐn)性，表現(xiàn)方式的多樣性9．?dāng)?shù)學(xué)思維方法是由數(shù)學(xué)的符號(hào)、概念、語言，按照數(shù)學(xué)特定的規(guī)律、法則，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中形成的一種方法。10．?dāng)?shù)學(xué)思維方法分類:①

按照使用范圍不同：宏觀數(shù)學(xué)方法,微觀數(shù)學(xué)方法②

按照邏輯形式不同：邏輯思維方法，非邏輯思維方法③

主觀色彩，獨(dú)立特性）④

按照階段或數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域的不同，可以分為不同的帶有專業(yè)特征的思維方法11．?dāng)?shù)學(xué)思維方法的研究和發(fā)展與以下三個(gè)方面相聯(lián)系——①

數(shù)學(xué)思維方法研究緊緊跟隨和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法論的內(nèi)容②

數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法具有的方法論的意義，還強(qiáng)調(diào)說明在這些數(shù)學(xué)方法中，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的積極意義③

數(shù)學(xué)思維方法的教育內(nèi)容，更應(yīng)該與非邏輯思維、創(chuàng)造性思維相聯(lián)系12．?dāng)?shù)學(xué)思維方法的層次性：哲學(xué)，一般方法論，數(shù)學(xué)某分支，初等數(shù)學(xué)13．在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)思維的教學(xué)有三方面的意義：①

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)可以培養(yǎng)人對(duì)數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理論的廣泛理解。②

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)可以使人們?cè)谔幚韱栴}是迅速抓住事物本質(zhì)，從而找到解決問題的方法。③

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)可以使人們形成良好的思維習(xí)慣，增強(qiáng)人們?cè)谔幚韱栴}時(shí)的應(yīng)變能力。14．在中小學(xué)教育中，要通過“數(shù)學(xué)常識(shí)”和“數(shù)學(xué)思維能力”的組合來培養(yǎng)“數(shù)學(xué)智力”15．中小學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)：懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力有信心，有解決數(shù)學(xué)問題的能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維方法。16．從數(shù)學(xué)教育的角度分析有關(guān)數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該明確一下三個(gè)方面的問題：①

數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)，是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)者、數(shù)學(xué)專業(yè)未來教師應(yīng)有數(shù)學(xué)能力、專業(yè)素質(zhì)的培養(yǎng)②

數(shù)學(xué)思維方法是一個(gè)剛剛開始研究的領(lǐng)域，因此我們的學(xué)習(xí)過程也是一個(gè)參與研究和討論的過程③

數(shù)學(xué)思維方法可以使人了解數(shù)學(xué)理論發(fā)展變化中的數(shù)學(xué)家思維方式的變化，也是對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的一個(gè)反思過程。 1量形式和內(nèi)容之間關(guān)系的變化與發(fā)展。2．算術(shù)的主要內(nèi)容是有關(guān)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)的四則運(yùn)算。3．?dāng)?shù)量符號(hào)脫離了事物原有屬性，是一種抽象化、數(shù)理化的符號(hào)。4．算術(shù)解題的思維方式的關(guān)鍵，是把已知的數(shù)量符號(hào)運(yùn)用加、減、乘、除連接起來，簡(jiǎn)歷其解決問題的數(shù)學(xué)算式。5然后通過方程的恒等變換或同解變換等求出未知量的數(shù)值。6．?dāng)?shù)學(xué)具有高度抽象性，這種抽象性以形式化為特點(diǎn)。7供兩種啟示：①

數(shù)學(xué)的形式與內(nèi)容中，當(dāng)我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一種形式的時(shí)候，更應(yīng)注意這種數(shù)學(xué)形式多反映的內(nèi)容。②

數(shù)學(xué)的形式都與具體內(nèi)容相關(guān)，尤其是算術(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)，更應(yīng)注重內(nèi)容與形式的結(jié)合。8數(shù)量與幾何圖形也是以數(shù)與形作為兩個(gè)最基本的研究對(duì)象9．空間思維轉(zhuǎn)變的意義：①

古希臘的思維方式，有一個(gè)從畢達(dá)哥拉斯“萬物皆數(shù)”的數(shù)量思維觀念向柏拉圖的“世界是由幾何圖形構(gòu)造”的空間思維觀念的轉(zhuǎn)變過程②

人們的空間思維由靜態(tài)轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)發(fā)展③

空間思維與數(shù)量思維的結(jié)合，使原來空間圖形具有的明顯直觀性和經(jīng)驗(yàn)性的特征開始轉(zhuǎn)變，拓廣了人們?cè)械臍W幾里得式的空間思維④

