理論力學-2平面力系

1第一節(jié)

力在軸上的投影與力的分解第二節(jié)

力對點之矩第三節(jié)

力偶第四節(jié)

平面力系的簡化第五節(jié)

平面力系的平衡第六節(jié)

物體系統(tǒng)的平衡

第七節(jié)

摩擦1.平面力系平衡方程及其應(yīng)用。2.求解物體系統(tǒng)的平衡問題。3.考慮摩擦時的平衡問題。第二章平面力系

本章重點2一、力在直角坐標軸上的投影已知力F在平面直角坐標軸上的投影Fx和F

y可確定該力的大小和力與x軸所夾銳角：過力的起點和終點向投影軸作垂線，得力在軸上的投影。力在軸上的投影為代數(shù)量。

第一節(jié)力在軸上的投影與力的分解平面上一力F

，其投影：二、力沿坐標軸分解過力的起點作給定方向的平行線，分力由力的平行四邊形法則確定。在直角坐標中，分力的大小等于力在軸上的投影，因此，力的解析表達式可寫為：3結(jié)論：平面匯交力系的簡化結(jié)果為過匯交點的一個合力。

三、平面匯交力系簡化合力投影定理

平面匯交力系：力的作用線在同一平面內(nèi)且匯交于一點的力系。1、平面匯交力系簡化的幾何法（力多邊形法則）簡化依據(jù)：力的平行四邊形法則。矢量式：一般：

2、平面匯交力系簡化的解析法

將匯交力系的合力向x、y軸投影，

合力的大小：合力與x

軸所夾銳角：AF1F2F3F4OF1F2F3F4FROF1F2F3F4FRF12F123合力投影定理：合力在某一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和4

一、力對點之矩1、力矩的定義：力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的效應(yīng)的度量。2、力矩的計算

點O：矩心，h：力臂3、平面問題中力矩的表達：大小:MO(F)；轉(zhuǎn)向：逆時針為正，順時針為負。

力矩的常用單位

N·m或kN·m。第二節(jié)力對點之矩二、平面匯交力系的合力矩定理

平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點之矩等于各分力對該點之矩的代數(shù)和。4、力矩為零情況當力的作用線通過矩心時，力臂h=0，則MO(F)=0。5解:應(yīng)用合力矩定理，將力F分解為Fx和Fy，則力F對A點的矩為：力F對B點的矩：FyFxFABba300C

如圖所示，曲桿上作用一力F，已知AB＝a，CB＝b，試分別計算力F對點A和B的矩。6一、力偶的定義二、力偶的計算實例力偶矩：

大小相等、方向相反但不共線的兩個平行力組成的力系，稱為力偶。記作(F,F')。力偶使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)。第三節(jié)力偶d稱為力偶臂。

三、力偶的表達平面問題中各力偶作用面共面，力偶可用代數(shù)量表達：力偶矩：M=±Fd大小：M=Fd轉(zhuǎn)向：逆時針為正，順時針為負。7五、平面力偶系的合成四、力偶的性質(zhì)性質(zhì)1

力偶無合力。性質(zhì)2

力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩均等于力偶矩。性質(zhì)3

力偶矩相等的兩力偶等效。推論1：只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動。平面力偶的常用表示方法空間力偶的矢量表示方法M

平面力偶系可合成為一個合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和，即：推論2：可任意改變力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應(yīng)8一、力的平移定理

由定理可看出，一個力可等效于一個力和一個力偶。反過來，同平面內(nèi)的一個力和一個力偶可合成一個力。

第四節(jié)平面力系的簡化

定理：作用在剛體上某點A的力F可平行移到任一點B，平移時需附加一個力偶，附加力偶的力偶矩等于力F對平移點B的矩。二、平面力系向一點的簡化平面力系平移,O為簡化中心主矢量:F'R主矩:MO9三、固定端約束

