小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識(shí)103

數(shù)學(xué)教師招聘專業(yè)知識(shí)復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)要求（由于招考題目?jī)H為高考知識(shí)，所以本內(nèi)容以均為高考知識(shí)點(diǎn)）1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；5、學(xué)會(huì)用定題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。1、集合的概念：集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；集合的分類：數(shù)學(xué)教師招聘專業(yè)知識(shí)復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)要求（由于招考題目?jī)H為高考知識(shí)，所以本內(nèi)容以均為高考知識(shí)點(diǎn)）1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；5、學(xué)會(huì)用定題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。1、集合的概念：集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；集合的分類：①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；{y|y=x2}，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x，y)|y=x2y集合的表示法：N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、兩類關(guān)系：元素與集合的關(guān)系，用或表示；集合與集合的關(guān)系，用，=表示，當(dāng)ABABABAB3、集合運(yùn)算（1）：A∩{x|xA∈B}A∪{x|xA，x∈}，CA｛x|x∈UxAU（2）∩（B∪C（A∩B）（A∩CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。4、命題：C（A∩B=CUA）∪CU命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；復(fù)合命題的形式：pq，pq，非p；（3）復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、qp（3）復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、qpppp（3）qppqqp“，q則非p個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。5、充分條件與必要條件pq”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，pqqpqppqpq在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說(shuō)明：充分不必要條件，必要不充分時(shí)，pqBApqA=Bpq當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方用反證法證明一些代數(shù)命題。7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會(huì)用集合的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。三、典型例題M∩N。解題思路分析：在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N合的特征化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴M∩N=M={y|y≥1}y=x2+1元素特征與代表元素的字母無(wú)關(guān)，例{y|y≥1}={x|x≥1}。A∩B=Bm解題思路分析：A={1，2}，A∩B=BBA或{2}，B={1，2}時(shí)，△=m2-8<0∴22或{2}，B={1，2}時(shí)，△=m2-8<0∴22m220B={1}或{2，m1m20或42m20B={1，2122∴m=3綜上所述，m=322m22B={1}或{2}時(shí)，不能遺漏△=0。3、x、y∈R，x+y≥2，x、y1。解題思路分析：y<1，x+y<2x+y≥2∴x、y1pq”pq”p，qq成立pq”p”一定為真。4、若AB，C是B，DCDA解題思路分析：”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系DCBA∴DA，D是A”具有傳遞性，不過(guò)前者是單方向的，后者是雙方向的。1：2x-2y-3=02：3x-5y+1=0（不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)解題思路分析：從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。2x2y30得，P（1711）4 4由1 23x5y10∵P∴a17從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。2x2y30得，P（1711）4 4由1 23x5y10∵P∴a1711b04 4∴17a+4b=11a，b17a+4b=11b1117a∴4axy1117a04(y11)a(x17)044此方程表明，直線恒過(guò)兩直線y110,4x170的交點(diǎn)（1711）44 4而此點(diǎn)為1與2的交點(diǎn)要性著手，再檢驗(yàn)充分性。四、同步練習(xí)（一）選擇題a}MB、M{a}C、{aMD、M{a}A、{a}=MA∩B=φ，aA、[0，2]B（-2，2）C（0，2]D（0，2）、{x|x=b2-b，b∈RM，NAMNB、MNC、M=ND、不確定且|x|≤5}，A∪BA∩B=φ，aA、[0，2]B（-2，2）C（0，2]D（0，2）、{x|x=b2-b，b∈RM，NAMNB、MNC、M=ND、不確定且|x|≤5}，A∪BA、11B、10C、16D、15的子集是A、15B、16C、31D、326A、所給命題為假的A、充分不必要條件C、充要條件B、它的逆否命題為真D、它的否命題為真B、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件之間的關(guān)系是A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A mx2+2x+1=0m<0C、m<1B、0<m≤1D、m≤110、已知px2+ax+b=0，q：a，bpqA、充分不必要條件充要條件B、必要不充分條件D、既不充分又不必要條件（二）填空題11Mm|m4Z}，N={x|x3N}M∩N=。22人，則兩者都 的人數(shù)最少是 人。100有解的充要條件是 。14、命題“若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為 。15非空集合p滿足下列兩個(gè)條件）p{1，2，4，}人，則兩者都 的人數(shù)最少是 人。100有解的充要條件是 。14、命題“若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為 。15非空集合p滿足下列兩個(gè)條件）p{1，2，4，}）若元素ap，則-a，則集合p個(gè)數(shù)是 。（三）解答題A∩Ba17：y-x+mxM（0，N3，CMNA∩M=φ，A∩N=Ap、q19、已知ax21，b=2-x，c=x2-x+1，用反證法證明：a、b、c1。2函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求7、函數(shù)的定義及通性；2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。1、函數(shù)的概念：（1）A，BAaBbAB則，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，則稱 為單射，若B中每一個(gè)元素都有原象與之對(duì)應(yīng)，則稱為滿射。既是單射又是滿射的稱為一一。A，BAC={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對(duì)應(yīng)法則決定了值域，是兩個(gè)最基本的因素。