使代數(shù)的一些內(nèi)容具有了直觀的圖形意義，更為重要的是使人民對(duì)代數(shù)形式所表現(xiàn)的結(jié)果有了一種形象直觀模型的思維追求。10．變量數(shù)學(xué)的發(fā)展是由解析幾何提供直觀前提，并且由無窮小量計(jì)算方法——微積分的創(chuàng)立而最終完成的。11．變量數(shù)學(xué)的研究問題大體可以分為四類：①

描述非勻速運(yùn)動(dòng)物體的軌跡②

求曲線在某一點(diǎn)的切線③

求變量（函數(shù)）的極值④

計(jì)算曲線長(zhǎng)度、曲變形面積，曲面體體積、物體的重心及大質(zhì)量物體間的引力等。12．變量數(shù)學(xué)思維的意義：①

變量數(shù)學(xué)的確立，使人們對(duì)世界的思考由靜止物體的數(shù)學(xué)思維發(fā)展到對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的數(shù)學(xué)思維②

變量數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)自身的成長(zhǎng)起到了重要的推進(jìn)作用③

無限的觀念、無限的數(shù)學(xué)思維在微積分中的出現(xiàn)，使人類認(rèn)識(shí)世界的能力有了提高13．三大數(shù)學(xué)危機(jī)：①

無理數(shù)的出現(xiàn)②

無窮小的運(yùn)算、論證與表述所產(chǎn)生的如何認(rèn)識(shí)無限的問題（芝諾悖論）③

與康托集合論相關(guān)的無限問題（羅素悖論、理發(fā)師悖論）14．三大基礎(chǔ)學(xué)派：形式主義、邏輯主義、直覺主義15．必然性研究的數(shù)學(xué)：人們知道某事物開始的原因后就可以明確地預(yù)知它的結(jié)果或然性研究的數(shù)學(xué)：不能確定某些現(xiàn)象是否會(huì)出現(xiàn)16．概率論發(fā)展的最重要的思想是如何認(rèn)識(shí)在隨機(jī)現(xiàn)象之后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性17．概率論提供的數(shù)學(xué)思維方式的意義——隨著隨機(jī)現(xiàn)象的研究，推動(dòng)了原有的必然性數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，使人們對(duì)世界發(fā)展變化的客觀規(guī)律有了深入的理解18．?dāng)?shù)學(xué)明確化的理論基礎(chǔ)是集合理論，它把數(shù)學(xué)對(duì)象的確定性、差異性準(zhǔn)確無誤地表述出來，數(shù)學(xué)各種分支都以集合論作為理論的基礎(chǔ)。19．對(duì)于數(shù)學(xué)的教育而言，模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立對(duì)我們的數(shù)學(xué)教育活動(dòng)有兩個(gè)方面的積極作用——使人們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)作為人類的理性創(chuàng)造是無止境的，模糊數(shù)學(xué)的思想與方法為我們進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)、參與學(xué)習(xí)提供了新的案例。20．中國(guó)古代數(shù)學(xué)基本上遵循了一條從生產(chǎn)實(shí)踐中提煉出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析綜合，形成概念與方法，并上升到理論階段。21．古代數(shù)學(xué)思維對(duì)現(xiàn)代教育的意義：①

唯理性的追求數(shù)學(xué)的形式、結(jié)構(gòu)的方式不是數(shù)學(xué)的唯一發(fā)展方式②

直觀性、實(shí)用性是初等數(shù)學(xué)的重要特性③

籌算運(yùn)演工具性特征的啟示 1．邏輯思維的主要類型：形式邏輯、數(shù)理邏輯、辯證邏輯形式邏輯的主要思維形式規(guī)律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由論主要思維方法：比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹2．邏輯思維的基本規(guī)律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由論同一律的要求：在同一思維過程中，使用概念的內(nèi)容必須保持同一，不能任意改變；對(duì)正確思維的要求是必須保持判斷的同一性。充足理由論的要求：理由必須真實(shí)，理由與推斷之間要有邏輯聯(lián)系3．?dāng)?shù)學(xué)邏輯思維的基本形式：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)判斷、數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維最基本結(jié)構(gòu)關(guān)系的特征的概括數(shù)學(xué)概念的相容關(guān)系有：同一關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系數(shù)學(xué)判斷的表現(xiàn)形式：公理、定理數(shù)學(xué)思維的形式。其最終表現(xiàn)形式是形成邏輯形態(tài)的命題最常用的數(shù)學(xué)推理包括：歸納推理、演繹推理歸納推理分為：完全歸納推理、不完全歸納推理不完全歸納推理分為：枚舉歸納、因果關(guān)系歸納演繹推理是由一般到特殊的思維方法4．非邏輯思維包括：形象思維、直覺思維、靈感思維、想象思維思維，而是以直觀形象來進(jìn)行思維。直覺思維的特征：非邏輯性、直接性、模糊性直覺思維的作用：選擇作用、創(chuàng)新作用性數(shù)學(xué)想象的特征：形象性、概括性、直覺性、整體性5．創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)：①

