概率論與數(shù)理統(tǒng)計-統(tǒng)計量及其分布

第五章

統(tǒng)計量及其分布

§5.1

總體與樣本§5.2

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示§5.3

統(tǒng)計量及其分布§5.4

三大抽樣分布§5.5

充分統(tǒng)計量

*隨機變量及其的概率分布全面描述了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計性規(guī)律。*概率論的許多問題中，隨機變量的概率分布通常是已知的，或者假設是已知的，而一切計算與推理都是在這已知是基礎上得出來的。*但實際中，情況往往并非如此，一個隨機現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的(非參數(shù)統(tǒng)計學)，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。例。某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不是合格的就是不合格的。該批產(chǎn)品的不合格率是p,由此，若從該批產(chǎn)品中中隨機抽取一件，設X為其產(chǎn)品的不合格數(shù)，顯然X的分布是兩點分布，但p是未知的，而p決定了該批產(chǎn)品的質量，直接影響采購行為的經(jīng)濟效益，因此人們就會對p提出一些問題：1，p的大小如何？2，p大概落到什么范圍？3，能否認為p滿足設定要求?（p≤0.05）

§5.1總體與個體總體的三層含義：

研究對象的全體；

數(shù)據(jù)；

分布

例

我們研究某大學的學生身高情況，則該大學的全體學生構成問題的總體，而每一個學生即是一個個體。事實讓，每個學生有許多特征，性別，體重，年齡等，而該問題關心的是身高，這樣每個學生（個體）所具有的數(shù)量指標值-----身高就是個體，而將所有身高全體看成總體，總體就是一堆數(shù)。這堆數(shù)中有大有小，各數(shù)出現(xiàn)的機會有多有少，所以用概率分布描述和歸納這堆數(shù)是合理的，于是總體就是一個分布。而其數(shù)量指標就是服從這個分布的隨機變量，這堆數(shù)就是這個隨機變量可能的取值。所以“從總體抽樣”與“從某分布抽樣”是同一個意思。例5.1.1

考察某廠的產(chǎn)品質量，以0記合格品，以1記不合格品，則總體={該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品}={由0或1組成的一堆數(shù)}若以

p表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示：X0

1P1

pp比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體

分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.0855.1.2

樣本樣本、樣本量樣本具有兩重性

一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，抽取前無法預知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機變量，用大寫字母X1,X2,…,Xn

表示；

另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時用小寫字母x1,x2,…,xn

表示是恰當?shù)?。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用

x1,x2,…xn

表示，應能從上下文中加以區(qū)別。例5.1.4

設有一個有20個數(shù)組成的總體，先從該總體不放回抽取容量為5的樣本，記錄后，放回，再抽第二個樣本，這里一共抽4個樣本。總體樣本1樣本2樣本3樣本411,8,12,9,11,10,9,11,10,11,10，，8,10,8,10,1211,8,9,11,10,131181312111311991011101011101089911樣本均值9.810.210.810.4例5.1.3

啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640

克。由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640克?，F(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結果：641,635,640,637,642,638,645,643,639,640這是一個容量為10的樣本的觀測值，(體會抽樣作用)對應的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。這樣的樣本稱為完全樣本。例5.1.4

考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命，選了100只進行壽命試驗，得到如下數(shù)據(jù)：表5.1.2

100只元件的壽命數(shù)據(jù)表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數(shù)值，只有一個范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。

壽命范圍

元件數(shù)

壽命范圍

元件數(shù)

壽命范圍

元件數(shù)

(024]4(192216]6(384408]4(2448]8(216240]3(408432]4(4872]6(240264]3(432456]1(7296]5(264288]5(456480]2(96120]3(288312]5(480504]2(120144]4(312336]3(504528]3(144168]5(336360]5(528552]1(168192]4(360184]1>55213

獨立性:

樣本中每一樣品的取值不影響其它樣品的取值--

x1,x2,…,xn

相互獨立。要使得推斷可靠，對樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個要求：

隨機性:總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本--

xi

與總體X有相同的分布。樣本的要求：簡單隨機樣本設總體X具有分布函數(shù)F(x),

x1,x2,…,xn

為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為簡單隨機樣本，也簡稱樣本。于是，樣本

x1,x2,…,xn

可以看成是獨立同分布(iid

)的隨機變量，其共同分布即為總體分布。5.2.1經(jīng)驗分布函數(shù)§5.2

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設

x1,x2,…,xn

是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進行排列,為x(1),x(2),…,x(n)，則稱

x(1),x(2),…,x(n)為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù)

則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn()=0和Fn()=1由此可見，F(xiàn)n(x)是一個分布函數(shù)，并稱Fn(x)為經(jīng)驗分布函數(shù)。例5.2.1

某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克）

351347355344351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=351,x(5)=355這是一個容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：其經(jīng)驗分布函數(shù)為由伯努里大數(shù)定律：只要n相當大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x)。

0，x

<344

0.2，344x

<347Fn(x)=0.4，347x

<3510.8，351x

<3551，x355160196164148170

175178166181162

161168166162172

156170157162154

5.2.2頻數(shù)--頻率分布表樣本數(shù)據(jù)的整理是統(tǒng)計研究的基礎，整理數(shù)據(jù)的最常用方法之一是給出其頻數(shù)分布表或頻率分布表。例5.2.2

為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，我們隨機調查了20位工人某天生產(chǎn)的該種產(chǎn)品的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下(1)對樣本進行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通常在5~20個，對容量較小的樣本;(2)