逆過(guò)來(lái)，值域也會(huì)限制定義域。求函數(shù)定義域，通過(guò)解關(guān)于自變量的不等式（組）來(lái)實(shí)現(xiàn)的。要熟記基本初等函數(shù)的定義域，通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)，其定義域是每個(gè)初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域，不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的要求。理解函數(shù)定義域，應(yīng)緊密定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。對(duì)應(yīng)法則。函數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格，式和圖象。其中式是最常見(jiàn)的表現(xiàn)形式。求已知類型函數(shù)式的方法是待定系數(shù)法，抽象函數(shù)的式常用換元法及湊合法。求函數(shù)值域是函數(shù)中常見(jiàn)問(wèn)題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直接法的途徑有單調(diào)性，基本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為△法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值（極值）更加方便。在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分都存在著求取值范圍這一典型問(wèn)題，它的一種典型處理方法就是建立函數(shù)2、函數(shù)的通性式，借助于求函數(shù)值域的方法。（1）奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時(shí)，應(yīng)在化簡(jiǎn)式后進(jìn)行，同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形，如f(x)f常用換元法及湊合法。求函數(shù)值域是函數(shù)中常見(jiàn)問(wèn)題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直接法的途徑有單調(diào)性，基本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為△法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值（極值）更加方便。在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分都存在著求取值范圍這一典型問(wèn)題，它的一種典型處理方法就是建立函數(shù)2、函數(shù)的通性式，借助于求函數(shù)值域的方法。（1）奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時(shí)，應(yīng)在化簡(jiǎn)式后進(jìn)行，同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形，如f(x)f(x)0f(x)1（f(x)≠0f(x)奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對(duì)稱。利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化判斷奇偶性的步驟。（2）單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)（實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等。（3）周期性：周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要。f(x)f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠bT=2|a-b|。（4）f(xf-1(x)的性質(zhì)f-1(x)f(x)的問(wèn)題是處理反函數(shù)問(wèn)題的重要思想。C，則f-1[f(x)]=x，x∈Af[f-1(x)]=x，x∈C8、函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過(guò)程中，充分發(fā)揮圖象的工具作用。圖象作法：①描點(diǎn)法；②圖象變換。應(yīng)掌握常見(jiàn)的圖象變換。4、本單常見(jiàn)的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。在具體的對(duì)應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性，掌握這些具體對(duì)應(yīng)法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。對(duì)于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法（變量代換法）解題。題 口。應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。三、典型例題到具體的函數(shù)模型可以簡(jiǎn)便地找到解題思路，及解1、已知fx2x3y=g(x4、本單常見(jiàn)的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。在具體的對(duì)應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性，掌握這些具體對(duì)應(yīng)法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。對(duì)于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法（變量代換法）解題。題 口。應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。三、典型例題到具體的函數(shù)模型可以簡(jiǎn)便地找到解題思路，及解1、已知fx2x3y=g(xy=f-1(x+1)y=xg(11)的值。x1分析：y=g(x)y=f-1(x+1g(x)f(x)。y=f-1(x+1)x+1=f(y)x=f(y)-1g(x)=f(x)-132∵∴∴∴即∴f(x)b=f(a)，a=f-1(b)。式。解題思路分析：利用化歸思想解題∵f(x)+f(x+2)=0∴f(x)=-f(x+2)x∈Rx-2x：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)，-1<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴f(x)=-2x+5（1<x≤3）評(píng)注：在化歸過(guò)程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過(guò)程中還體現(xiàn)了整體思想。x∈[-1，2]時(shí)，f(x)f(x)+g(xf(x)式。分析：f(x)式ax∈Rx-2x：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)，-1<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴f(x)=-2x+5（1<x≤3）評(píng)注：在化歸過(guò)程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過(guò)程中還體現(xiàn)了整體思想。x∈[-1，2]時(shí)，f(x)f(x)+g(xf(x)式。分析：f(x)式a10f(x)+g(x)為奇函數(shù)c30a1∴c3∴f(x)=x2+bx+3-1，2]b，分類討論。b2bb22fxx )3 ，對(duì)稱軸x24（1）當(dāng)b≥2，b≤-4，f(x)在[-1，2]上為減函數(shù)2∴(f(x))minf(2)2b7∴2b+7=1b=3（舍）（2）當(dāng)b（-12，-<b<22b2b(f(x))minf(2)∴2b+7=1b=3（舍）（2）當(dāng)b（-12，-<b<22b2b(f(x))minf(2) 34b2431∴∴b22（舍負(fù)）（3）當(dāng)b≤-1，b≥2時(shí)，f(x)在[-1，2]上為增函數(shù)2∴(f(x)min=f(1)=4-b∴4-b=1∴b=3fxx22x3，或fxx33x3∴評(píng)注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下，仍需討論何時(shí)取得最小值。