三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題 答案解析版本

三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)：直角三角形中其他重要概念⑴仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖⑴．⑵坡角與坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為i=y，坡面與水平面的夾角記作a，叫做坡角，則i==tana?坡度越大，坡面就越陡?如圖⑵.⑶方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)為北（南）偏東（西）XX度?如圖⑶.2.解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題：⑴分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；⑵找出要求解的直角三角形?有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線,把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；⑷按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位3.0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）三角函數(shù)0°30°45°60°90°sina02V31cosa1七'220tana01cota<310

典型例題類型一.所求線段由兩段和差組成。例題1.（2018成都）由我國完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艦國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù)?如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測(cè)得小島C位于它的北偏東70。方向，且于航母相距80海里，再航行一段時(shí)間后到達(dá)處，測(cè)得小島C位于它的北偏東37。方向.如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長.（參考數(shù)據(jù)：sin70。^0.94，cos70°=0.34，tan70。^2.75，sin37。^0.6,cos37°u0.80，tan37°?0.75）?解：由題知：ZACD=70°，ZBCD=37°，AC=80TOC\o"1-5"\h\zCDCD海里）.海里）.在RtMCD中，cosZACD=，A0.34=，:.CD二27.2海里）.海里）.AC80BDBD在RtABCD中，tanZBCD=，：0.75=，：BD=20.4中CD27.2答：還需要航行的距離BD答：還需要航行的距離BD的長為20.4海里.變式1.為了減輕二環(huán)高架上汽車的噪音污染，成都市政府計(jì)劃在高架上的一些路段的護(hù)欄上方增加隔音屏.如圖，工程人員在高架上的車道M處測(cè)得某居民樓頂?shù)难鼋荶ABC的度數(shù)是20°，儀器BM的高是0.8m，點(diǎn)M到護(hù)欄的距離MD的長為11m,求需要安裝的隔音屏的頂部到橋面的距離ED的長（結(jié)果保留到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin20°~0.34,cos20°~0.94,tan20°~0.36）—

解：由題意：CD=BM=0.8m,BC=MD=11m,在RtAECB中，EC=BC?tan20°=llX0.36~3.96(m),???ED=CD+EC=3.96+0.8?4.8(m),答：需要安裝的隔音屏的頂部到橋面的距離ED的長4.8m2.如圖，登山纜車從點(diǎn)2.如圖，登山纜車從點(diǎn)A出發(fā)，途徑點(diǎn)B后到達(dá)終點(diǎn)C。其中AB段與BC段的運(yùn)行路程為200m，且AB段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為30。，BC段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為42。，求纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離。（參考數(shù)據(jù)：sin42o?0.67，答案：234米3.（成華二診）如圖，大樓沿右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓?！?，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30。，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45。（點(diǎn)B,C,E在同一水平直線上）。已知AB二80m，DE二10m，求障礙物B,C兩點(diǎn)間的距離。（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù):<2二1.414,3=1.732）Bc￡Bc￡解：如圖，過點(diǎn)D作DF丄AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CH丄DF于點(diǎn)H.則DE=BF=CH=10m,在直角△ADF中，TAF=80m-10m=70m,ZADF=45°,

:?DF=AF=70m.在直角ACDE中，?:DE=10m,ZDCE=30°,心=10込(m),:.BC=BE-CE=70-1013^70-17.32^52.7(m).答：障礙物B,C兩點(diǎn)間的距離約為52.7m.（千米）,（千米）,類型二：輔助線技巧例題1（2017成都）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行。如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60。方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45。方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B,C兩地的距離?！附猓哼^B作BD丄AC于點(diǎn)D.在Rt^ABD中，AD=AB?cosZBAD=4cos60°=4X=22BD=AB?sinZBAD=4X'=2?迢（千米），2?「△BCD中，ZCBD=45。，???△BCD是等腰直角三角形，???CD=BD=2i叼（千米），?BC=邁BD=2.左（千米）.答：B，C兩地的距離是2..飛千米.

變式1如圖，南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至海面B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向20、+晶＞海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請(qǐng)求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45。方向上，A設(shè)CD=x，在Rt^ACD中，可得AD=x,在Rt^ABD中，可得BD=f3x,又VBC=20（1W3）,CD+BD=BC,即x+3x=20（1+小3）,解得：x=20,.??AC=lE=20l邁（海里）.