創(chuàng)見性、新穎性是創(chuàng)造性思維的主要標(biāo)志②

發(fā)散思維與收斂思維相結(jié)合是創(chuàng)造性思維的基本圖式③

積極地創(chuàng)造性想象與現(xiàn)實(shí)統(tǒng)一是創(chuàng)造思維的重要環(huán)節(jié)④

專注于靈感是創(chuàng)造性思維的重要特點(diǎn)6①

在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設(shè)法引起學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，并且積極地提出問題來參與數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)②

在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的儲(chǔ)備方面，使學(xué)生根據(jù)自己的理解主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法③

在數(shù)學(xué)思維方式方面，由于邏輯思維是數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的主要表現(xiàn)形式，因此應(yīng)當(dāng)格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)④

在具體創(chuàng)新思維方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經(jīng)有很多成熟的廣泛運(yùn)用的方法，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地學(xué)習(xí)或運(yùn)用它們，使之與數(shù)學(xué)某些具體的問題相結(jié)合。 1．觀察與實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)中的意義：要求學(xué)生在數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)、掌握并運(yùn)用觀察和實(shí)驗(yàn)的能力，實(shí)際上就是要在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)、運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力和對(duì)數(shù)學(xué)的興趣及信心；更為重要的是通過學(xué)生自己的觀察與實(shí)驗(yàn)，得到對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)理論的個(gè)體體驗(yàn)和個(gè)體理解。2．觀察與實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用：其一是解決和驗(yàn)證數(shù)學(xué)理論，其二是解決具體的數(shù)學(xué)問題3．?dāng)?shù)學(xué)解題的目標(biāo)是：①

通過解題加深對(duì)知識(shí)的理解，尤其是加深對(duì)基本概念、公式和理論的理解，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化②

學(xué)會(huì)在解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)自己解決實(shí)際問題的能力，尤其是把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到具體問題的能力③

掌握數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)自己數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的能力4．?dāng)?shù)學(xué)解題的一般程序：弄清楚問題，分析和制定解題步驟，完成解題計(jì)劃并檢驗(yàn)，解題后的研究5．?dāng)?shù)學(xué)解題的一般思路：調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備把它們組織起來，按解題要求把知識(shí)重新組合6．合情推理：一種合乎情理的推理合情推理強(qiáng)調(diào)了一種思維的主動(dòng)性、情感性和試錯(cuò)性7．合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理。類比推理是根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）相同或相似，推導(dǎo)出或猜測(cè)出它們?cè)谄渌矫婵赡芫哂邢嗤蛳嗨频乃季S形式。它的思維進(jìn)程是特殊到特殊的推理方式。歸納推理：合情推理中的歸納推理指不完全歸納推理，是從個(gè)別到一般，從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)或?qū)嶒?yàn)事實(shí)到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法。8．波利亞在論及類比合情推理的作用時(shí)，認(rèn)為它可以在三個(gè)方面發(fā)揮作用：①

