多邊形(提高) 知識(shí)講解

PAGE多邊形（提高）知識(shí)講解責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解多邊形的概念；2.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；3.靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題，體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進(jìn)一步培養(yǎng)說理和進(jìn)行簡單推理的能力.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．凸多邊形凹多邊形3.多邊形的分類:凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)詮釋：(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．知識(shí)點(diǎn)二、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；知識(shí)點(diǎn)三、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【典型例題】類型一、多邊形的概念 1．（2014春?定陶縣期末）觀察下面圖形，解答下列問題：（1）觀察規(guī)律，把下表填寫完整：（2）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線的條數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可畫出（n﹣3）條對(duì)角線，那么過n個(gè)頂點(diǎn)可以畫出n（n﹣3）條對(duì)角線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，再把所得結(jié)果除以2即可求得多邊形的對(duì)角線的總條數(shù)；（2）根據(jù)內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，把邊數(shù)代入（1）得到的公式即可求得相應(yīng)的對(duì)角線條數(shù)．【答案與解析】解：（1）9,14，.（2）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n．則（n﹣2）×180=1440，解得n=10．∴對(duì)角線的條數(shù)為：=35（條）．【總結(jié)升華】主要考查三角形的內(nèi)角和公式及n邊形對(duì)角線的條數(shù)的規(guī)律．根據(jù)一個(gè)頂點(diǎn)處的對(duì)角線條數(shù)得到n邊形對(duì)角線的條數(shù)的相應(yīng)規(guī)律是解決本題的難點(diǎn)．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝40°，沿直線MN剪去∠B，則所得五邊形AEFCD中，∠1+∠2＝?！敬鸢浮?20°【變式2】（2014秋?黃陂區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，求∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5的度數(shù)；（2）若延長凸n邊形A1A2…An的各邊得n個(gè)角，則得到n個(gè)角的和等于．【答案】解：（1）如圖，∵∠1=∠B2+∠B4，∠2=∠B1+∠B3，∵∠1+∠2+∠B5=180°，∴∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°；（2）若延長凸n邊形A1A2…An的各邊得n個(gè)角，則得到n個(gè)角的和=（n﹣2）?180°﹣n?180°+（n﹣2）?180°=（n﹣4）?180°．故答案為（n﹣4）?180°．類型二、多邊形內(nèi)角和定理2.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】由于∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度數(shù)都不能直接求出．因此求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的結(jié)果只能實(shí)施整體求值．【答案與解析】解：連接DE，用對(duì)頂三角形的性質(zhì)，可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，所以∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F＝∠BED+∠ADE+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F＝∠C+∠EDC+∠FED+∠F．因?yàn)樗倪呅蜟DEF的內(nèi)角和為360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【總結(jié)升華】如圖所示為對(duì)頂三角形．利用∠A+∠B＝∠C+∠D“轉(zhuǎn)移”角．舉一反三：【高清課堂：多邊形及其內(nèi)角和例5（2）（3）】【變式】（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=.（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=.【答案】（1）360°；（2）540°3.(山東萊蕪)一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520°，則原多邊形的邊數(shù)為()．A．15B．16C．17D．15或16或17【思路點(diǎn)撥】一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)不確定，要分類討論．【答案】D【解析】解：本題可設(shè)新多邊形為n邊形，由題意可知，原多邊形可以為n邊形；(n+1)邊形；(n-1)邊形：即(n-2)×180°＝2520°解得n＝16．故n-1＝15，n+1＝17．因此原多邊形可以是十五邊形，也可以是十六邊形，也可以是十七邊形，所以選D．答案：【總結(jié)升華】此問題比較抽象，可以利用四邊形類比發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后再推廣到一般．【高清課堂：多邊形及其內(nèi)角和例2、3】舉一反三：【變式1】（1）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和與它的一個(gè)外角的和為2005o，求多邊形的邊數(shù)。（2）如果一個(gè)凸多邊形，除了一個(gè)內(nèi)角以外，其它內(nèi)角的和為2570°，求這個(gè)沒有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù).【答案】（1）用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13．（2）用2570÷180=14余50，180o-50o=130o【變式2】若多邊形最多有四個(gè)鈍角，那么此多邊形的邊數(shù)最多是______.【答案】七類型三、多邊形的外角和4.科研人員為某機(jī)器人編制了一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為()A．6米B．8米C．12米D．不能確定【答案】C【解析】解析：先按照程序的步驟畫圖(如圖所示)，發(fā)現(xiàn)一次轉(zhuǎn)彎后不能回到出發(fā)點(diǎn)，從畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)要使機(jī)器人回到點(diǎn)A處，那么機(jī)器人走過的路徑應(yīng)該是一個(gè)多邊形，每次轉(zhuǎn)彎的角就是這個(gè)多邊形的外角．利用多邊形的外角和為360°，而30°×12＝360°，所以經(jīng)過12次轉(zhuǎn)彎即可到達(dá)點(diǎn)A處．又因?yàn)槊看巫?米，所以該機(jī)器人所走的總路程為12米【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵同樣是把生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在散步之中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)．其中蘊(yùn)含了多邊形的外角和為360°的有關(guān)知識(shí)．本例為“設(shè)計(jì)程序”類考題，讀懂程序，畫出圖形，理解很重要．舉一反三：【變式】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB∥CF，CD∥AE.按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)那一個(gè)角嗎？說明理由.【答案】解：測(cè)∠A或∠C的度數(shù)，只需∠A=100°或∠C=100°，即知模板中AB、CD的延長線的夾角是否符合規(guī)定