2.（2017武侯二診）為促進(jìn)我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，加快道路建設(shè)，某高速公路建設(shè)工程中需修隧道AB，如圖，在山外一點(diǎn)C測(cè)得BC距離為200m,ZCAB=45°,ZCBA=30°,求隧道AB的長。C解：過點(diǎn)C作CD丄AB于D,CVBC=800m,ZCBA=30°,??.在RtABCD中，CD=^BC=400m,BD=BC?cos30°=800乂=40013^693(m),22VZCAB=54°,在Rt^ACD中，AD=心'^231(m),tan541.73/.AB=AD+BD693+231924(m).答：隧道AB的長為924m．3?漁船上的漁民在A處看見燈塔M在北偏東60°方向，這艘漁船以28海里/時(shí)的速度向正東航行，半小時(shí)到B處?在B處看見燈塔M在北偏東15°方向，求此時(shí)燈塔M與漁船的距離.BM=7*2

在罠處測(cè)得DF6米A1.例題2（錦江二診）如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角ZCED=60°,在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測(cè)角儀電線桿上C處的仰角為30°,求拉線CE的長在罠處測(cè)得DF6米A1.CE=4+<3變式1如圖，某中學(xué)在主樓的頂部D和大門A的上方之間掛一些彩旗，經(jīng)測(cè)量，大門距主樓的距離BC=90m，在大門處測(cè)得主樓頂部的仰角是30°，而當(dāng)時(shí)測(cè)傾器離地面BE=1.5m.求：學(xué)校主樓CD的高度（結(jié)果精確到0.01m）D./A解：（1）作EF〃BC交DC于點(diǎn)F，?.?BC=45m,.°.EF=45m,VZDEF=30°，ZDFE=90°，解得，DE=解得，DE=15七Atan30°=I=t?:EB=3m，.°.DC=152+.：2=16一：3m，即學(xué)校主樓的高度是16?迂m；(2)作AGIIBC交DC于點(diǎn)G,?.?BC=AG=45m,AB=S.一3m,DC=16一空m,:.GC=AB=y；3m,:、DG=16■3-y；3=1313m,VZAGD=90°,?：AD=；：45莓(12②—633m,即大門上方A與主樓頂部D的距離是2宓m.2如圖，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的ZBAD=60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm?（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：〔41.732）解：由題意得：AD丄CE,過點(diǎn)B作BM丄CE,BF丄EA,???燈罩BC長為30cm，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°,'：CM丄MB,即三角形CMB為直角三角形,??“。CMCM：Sin30=匪=而':CM=15cm,在直角三角形ABF中,sin60°=麗解得：BF=20.3,

又ZADC=ZBMD=ZBFD=90°,???四邊形BFDM為矩形，:.MD=BF,:.CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20一g+2~51.6cm.答：此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm.3如圖，要在寬為22米的大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最佳，求路燈的燈柱BC高度.解：如圖，延長OD，BC交于點(diǎn)P.VZODC=ZB=90°，ZP=30°，OB=11米，CD=2米,???在直角ACPD中，DP=DC?cos30°=T3m，PC=CDF(sin30°)=4米,VZP=ZP，ZPDC=ZB=90°，.?.△PDCsApbo,.PDJD'*PB"OB.??BC=PB-PC=(11-4)米.類型三.雙直角三角形與方程思想例題1?如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，現(xiàn)在河邊的一岸邊任意取一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩點(diǎn)B,C，測(cè)得厶=30。,zp=45。，量得BC長為100米，求河的寬度（結(jié)果保留解答:50\；3+50變式1如圖，小明在一塊平地上測(cè)山高，先在B處測(cè)得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達(dá)C處，再測(cè)得山頂A的仰角為45°，那么山高AD為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，測(cè)角儀忽略不計(jì)，\2~1.414，;'3~1.732）解：如圖，ZABD=30°，ZACD=45°，BC=100m,設(shè)AD=xm,AD在RtMCD中，TtanZACD=CD，.?.CD=AD=x,.??BD=BC+CD=x+100,AD在Rt^ABD中，°.°tan/ABD=BD，?=並??x=3x+100），4分.??x=50G;'3+1-137即山高AD為137米.

