2020版高考大題增分課4立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題

高考大題增分課四)立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題［命題解讀］1.立體幾何是高考的必考內(nèi)容，幾乎每年都考查一個(gè)解答題，兩個(gè)選擇或填空題，客觀題主要考查空間概念，三視圖及簡(jiǎn)單計(jì)算；解答題主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即利用定義、公理、定理證明空間線線、線面、面面平行或垂直，并與幾何體的性質(zhì)相結(jié)合考查幾何體的計(jì)算．2．重在考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．考查的熱點(diǎn)是以幾何體為載體的垂直、平行的證明、平面圖形的折疊、探索開(kāi)放性問(wèn)題等；同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合的思想方法．I題型1|線面位置關(guān)系與體積計(jì)^算以空間幾何體為載體，考查空間平行與垂直關(guān)系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，并常與幾何體的體積計(jì)算交匯命題，考查學(xué)生的空間想象能力、計(jì)算與數(shù)學(xué)推理論證能力，同時(shí)突出轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的考查，試題難度中等．【例1】(本小題滿分12分)(2019?哈爾濱模擬)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE丄平面ABCD.證明：平面AEC丄平面BED；⑵若ZABC=120°,AE丄EC,三棱錐E-ACD的體積為g6,求該三棱錐的側(cè)面積.［信息提?。菘吹剿倪呅蜛BCD為菱形，想到對(duì)角線垂直；看到三棱錐的體積，想到利用體積列方程求邊長(zhǎng)．［規(guī)范解答］(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC丄BD.TOC\o"1-5"\h\z因?yàn)锽E丄平面ABCD,ACU平面ABCD，所以AC丄BE.2分因?yàn)锽DGBE=B，故AC丄平面BED.又ACU平面AEC,所以平面AEC丄平面BED.4分3x設(shè)AB=x,在菱形ABCD中，由ZABC=120°，可得AG=GC=〒x,GB^GDpJ3因?yàn)锳E丄EC，所以在RtAAEC中，可得EG=〒x.6分2由BE丄平面ABCD，知AEBG為直角三角形，可得BE=*x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積V三棱錐acd=3x2?AC?GD.BE=^x3=￥，故x=2.9分從而可得AE=EC=ED=所以AEAC的面積為3，AEAD的面積與AECD的面積均為\：M故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2-腐.12分［易錯(cuò)與防范］易錯(cuò)誤區(qū)：1.在第(1)問(wèn)中，易忽視條件BDHBE=B.AC平面AEC等條件，推理不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致扣分．2．在第(2)問(wèn)中，需要計(jì)算的量較多，易計(jì)算失誤，或漏算，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤．防范措施：1.在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程中，應(yīng)嚴(yán)格按照判定定理的條件寫(xiě)，防止扣分．2．在計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)牢記計(jì)算公式，逐步計(jì)算，做到不重不漏．［通性通法］空間幾何體體積的求法若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積．若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解．若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．［跟蹤練習(xí)］如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD，AD〃BC，AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN〃平面PAB；⑵求四面體N-BCM的體積.2［解］⑴證明：由已知得AM=3AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN//BC,TN=1BC=2.又AD^BC,故TN=AM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN^AT.因?yàn)锳TU平面PAB,MNG平面PAB,所以MN〃平面PAB.（2）因?yàn)镻A丄平面ABCD,N為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面ABCD的距離為1PA.取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC=3得AE±BC,AE=-jAB2—BE2=由AM/BC得點(diǎn)M到BC的距離為；j5故S/CM=2x4X\B=2\S所以四面體N-BCM的體積Vn-bcm=5XS^bcm^T=坪?1題型求點(diǎn)到平面的距離（幾何體的高）求點(diǎn)到平面的距離（幾何體的高）涉及到空間幾何體的體積和線面垂直關(guān)系,是近幾年高考考查的一個(gè)重要方向,重點(diǎn)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力．【例2】（2019?