畫法幾何與工程制圖6曲線面立體課件

2.6曲線、曲面和立體2.6.3曲面、曲面立體及其表面上的線和點2.6.1平面立體及其表面上的線和點2.6.2平面曲線和空間曲線2.6.4圓柱螺旋線和平螺旋面12/16/202212.6曲線、曲面和立體2.6.3曲面、曲面立體及其表面上2.6.1平面立體及其表面上的線和點1.棱柱及其表面上的線和點圖2.120正六棱柱的投影(a)立體圖(b)投影圖(c)用45°輔助線作投影圖投影規(guī)律：水平投影與正面投影長對正；正面投影與側面投影高平齊；水平投影與側面投影寬相等。（1）棱柱的投影12/16/202222.6.1平面立體及其表面上的線和點1.棱柱及其表面上的線（2）棱柱表面上的線和點的投影圖2.121補全正五棱柱表面上的點和線的三面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果分析：從已知條件可知，點A在頂面上，點B在底面上;點C在左后棱面上，點D在右后棱面上；EF、FG段分別是左前棱面、右前棱面上的線段，其點E、F、G位于棱線上。GH、HI段分別是右后棱面、后棱面上的線段，其點H、I位于棱線上。12/16/20223（2）棱柱表面上的線和點的投影圖2.121補全正五棱柱表［例題2.61］如圖2.122a所示，已知斜三棱柱的水平投影和正面投影，并知這個斜三棱柱表面上的折線PQR的正面投影p′q′r′，求作這個斜三棱柱的側面投影，補全折線PQR的三面投影。圖2.122作斜三棱柱的側面投影，并補全表面上的折線PQR的三面投影［解］①作斜三棱柱的側面投影。②作出斜三棱柱表面上的折線PQR的水平投影pqr和側面投影p″q″r″。(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果12/16/20224［例題2.61］如圖2.122a所示，已知斜三棱柱的水平投影2.棱錐及其表面上的線和點圖2.123正五棱錐的投影(a)立體圖(b)投影圖（1）棱錐的投影12/16/202252.棱錐及其表面上的線和點圖2.123正五棱錐的投影(a)（2）棱錐表面上的線和點的投影圖2.124在正三棱錐表面上作點D的正面投影(a)已知條件(b)作法一(c)作法二(d)作法三12/16/20226（2）棱錐表面上的線和點的投影圖2.124在正三棱錐表面［例題2.62］如圖2.125a所示，已知正五棱錐表面上的點F、K、L和直線GH的一個投影，補全這些點和直線的三面投影。圖2.125補全正五棱錐表面上的點和直線的三面投影［解］①作45°輔助線②補全點K、L的三面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果④補全直線GH的三面投影③補全點F的三面投影12/16/20227［例題2.62］如圖2.125a所示，已知正五棱錐表面上的點3.一些平面立體的投影圖示例(一）圖2.126一些平面立體的投影圖示例(a)正三棱柱(b)左端切割成正垂面的L形柱12/16/202283.一些平面立體的投影圖示例(一）圖2.126一些平面立體3.一些平面立體的投影圖示例（二）圖2.126一些平面立體的投影圖示例(c)斜三棱柱(d)正四棱臺12/16/202293.一些平面立體的投影圖示例（二）圖2.126一些平面立體3.一些平面立體的投影圖示例（三）圖2.126一些平面立體的投影圖示例(e)楔形塊(f)疊加組合體12/16/2022103.一些平面立體的投影圖示例（三）圖2.126一些平面立體(1)當曲線所在的平面平行于投影面時，投影反映真形。(2)當曲線所在的平面垂直于投影面時，投影積聚成為一直線線段。2.6.2平面曲線和空間曲線圖2.127平面曲線及其投影特性1.平面曲線及其投影特性曲線可分成兩類：所有的點都位于同一平面上的曲線稱為平面曲線；連續(xù)四點不在同一平面上的曲線稱為空間曲線。(a)平行于投影面(b)垂直于投影面(c)傾斜于投影面(3)當曲線所在的平面傾斜于投影面時，投影成為形狀縮小的類似形。