2.如圖，是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10米，坡面10米處有一建筑物HQ,為了方便使行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面DC的傾斜角ZBDC=30°，若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除（計(jì)算最后結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：『2=1.414,73=1.732）【解析】由題青得,月圧10米，米，在中，ZtM=45°，二血二EG在沁DEC申,ZCD5=30°,：.D3=———=10^3』:.DH=AH—AD=AH—（.-AS）tan^CDB=10-10T3+10=20-1（XA^2.7（米〕、米＜3米…：該建筑物需要拆除.3?為了測(cè)量白塔的高度AB,在D處用高為1.5米的測(cè)角儀CD,測(cè)得塔頂A的仰角為42°,再向白塔方向前進(jìn)12米，又測(cè)得白塔的頂端A的仰角為61°，求白塔的高度AB.（參考數(shù)據(jù)sin42°~0.67,tan42°~0.90,sin61°~0.87,tan61°~1.80，結(jié)果保留整數(shù)）解：設(shè)AE=x,在RtAACE中，CE=AE=1.1x.tan42Q，AF在Rt^AFE中，F(xiàn)E==0.55x,tanSl由題意得，CF=CE-FE=l.lx-0.55x=12,解得：x=詈，240故AB=AE+BE=+1.5~23米.答：這個(gè)電視塔的高度AB為23米.例題2(2014成都)如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°。求ZBPQ的度數(shù)；求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m)備用數(shù)據(jù):壬3-1.7，、:'2沁1.430度，9米變式1.如圖：某電信部門計(jì)劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，測(cè)量人員在山腳A點(diǎn)測(cè)得B、C兩地的仰角分別為30。、45。，在B地測(cè)得C地的仰角為60。，已知C地比A地高200m，電纜BC要多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）2?數(shù)學(xué)興趣小組向利用所學(xué)的知識(shí)了解某廣告牌的高度，已知CD=2m，經(jīng)測(cè)量，得到其它數(shù)據(jù)如圖所示，其中ZCAH=30°,ZDBH=60°,AB=10m，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算GH解：延長CD交AH于點(diǎn)E，設(shè)DE=x，貝9BE=^x，VZA=30°，-CE二2斗葢=血…=〒—x=5l3-3，.??GH=EC=5一g-1(m)答：GH的長為=(5lg-1)m.H伽A告H伽A告3某數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量某廣告牌的寬度（圖中線段MN的長），直線MN垂直于地面，垂足為點(diǎn)P.在地面A處測(cè)得點(diǎn)M的仰角為58°、點(diǎn)N的仰角為45°,在B處測(cè)得點(diǎn)M的仰角為31°,AB=5米，且A、B、P三點(diǎn)在一直線上.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬MN的長.（參考數(shù)據(jù):sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60,sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60.）解：在Rt^APN中，ZNAP=45°,:.PA=PN,irp在Rt^APM中，tanZMAP=,設(shè)PA=PN=x,VZMAP=58°,:.MP=AP?tanZMAP=1.6x,irp在RtABPM中，tanZMBP=,VZMBP=31°,AB=5,A0.6=,Ax=3,AMN=MP-NP=0.6x=1.8（米），答：廣告牌的寬MN的長為1.8米.課后練習(xí)：1.（2016成都）在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測(cè)高”這節(jié)內(nèi)容之后，某興趣小組開展了測(cè)量學(xué)校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)。如圖，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，量出高度AB=1.5m，測(cè)得旗桿頂端D的仰角ZDBE=32。，量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部C的水平距離AC=20m，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求旗桿CD的高度。（參考數(shù)據(jù)：sin32°u0.53，cos32°?0.85，tan32°?0.62）2.如圖，海面上以點(diǎn)A為中心的4海里內(nèi)有暗礁，在海面上點(diǎn)B處有一艘海監(jiān)船，欲到C處去執(zhí)行任務(wù)，若ZABC=45°,ZACB=37°,B,C兩點(diǎn)相距10海里，如果這艘海監(jiān)船沿BC直接航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75）A】解：如果這艘海監(jiān)船沿BC直接航行，不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)；理由如下:作AMLBC于M,如圖所示：VZABC=45°,???△ABM是等腰直角三角形，:.AM=BM，設(shè)AM=BM=x海里，則CM=10-x（海里），在RtAACM中，^=tanZACB=tan37°~0.75,L-JIL?_X…解得:工=號(hào)^,經(jīng)檢驗(yàn)，x=^是方程的根，???AM=晉海里＞4海里，???如果這艘海監(jiān)船沿BC直接航行，不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn).

3?某海域有A,B兩個(gè)島嶼,B島嶼在A島嶼北偏西30。方向上，距A島120海里，有一艘船從A島出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B島嶼南偏東75。方向的C處，求出該船與B島之間的距離CB的長（結(jié)果保留根號(hào)）.4?一艘輪船位于燈塔P南偏西60。方向的A處，它向東航行20海里到達(dá)燈塔P南偏西45。方向上的B處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行圖中與燈塔P的最短距離。（結(jié)果保留根號(hào)）5.如圖，已知樓房AB高40米，鐵塔CD塔基中心C到AB樓房房基B點(diǎn)的水平距離BC為50米，從A望D的仰角為26.6°，求塔CD的高.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50）

貝yAE=BC=50米，AB=CE=40米，nir???在RtAAED中,ZDAE=26.6°,tanZDAE=AE.\DE=AEXtanZDAE=50Xtan26.6^50X0.50=25,CD=CE+DE=40米+25米=65米，即塔CD的高約為65米.6.如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需繞行B地.已知B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向.若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長.（結(jié)果保留整數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：sin67°ag^,cos67°~￥「tan67°ag^,13^1.73)13135北解：過點(diǎn)B作BD丄AC于點(diǎn)D,VB地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km,:.ZABD=67°,TOC\o"1-5"\h\z6240:.AD=AB?sin67°=520乂=■■=480km,13BD=AB?cos67°=520X，=■■=200km.1313VC地位于B地南偏東30°方向，.??ZCBD=30°,:,CD=BD?tan30°=200乂=罰］