確定每組組距：近似公式為組距d=(最大觀測值

最小觀測值)/組數(shù);(3)

確定每組組限：各組區(qū)間端點為a0,a1=a0+d,

a2=a0+2d,…,ak=a0+kd,

形成如下的分組區(qū)間(a0,a1],(a1,a2],…,(ak-1

,ak]對這20個數(shù)據(jù)(樣本)進行整理,具體步驟如下:其中a0

略小于最小觀測值,ak

略大于最大觀測值.(4)

統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)——頻數(shù)，

并列出其頻數(shù)頻率分布表。表5.2.1

例5.2.2的頻數(shù)頻率分布表

組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率累計頻率(%)1(147，157]152

4

0.20

20

2

(157，167]162

8

0.4060

3(167，177]172

5

0.25

85

4

(177，187]18220.10955(187，197]19210.05100合計

2015.2.3樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標表示所關心變量的取值區(qū)間，縱坐標有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。5.3.1

統(tǒng)計量與抽樣分布§5.3統(tǒng)計量及其分布當人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認識時，最好的方法是構造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1

設x1,x2,…,xn

為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。5.3.2

樣本均值及其抽樣分布

定義5.3.2

設x1,x2,…,xn為取自某總體的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般用表示，即思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？二者結果相同嗎？

xx=

(x1+…+xn)/n定理5.3.2

數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和最小，即在形如

(xic)2的函數(shù)中，樣本均值的基本性質：定理5.3.1

若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即

最小，其中c為任意給定常數(shù)。樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3

設x1,x2,…,xn

是來自某個總體的樣本，x為樣本均值。(1)若總體分布為N(,2)，則xx的精確分布為N(,2/n)

;

若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但E(x)=,Var(x)=2,則n較大時

的漸近分布為N(,2/n)

,常記為。xAN(,2/n)這里漸近分布是指n較大時的近似分布.5.3.3樣本方差與樣本標準差稱為樣本標準差。s*=

s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術平方根在n不大時，常用作為樣本方差,其算術平方根也稱為樣本標準差。在這個定義中，

(

xix)2n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在確定后,

n個偏差x1x,x2x,…,xnx能自由取值，因為只有n1個數(shù)據(jù)可以自由變動，而第n個則不

(xix)=0.稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個不同的表達式：(

xix

)2=xi2

–(xi)2/n=xi2–nx它們都可用來計算樣本方差。思考：分組樣本如何計算樣本方差？樣本均值的數(shù)學期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4

設總體X具有二階矩，即

E(x)=

,Var(x)=2

,

x1,x2,…,xn

為從該總體得到的樣本，x和s2分別是樣本均值和樣本方差，則E(x)=,Var(x)=2/n,E(s2)=25.3.4

樣本矩及其函數(shù)

樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。定義5.3.4

ak

=(xik)/n

稱為樣本k階原點矩，

特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。

稱為樣本k階中心矩。

特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。

bk

=

(xi

x)k/n當總體關于分布中心對稱時，我們用x和s刻畫樣本特征很有代表性，而當其不對稱時，只用

就顯得很不夠。為此，需要一些刻畫分布形狀的統(tǒng)計量，如樣本偏度和樣本峰度，它們都是樣本中心矩的函數(shù)。樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義：

1=b3/b23/2稱為樣本偏度，

2=b4/b22稱為樣本峰度。x和s5.3.6

樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義：次序統(tǒng)計量設總體X的分布為取值0,1,2的離散的均勻分布，現(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有3*3*3=27種，X1X2X3X(1)X(2)X(3)X1X2X3X(1)X(2)X(3)000000120012001001210012010001022022100001202022002002220022020002112112200002121112011011211112101011122122110011212122012012221122021012111111102012222222201012

X(1)012

P19/277/271/27**********************

X(2)012

P7/2713/277/27***********************X(3)012

P1/277/2719/27定理5.3.7

設總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分位數(shù)，p(x)在xp處連續(xù)且p(xp)0，則特別，對樣本中位數(shù)，當n時近似地有當n時樣本p分位數(shù)mp的漸近分布為§5.4三大抽樣分布大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設的，以標準正態(tài)變量為基石而構造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達式，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”。5.4.12

分布(卡方分布)定義5.4.1

設X1,X2,…,Xn,獨立同分布于標準正態(tài)分布N(0,1)，則2=

X12+…

Xn2的分布稱為自由度為n的2分布，記為2

2(n)

。當隨機變量

2

2(n)時，對給定

(01)，稱滿足P(2

12(n))的12(n)是自由度為n1的卡方分布的1

分位數(shù).分位數(shù)

12(n)可以從附表3中查到。該密度函數(shù)的圖像是一只取非負值的偏態(tài)分布

5.4.2F分布定義5.4.2

設X1

2(m),X2

2(n),X1與X2獨立，則稱F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度為

m與

n

的F分布，記為FF(m,n)，其中m稱為分子自由度，n

稱為分母自由度。當隨機變量FF(m,n)時，對給定(01)，稱滿足P(F

F1(m,n))=1的F1(m,n)是自由度為m與

n

的F

分布的1分位數(shù)。由

F

分布的構造知F(n,m)=1/F1(m,n)。該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負值的偏態(tài)分布

5.4.3t

分布

定義

5.4.3

設隨機變量X1

與X2

獨立，且X1N(0,1),X2

2(n),則稱t=X1/X2/n的分布為自由度為n

的t分布，記為tt(n)。

t分布的密度函數(shù)的圖象是一個關于縱軸對稱的分布，與標準正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似