12/16/202211(1)當曲線所在的平面平行于投影面時，投影反映真形。(2)［例題2.63］如圖2.128a所示，已知三角形PQR平面內的平面曲線AE的水平投影，求作這條平面曲線的正面投影。圖2.128作平面內的平面曲線AE的正面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果［解］①在曲線AE的水平投影ae上取點b、c、d，過a、b、c、d、e作正平線，分別與qr交得1、2、3、4、5。將a1延伸，與pq交得f。②過1、2、3、4、5引正面投影的連線，分別與q′r′交得1′、2′、3′、4′、5′；由f引正面投影的連線，與p′q′交得f′，連1′和f′；過2′、3′、4′、5′分別作1′f′的平行線。從a、b、c、d、e分別引正面投影的連線，順次與1′f′及其平行線交得a′、b′、c′、d′、e′。③用曲線板將a′、b′、c′、d′、e′順序連成光滑曲線，即為所求的曲線AE的正面投影。12/16/202212［例題2.63］如圖2.128a所示，已知三角形PQR平面內2.圓及其投影特性圖2.129正平圓的投影(1)在與圓平面平行的投影面上的投影反映真形。圖2.130鉛垂圓的兩面投影(2)在與圓平面垂直的投影面上的投影成直線，長度等于圓的直徑，中點是圓心的投影。(3)在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓。12/16/2022132.圓及其投影特性圖2.129正平圓的投影(1)在與圓平面［例題2.64］如圖2.131a所示，已知直徑為24mm的鉛垂圓的圓心C的兩面投影，圓平面與V面的傾角為30°，水平直徑的方向是從左后往右前，作出這個鉛垂圓的水平投影和正面投影。［解］圖2.131按給定條件作出鉛垂圓的兩面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①以c為中點、按從左后往右前的方向作與OX軸成30°角的直線，由c向兩側量取12，得a和b，即為這個鉛垂圓的有積聚性的水平投影。②作O1X1∥ab，換面，由c和c′作出c1′。③以c1′為圓心作直徑24的圓，即為該圓的真形。過c1′分別作O1X1軸的平行線a1′b1′和垂直線d1′e1′，就是這個圓的水平直徑AB和鉛垂直徑DE的V1面投影。④過c′作水平線和鉛垂線；由a、b作垂直于OX軸的投影連線，與過c′的水平線交得a′、b′；在過c′的鉛垂線上，由c′向兩側各量取12，得d′、e′。⑤在反映圓的真形的V1面投影上，任取一系列的點，將這些點返回，即得圓周上一系列點的兩面投影，順次光滑連接V面投影中的點，即得所求的鉛垂圓的正面投影橢圓。12/16/202214［例題2.64］如圖2.131a所示，已知直徑為24mm的鉛［例題2.65］如圖2.132a所示，水平線AB和正平線DE交于點C，需在這兩條相交兩直線所確定的平面上，以點C為圓心作直徑24mm的圓。［解］圖2.132按給定條件作圓的兩面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①作O1X1⊥ab，運用換面法求水平投影橢圓的短軸端點的投影f、g。橢圓長軸長度等于圓的直徑。從而作出圓的水平投影。②同理，作O1X1⊥c‘d’，運用換面法求正面投影橢圓的短軸端點的投影k‘、l’。作出圓的正面投影。