x>0f(x)>1，a、b∈Rf(a+b)=f(a)f(b)，（1）求證：f(0)=1；x∈Rf(x)>0；證明：f(x)Rf(x)·f(2x-x2)>1，x分析：a=b=0f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1a=x，b=-xf(0)=f(x)f(-x)1f(x)∴f(x)x>0，f(x)>1>01a=b=0f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1a=x，b=-xf(0)=f(x)f(-x)1f(x)∴f(x)x>0，f(x)>1>01∴f(x)0f(x)f(0)=1>0∴對(duì)任意x∈R，f(x)>0f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0f(x2)f(x)f(x)f(xx)1∴212 1f(x)1∴f(x2)>f(x1)f(xR（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)R得：3x-x2>0∴0<x<3等式的典型方法。例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log x的值。2y分析：在化對(duì)數(shù)式為代數(shù)式過(guò)程中，全面挖掘x、y滿足的條件x0,y0由已知得x2y0xy(x例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log x的值。2y分析：在化對(duì)數(shù)式為代數(shù)式過(guò)程中，全面挖掘x、y滿足的條件x0,y0由已知得x2y0xy(x2y)2∴x=4y，x4y∴l(xiāng)og xlog 4422y6、123一個(gè)函數(shù)模擬該 關(guān)系，模擬函數(shù)可選用y=abx+c（其中a，b，c為常數(shù)）或二次函數(shù)，已知4月份該1.37件，請(qǐng)問(wèn)用哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說(shuō)明理由。分析：f(2)4p2qr1則p0.05q0.35∴r0.7∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3g(x)=abx+cg(2)abc1.22則c1.33a0.8g(2)abc1.22則c1.33a0.8b0.5∴c1.4∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35∵|1.35-1.37|<|1.3-1.37|四、鞏固練習(xí)（一）選擇題f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0a=f(3)，b=f(a，b，cA、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a2、方程loga(x2x（a>0a≠1）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是A、0B、1C、2D、31|1x|3、y() 的單調(diào)減區(qū)間是3A（-∞，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）∪（1，+∞）D（-∞，+∞）9、函數(shù)ylog1(x24x12的值域?yàn)?A、（-∞，3]B（-∞，-3]C（-3，+∞）D（3，+∞）10、x=2，a12B、12A、C、2D、-224A、3B、4C、6D、12（二）填空題7Rf(x)f(x+2)=-f(x)，0≤x≤1f(x)=x，則f15=。2是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是 。12B、12A、C、2D、-224A、3B、4C、6D、12（二）填空題7Rf(x)f(x+2)=-f(x)，0≤x≤1f(x)=x，則f15=。2是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是 。定義域?yàn)閇1，3]，則f(x2+1)的定義域是 。滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是 。2 2則y=[f(x)]+f(x)的最大值是 。則A∩B中所有元素的和是 。都是奇函數(shù)，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，則f(x)在（-∞，0）上最小值為 。2數(shù)y=log2(x+1)（x>0）的反函數(shù)是 。11115、求值：=。1xabxac 1xbcxba 1xcaxcb（三）解答題ax116、若函數(shù)fx)的值域?yàn)閇-1，5]，求a，c。x2cf(x)在區(qū)間[0，2]f(1-m)<f(m)，my=logax（x≥1）A，B，Ct，t+2，t+4（1）若△ABCS，求S=f(t)；（2）S=f(t)的單調(diào)性；S=f(t)最大值。219f(x)=a，x∈R2x1a，f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；f(xa；1x。（3）當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k，解不等式f1x)log2k20、設(shè)0<a<1，函數(shù)f(x)=219f(x)=a，x∈R2x1a，f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；f(xa；1x。（3）當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k，解不等式f1x)log2k20、設(shè)0<a<1，函數(shù)f(x)=log 值[loga(n-1)，loga(m-1)]，aaax3（1）求證：m>3；a數(shù)列一、復(fù)習(xí)要求11、等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)；n1、數(shù)列，是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集；第二，值域是有順序的，不能用集合符號(hào)表示。：an=f(n)，n∈N+nnSn：Sn=a1+a2+…an，Sn1。1SnanSnSn1n2SnSn還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。2、等差數(shù)列（1），{a}為等差數(shù)列an+-a=d（n∈N+2a=n-1an+1n≥2∈N+（2）通項(xiàng)公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；n(n1)dn(a1an)；前nSnan 122（3）性質(zhì)：an=an+ban是na2Sn=an+bnSn是nk若{an}，{bn}均為等差數(shù)列，則{an±nnak},{kan+c}（k，c）均為等差數(shù)列；i1（3）性質(zhì)：an=an+ban是na2Sn=an+bnSn是nk若{an}，{bn}均為等差數(shù)列，則{an±nnak},{kan+c}（k，c）均為等差數(shù)列；i1：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；，2an=ap+aq；=n1a=n1a，S2n-1；S，S偶。n 奇中中223、等比數(shù)列（1）an1=an2為常數(shù)，a0a=aannn-1n+1+n-1 n-m（2）通項(xiàng)公式：an=a1q，an=amq;q1a前nS (1qn) aa；n1 1 11q1（3）性質(zhì)：a1an=a2an-1=a3an-2=…，k2n=p+q，an=apaq，數(shù)列{kana}成等比數(shù)列。2ii14、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)、公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等；靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算；anaan}為等比數(shù)列（a>0a1若{a{logan（a>0a1三、典型例題1、已知數(shù)列{and≠0，其中akakak1 2 n解題思路分析：a1d1、已知數(shù)列{and≠0，其中akakak1 2 n解題思路分析：a1dk1+k2+…+kn?！