三年高考(2017-2019)理數(shù)真題分項版解析-專題11 平面向量(解析版)

專題11平面向量1?【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知非零向量a,b滿足Ia1=21bI，且(a-b)丄b,則a與b的夾角為B．AB．C．2nC．2nTD．5n~6答案】B【解析】因為(a【解析】因為(a—b)丄b,所以(a—b)-b=a-b—b2=0,所以a-b=b2，所以cos0=Ib|22IbI2n所以a與b的夾角為3，故選B.【名師點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,兀］.2.【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，則AB-BC=TOC\o"1-5"\h\zA.-3B.-2_,_,_,C.2D.3【答案】C【解析】由BC=AC—AB=(1,t—3)，BC=J1+(t—3)2=1，得t=3，則BC=(1,0,)AB申C=(2,3屮0Tx1+3x0=2.故選C.——丄名師點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大.3.【2019年高考北京卷理數(shù)】設點A,B,C不共線，貝AB與AC的夾角為銳角”是“IAB+AC1>1BC丨”的_‘_,一—’—’A.充分而不必要條件B?必要而不充分條件C充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】AB與AC的夾角為銳角，所以IAB|2+IAC|2+2AB-AC>IABI2+IACI2—2AB-AC，即IAB+AC^>IAC—ABI2，因為AC—AB-BC，岳以IAB^AC>IBC+；—>一一>當AB+4CI>RBC成立時，IAB+ACdLAB^ACI2nAB?AC>0,工因為點A,B,C不共線，所以AB與AC的夾角為銳角.故“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要條件,故選【名師點睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時考查了轉化與化歸數(shù)學思想.4.【2018年高考全國I卷理數(shù)】在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB=3113A.—AB——ACB.—AB——ACTOC\o"1-5"\h\z4444—3113C.—AB+—ACD.—AB+-AC4444【答案"【解析】根據向量的運算法則，可得BE-2BA+2BD=2BA+4BC=2BA+4^BA+ac)1113131=—BA+—BA+—AC=—BA+—AC所以EB=—AB--AC—一一―、2444444故選_A—‘―?—‘―?—‘—?―?【名師點睛】該題考查的是有關平面向量的基本問題，涉及的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算5.【2018年高考全國II卷理數(shù)】已知向量a，b滿足IaI二1，a-b二-1，則a-(2a-b)二A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因為a-(2a—b)=2a2—a-b=2IaI2—(—1)=2+1=3所以選B.【名師點睛】已知非零向量a=(x,y)，b=(x,y):1122幾何表示坐標表示C.C.D.316模lal=J模lal=Ja?aa=Jx12+y12夾角“上亠0▲?▲cos卡:bxx+yycosA—12丄2Jx2+y2.JX2+y2￥11.*2,2,A?3-1C.226.a，b，e6.e是單位向量?若非零向量a與e的夾角為n3向量b滿足b2-4e?b+3=0,則Ia-b啲最小值是B?3+1D?2-3【答案】A【解析】設口==〔1：：』=，則由得由b2-4e?b+3=0得檸F—F—加!—弓=二〔唄—二二—F=1■因此la-bl的最小值為圓心〔2工到直線2^J3丁==v?A的距離=伸3減去半徑1,為-1選A.名師點睛】本題主要考查平面向量的夾角、數(shù)量積、模及最值問題，考查數(shù)形結合思想，考查考生的選算求解能力以及分析問題和解決問題的能力，考查的數(shù)學核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學運算.7.【2018年高考天津卷理數(shù)】如圖，在平面四邊形ABCD中,AB丄BC,AD丄CD,ABAD=120,AB=AD=1,若點E為邊CD上的動點，則AE-BE的最小值為21A.——1625答案】ADD.-1cc.J5D.2【解析】連接AD,取AD中點為O,可知AABD為等腰三角形，而ab丄bc,ad丄cd,所以△BCD為等邊三角形，bd=設DE—tDC(0<t<1)AE-BE—AE-BE—+-ADBD+DE.(AD+bd)+de2-3+BDDE+DE2<t^1)<t^1)=3t2—t+2121所以當t—時，上式取最大值二7，故選A.416名師點睛】本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示，同時利用向量共線轉化為函數(shù)求最值.8.【2018年高考北京卷理數(shù)】設a,b均為單位向量，貝fa-3b|=|3a+b|”是-aLb^的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】|a—3b|—|3a+b\o\a—3b|2—|3a+b|2oa2—6a-b+9b2—9a2+6a-b+b2，因為a，b均為單位向量,所以a2—6a-b+9b2—9a2+6a-b+b2oa-b=0oa^b，即“a-3bl—l3a+b”是“adb”的充分必要條件.故選C.【名師點睛】充分、必要條件的三種判斷方法.1.定義法：直接判斷喏p則q”、“若q則p”的真假.并注意和圖示相結合，例如”nq”為真，則p是q的充分條件.2?等價法：利用pnq與非qn非p，qnp與非pn非q，poq與非qo非p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法.3.集合法：若A匚B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件.9.【2017年高考全國III卷理數(shù)】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP—九AB+卩AD，則九+卩的最大值為A.3