12/16/202215［例題2.65］如圖2.132a所示，水平線AB和正平線DE［例題2.66］如圖2.133a所示，在平行四邊形IJKL內有一個圓，已知圓心C的正面投影c′，直徑為28mm，求作這個圓的兩面投影。［解］圖2.133按給定條件作平行四邊形上的圓的兩面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①作圓心C的水平投影c。②作圓的水平投影橢圓。③作圓的正面投影橢圓。12/16/202216［例題2.66］如圖2.133a所示，在平行四邊形IJKL內3.空間曲線的投影(b)投影圖空間曲線的投影是一條平面曲線。圖2.134空間曲線的投影(a)立體圖12/16/2022173.空間曲線的投影(b)投影圖空間曲線的投影是一條平面曲線。2.6.3曲面、曲面立體及其表面上的線和點1.曲面的形成和分類曲面按其形成有無規(guī)律而分成：不規(guī)則曲面和規(guī)則曲面。規(guī)則曲面可以看作為一條線按一定的規(guī)律運動的軌跡，這條線稱為母線，母線的任一位置稱為素線，控制母線運動的點、線、面，分別稱為導點、導線、導面。母線可以是直線，也可以是曲線。曲面根據(jù)是否由母線繞軸線旋轉而形成分為回轉面和非回轉面；根據(jù)母線是直線還是曲線而分成直紋面和曲線面。由曲面或曲面和平面所圍成的立體是曲面立體。由回轉面圍成的立體或由回轉面為主要表面與平面一起圍成的立體稱為回轉體。12/16/2022182.6.3曲面、曲面立體及其表面上的線和點1.曲面的形成和2.回轉面和回轉體圖2.135圓柱的投影(1)圓柱(a)立體圖(b)投影圖12/16/2022192.回轉面和回轉體圖2.135圓柱的投影(1)圓柱(a)如圖2.136a所示，已知圓柱表面上的點A、B的水平投影a(b)，以及曲線CD的正面投影c′d′，補全這些點和線的三面投影。圖2.136補全圓柱表面上給定的點和線的三面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果［解］①因為a(b)位于圓周內，所以點A和B分別是圓柱的頂面和底面上。②由于c′d′可見，所以CD是前半圓柱面上的橢圓曲線。12/16/202220如圖2.136a所示，已知圓柱表面上的點A、B的水平投影a((2)圓錐和圓臺圖2.137圓錐的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202221(2)圓錐和圓臺圖2.137圓錐的投影(a)立體圖(b)如圖2.138a所示，已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點A的正面投影a′，求作點A的水平投影a和側面投影a″。圖2.138作圓錐表面上的點的投影(a)已知條件(d)緯圓法(b)解題分析(c)素線法素線素線緯圓用過圓錐面上的點取素線來求作這個點的投影的方法，稱為素線法。用過圓錐面上的點取緯圓來求作這個點的投影的方法，稱為緯圓法。12/16/202222如圖2.138a所示，已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點A圓臺的投影圖2.139圓臺的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202223圓臺的投影圖2.139圓臺的投影(a)立體圖(b)投影圖(3)球圖2.140球的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202224(3)球圖2.140球的投影(a)立體圖(b)投影圖12如圖2.141a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的點A的正面投影，需求作球的側面投影，以及點A的水平投影a和側面投影a″。（a)已知條件［解］圖2.141作球體表面上的點的投影(b)作法一(c)作法二(d)作法三12/16/202225如圖2.141a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面上(4)環(huán)圖2.142環(huán)的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202226(4)環(huán)圖2.142環(huán)的投影(a)立體圖(b)投影圖12如圖2.143a所示，已知環(huán)面上順次向后的四個點A、B、C、D的互相重合的正面投影a′(b′)(c′)(d′)，作出這四個點的水平投影，并表明可見性。