叱傻缺葦?shù)列2∴a5=a1a172=a1(a1+16d)∴a1=2dq，則qa5a1對(duì)ak項(xiàng)來(lái)說(shuō)，nan4d3a11a在等差數(shù)列中：a a(k1)dknkn 1 n12a1qn1a13n1akn∴kn23n11∴k1k2kn(2301)(2311)(23n11)2(133n1)n3nn1看成是數(shù)列{kn}的求和問(wèn)題，著重分析{knSnn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，求T。例2、設(shè)數(shù)列{a}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{anS7，S=75,Tnn715nn解題思路分析：法一：利用基本元素分析法76S77a1d72設(shè){aad，則n11514S1515a1d752a12∴11)∴Sn2∴ 276S77a1d72設(shè){aad，則n11514S1515a1d752a12∴11)∴Sn2∴ 2n1n5Snn2 2 2n{Snn∴}為等差數(shù)列T1n2an∴n442Sn=An+BnS7A727B7∴15A151B752A12解之得：52B∴S1n25n，下略n22注：法二利用了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)Snan1，求：3、正數(shù)數(shù)列{an}的前nSn，且2（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；11.2（2）設(shè)b，數(shù)列{bnB：Bnnnnaann1解題思路分析：（I）an及Snan=Sn-Sn-1（n≥2）消元化歸?！?Snan12∴4Sn=(an+1)2（n≥2）2 211.2（2）設(shè)b，數(shù)列{bnB：Bnnnnaann1解題思路分析：（I）an及Snan=Sn-Sn-1（n≥2）消元化歸?！?Snan12∴4Sn=(an+1)2（n≥2）2 2-(an-1+1)2 24an=an-an-1+2an-2an-1∴∵∴∴an>0an-an-1=222Snan1n=1，a1=1∴an=2n-111(11b)n22n1 2n11[(1 )( 1)( )]1(1 )1111 11112n2a aa aa a2a a2 2an n11 n1n11 22 32 2實(shí)際上也就是說(shuō)已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于n的恒等式，代換就是對(duì)n賦值。4{am77m33aam=18，分析：利用前奇數(shù)項(xiàng)和和與中項(xiàng)的關(guān)系S2n1(2n1)an77則S1)a33n偶2n177∴n1 33n=4m=7an=11a1+amS2n1(2n1)an77則S1)a33n偶2n177∴n1 33n=4m=7an=11a1+am=2an=22∴∴∴∴∴∴∴a1=20，am=2d=-3an=-3n+231211b()2an、設(shè){an}是等差數(shù)列，知b1+b2+b3= ，求等差數(shù)列的通項(xiàng)an。8n8解題思路分析：an}為等差數(shù)列bn}為等比數(shù)列從求解{bn}著手2∵b1b3=b2183∴b=2∴b=122b17814b1 3∴b1b2b121b1∴或b 18b223811n132nn12n5∴b2() 24bn84 2或n1an∵b()2n∴anlog1bnb121b1∴或b 18b223811n132nn12n5∴b2() 24bn84 2或n1an∵b()2n∴anlog1bn2an=2n-3an=-2n+5{an}求解，則運(yùn)算量較大。6、已知{a21的等比數(shù)列，Snnn2（1）Sn表示Sn+1；（2）c和k，使得Sk1c2成立。Skc1)n2n∴S )1S21n1n2n123c(Sk2)2Sk1c20（*）（2）SkccSk1)4k2k31∴S(Sk2)2 Sk02 2k∴式（*）3S2cS①kk2∵Sk+1>Sk3S223S21∴k12c=2c=3c=2∵∴S1=2c<Sk不成立，從而式①不成立3S22∴式（*）3S2cS①kk2∵Sk+1>Sk3S223S21∴k12c=2c=3c=2∵∴S1=2c<Sk不成立，從而式①不成立3S225c∵223 3k k+1得：S2 S2∴S<Skk1223S2c，從而式①不成立∴k2式①不成立∴∴3S213c,3S23S2∵kkk124223S2c，從而式①不成立∴k2c，k，使Sk1c2成立Skc例7、某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為資金發(fā)給n位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相等）從大到小，由1到n排序，第1位職工得資金b元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基n金。設(shè)k（1≤knka，a3，nbak（；：akak+1k=1，2，，n1解題思路分析：談懂題意，理清關(guān)系，建立模型由1到n排序，第1位職工得資金b元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基n金。設(shè)k（1≤knka，a3，nbak（；：akak+1k=1，2，，n1解題思路分析：談懂題意，理清關(guān)系，建立模型b1位職工的獎(jiǎng)金a1n2a1(11)b2n n3a1(112b3n n……ka1(11k1bkn n (11)k1b01（2）aak k1n2n此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則。4解題思路分析：an2lg2)(n1)2，公差為lg∴2的等差數(shù)列S2nn(n1)(lg2)0.07525n22.07525nn∴20.07525(n13.8)213.820.07525∵n∈N+∴20法二：∵∴Sn必為最大值a0k設(shè)ak∵n∈N+∴20法二：∵∴Sn必為最大值a0k設(shè)ak102(k(g2)0∴2k(g2)0k14.2∴k13.2k=14(Sn)max=S14=14.35∴∴四、同步練習(xí)（一）選擇題1、已知a，b，a+ba，b，ab0<logmab<1mA、m>1B、1<m<8C、m>80<m<1m>8，a，y1，y2，bx1+x2y1+y2的大小關(guān)系是A、x1+x2≤y1+y2C、x1+x2<y1+y2B、x1+x2≥y1+y2D、x1+x2>y1+y2nSn{a}的前n，SnP（PR，nN+{a}12、AP≠0D、不是等比數(shù)列13、a3+a5等于B、10C、15D、20a，b，cy=ax2+2bx+cxA015、A8204B、1C、2D、12F(m)F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是B、8192C、9218D、80217、若xx2-x+a=0x2-x+b=0（a≠b）1a+b438B1124C1324D3172A、81003A015、A8204B、1C、2D、12F(m)F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是B、8192C、9218D、80217、若xx2-x+a=0x2-x+b=0（a≠b）1a+b438B1124C1324D3172A、810037A、1557B、1473C、1470D、1368500m50m320最佳方案是使運(yùn)輸車運(yùn)行A11700mB、14700mC、14500mD、14000m10、已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|，d<0，nSnnA、45（二）填空題5667D、8911、已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，則它的前n項(xiàng)和Sn= 。2n項(xiàng)之和為100，后2n項(xiàng)之和為200，則該等差數(shù)列的中間n項(xiàng)的和等于 。12n13a（bn∈Nan（n∈N則{a}為等數(shù)列是等比數(shù)列的 條。nn n++nnn體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm3，則全面積的最小值是 。