開(kāi)封模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且ZDAB=60。，PA=PD,M為CD的中點(diǎn)，平面PAD丄平面ABCD.（1）求證：BD丄PM；⑵若ZAPD=90°，F(xiàn)A=、J2，求點(diǎn)A到平面PBM的距離.懈］⑴證明：取AD中點(diǎn)E,連接PE,EM,AC,???底面ABCD是菱形,???BD丄AC,?:E,M分別是AD,DC的中點(diǎn)，:.EMAC,:?EMIBD.yPA=PD,:.PE±AD,???平面PAD丄平面ABCD，平面PADA平面ABCD=AD,.PE丄平面ABCD,:.PE±BD,TEMAPE=E,???BD丄平面PEM,?/PM平面PEM,???BD丄PM.(2)連接AM,BE,VPA=PD=；2,ZAPD=90°,ZDAB=60°,.AD=AB=BD=2,PE=1,em=2ac=、J3,???PM=PB=J1+3=2.在等邊三角形DBC中，BM=,''3,.saPBM=49,s^abm=2x2^/3=J3.設(shè)三棱錐A-PBM的高為h,則由等體積可得1h=|^,''3X1,??h13,???點(diǎn)A到平面PBM的距離為茸匕.［規(guī)律方法］求點(diǎn)到平面的距離(幾何體的高)的兩種方法等積法：利用同一個(gè)三棱錐變換頂點(diǎn)及底面的位置，其體積相等的方法求解.定義法：其步驟為：一作、二證、三求如何作出點(diǎn)到面的距離是關(guān)鍵，一般的方法是利用輔助面法，所作的輔助面，一是要經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，二是要與所求點(diǎn)到面的距離的面垂直，這樣在輔助面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作交線的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到面的距離.［跟蹤練習(xí)］如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB〃平面AEC；3⑵設(shè)AP=1,AD=f3，三棱錐P-ABD的體積#=計(jì)，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.［解］⑴證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO〃PB.因?yàn)镋OU平面AEC,PBG平面AEC,所以PB〃平面AEC.(2)三棱錐P-ABD的體積V=1FA^AB?ADh^AB,由V=￥，可得AB=|.由題設(shè)知BC丄AB,BC丄PA，所以BC丄平面PAB,在平面PAB內(nèi)作AH丄PB交PB于點(diǎn)H,則BC丄AH,故AH丄丁k「P4?ABP4?AB3麗“、仏「芳丄3頂平面PBC.又AH===13.所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為；3.PB寸PA2+AB213131題型3|線面位置關(guān)系中的存在性問(wèn)題是否存在某點(diǎn)或某參數(shù),使得某種線、面位置關(guān)系成立問(wèn)題,是近幾年高考命題的熱點(diǎn),常以解答題中最后一問(wèn)的形式出現(xiàn),一般有三種類(lèi)型：(1)條件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法類(lèi)比探索型．【例3】(2018?秦皇島模擬)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD丄底面ABCD,且E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).(1)求證：EF〃平面PAD；(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)G,使得平面EFG丄平面PDC?若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．［解］(1)證明：如圖所示，連接AC,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,且點(diǎn)F為對(duì)角線BD的中點(diǎn)．所以對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.又在△PAC中,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)所以EF為APAC的中位線，所以EF〃PA.又PAU平面PAD,EFG平面PAD,所以EF〃平面PAD.(2)存在滿足要求的點(diǎn)G.在線段CD上存在一點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，使得平面EFG丄平面PDC.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,所以CD丄AD.又側(cè)面PAD丄底面ABCD,CDu平面ABCD,側(cè)面PADA平面ABCD=AD,所以CD丄平面PAD.又EF〃平面PAD,所以CD丄EF.取CD中點(diǎn)G,連接FG,EG.因?yàn)镕為BD中點(diǎn)，所以FG〃AD.又CD丄AD,所以FG丄CD,又FGAEF=F,所以CD丄平面EFG,又CDu平面PDC,所以平面EFG丄平面PDC.［規(guī)律方法］1?在立體幾何的平行關(guān)系問(wèn)題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，通過(guò)找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關(guān)系的根本.2?第(2)問(wèn)是探索開(kāi)放性問(wèn)題，采用了先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再加以證明，對(duì)于命題結(jié)論的探索，常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么，對(duì)于探索結(jié)論是否存在，求解時(shí)常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容或者矛盾的結(jié)論.