（a)已知條件［解］圖2.143作環(huán)面上的點的投影(b)作圖過程和作圖結果12/16/202227如圖2.143a所示，已知環(huán)面上順次向后的四個點A、B、C、(5)一般回轉面和組合回轉面圖2.144一般回轉面或組合回轉面(a)立體圖(b)投影圖12/16/202228(5)一般回轉面和組合回轉面圖2.144一般回轉面或組合(6)單葉雙曲回轉面圖2.145單葉雙曲回轉面的形成和投影(b)曲面的形成(c)投影圖由直線繞與其交叉的軸線旋轉形成的曲面，稱為單葉雙曲回轉面。(a)軸線與母線12/16/202229(6)單葉雙曲回轉面圖2.145單葉雙曲回轉面的形成和投(7)切割或疊加的回轉體（一）圖2.146切割或疊加的回轉體示例(c)半圓柱切割掉半個圓臺(a)四分之一圓管(b)四分之一環(huán)12/16/202230(7)切割或疊加的回轉體（一）圖2.146切割或疊加的回(7)切割或疊加的回轉體（二）圖2.146切割或疊加的回轉體示例(d)圓柱切割掉半球(e)半球與圓柱相切(f)圓臺與半球相交12/16/202231(7)切割或疊加的回轉體（二）圖2.146切割或疊加的回如圖2.147a所示，圖中給出了三個同軸回轉體疊加組成的組合回轉體，并給出了在這個組合回轉體表面上由前后對稱的連接成封閉的若干線段，要作出這個組合回轉體的側面投影以及這些線段的水平投影和側面投影。（a)已知條件［解］圖2.147畫出組合回轉體的側面投影及表面上的線的投影(b)作圖過程和作圖結果12/16/202232如圖2.147a所示，圖中給出了三個同軸回轉體疊加組成的組合3.一些常用的非回轉直紋面圖2.148柱面及其形成(1)柱面(a)橢圓柱面(b)斜圓柱面圖2.149有軸柱面示例(c)斜橢圓柱面直母線沿著一條曲導線且平行于一條直導線運動而形成的曲面稱為柱面。12/16/2022333.一些常用的非回轉直紋面圖2.148柱面及其形成(1)(2)錐面圖2.150錐面及其形成(a)橢圓錐面(b)斜圓錐面圖2.151有軸錐面示例(c)斜橢圓錐面直母線沿著一條曲導線且通過一個導點運動而形成的曲面稱為錐面，這個導點稱為錐面的頂點。12/16/202234(2)錐面圖2.150錐面及其形成(a)橢圓錐面(b)斜(3)雙曲拋物面圖2.152雙曲拋物面的形成及其投影圖(a)立體圖(b)投影圖直母線沿著兩條交叉的直導線且平行于某一導平面運動而形成的曲面稱為雙曲拋物面，也稱為翹平面。12/16/202235(3)雙曲拋物面圖2.152雙曲拋物面的形成及其投影圖(雙曲拋物面的應用示例圖2.153雙曲拋物面的應用示例(a)屋面(b)河岸的過渡曲面12/16/202236雙曲拋物面的應用示例圖2.153雙曲拋物面的應用示例(a(4)錐狀面圖2.154錐狀面的形成、投影圖和應用實例(a)形成和投影圖(b)應用實例—屋面直母線沿著一條直導線和一條曲導線且平行于一個導平面運動而形成的曲面稱為錐狀面。12/16/202237(4)錐狀面圖2.154錐狀面的形成、投影圖和應用實例((5)柱狀面圖2.155柱狀面的形成、投影圖和應用實例直母線沿著兩條曲導線且平行于一個導平面運動而形成的曲面稱為柱狀面。(a)形成和投影圖(b)應用實例—橋墩12/16/202238(5)柱狀面圖2.155柱狀面的形成、投影圖和應用實例直2.6.4圓柱螺旋線和平螺旋面1.圓柱螺旋線和平螺旋面一動點沿圓柱面的直母線作等速移動，這條直母線又繞圓柱面的軸線作等速旋轉，則該點形成位于這個圓柱面上的一條空間曲線，稱為圓柱螺旋線。圓柱螺旋線有三個基本要素：(1)半徑r：即圓柱螺旋線所在的圓柱面的半徑。(2)導程s：即動點隨圓柱面上的直母線旋轉一周時，沿直母線所移動的軸向距離。(3)旋向(左旋或右旋)：當動點沿直母線移動和繞圓柱面的軸線旋轉符合右手法則時，稱為右旋；若符合左手法則時，稱為左旋。