正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則(2-logba)(1+logca)= 。（三）解答題1，85170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。17{aa1q（q≠{bbnan++n+（n∈N{a},{bnA，Bn，試比較An與Bn大小。an+2=2an+1-an（n∈N+）（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；Sn；1m32（3）設(shè)b（n∈N）T=b+b+bmn∈NT成立？若存在，求出m的值；若不存+ n 1 2n+nnn(12a（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；Sn；1m32（3）設(shè)b（n∈N）T=b+b+bmn∈NT成立？若存在，求出m的值；若不存+ n 1 2n+nnn(12a)n在，說(shuō)明理由。三角函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求16、三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等；3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。的角。這樣一來(lái)，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時(shí)，其大小不一定（通常把角的始邊放在x軸正半軸上，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，下同。為了把握這些角之間的，引進(jìn)終邊相同的角的概念，凡是與終邊α相同xα|α=k·1800，k∈Z}yα|α=k·1800+900，k∈Z}，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉?，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式=|α|R，扇形面積公式S1R1R2||，其中α為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)。222、利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點(diǎn)，從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學(xué)定 題。Px，α終邊上任一點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合r|OPx2y2，則nycosxanycotx。rrxy利用三角函數(shù)定義，可以得到（1）kt與α之間函數(shù)值關(guān)系（k∈Z（2）同角三角函數(shù)2關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系。3α，變形后得cos21利用三角函數(shù)定義，可以得到（1）kt與α之間函數(shù)值關(guān)系（k∈Z（2）同角三角函數(shù)2關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系。3α，變形后得cos21cos2,sin21cos2，可以作為降冪公式使用。22三角變換公式除用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。4Tx，Tf(xTf(x)周期時(shí)，kT（k∈Z，k≠0）f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本章思想方法（1）等價(jià)變換。熟練運(yùn)用公式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉的基本問(wèn)題；（2）數(shù)形結(jié)合。充分利用圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題；（3）分類討論。三、典型例題2（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性。分析：54 x2k，k∈Z2ksinx-cosx>0，利用圓中的三角函數(shù)線及4∴函數(shù)定義域?yàn)?2k,2k5，k∈Z444∴當(dāng)x(2k,4∴0sinxcos∴函數(shù)定義域?yàn)?2k,2k5，k∈Z444∴當(dāng)x(2k,4∴0sinxcos42k5時(shí)，42ylog 21∴1221,）2（3）∵f(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱f(x)不具備奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)f(x2π注；利用sinx-cosx以Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx+cosx的符號(hào)，如圖。例221sin2(1cos)，α∈（π，2π）分析：湊根號(hào)下為完全平方式，化無(wú)理式為有理式cos )2222 22222|2∵α∈（π，2π）22)(,∴2 2∴cos02,cos02 2 422222sin|2∵α∈（π，2π）22)(,∴2 2∴cos02,cos02 2 422222sin,cos04 222222223 232arctan2)22注：1、本題利用了“1”的逆代技巧，即化1為sin2cos2，是欲擒故縱原則。一般地有1sin2|sincos|，1cos22|cos|，222|sin|。是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為a2b2sinx（取arctanb）是常用變形a。特別是與特殊sin±cosx，±sinx±3cosx，要熟練掌握變形結(jié)論。311)例3(。sin21400 cos21400 2sin100分析：3cos21400sin214001原式=sin21400cos21400 100(3cos1400sin1400)(3cos1400sin1400)1(sin400cos400)311)例3(。sin21400 cos21400 2sin100分析：3cos21400sin214001原式=sin21400cos21400 100(3cos1400sin1400)(3cos1400sin1400)1(sin400cos400)2sin200011sin28004sin2000sin200016168sin800cos800注：在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式過(guò)程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如本題平方差公式。400<α<β<900sinα，sinβx2(2cos400xcos24001=0sin(β-5α)的值。2分析：12∴sinβ-sinα=(sinsin)2(sinsin)24sinsin2(1cos2400)2sin4002cos4001sin (2cos400002∴1sin (2cos400002∵00<α<β<900850∴5032∴sin(β-5α)=sin600=sinα，sinβsinα，sinβ后再利用單調(diào)性求α，β的值。tan(α+β)·tanα的值；（2）2sincos850∴5032∴sin(β-5α)=sin600=sinα，sinβsinα，sinβ后再利用單調(diào)性求α，β的值。tan(α+β)·tanα的值；（2）2sincos5，求3cos24sin2的值。sin3cos分析：（1）從變換角的差異著手?！?α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0展開(kāi)得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0得：tan(α+β)tanα133（2）以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)∵tan32tan15∴tan3∴tanθ=22sin2)8sincos33tan28tan75∴3cos24sin2sin2cos21tan2注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降冪。