跟蹤練習(xí)(2019?長(zhǎng)沙模擬)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的叮二倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：AC丄SD；⑵若SD丄平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面PAC?若存在，求SE：EC；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.［證明］(1)連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)0,連接SO,由題意得四棱錐S-ABCD是正四棱錐,所以SOLAC.在正方形ABCD中，AC丄BD,又SOHBD=0,所以AC丄平面SBD.(2)在棱SC上存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面PAC.連接0P.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則SC=SD=\;Oa.由SD丄平面PAC得SDLPC,易求得PD=攀.故可在SP上取一點(diǎn)N,使得PN=PD.過(guò)點(diǎn)N作PC的平行線與SC交于點(diǎn)E,連接BE,BN,在ABD"中，易得BN//P0.又因?yàn)镹E/PC,NEU平面BNE,BNU平面BNE,BNGNE=N,POU平面PAC,PCU平面PAC,POHPC=P,所以平面BEN〃平面PAC,所以BE〃平面PAC.因?yàn)镾N：NP=2：1,所以SE：EC=2：1.［大題增分專(zhuān)訓(xùn)］1.(2019?濟(jì)南模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD/BC,AB=BC=|aD,E,F分別為線段AD,PB的中點(diǎn).證明：PD〃平面CEF；若PE丄平面ABCD,PE=AB=2，求三棱錐P-DEF的體積.懈］⑴證明：連接BE,BD,BD交CE于點(diǎn)O,連接OF(圖略).VE為線段AD的中點(diǎn)，AD/BC,BC=|aD=ED,；.BC=ED,:.四邊形BCDE為平行四邊形，???0為BD的中點(diǎn)，又F是BP的中點(diǎn)，：.OF//PD.又OFU平面CEF,PDG平面CEF,：?PD〃平面CEF.(2)由(1)知，BE=CD.?/四邊形ABCD為等腰梯形，AB=BC=￡aD,?：AB=AE=BE,?：三角形ABE是等邊三角形，.“n：?ZDAB=3,過(guò)B作BHLAD于點(diǎn)H(圖略)，則BH='/3.???PE丄平面ABCD,PEU平面PAD,:?平面PAD丄平面ABCD,又平面PADn平面ABCD=AD,BH丄AD,BHU平面ABCD,：?BH丄平面PAD,:.點(diǎn)B到平面PAD的距離為BH=、3又F為線段PB的中點(diǎn)，?：點(diǎn)F到平面PAD的距離h等于點(diǎn)B到平面PAD的距離的一半,31即，又s“de=2PE?DE=2，:?Vpdef=3SPDEXh=3x2x￥=￥三棱錐P-DEF3△PDE3232.2.(2019?石家莊模擬)如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為正方形，且PA丄底面ABCD,:S1：3?四邊形CDEF°°(1)證明：PB〃平面ACE；⑵當(dāng)PA=2AD=2時(shí)，求點(diǎn)F到平面ACE的距離.［解］(1)證明：由題知四邊形ABCD為正方形，：?AB〃CD,TCDU平面PCD,ABG平面PCD,:AB〃平面PCD.

:.EF//AB,:?EF//CD.:.EF//AB,:?EF//CD.由SPEF:SCDEF=1:3知E,F分別為PD,PC的中點(diǎn).△PEF四邊形CDEF如圖，連接BD交AC于點(diǎn)G,則G為BD的中點(diǎn)，連接EG,則EG/PB.又EGU平面ACE,PBG平面ACE,:PB/平面ACE.(2)TP4=2,AD=AB=1,：?AC=\/i,AE=*PD=￥，TPA丄平面ABCD,：?CD丄PA，又CD1AD,ADAPA=A,:CD丄平面PAD,:?CD丄PD.3在RtACDE中，CE=jCD2+DE2=二.在AACE中,由余弦定理知cosZAEC=AE2＋CE2－AC22AE?CE：?Sace=2^AE?CE?sinZAEC=4.sinZAEC=TOC\o"1-5"\h\z△ACE2sinZAEC=131設(shè)點(diǎn)F到平面ACE的距離為h,連接AF,貝UVF-ACE=3X4Xh=4h.???DG丄AC,DG±FA,ACAP4=A,：.DG丄平面PAC.1i2VE為PD的中點(diǎn)，：?點(diǎn)E到平面ACF的距離為2DG=〒.1p2又F為PC的中點(diǎn)，：％acf=2Smcp=*，?V=1x辺X^=丄：VE-ACF3X2X412.由VF-ACE=VE-ACF，得4"=^，得h=3，：?點(diǎn)F到平面ACE的距離為|.3.已知在四棱錐P-ABCD中，平面PAB丄平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，E為線段2AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，且PA=PB,AB=gAD.求證：EC丄PE.PB上是否存在一點(diǎn)F,使得OF〃平面PEC?若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．［解］(1)證明：連接PO，EO，CO.???平面PAB丄平面ABCD,PA=PB,O為AB的中點(diǎn)，:.P0丄平面ABCD,TCEU平面ABCD,:.PO±CE.設(shè)AD=3,???四邊形ABCD為矩形，:CD=AB=2,BC=3,:?AE=3AD=1,:ED=2,EC=\；ED2+DC2=\；22+22=2^2,OE=JAO2+AE2=\門(mén)2+12=、@,OC=pOB2+BC2=冷12+32