12/16/2022392.6.4圓柱螺旋線和平螺旋面1.圓柱螺旋線和平螺旋面一動圖2.156圓柱螺旋線和平螺旋面(a)圓柱螺旋線的三要素(b)圓柱螺旋線(c)平螺旋面(d)中空的平螺旋面12/16/202240圖2.156圓柱螺旋線和平螺旋面(a)圓柱螺旋線的三要素(2.圓柱螺旋線和平螺旋面的應用示例圖2.157作一段螺旋方管的正面投影(a)已知條件［例題2.67］如圖2.157a所示，已知一段右旋螺旋方管的軸線和右下端管口的兩面投影，這段螺旋方管的水平投影，并知螺旋方管的導程為管口邊長的十二倍，作這段螺旋方管的正面投影。12/16/2022412.圓柱螺旋線和平螺旋面的應用示例圖2.157作一段螺旋［解］圖2.157作一段螺旋方管的正面投影(b)作圖過程和結果（c）只畫可見投影的投影圖12/16/202242［解］圖2.157作一段螺旋方管的正面投影(b)作圖過程［例題2.44］如圖2.158a所示，已知具有立柱(圓柱)的在一個導程范圍內的一段右旋螺旋樓梯的水平投影，在正面投影中給出了平螺旋面樓梯板的厚度、踏步高，還給出了第一級踏步的踢面的兩面投影，作出這段螺旋樓梯在一個導程范圍內的正面投影。圖2.158作一段螺旋樓梯的正面投影(a)已知條件12/16/202243［例題2.44］如圖2.158a所示，已知具有立柱(圓柱)的(b)作底圖(c)作圖過程和結果［解］(d)只畫可見投影的投影圖圖2.158作一段螺旋樓梯的正面投影12/16/202244(b)作底圖(c)作圖過程和結果［解］(d)只畫可見投影的投本節(jié)學習結束！12/16/202245本節(jié)學習結束！12/13/2022452.6曲線、曲面和立體2.6.3曲面、曲面立體及其表面上的線和點2.6.1平面立體及其表面上的線和點2.6.2平面曲線和空間曲線2.6.4圓柱螺旋線和平螺旋面12/16/2022462.6曲線、曲面和立體2.6.3曲面、曲面立體及其表面上2.6.1平面立體及其表面上的線和點1.棱柱及其表面上的線和點圖2.120正六棱柱的投影(a)立體圖(b)投影圖(c)用45°輔助線作投影圖投影規(guī)律：水平投影與正面投影長對正；正面投影與側面投影高平齊；水平投影與側面投影寬相等。（1）棱柱的投影12/16/2022472.6.1平面立體及其表面上的線和點1.棱柱及其表面上的線（2）棱柱表面上的線和點的投影圖2.121補全正五棱柱表面上的點和線的三面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果分析：從已知條件可知，點A在頂面上，點B在底面上;點C在左后棱面上，點D在右后棱面上；EF、FG段分別是左前棱面、右前棱面上的線段，其點E、F、G位于棱線上。GH、HI段分別是右后棱面、后棱面上的線段，其點H、I位于棱線上。12/16/202248（2）棱柱表面上的線和點的投影圖2.121補全正五棱柱表［例題2.61］如圖2.122a所示，已知斜三棱柱的水平投影和正面投影，并知這個斜三棱柱表面上的折線PQR的正面投影p′q′r′，求作這個斜三棱柱的側面投影，補全折線PQR的三面投影。圖2.122作斜三棱柱的側面投影，并補全表面上的折線PQR的三面投影［解］①作斜三棱柱的側面投影。②作出斜三棱柱表面上的折線PQR的水平投影pqr和側面投影p″q″r″。(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果12/16/202249［例題2.61］如圖2.122a所示，已知斜三棱柱的水平投影2.棱錐及其表面上的線和點圖2.123正五棱錐的投影(a)立體圖(b)投影圖（1）棱錐的投影12/16/2022502.棱錐及其表面上的線和點圖2.123正五棱錐的投影(a)（2）棱錐表面上的線和點的投影圖2.124在正三棱錐表面上作點D的正面投影(a)已知條件(b)作法一(c)作法二(d)作法三12/16/202251（2）棱錐表面上的線和點的投影圖2.124在正三棱錐表面［例題2.62］如圖2.125a所示，已知正五棱錐表面上的點F、K、L和直線GH的一個投影，補全這些點和直線的三面投影。