sin4xsin2x6、已知函數(shù)fx)a22（a∈01f(x分析：對(duì)三角函數(shù)式降冪x222222sin4xsin2x6、已知函數(shù)fx)a22（a∈01f(x分析：對(duì)三角函數(shù)式降冪x22222211cos2xcos2x111(sinx) sinx 2224428cos2x1∴f(x)=a8令u1cos2x188則y=au∴0<a<1∴是減函數(shù)∴由2x[2k,2k得x[k,kf(x)的減區(qū)間22x[2k,2k]得x[k,k]f(x)增區(qū)間2∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x)∴f(x)為偶函數(shù)∵u(x+π)=f(x)∴f(x+π)=f(x)∴f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為π時(shí)，ymin=11（k∈Z）時(shí)，ynaxa42x=kπ+y=Asin(ωx+φ)等一名一次一項(xiàng)的形式。四、同步練習(xí)（一）選擇題1、下列函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)是2D、y2sin2xA、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosx17、 圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱，則a值為8A、-2D、2B、-1C、13y=Asin(ωφ)（A>0φ>x=時(shí)，ymax=2；當(dāng)x=5時(shí)，ymin=-2，則此函數(shù)式為1（k∈Z）時(shí)，ynaxa42x=kπ+y=Asin(ωx+φ)等一名一次一項(xiàng)的形式。四、同步練習(xí)（一）選擇題1、下列函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)是2D、y2sin2xA、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosx17、 圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱，則a值為8A、-2D、2B、-1C、13y=Asin(ωφ)（A>0φ>x=時(shí)，ymax=2；當(dāng)x=5時(shí)，ymin=-2，則此函數(shù)式為88(2 42x42x484tan1=1998，則sec2tan2的值為1tanA、1997B、1998C、1999D、20005tanα，tanβx233x40兩根，且α，β,，則α+β等于2 2B、23 3C23 3D3A236、若xysinx·siny3B12C34D14A、-1A、5.5B、6.5C、7D、8sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是,）4 2B（3,）4C（5,3） D（7,2）A4 249、下列命題正確的是A、若α，β是第一象限角，α>β，6、若xysinx·siny3B12C34D14A、-1A、5.5B、6.5C、7D、8sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是,）4 2B（3,）4C（5,3） D（7,2）A4 249、下列命題正確的是A、若α，β是第一象限角，α>β，sinα>sinβBy=sinx·cotx(2k,2k，k∈Z22C、函數(shù)y1cos2x2πsin2xDy=sinxcos2φ-cosxsin2xyk，k∈Z2 410、函數(shù)fxlog1sin2xcos2x的單調(diào)減區(qū)間是3A(k,k)B、(kk]4888B(kk3)D、(kk5)k∈Z8填空題888（二）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則θ= 。12α+β=3(tantan+c)+taα=0cnβ=。33(cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為 。y=2sinxcosx-則x+y的最大值為 。15、函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對(duì)稱中心是 。（三）解答題16tan(β)=1，tan3(cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為 。y=2sinxcosx-則x+y的最大值為 。15、函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對(duì)稱中心是 。（三）解答題16tan(β)=1，tan1，α，β∈（-π，2α-β2717a，y=sin2x+acosx+5a3在閉區(qū)間[01a8 22f(x)=5sinxcosx-53cos2x53（x∈R）2f(x)的最小正周期；f(x)單調(diào)區(qū)間；f(x)圖象的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心。平面向量一、復(fù)習(xí)要求18、向量的概念；2、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；3、向量運(yùn)算的運(yùn)用1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法——有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過(guò)程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義——共線；③定比分點(diǎn)基本圖形——起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。19、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：20、運(yùn)算律abbaab個(gè)向量終點(diǎn)共線等。19、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：20、運(yùn)算律abbaabcabc)實(shí)數(shù)與向量的乘積：λ(ab)=λa+λb；(λ+μ)a=λa+μa，λ(μa)=(λμ)a運(yùn)算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法 OA+OB=OC OB-OA=AB 記OA=(x1,y1OB=(x1,y2)則OAOB=(x1+x2,y1+y2) OB-OA=（x2-x1,y2-y1） OA+AB=OB的乘積 AB=λaλ∈Ra=(x,y) a·b=|a||b|cos<a,b> ),b=(x2,y2) a·b=x1x2+y1y2 a·bb·a；(λa)·ba·(λb)=λ(a·bab)·ca·c a·bb·a；(λa)·ba·(λb)=λ(a·bab)·ca·cb·c說(shuō)明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如(a±22b)2=a2abb21、重要定理、公式 e1e2a，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)λ1，λ2a=λ1e1+λ2e2，稱λ1e1λ+λ2e2e1e2的線性組合。i，a與有序數(shù)對(duì)(λ1,λ2(λ1,λ2ae1，e2e1，e2}為a的平面直角坐標(biāo)。Axy)，則OA（x,yB坐標(biāo)Ax1y1B（,yB=(x-x,y-1)（2）兩個(gè)向量平行的充要條件aba0a=λbxxaab1 2坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)=（x,y1 b,y∥λ(x,yxy-xy=0y12 21 12 212 21y1 2 在這里，實(shí)數(shù)λab同向時(shí)，λ>0；ab異向時(shí)，λ<0。|a||λ|= ，λ的大小由a及b的大小確定。因此，當(dāng)a，b確定時(shí)，λ的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。|b|（3）兩個(gè)向量垂直的充要條件aba·b=0),b=(x2,y2abx1x2+y1y2=0（4）線段定比分點(diǎn)公式 P1PPP21則定比分點(diǎn)向量式：OP OP),b=(x2,y2abx1x2+y1y2=0（4）線段定比分點(diǎn)公式 P1PPP21則定比分點(diǎn)向量式：OP OP OP1 1 1 2Px,yP1（x,y，P2xy2）21則yyy1 21λ=12 12OP 2yy1 22y1OPOP1OP2（OP12不共線OP=uOP1+vOP2u+v=11。