可以提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)②

可以在求解問題中得到應(yīng)用③

可以用來對(duì)猜測(cè)進(jìn)行檢驗(yàn)9．經(jīng)驗(yàn)歸納法的作用一般可以分為：發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)問題的答案；發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)解題的方法10．?dāng)?shù)學(xué)猜想：人們根據(jù)已知的某些數(shù)學(xué)知識(shí)和某些事實(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的某些理論、方法等提出一些猜測(cè)性的推斷11．12．?dāng)?shù)學(xué)猜想一般表現(xiàn)：提出新問題，預(yù)見新事物，揭示新規(guī)律，創(chuàng)造新方法等13．對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育而言，數(shù)學(xué)猜想的意義：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)、增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和學(xué)會(huì)自己動(dòng)手解決具體問題 1．?dāng)?shù)學(xué)的公理化方法是第一次完整地表現(xiàn)在《幾何原本》中的數(shù)學(xué)方法2．公理化方法：也稱為公理方法，就是從盡可能少的無定義的概念（基本概念）去定義其他的一切概念，從一組不證自明的命題（基本公理或公社）出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理證明其他的一切命題，進(jìn)而把一種學(xué)科的知識(shí)建構(gòu)成為演繹系統(tǒng)的一種方法。3公理化方法是構(gòu)成公理系統(tǒng)的方法，公理系統(tǒng)是由公理化方法得到的數(shù)學(xué)理論體系。4．基本概念：定義概念：也稱為派生概念、導(dǎo)出概念，指由初始概念定義的概念原始命題或公理：不證明的命題定理：經(jīng)過公理推演出來的命題5．亞里士多德提出了歷史上第一個(gè)成文的三段論式的演繹方式的公理化方法。第一次把公理化方法系統(tǒng)用于數(shù)學(xué)中的是古希臘的歐幾里得，他把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)1899

年希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》問世，這是公理化方法在近代發(fā)展的代表作，它把歐幾里得《幾何原本》為代表的公理化方法建成了一個(gè)完備的、形式化的公理體系。6．歐幾里得列出五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理，公理是適用于一切科學(xué)的真理，而公設(shè)則只用于幾何。歐幾里得《幾何原本》中以直觀幾何背景為基礎(chǔ)構(gòu)成的體系，它代表的是“實(shí)法。歐幾里得從上述的五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理出發(fā)，推出了465

個(gè)命題。五個(gè)公設(shè)為：①

由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線②

一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)③

以任意點(diǎn)為中心及任意的距離為半徑可以畫圓④

凡直角都相等⑤

同平面內(nèi)一條直線和另外兩直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于二直角，則這二直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交五個(gè)公理為：①

跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的②

等量加等量，總量仍相等③

等量減等量，余量仍相等④

彼此重合的東西是相等的⑤

整體大于部分7外一點(diǎn)至少可以引出兩條直線與已知直線平行。8．羅巴切夫斯基的新幾何——銳角假設(shè)的雙曲式幾何黎曼——鈍角假設(shè)的橢圓式幾何從而非歐幾何被人們所承認(rèn)9．非歐幾何對(duì)公理化方法的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響：①

人們可以采取一個(gè)與之相反的公理并發(fā)展成為另一個(gè)新的公理體系②

為公理化的推廣和建立新的理論提供了已經(jīng)，大大提高了公理化方法在數(shù)學(xué)中的地位③

非歐幾何的建立標(biāo)志著從實(shí)質(zhì)性公理化方法向形式化公理化方法的過渡10《幾何基礎(chǔ)》稱為形式化公理體系，構(gòu)成《幾何基礎(chǔ)》的公理化方法稱為形式化公理化方法。、11．對(duì)于公理的選擇的基本要求：協(xié)調(diào)性（相容性或無矛盾性）

獨(dú)立性、完備性、協(xié)調(diào)性：一個(gè)理論體系中無矛盾獨(dú)立性：不允許有一條公理能用其他公理推導(dǎo)出來完備性：在一個(gè)公理系統(tǒng)中要有確保能推導(dǎo)出所論述的全部命題的公理12．公理化方法最重要的作用在于運(yùn)用邏輯推理的方法。13．布爾巴基學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)是由三種基本結(jié)構(gòu)構(gòu)成：

代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)：一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算體系。即一個(gè)集合上規(guī)定了一種運(yùn)算，并且能夠使兩個(gè)元素按照運(yùn)算得到另外一個(gè)元素。序結(jié)構(gòu)：集合中的某些元素之間有了先后的排序關(guān)系拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：領(lǐng)域、連續(xù)、極限、連通性、維數(shù)等構(gòu)成一般拓?fù)鋵W(xué)的研究對(duì)象14．中學(xué)教材中的公理系統(tǒng)——平面幾何公理：①

