點線面位置關系(知識點加典型例題)講課講稿

2.1

空間中點、直線、平面之間的位置關系2.1

空間點、直線、平面之間的位置關系1、教學重點和難點重點：空間直線、平面的位置關系。難點：三種語言（文字語言、圖形語言、符號語言）的轉換2、三個公理：（1）公理

1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為A∈L

B∈L =>

L α

，A∈α

，B∈α

公理

1

作用：判斷直線是否在平面內 （2）公理

2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 α· 符號表示為：A、B、C

三點不共線

=>

有且只有一個平面α，使

A∈α、B∈α、C∈α。公理

2

作用：確定一個平面的依據(jù)。推論：①

一條直線和其外一點可確定一個平面②兩條相交直線可確定一個平面③兩條平行直線可確定一個平面（3）公理

3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：P∈α∩β

公理

3

作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

（4）公理

4：平行于同一條直線的兩條直線平行等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等．2、空間兩條不重合的直線有三種位置關系：相交、平行、異面3、異面直線所成角θ的范圍是

02.1.2

空間中直線與直線之間的位置關系1

空間的兩條直線有如下三種關系：相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。2

公理

4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設

a、b、c

是三條直線a∥bc∥b強調：公理

4

實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理

4

作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4

注意點：①

a'與

b'所成的角的大小只由

a、b

的相互位置來確定，與

O

的選擇無關，為簡便，點

O

一般取在兩直線中的一條上；②

兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；③

當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④

兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤

計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3

—

2.1.4

空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內

——

有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交

——

有且只有一個公共點（3）直線在平面平行

——

沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示a α 2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1

直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a αb β =>

a∥αa∥b2.2.2

平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a β

=

P β∥αb β 2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3

—

2.2.4

直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a∥αa β α∩β=

b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥βα∩γ=

a β∩γ=

b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行練習鞏固：

d

A.平行

ABCD

EF

AB

BC

AE

AC

DEF

A.平行 b

A

b

d

A.過

C.過

D.過

b

b

內的無數(shù)條直線.

(1)若直線

(2)若直線

平行，l

(3)兩條平行線中的一條直線與平面平行，那么另一條也與這個平面平行(4)若一直線

,E

,F

,

EF

lM

l,l,M,M.

ABCD—A

的中點，P

:

AC

AC

. .

__________.:

b

b

__________.:

E

E

_________.:

=

E

..

:

BE.

AD，GE，HF.根據(jù)兩平面平行的性質定理，有

ABCD

ABCD

.

:

AC

.

,

MN

:

E

F

C，

C

C

EF

EF

//

F

∵

∵

BE

∴

BEOFEB

C

E∴EF

//

∵

EF

EF

//

F

C

EP

M

N

PCMN

//EM

N

PC∴////////I

E

//MN

MN

//

N

1、定義如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂

M

E

C直，我們就說直線

L

與平面α互相垂直，記作

L⊥α，直線

L

叫做平面α的垂線，平面α叫做直線

L

的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點

P

叫做垂足。Lpα垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭

l βBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β垂直。

1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2

性質定理：

b

//

//bb//

bI

b

b

b//

l

①m

l

m//

②m

m//l

③m//

m

l

④m//l

m

①②③ ②③④ ①③④ ①②④

EF

M

EF

DE

DF

EF

△△DFCeq

\o\ac(△,，) EBF

C

DEF

PEF

PEF

DEF PF

DEF

m

l

//

m//

l

l

m

m//

m////

m

m//

E

b

b

b

b

b

b

b

l

b

lb

l

b

b

b

b

mn

①m

②

③

④m

PC

P

△

△

C

△

△

△

△

l

l

C

b

，過

EF

，

F

E

C

P

EF

//

AM

EF

PC

M

EF

△

C

l

l

C l

b//

或b

l

b

b

//b

//

∵

∴

∴

平面∵

平面∴

∵

平面AEFG

∴

，

平面

∴

////EF

AM

EF

AM

//

∴

PCPC

∵

∴

eq

\o\ac(△,Rt)

eq

\o\ac(△,．)∴ ≌△

∴

I

∴

∵

∴

又由（１）知

∴

．于是

∵

∴

eq

\o\ac(△,．)∴ eq

\o\ac(△,Rt)

eq

\o\ac(△,Rt)

∴

針對性練習：1.若直線

a

不平行于平面，則下列結論成立的是（ ）A.

內所有的直線都與

a

異面； B.

內不存在與

a

平行的直線；C.

內所有的直線都與

a

相交； D.直線

a

與平面有公共點.2.已知兩個平面垂直，下列命題①一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的任意一條直線；②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面；其中正確的個數(shù)是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空間四邊形

ABCD

中，若

CB

，則

與

所成角為A、

4.

給出下列命題：（1）直線

a

與平面不平行，則

a

與平面內的所有直線都不平行；（2）直線

a

與平面不垂直，則

a

與平面內的所有直線都不垂直；（3）異面直線

a、b

不垂直，則過

a

的任何平面與

b

都不垂直；（4）若直線

a

和

b

共面，直線

b

和

c

共面，則

a

和

c

共面其中錯誤命題的個數(shù)為（ ） （B）

1 （C）2 （D）35．正方體

ABCD-A

B

C

D

中，與對角線

AC

異面的棱有（ ）條 A3

B4

C6

D8 6.

點

P

為ΔABC

ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點O是ΔABC

的（ ） （A）內心 （C）重心 （D）垂心7.如圖長方體中，AB=AD=2

，CC=

，則二面角

C

—BD—C

的大小為（ ）

（D）90

8.直線

a,b,c

及平面α,β,γ,下列命題正確的是（ ）

A、若

aα，bα,c⊥a,

則

c⊥α

bα,

a//b 則

C、若

a//α,α∩β=b 則

a//b

a⊥α,

b⊥α

則

a//b9.平面與平面

平行的條件可以是（ ）A.

內有無窮多條直線與

平行；

a//,a//C.直線

a

,直線

b

,且

a//

,b//

D.內的任何直線都與

平行10、

a,

b

是異面直線，下面四個命題：①過

a

至少有一個平面平行于b；

②過

a

至少有一個平面垂直于b；③至多有一條直線與a，b

都垂直；④至少有一個平面與a，b

都平行。其中正確命題的個數(shù)是（ ）Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３二、填空題（本大題共

4

小題，每小題5

分，共

20

分）11.

已

知

直

線

a//

平

面

，平面

//

平

面

，則

a

與

的位置關系為 .a⊥直線

b,

a//平面

,則

b

與

的位置關系為 .13

如圖，ABC

是直角三角形，

ACB=

，PA

平面

ABC，此圖形中有 個直角三角形14.α、β是兩個不同的平面，m、n

是平面α及β之外的兩條不同直線,給出四個論斷：①

m

n ②αβ

③

m

β

④

n