（5）平移公式：x'xhPx，y）a=h，k）P（x，y，則y'yk分別稱（xy（x，y）a為平移法則在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中，已知兩組坐標(biāo)，一定可以求第三組坐標(biāo)a=（h，k）C’對(duì)應(yīng)的利用平移變換可以化簡(jiǎn)函數(shù) 式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)（6）正弦定理，余弦定理abc2R正弦定理：sinA sinB sinCb2c2a2c2a2b2a2b2c2定理變形：cosA=，cosB=，cosC=2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過(guò)閱讀，理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問(wèn)題的“程序性”特點(diǎn)。三、典型例題利用平移變換可以化簡(jiǎn)函數(shù) 式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)（6）正弦定理，余弦定理abc2R正弦定理：sinA sinB sinCb2c2a2c2a2b2a2b2c2定理變形：cosA=，cosB=，cosC=2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過(guò)閱讀，理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的引入，體現(xiàn)了向量解決問(wèn)題的“程序性”特點(diǎn)。三、典型例題 OA與OB1200，OC與OA450，|OC|=5，用OAOB表示OC。1、OAOB為分析：以O(shè)AOBOC為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形 把向量OC在OA，OBOE=λOA，OD=μOB，λ>0，μ>0則OC=λOA+μOB∵|OA|=|OB|=1∴λ=|OE|，μ=|OD||OE||OC||CE|，∠E=600，∠OCE=750，由得：sin750sin600sin450|OE|7505(326)sin6006|OC|sin450 56|CE|sin60035(326),56∴635(32|OE|7505(326)sin6006|OC|sin450 56|CE|sin60035(326),56∴635(32∴OC6) 65OA OB36說(shuō)明：用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量，是向量中的基本而又重要的問(wèn)題，通常通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)處理BCADDAD坐標(biāo)。例2、ABC，A，-，B，2C（，-分析：用解方程組思想D（xyD=（-，y+1）∵C=（6，，D·C=0∴-2x+y-3=0①∵BD=(x-3，y-2)，BC∥BD∴-x-2y+1=0②x1y1∴D1，，D=（1，）3）夾角相等，且模為2c的坐標(biāo)。3、a(3，-1）b=（1，分析：用解方程組思想法一c=（x，a·c=3x-y，b·c=x+3y∵<a，c>=<b，c> acbc∴ |a||c| |b用解方程組思想法一c=（x，a·c=3x-y，b·c=x+3y∵<a，c>=<b，c> acbc∴ |a||c| |b||c|∴ 3xyx3y即x23)y又|c|=2∴x2+y2=2①②xx3131由①②得或231231（舍）yy31,22∴c=(31)22法二：從分析形的特征著手∵|a|=|b|=2a·b=0∴|OC|=2，∠AOC=∠BOC∵∴31,31）∴C（22說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算。4、在△OABOA、OBM、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，設(shè)線段ANBMP，記OA=aOBb，用ab表示向量OP。分析：∵B、P、MBP=sPMOMOAa1s31,31）∴C（22說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算。4、在△OABOA、OBM、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，設(shè)線段ANBMP，記OA=aOBb，用ab表示向量OP。分析：∵B、P、MBP=sPMOMOAa1s11ss1s∴OP OBbOB①1s1s APtPN∴OP=b1ta②1t t)ab不共線∵1s9283s1t 3(1s)∴由①②得1 t t1s 41t) 8 2∴OP a b11 11說(shuō)明：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進(jìn)而引入?yún)?shù)（s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得s，t5、ABCD，AB=3，BC=2，EBC，PABP，∠PED=450；：P、D、C、E分析：利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系C（20，D（23，E（10）P（0，y）∴DP，∠PED=450；：P、D、C、E分析：利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系C（20，D（23，E（10）P（0，y）∴D=（1，，P=（1，）∴|ED| 10,|EP|y21ED·EP=3y-1EDEPcos450=|ED||EP|解之得y1（舍y=22∴點(diǎn)PAAB當(dāng)∠PED=450時(shí)，由（1）P（0，2）∴PD=（2，P=（-1）∴EP·PD=0∴∠DPE=900又∠DCE=900P、E、C說(shuō)明：利用向量處理幾何問(wèn)題一步要驟為：①建立平面直角坐標(biāo)系；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；③求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；④利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；⑤得到結(jié)論。四、同步練習(xí)（一） （x，1BCx1（0，3（3，A、-5B、-1C、1D、5 112、平上A（2，，B（14，D（4-，C點(diǎn)滿足C CB，連C結(jié)論。四、同步練習(xí)（一） （x，1BCx1（0，3（3，A、-5B、-1C、1D、5 112、平上A（2，，B（14，D（4-，C點(diǎn)滿足C CB，連C并延至E，使|CE|=|D|，則點(diǎn)E標(biāo)為：42A（-8，5）3B（8,11）D（0，1）或（2，11）3C（0，1）3 32、點(diǎn)（2，1a平移到（-21，則點(diǎn)（-，1）a平移到：3、A（2，-1）B（-2，1）C（6，-3）D（-6，3）2cosB·sinC=sinA，則此三角形是：AB、等腰三角形C、等邊三角形D、以上均有可能c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：5ab，①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b|b·cac·abc垂直22④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|4b|真命題是：A、①②B、②③C、③④D、②④∠CA、6004501350C、1200D、300 a b7、△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t( 則點(diǎn)P在 |a| |b|∠AOBD、AB邊的中線上8PRSM，OA、6004501350C、1200D、300 a b7、△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t( 則點(diǎn)P在 |a| |b|∠AOBD、AB邊的中線上8PRSM，OOP=（0OS=（4，，則M=A（7,1）2 2（二）7,1）227,7）2 2BC（7，4）D9、已知{e1，e2|是平面上一個(gè)基底，若a=e1+λe2，b=-2λe1-e2，若a，b共線，則λ= 。10、已知|a|=6 3，|b|=1，a·b=-9，則a與b的夾角是 。600，11e1e2是兩個(gè)則(2e1-e2)·(-3e1+2e2)= 。