圖2.125補全正五棱錐表面上的點和直線的三面投影［解］①作45°輔助線②補全點K、L的三面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果④補全直線GH的三面投影③補全點F的三面投影12/16/202252［例題2.62］如圖2.125a所示，已知正五棱錐表面上的點3.一些平面立體的投影圖示例(一）圖2.126一些平面立體的投影圖示例(a)正三棱柱(b)左端切割成正垂面的L形柱12/16/2022533.一些平面立體的投影圖示例(一）圖2.126一些平面立體3.一些平面立體的投影圖示例（二）圖2.126一些平面立體的投影圖示例(c)斜三棱柱(d)正四棱臺12/16/2022543.一些平面立體的投影圖示例（二）圖2.126一些平面立體3.一些平面立體的投影圖示例（三）圖2.126一些平面立體的投影圖示例(e)楔形塊(f)疊加組合體12/16/2022553.一些平面立體的投影圖示例（三）圖2.126一些平面立體(1)當曲線所在的平面平行于投影面時，投影反映真形。(2)當曲線所在的平面垂直于投影面時，投影積聚成為一直線線段。2.6.2平面曲線和空間曲線圖2.127平面曲線及其投影特性1.平面曲線及其投影特性曲線可分成兩類：所有的點都位于同一平面上的曲線稱為平面曲線；連續(xù)四點不在同一平面上的曲線稱為空間曲線。(a)平行于投影面(b)垂直于投影面(c)傾斜于投影面(3)當曲線所在的平面傾斜于投影面時，投影成為形狀縮小的類似形。12/16/202256(1)當曲線所在的平面平行于投影面時，投影反映真形。(2)［例題2.63］如圖2.128a所示，已知三角形PQR平面內的平面曲線AE的水平投影，求作這條平面曲線的正面投影。圖2.128作平面內的平面曲線AE的正面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果［解］①在曲線AE的水平投影ae上取點b、c、d，過a、b、c、d、e作正平線，分別與qr交得1、2、3、4、5。將a1延伸，與pq交得f。②過1、2、3、4、5引正面投影的連線，分別與q′r′交得1′、2′、3′、4′、5′；由f引正面投影的連線，與p′q′交得f′，連1′和f′；過2′、3′、4′、5′分別作1′f′的平行線。從a、b、c、d、e分別引正面投影的連線，順次與1′f′及其平行線交得a′、b′、c′、d′、e′。③用曲線板將a′、b′、c′、d′、e′順序連成光滑曲線，即為所求的曲線AE的正面投影。12/16/202257［例題2.63］如圖2.128a所示，已知三角形PQR平面內2.圓及其投影特性圖2.129正平圓的投影(1)在與圓平面平行的投影面上的投影反映真形。圖2.130鉛垂圓的兩面投影(2)在與圓平面垂直的投影面上的投影成直線，長度等于圓的直徑，中點是圓心的投影。(3)在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓。12/16/2022582.圓及其投影特性圖2.129正平圓的投影(1)在與圓平面［例題2.64］如圖2.131a所示，已知直徑為24mm的鉛垂圓的圓心C的兩面投影，圓平面與V面的傾角為30°，水平直徑的方向是從左后往右前，作出這個鉛垂圓的水平投影和正面投影。［解］圖2.131按給定條件作出鉛垂圓的兩面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①以c為中點、按從左后往右前的方向作與OX軸成30°角的直線，由c向兩側量取12，得a和b，即為這個鉛垂圓的有積聚性的水平投影。②作O1X1∥ab，換面，由c和c′作出c1′。③以c1′為圓心作直徑24的圓，即為該圓的真形。