四、力系簡化結(jié)果分析1、力系的主矢量

F'R不等于零，力系簡化為一個合力。2、力系的主矢量F'R等于零，主矩MO不等于零，力系簡化為一個合力偶。3、主矢量F'R等于零，主矩MO等于零，力系平衡。五、合力矩定理

平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩，等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即：

平面匯交力系是平面一般力系的特例，對平面匯交力系，合力矩定理成立。10

合力作用線位置。

解:合力的大小。解得：

一般結(jié)論：分布在長度上的分布力系，其合力等于分布圖形的面積，合力作用線通過分布圖形的形心。

三角形分布載荷作用在水平梁AB上，最大載荷集度為q，梁長l。試求該力系的合力。11

重力壩受力如圖。設(shè)W1=450kN，W2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系的合力。（2）求合力：FR=FR'合力主矢和主矩解：(1)取點O為簡化中心，求主矢和主矩。12一、平面一般力系的平衡條件：二、平面一般力系的平衡方程：一般形式:第五節(jié)平面力系的平衡1.取研究對象，畫受力圖；2.列平衡方程；3.答案。三、解題步驟：

梁AB重W1=100N，作用有力偶矩M=200N.m的力偶，均布載荷集度q=10N/m，吊重W=50N。求A處的約束反力。解：取ABC為研究對象，受力分析與平衡方程:WAW1Mq2m2mBC600AW1Mq2m2mBC600FAyMAFBFAx13

平面剛架如圖所示，已知F＝50kN，q＝10kN/m，MB＝30kN·m，試求固定端A處的約束反力。解：取剛架為研究對象FAxFAyMA14平面匯交力系的平衡方程取力系匯交點為坐標原點，∑MO(F)≡0

平衡方程：∑Fx=0，∑Fy=0.

平面匯交力系平衡的幾何條件各力首尾相接，力多邊形自行封閉。四、特殊平面力系的平衡方程去掉一般力系中的恒等式，可得各特殊平面力系的平衡方程。F1F2F3F42.平面平行力系的平衡方程取y軸和各力線平行，∑Fx≡0，平衡方程：（1）一般式∑Fy=0,∑MO(F)=0；（2）二力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0

AB連線不平行于力線15

磙子受力如圖，已知W=20kN，R=0.6m，h=0.08m，求（1）水平力F至少為多大，可將磙子拉過障礙物？（2）F沿什么方向最省力？此時力為多大？hRFWOBAhRFWOBAFBFAα解：取磙子為研究對象。(1)求F（FA=0）1.解析法：FBFW2.幾何法：作封閉的力三角形RWOBAFBFAαβFminαFminFBW

(2)

求FminFmin的大小和方向未知，由圖可知，使Fmin最小的條件是和FB垂直。16

塔式起重機機架重W1=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量W2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡重W3到機身中心線距離為6m。試問：保證起重機在滿載和空載時都不致翻到，平衡重W3應(yīng)為多少？解：取起重機為研究對象，起重機受平行力系作用。（一）滿載臨界情況下，F(xiàn)A=0

（二）空載

W2=0。臨界情況，F(xiàn)B=0。

保證起重機不致翻到，平衡重W3的取值范圍：173.平面力偶系平衡方程F'R=0，平衡方程：

∑MO(F)=∑Mi=

0已知力偶的力偶矩為M，如圖所示，試求鉸鏈

A的約束反力和撐桿CD所受的力。解：橫梁AB為研究對象，梁受力偶系作用。1.二力矩形式2.三力矩形式AB連線不垂直于x軸。A、B、C三點不共線。五、平面一般力系平衡方程的其他形式18三、求解物體系統(tǒng)平衡的一般思路一、物體系統(tǒng)平衡由n個物體組成的物系，獨立方程數(shù)≤3n。二、靜定與靜不定問題的概念緊扣待求量，取與之有關(guān)的物體為研究對象，建立足夠數(shù)目的平衡方程。1、靜定問題:

未知量數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目。2、靜不定問題:

未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目。3、靜不定次數(shù):