12y=cosx圖象沿b2k ,)(kZ平移，得到函數(shù)2（三）13、設(shè)OA=（，1OB=（，2OCOBCOA，試求滿足ODOAOC的ODO14ab=（，-ab=-81abab夾角θ的余弦值。 15、已知|a|=2，|b|=3，ab450a+λb與λab夾角為銳角時(shí)，λ的取值范圍。不等式一、復(fù)習(xí)要求22、不等式的概念及性質(zhì)；1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。不等式的基本性質(zhì)有：對(duì)稱性或反身性：a>bb<a；a>b，b>c，a>c；可加性：a>ba+c>b+c，此法則又稱為移項(xiàng)法則；c<0，ac<bc。不等式運(yùn)算性質(zhì)：a>b，c>da+c>b+d；a>b>0，c>d>0，ac>bd。322、不等式的概念及性質(zhì)；1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。不等式的基本性質(zhì)有：對(duì)稱性或反身性：a>bb<a；a>b，b>c，a>c；可加性：a>ba+c>b+c，此法則又稱為移項(xiàng)法則；c<0，ac<bc。不等式運(yùn)算性質(zhì)：a>b，c>da+c>b+d；a>b>0，c>d>0，ac>bd。3a>b>0，∈N+，則anbn；11a>b>0，n∈N+，則anbn；11。a b掌握不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意：”符號(hào)；不等式性質(zhì)的重點(diǎn)是不等號(hào)方向，條件與不等號(hào)方向是緊密相連的。a2b22 22 22ababa，bab≥2|ab|||≤；2ab2a，b≥0，a+b≥2abab≤.2在具體條件下選擇適當(dāng)?shù)男问健?、不等式的證明：（1）不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；在不等式證明過(guò)程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)證明不等式的過(guò)程中，放大或縮小應(yīng)適度。4使用；解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過(guò)程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。利用序軸標(biāo)根法可以解分式及高次不等式。含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。三、典型例題f(3)的取值范圍。分析：f(3)，再利用不等式的性質(zhì)求解。f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴3、不等式的證明：（1）不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；在不等式證明過(guò)程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)證明不等式的過(guò)程中，放大或縮小應(yīng)適度。4使用；解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過(guò)程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。利用序軸標(biāo)根法可以解分式及高次不等式。含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。三、典型例題f(3)的取值范圍。分析：f(3)，再利用不等式的性質(zhì)求解。f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題背景下的不等式模型。m4n9∴mn1m53∴83n33∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴5≤5f(1)≤20,8≤8f(2)≤403 3∴-1≤f(3)≤20說(shuō)明：3 3 3311a，c，a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，f(3f(1)，f(2)f(3)的目的。33a，cf(3)=9a-c等式的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，不等式之間出現(xiàn)了不等價(jià)變形。23、本題還可用線性規(guī)劃知識(shí)求解。a bb a≥ab。2a>0，b>0，求證：分析：法一：比差法，當(dāng)不等式是代數(shù)不等式時(shí)，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。左-右= abab∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴5≤5f(1)≤20,8≤8f(2)≤403 3∴-1≤f(3)≤20說(shuō)明：3 3 3311a，c，a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，f(3f(1)，f(2)f(3)的目的。33a，cf(3)=9a-c等式的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，不等式之間出現(xiàn)了不等價(jià)變形。23、本題還可用線性規(guī)劃知識(shí)求解。a bb a≥ab。2a>0，b>0，求證：分析：法一：比差法，當(dāng)不等式是代數(shù)不等式時(shí)，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。左-右= ababba(ab)(aba b1 1 )(ab)b abab aabab(ab)2≥0ab∴左≥右法二：基本不等式根據(jù)不等號(hào)的方向應(yīng)自左向右進(jìn)行縮小，為了出現(xiàn)右邊的整式形式，用配方的技巧。abbab≥2a∵a≥2ba b∴兩式相加得： ≥abb a(21。aa8分析：xx221(x1)211111∵ ay≥2axaxy8， (x)2 ≤，0<a<12 2 8 82a2a2 21(x1)211∴2a2 28≥a b∴兩式相加得： ≥abb a(21。aa8分析：xx221(x1)211111∵ ay≥2axaxy8， (x)2 ≤，0<a<12 2 8 82a2a2 21(x1)211∴2a2 28≥2a81∴ ay≥2a8ax118說(shuō)明：本題在放縮過(guò)程中，利用了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)知識(shí)與不等式是緊密相連的。4、已知a，b，x，yab1x+yx y分析：aybxxxaya bbxay法一：直接利用基本不等式：xy(xy)( )ab ≥ab2x yab當(dāng)且僅當(dāng)a 時(shí)等號(hào)成立，即yxbybx y“1”的逆代換。法二：消元為一元函數(shù)ab1得xx yayybayya(yb)abyaabab∴xyy(yb)abybybybyb∵x>0，y>0，a>0ay∴由>0y-b>0ybx+y≥2abab∴abybybyb當(dāng)且僅當(dāng)a，即時(shí)，等號(hào)成立bxa∵x>0，y>0，a>0ay∴由>0y-b>0ybx+y≥2abab∴abybybyb當(dāng)且僅當(dāng)a，即時(shí)，等號(hào)成立bxax yacos2bsin2∈（0，）xy2aasec2，ybcsc2∴xcos2∴x+y=a(1tan2)b(1cot2)abatan2bcot2≥ab2abacoty當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立xaf(1)>0；（-1，3）a，b分析：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3∵f(1)>0∴a2-6a+3-b<0△=24+4b，△≤0∴f(1)>0φ；b>-63b6a3b6∴f(1)>0x∴f(1)>0φ；b>-63b6a3b6∴f(1)>0x|3b6a3b63x2+a(6-a)x+b>0（-1，3）∴(x+1)(x-3)<0∵（-1，3）2a(6a)3∴b33a3解之得3b96、a，b∈R，關(guān)于xx2+ax+b=0α，β，若|a|+|b|<1，求證：|α|<1，|β|<1。f(x)=x2+ax+b則f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>00<|a|≤|a|+|b|<1∴-1<a<1∴1a