經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線②

在所有連接兩點(diǎn)的連線中，線段最短③

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有一條而且只有一條直線和該直線平行④

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行⑤

邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等⑥

角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等⑦

矩形的面積等于它的長(zhǎng)a

和寬

b

的積立體幾何公理：①

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)②

如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線③

經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面④

平行于同一條直線的兩條直線互相平行⑤

長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積⑥

夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等 1．模型方法一般分為：實(shí)物模型，思想模型2．模型方法具有可重復(fù)性、可操作性，能動(dòng)地反映了客觀事物的相互關(guān)系，促進(jìn)了模擬、類比方法的現(xiàn)代化3．?dāng)?shù)學(xué)建構(gòu)：使用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語言等表述出來的被研究對(duì)象的純關(guān)系結(jié)構(gòu)4．?dāng)?shù)學(xué)模型的解釋——實(shí)體中抽象的數(shù)學(xué)模型問題或待定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才叫做數(shù)學(xué)模型5．?dāng)?shù)學(xué)模型方法：利用構(gòu)造具體問題的數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)踐中遇到的問題6．?dāng)?shù)學(xué)模型的分類——①

按來源分：理論模型、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ廷?/p>

按研究領(lǐng)域分：經(jīng)濟(jì)模型、人口模型、生態(tài)模型、交通模型等③

按使用的數(shù)學(xué)工具分：函數(shù)模型、方程模型、三角模型、幾何模型、概率模型等④

按涉及的變量狀況分：離散模型、連續(xù)模型⑤

按功能分：描述性模型、解釋性模型7從特殊到一般，即從分析具體的客觀事物及狀態(tài)中，經(jīng)過數(shù)學(xué)語言（概念、符號(hào)與公式等）的描述，得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。最具代表性的是“格尼斯堡七橋問題”“七橋問題”結(jié)論：如果每點(diǎn)引出的線都是偶數(shù)條則可以一筆畫出，如果出現(xiàn)兩個(gè)奇數(shù)點(diǎn)也可以一筆畫，但是如果出現(xiàn)兩個(gè)以上的點(diǎn)引出的線是奇數(shù)條那就不可能一筆畫。8．描述性數(shù)學(xué)模型分類：確定性數(shù)學(xué)模型（如代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方程、積分方程）隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型（如概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等；布豐的投針實(shí)驗(yàn)）模糊數(shù)學(xué)模型（采用模糊數(shù)學(xué)的方法）9由一般到特殊，即從一般的公理化系統(tǒng)出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的某種結(jié)構(gòu)形式對(duì)公理系統(tǒng)給出某種結(jié)束的一種數(shù)學(xué)模型方法。如龐加萊給出的一個(gè)非歐幾何的數(shù)學(xué)模型10．?dāng)?shù)學(xué)模型的構(gòu)造：指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的原型進(jìn)行具體地?cái)?shù)學(xué)建構(gòu)的過程11．?dāng)?shù)學(xué)模型建構(gòu)的步驟：①

掌握和分析客觀原型的各種關(guān)系、數(shù)量形式②

確定所研究原型的本質(zhì)屬性，從而抓住問題的實(shí)質(zhì)③

建立數(shù)學(xué)模型④

對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)演和檢驗(yàn)12．對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)的注意事項(xiàng)：①

通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造能夠深入地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征②

運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的直觀、形象作用，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)感受能力③

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用典型的數(shù)學(xué)模型方法，解決具體問題 1轉(zhuǎn)化、歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中的化歸法是指把待解決的問題歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中，從而求得原問題解決的一種方法，化歸法有時(shí)也稱為化歸原則。化歸法的核心思想是指對(duì)問題的轉(zhuǎn)換化歸法的特征是轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)化2．熟化：向自己熟知、熟練的問題上轉(zhuǎn)化3其二是解決數(shù)學(xué)問題的求解問題4．變形法包括：等價(jià)變形，恒等變形，同解變形，參數(shù)變形5．在中小學(xué)數(shù)學(xué)中等價(jià)變換大體有如下兩個(gè)方面：在數(shù)的方面——有等值變換，同余變換，同解變換等在形的方面——有合同變換，相似變換，等積變換等6．恒等變形包括：多項(xiàng)式的恒等變形，分式的恒等變形，有理式的恒等變形，對(duì)數(shù)式的恒等變形，三角式的恒等變形等7．同解變形：在等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下，通過等價(jià)的變換，使原來的等式與變形的等式有相同的解8．關(guān)系映射反演方法，也稱關(guān)系映射反演原則，或簡(jiǎn)稱RMI