【答案】A解析】如圖所示，建立平面直角坐標系.設A（0,1）,B（0,0）,C（2,0）,D（2,1）,P（x,y）,易得圓的半徑廠=易得圓的半徑廠=275即圓C的方程是(X-2)2+y2二5AP=（x,y-1）,AB=（0,-1）,AD=（2,0），若滿足AP二九AB+卩AD,丸-J、，F(xiàn)=2,九二1=y，所以九+口=2-y+1；y-1二-九22設z二X-y+1，即X-y+1-z二0，點p（x,y）在圓（x-2匕+y2二5上,-zlT+1x所以圓心(2,0)到直線--y+1-z二0的距離d<r，即所以z的最大值是3,即九+卩的最大值是3,故選A.【名師點睛】(1)應用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.10.【2017年高考全國II卷理數(shù)】已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA-（PB+PC）的最小值是B.-B.C.【答案】B【解析】如圖，以BC為x軸，BC的垂直平分線DA為y軸，D為坐標原點建立平面直角坐標系,則A(0,\/3)，B(-1,0)，C(1,0)，設P(x,y)，所以pA=(—x,\i3-y)，PB=(-1-x，一y),PC=(1-x,-y)所以PC=(1-x,-y)所以PB+PC=(-2x^2y)PA-(PB+PC)=2x2-2y(^3-y)=2x2+2(y-3>3——>2一2時，所求的最小值為一2，故選B.【名師點睛】平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷；“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決.11.【2017年高考北京卷理數(shù)】設m,n為非零向量，則“存在負數(shù)九，使得m=Xn”是“m-n<0”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案】A【解析】若玉V0，使m=九n，則兩向量m，n反向，夾角是180。，那么m?n=岡|"|cos180°=-Im||n|<0；若m?nv0，那么兩向量的夾角為（90。，180。］，并不一定反向，即不一定存在負數(shù)九，使得m=Xn，所以是充分而不必要條件，故選A.【名師點睛】【名師點睛】判斷充分必要條件的的方法：（1）根據定義，若p亠q,q北>p，那么p是q的充分不必要條件，同時q是P的必要不充分條件；若poq，那么p，q互為充要條件；若ph>q,qh>p,那么就是既不充分也不必要條件.（2）當命題是以集合形式給出時，那就看包含關系,已知p:xGA,q:xgB，若AuB，那么p是q的充分不必要條件，同時q是p的必要不充分條件；若A=B，那么p，q互為充要條件；若沒有包含關系，那么就是既不充分也不必要條件（3）命題的等價性，根據互為逆否命題的兩個命題等價，將p是q條件的判斷，轉化為「q是「p條件的判斷.12.【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知a,b為單位向量，且a?b=0，若c二2a—爲b，貝Ucosa,c；：【答案】3【解析】因為c=2a-\5b，ab=0，所以a-c-2a2-\5a-b=2，lc|2-41a|2-4f5a-b+51b|2-9，所以IcI-3,【名師點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng).使用轉化思想得出答案.13.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形ABCD中，AD〃BC,AB-2朽，AD-5,ZA-30。，點E在線段CB的延長線上，且AE-BE，則BD-AE-.【答案】-1【解析】建立如圖所示的直角坐標系—AB"，AB=2巨AD=5,則陀皿，D（￥，2）.因為AD〃BC，ZBAD-30。，所以ZABE-30。，因為AE-BE，所以ZBAE-30。，所以直線BE的斜率為蘭3,其方程為y-》3（x-2打），33直線AE的斜率為七，其方程為y「x-￡(x-2、③,—-x3所以E（鳳—1）.35所以bd^e=(才,2)J"3,—1)=—1.【名師點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便.14．【2019年高考江蘇卷】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CE14．【答案】f【答案】f亍.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC的中點，知BF=FE=EAAO=OD.6A^fC二3AD^AC-AE)=-Cb+AC人C-AE),卅4(Q護]3卅4(Q護]323ab2TAC2-3AB嚴C]33(21\2(3ABcAC-3AB2+AC2J13=AB^C--AB2+AC2=AB嚴C,得1ab2^^AC2,即AB刃3ACT故AB=7322AC【名師點睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結合和方程思想解題.15.【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的邊長為1,當每個九(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時，iI九AB+九BC+九CD+九DA+九AC+九BDI的最小值是；最大值是123456【答案】0；士5.一一—.一【解析】以AB,AD分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖.vAQl=l)152宀如0)5(1.0)X則AB=(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),123456=XAB+九BC+九CD+九DA+九AC+九BD=J（九一九+九一九匕+（九一九+1234561356240.