未知量數(shù)目減去獨立平衡方程數(shù)目。第六節(jié)物體系統(tǒng)的平衡

圖示結(jié)構(gòu)由AB,BC,CDE三部分組成.各部件自重不計.若在構(gòu)件AB上作用的力偶M,構(gòu)件CDE作用q=M/2l的分布載荷,求支座D的約束反力。解：取AB為研究對象取CDE為研究對象CDEABl4l/3lll/32l/3qMFAxABMFBCFAyaCDEqFCBFExFEyFDCBF'BCF'CB19

兩桿AC、BD鉸接,在E、D兩處各鉸接一半徑為r的滑輪，連于H點的繩索繞過滑輪E、D、K后連于D點，直徑為d=r的動滑輪K下懸掛一重為W的重物。不計滑輪和桿的重量，求支座A和B的約束反力。FCyFCxFHFAxFAyFAxFAyFByFBx解：取整體為研究對象取AHC為研究對象取整體為研究對象20ABCDWllWWW

四根等長的均質(zhì)桿AB、BC、CD、DA鉸接成圖示正方形，已知各桿重W。求AC之間繩索的張力。FCyFCxWCBFByFBxFAyFAxF'BxF'ByAWB解：取AB為研究對象BC為研究對象取BCD為研究對象BCDWWFDyFDxFByFBxFC21四、平面簡單桁架的內(nèi)力分析

1.桁架:由直桿彼此在兩端用光滑鉸鏈聯(lián)接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。各桿的鉸接點稱為節(jié)點。2.桁架受力特點:載荷作用在節(jié)點上，各桿均為二力桿。

3.

計算桁架桿件的內(nèi)力的方法（1）節(jié)點法

節(jié)點法的理論基礎(chǔ)是平面匯交力系的平衡理論.在應(yīng)用節(jié)點法時,所選取節(jié)點的未知量一般不應(yīng)超過兩個。

以節(jié)點為研究對象，逐個研究其受力和平衡，從而求得全部未知力(桿件的內(nèi)力)的方法。節(jié)點法一般應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的設(shè)計計算，以求桁架中所有桿件的內(nèi)力。22（2）截面法解題時，預先假設(shè)各桿受拉，求得的結(jié)果為負，說明桿件受壓。

截面法的理論基礎(chǔ)是平面任意力系的平衡理論.在應(yīng)用截面法時,適當選取截面，截取桁架的一部分為研究對象。所截斷的桿件的數(shù)目一般不應(yīng)超過三根。

用一假想截面將桁架一分為二，考慮其中任一部分的平衡，從而求出被截桿件內(nèi)力的方法。截面法一般應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的校核計算，以求桁架中指定桿件的內(nèi)力。23平面靜定桁架如圖所示，試求各桿的內(nèi)力，已知F＝20kN

。解：（一）求桁架的支座反力。（二）用節(jié)點法求各桿內(nèi)力節(jié)點

A：同理可求得其它各桿內(nèi)力。如圖示。（三）截面法。用截面將桿截斷，取桁架半部分為研究對象。24

兩接觸物體之間有相對運動或相對運動趨勢時，接觸面上產(chǎn)生的阻礙稱為摩擦。

1.摩擦的兩重性：摩損；有用。2.摩擦的分類：靜摩擦與動摩擦；滑動摩擦與滾動摩擦；干摩擦與濕摩擦。

一、滑動摩擦

兩個表面粗糙相互接觸的物體，發(fā)生相對滑動或有相對滑動趨勢時，在接觸面上產(chǎn)生阻礙相對滑動的力，稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力，一般以F表示。只有相對滑動趨勢為靜摩擦力；有相對滑動為動摩擦力。第七節(jié)考慮摩擦的平衡問題2．最大靜滑動摩擦力fS：靜滑動摩擦因子，和物體的材料、接觸表面的狀態(tài)有關(guān)。靜滑動摩擦力最大時，物體處于臨界平衡。3．動摩擦力fd：動摩擦因子，當相對速度vr不大時，可認為是常數(shù)。和物體的材料以及接觸表面的狀態(tài)有關(guān)。1、靜滑動摩擦力靜摩擦力特點：0≤FS≤Fmax方向和相對滑動趨勢方向相反。WF相對運動趣勢WFFNFS25二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象