方法9．RMI

方法是通過映射，定映，反演三個(gè)主要步驟來解決問題的 1．逐次漸進(jìn)方法的分類：一類是對(duì)數(shù)學(xué)問題解法的逐次漸進(jìn)方法，另一類是對(duì)數(shù)學(xué)問題本身的逐次漸進(jìn)方法的初始解，然后以這個(gè)初始解為基礎(chǔ)，按一定的程序給出一個(gè)解的序列，這個(gè)解序列的極限就是該問題的最后解。圍開始逐步縮小問題的范圍，通過對(duì)這些縮小范圍的數(shù)學(xué)問題的解決，并且通過對(duì)解決問題方法的分析、綜合等獲得對(duì)原來問題解決的一種方法。2．逐次漸進(jìn)方法的應(yīng)用：逐次試驗(yàn)、選擇方法；逐步逼近與無限逼近的方法；遞推法；遞歸法遞歸法：把未知對(duì)象排成一個(gè)序列，并先求得第一個(gè)未知對(duì)象的結(jié)果，然后利用已經(jīng)獲得的第一個(gè)未知對(duì)象的結(jié)果，求得第二個(gè)未知對(duì)象。3．類比猜想：依據(jù)兩類對(duì)象之間存在的某些相同或相似的特征、屬性、形式，猜測(cè)它們可能存在其他方面相似的特征、屬性或形式的一種思維方式 1．分析法：執(zhí)果索因2．綜合法：由因?qū)Ч?．形式化·數(shù)學(xué)形式化的教學(xué)和解決問題時(shí)應(yīng)該注意兩點(diǎn)：①

強(qiáng)調(diào)內(nèi)在規(guī)律、規(guī)則的限制②

具體問題的數(shù)學(xué)形式化解決答案要符合實(shí)踐要求·中小學(xué)的數(shù)學(xué)是處于與實(shí)踐問題密切聯(lián)系的特殊的形式化階段——①

中小學(xué)數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)的形式，因此它必然是形式化的表現(xiàn)形式②

由于特定的年齡段學(xué)習(xí)心理的局限以及中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的要求，數(shù)學(xué)的形式化都隱其后，而以現(xiàn)實(shí)、生動(dòng)的數(shù)學(xué)問題來表現(xiàn)數(shù)學(xué)的形式化·數(shù)學(xué)中常見的形式化的問題有：數(shù)量及關(guān)系的形式化（用字母、符號(hào)表示數(shù)量邏輯語言符號(hào)）等·數(shù)學(xué)的形式化發(fā)展，經(jīng)歷公理化方法的階段：實(shí)質(zhì)公理化，形式公理化，元數(shù)學(xué)的建立·元數(shù)學(xué)的目標(biāo)要論證數(shù)學(xué)的無矛盾性以及理論構(gòu)成的嚴(yán)謹(jǐn)、完美4的論證推理?！ぱ堇[法的注意事項(xiàng)——①

掌握演繹法運(yùn)用的形式化特點(diǎn)②

必須嚴(yán)格遵守其形式化的規(guī)則，必須清楚每一步推理、每一步運(yùn)算的前提依據(jù)是什么③

應(yīng)用形式化的演繹方法時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意前提條件的內(nèi)涵5．構(gòu)造法·數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)式·構(gòu)造法：也稱構(gòu)造性方法，指數(shù)學(xué)中的概念和方法，按固定的方式經(jīng)過有限個(gè)步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法?！?gòu)造法的特征：對(duì)所討論的對(duì)象能有較為直觀的描述；不僅能判明某種數(shù)學(xué)結(jié)論的存在，而且能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)演操作并求出具體的表達(dá)效果6．反例法·反例法：建立在數(shù)學(xué)證實(shí)的理論與邏輯推理基礎(chǔ)上的并且具有一定否定作用的例子·反例法的作用——①

有助于發(fā)現(xiàn)原有數(shù)學(xué)理論的局限性，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展②

有助于澄清數(shù)學(xué)概念和理論，從而使人們深入理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵③

有助于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和研究、構(gòu)造數(shù)學(xué)的能力·構(gòu)造反例的方法：特例選擇，性質(zhì)分析，類比構(gòu)造等7．?dāng)?shù)學(xué)命題的基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷，特稱否定判斷 1學(xué)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即轉(zhuǎn)化為本質(zhì)統(tǒng)一的另一對(duì)象或問題加以解決的思維方法。2．?dāng)?shù)學(xué)模型化方法的作用：對(duì)所研究的對(duì)象處理的典型化、形式化和精確化，從而在認(rèn)知方法上也起到了清晰化和簡(jiǎn)潔化的作用。34規(guī)律建立起的變量與參數(shù)間的具有確定關(guān)系的數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，求解該數(shù)學(xué)問題，解釋驗(yàn)證所得到的結(jié)果，從而確定能否