又因為九(i=1,2,3,4,5,6)可取遍±1,i所以當九=九=九=九=九=1,九=-1時，有最小值y=0.TOC\o"1-5"\h\z134562min因為（九一九+九）和（九一九+九）的取值不相關，九=1或九=-1,13524566所以當（九―九+九）和（九―九+九）分別取得最大值時，y有最大值，135245所以當九=九=九=九=1,九=九=-1時，有最大值y=\.2+42=J20=2p5.125634丿max故答案為0；2頁.【名師點睛】對于此題需充分利用轉化與化歸思想，從“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的綜合題.16.【2018年高考全國III卷理數(shù)】已知向量a=（1,2）,b=（2,-2），=（1,久）.若c〃（+），則X=.1【答案】2【解析】由題可得2a+b=（4,2），c〃（2a+b），c=（1,久），?.4X-2=0，即X=2，故答案為1??22【名師點睛】本題主要考查向量的坐標運算，以及兩向量共線的坐標關系，屬于基礎題.解題時，由兩向量共線的坐標關系計算即可.17【【2018年高考上海卷】在平面直角坐標系中，已知點A（-1，0）、B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點，且IEFI=2，貝ME-BF的最小值為【答案】3一一【解析】根據題意，設E（0，a），F(xiàn)（0，b）；.??EF|=|a-b=2；a=b+2，或b=a+2；且AE=（1,a），BF=（-2,b）；當a=b+2時，AE-BF=-2+(b+2)?b=b2+2b-2；—8-4b2+2b-2的最小值為=-3；4??.AE?BF的最小值為-3,同理求出b=a+2時，AE?BF的最小值為-3?故答案為：-3.一一【名師點睛】考查根據點的坐標求兩點間的距離，根據點的坐標求向量的坐標，以及向量坐標的數(shù)量積運算，二次函數(shù)求最值的公式．18.【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標系xOy中，A為直線l:y=2x上在第一象限內的點，B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D?若AB?CD=0，則點A的橫坐標為?【答案】3一【解析】設A(a,2a)(a>0)，則由圓心C為AB中點得Cf字,a］易得V2丿口C:(x—5)(x—a)+y(y—2a)=0，與y=2x聯(lián)立解得點D的橫坐標xD=1,所以D(1，2).所以AB=(5—a,—2a),CD=1-°+',2—a，由AB?CD=0得(5—a)1—+(—2a)(2—a)=0,a2—2a—3=0,a=3或a=—1，V2丿因為農>0，所以a=3.【名師點睛】以向量為載體求相關變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.19.【2017年高考全國I卷理數(shù)】已知向量a，b的夾角為60°，lal=2，lbl=1，貝川a+2b1=?【答案】2再【解析】方法一：Ia+2b|2=|a|2+4a?b+41bI2=4+4x2x1xcos60+4=12，o所以|a+2b|=p12=2葦'3.方法二：利用如下圖形，可以判斷出a+2b的模長是以2為邊長，一夾角為60啲菱形的對角線的長度,則為2J3.

【名師點睛】平面向量中涉及有關模長的問題時，常用到的通法是將模長進行平方，利用向量數(shù)量積的知識進行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個工具型的知識，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類問題時可以使用數(shù)形結合的思想，會加快解題速度.20.【2017年高考江蘇卷】如圖，在同一個平面內，向量OA,OB,OC的模分別為1,1,?邁,OA與OC的夾角為Q，且tana=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,neR)，貝y答案】37!2[2【解析】由t叫=7可得sina=話，cosa=計，根據向量的分解,ncos45°+mcosncos45°+mcosa=\2nsin45°-msina=0n+m=\：2210近恥on—m=05n+m=10即5n一7m=0I210【名師點睛】（1）向量的坐標運算將向量與代數(shù)有機結合起來，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結合提供了前提，運用向量的有關知識可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題.（2）以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，可將原問題轉化為解不等式或求函數(shù)值域的問題，是此類問題的一般方法.（3）向量的兩個作用：①載體作用，關鍵是利用向量的意義、作用脫去，向量外衣”，轉化為我們熟悉的數(shù)學問題；②工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.21.【2017年高考天津卷理】在△ABC中，ZA=60。,AB=3,AC=2.若BD=2C,AE=九AC-AB(九gR)，且AD-AE=—4，則九的值為.―?―?―‘―‘3

用案】訂一一12【解析】由題可得AB-AC=3x2xcos60。=3,AD=—AB+—AC，33TOC\o"1-5"\h\z12九2九12—則AD-AE=(-AB^^AJC)(九AC-AB)=—x4--x9--x3=-4二九=—33333311【名師點睛】根據平面斷基本定理，枷表示平面向量的一組基底可以表示平面內的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，則可獲解．本題中AB,AC已知模和夾角，作為基底易于計算數(shù)量積.一—?22.【2017年高考山東卷理數(shù)】已知e,e是互相垂直的單位向量，若?3e-e與e+1e的夾角為60。