過c1′分別作O1X1軸的平行線a1′b1′和垂直線d1′e1′，就是這個圓的水平直徑AB和鉛垂直徑DE的V1面投影。④過c′作水平線和鉛垂線；由a、b作垂直于OX軸的投影連線，與過c′的水平線交得a′、b′；在過c′的鉛垂線上，由c′向兩側各量取12，得d′、e′。⑤在反映圓的真形的V1面投影上，任取一系列的點，將這些點返回，即得圓周上一系列點的兩面投影，順次光滑連接V面投影中的點，即得所求的鉛垂圓的正面投影橢圓。12/16/202259［例題2.64］如圖2.131a所示，已知直徑為24mm的鉛［例題2.65］如圖2.132a所示，水平線AB和正平線DE交于點C，需在這兩條相交兩直線所確定的平面上，以點C為圓心作直徑24mm的圓。［解］圖2.132按給定條件作圓的兩面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①作O1X1⊥ab，運用換面法求水平投影橢圓的短軸端點的投影f、g。橢圓長軸長度等于圓的直徑。從而作出圓的水平投影。②同理，作O1X1⊥c‘d’，運用換面法求正面投影橢圓的短軸端點的投影k‘、l’。作出圓的正面投影。

12/16/202260［例題2.65］如圖2.132a所示，水平線AB和正平線DE［例題2.66］如圖2.133a所示，在平行四邊形IJKL內有一個圓，已知圓心C的正面投影c′，直徑為28mm，求作這個圓的兩面投影。［解］圖2.133按給定條件作平行四邊形上的圓的兩面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①作圓心C的水平投影c。②作圓的水平投影橢圓。③作圓的正面投影橢圓。12/16/202261［例題2.66］如圖2.133a所示，在平行四邊形IJKL內3.空間曲線的投影(b)投影圖空間曲線的投影是一條平面曲線。圖2.134空間曲線的投影(a)立體圖12/16/2022623.空間曲線的投影(b)投影圖空間曲線的投影是一條平面曲線。2.6.3曲面、曲面立體及其表面上的線和點1.曲面的形成和分類曲面按其形成有無規(guī)律而分成：不規(guī)則曲面和規(guī)則曲面。規(guī)則曲面可以看作為一條線按一定的規(guī)律運動的軌跡，這條線稱為母線，母線的任一位置稱為素線，控制母線運動的點、線、面，分別稱為導點、導線、導面。母線可以是直線，也可以是曲線。曲面根據(jù)是否由母線繞軸線旋轉而形成分為回轉面和非回轉面；根據(jù)母線是直線還是曲線而分成直紋面和曲線面。由曲面或曲面和平面所圍成的立體是曲面立體。由回轉面圍成的立體或由回轉面為主要表面與平面一起圍成的立體稱為回轉體。12/16/2022632.6.3曲面、曲面立體及其表面上的線和點1.曲面的形成和2.回轉面和回轉體圖2.135圓柱的投影(1)圓柱(a)立體圖(b)投影圖12/16/2022642.回轉面和回轉體圖2.135圓柱的投影(1)圓柱(a)如圖2.136a所示，已知圓柱表面上的點A、B的水平投影a(b)，以及曲線CD的正面投影c′d′，補全這些點和線的三面投影。圖2.136補全圓柱表面上給定的點和線的三面投影(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果［解］①因為a(b)位于圓周內，所以點A和B分別是圓柱的頂面和底面上。②由于c′d′可見，所以CD是前半圓柱面上的橢圓曲線。12/16/202265如圖2.136a所示，已知圓柱表面上的點A、B的水平投影a((2)圓錐和圓臺圖2.137圓錐的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202266(2)圓錐和圓臺圖2.137圓錐的投影(a)立體圖(b)如圖2.138a所示，已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點A的正面投影a′，求作點A的水平投影a和側面投影a″。圖2.138作圓錐表面上的點的投影(a)已知條件(d)緯圓法(b)解題分析(c)素線法素線素線緯圓用過圓錐面上的點取素線來求作這個點的投影的方法，稱為素線法。用過圓錐面上的點取緯圓來求作這個點的投影的方法，稱為緯圓法。12/16/202267如圖2.138a所示，已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點A圓臺的投影圖2.139圓臺的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202268圓臺的投影圖2.139圓臺的投影(a)立體圖(b)投影圖(3)球圖2.140球的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202269(3)球圖2.140球的投影(a)立體圖(b)投影圖12如圖2.141a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的點A的正面投影，需求作球的側面投影，以及點A的水平投影a和側面投影a″。（a)已知條件［解］圖2.141作球體表面上的點的投影(b)作法一(c)作法二(d)作法三12/16/202270如圖2.141a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面上(4)環(huán)圖2.142環(huán)的投影(a)立體圖(b)投影圖12/16/202271(4)環(huán)圖2.142環(huán)的投影(a)立體圖(b)投影圖12如圖2.143a所示，已知環(huán)面上順次向后的四個點A、B、C、D的互相重合的正面投影a′(b′)(c′)(d′)，作出這四個點的水平投影，并表明可見性。（a)已知條件［解］圖2.143作環(huán)面上的點的投影(b)作圖過程和作圖結果12/16/202272如圖2.143a所示，已知環(huán)面上順次向后的四個點A、B、C、(5)一般回轉面和組合回轉面圖2.144一般回轉面或組合回轉面(a)立體圖(b)投影圖12/16/202273(5)一般回轉面和組合回轉面圖2.144一般回轉面或組合(6)單葉雙曲回轉面圖2.145單葉雙曲回轉面的形成和投影(b)曲面的形成(c)投影圖由直線繞與其交叉的軸線旋轉形成的曲面，稱為單葉雙曲回轉面。(a)軸線與母線12/16/202274(6)單葉雙曲回轉面圖2.145單葉雙曲回轉面的形成和投(7)切割或疊加的回轉體（一）圖2.146切割或疊加的回轉體示例(c)半圓柱切割掉半個圓臺(a)四分之一圓管(b)四分之一環(huán)12/16/202275(7)切割或疊加的回轉體（一）圖2.146切割或疊加的回(7)切割或疊加的回轉體（二）圖2.146切割或疊加的回轉體示例(d)圓柱切割掉半球(e)半球與圓柱相切(f)圓臺與半球相交12/16/202276(7)切割或疊加的回轉體（二）圖2.146切割或疊加的回如圖2.147a所示，圖中給出了三個同軸回轉體疊加組成的組合回轉體，并給出了在這個組合回轉體表面上由前后對稱的連接成封閉的若干線段，要作出這個組合回轉體的側面投影以及這些線段的水平投影和側面投影。（a)已知條件［解］圖2.147畫出組合回轉體的側面投影及表面上的線的投影(b)作圖過程和作圖結果12/16/202277如圖2.147a所示，圖中給出了三個同軸回轉體疊加組成的組合3.一些常用的非回轉直紋面圖2.148柱面及其形成(1)柱面(a)橢圓柱面(b)斜圓柱面圖2.149有軸柱面示例(c)斜橢圓柱面直母線沿著一條曲導線且平行于一條直導線運動而形成的曲面稱為柱面。12/16/2022783.一些常用的非回轉直紋面圖2.148柱面及其形成(1)(2)錐面圖2.150錐面及其形成(a)橢圓錐面(b)斜圓錐面圖2.151有軸錐面示例(c)斜橢圓錐面直母線沿著一條曲導線且通過一個導點運動而形成的曲面稱為錐面，這個導點稱為錐面的頂點。12/16/202279(