支承面全約束反力：

1．摩擦角：jm全約束反力與法線夾角的最大值。

jm與fS都是表示材料摩擦性質(zhì)的物理量。

2．自鎖現(xiàn)象

WFFNFSFRjm三、考慮摩擦的平衡問題求解考慮摩擦的平衡問題：力系平衡方程加摩擦平衡條件。摩擦平衡條件1、一般平衡：FS≤fSFN

或jjm

2、臨界平衡：FS=fSFN

或j=jm

摩擦解題時注意：1、用摩擦平衡條件時，F(xiàn)S

的方向只能與運動方向相反。2、考慮摩擦的平衡問題，解常為一個范圍。3、可先考慮臨界平衡狀態(tài)，再對結(jié)果進行討論。4、有幾處存在摩擦，有幾種可能的運動趨勢時，應(yīng)注意作逐一判別。當作用于物體的主動力合力的作用線在摩擦角的范圍內(nèi)時,物體總能保持平衡的現(xiàn)象。26WF

一物塊重W=100N,用F=500N的力壓在一鉛直墻面上,其摩擦因數(shù)fs=0.3,問此時物塊所受的摩擦力等于多少?WFFNF1解:物塊為研究對象,受力分析;平衡方程：系統(tǒng)最大靜摩擦力：27

物塊A重WA=10kN，A通過繩子跨過滑輪和物塊B相連，已知A和斜面之間的摩擦因數(shù)fs=0.25，試求能使A保持平衡的物塊B的重量。600ABWBWAAFNWAFS2FT2AFNWAFS1FT1600解：取A為研究對象，上滑臨界狀態(tài)時：故B的取值范圍：下滑臨界狀態(tài)時：28

邊長為l的正方形均質(zhì)物塊B放置在均質(zhì)物塊A上，A塊與地面之間以及A塊與B塊之間的摩擦因數(shù)分別為f1=0.2和f2=0.55，已知A塊重WA=10kN，B塊重WB=6kN，問不引起物塊運動的最大水平力F為多少？WAABWBFBWBF1FS1FN1BWBF2FS2FN2WAABWBF3FSFN解：取B塊為研究對象,設(shè)B塊相對于A塊臨界滑動：設(shè)B塊相對于A塊臨界傾倒：設(shè)B塊和A塊相對于地面臨界滑動：不引起物塊運動的最大水平力：29

桿AB的A端放在水平面上，B端放在斜面上，A，B處的摩擦因數(shù)都是0.25，桿重不計。求能夠支承的載荷F的最大距離d。600ABFdlABFFAfFANFBfFBN600ABFFAfFANFBfFBN600jmjmjm600-jmdy解：取AB為研究對象.（1）解析法（二）幾何法30

桿件AB一端用固定鉸鏈支承，另一端放在物塊C上，已知桿AB、物塊C的重量均為W，求塊C與斜面之間的靜滑動摩擦因數(shù)fs應(yīng)為多少，才能使塊C保持靜止。桿件AB和塊C之間的摩擦因數(shù)忽略不計。ABWl300WCABWFAxFAyFB300WCFNFSFB'解：取AB為研究對象取C為研究對象臨界平衡狀態(tài)時：塊C可保持平衡狀態(tài)。即31四、滾動摩阻的概念圓輪，重量為W，半徑為

r，放在路軌(地面)上，在輪心施加一水平拉力FT

，由平衡方程：平衡力偶Mf，稱為滾動摩阻力偶。

1、滾動摩阻力偶Mf滾動摩阻力偶的特點：Mf隨外力的增加而增加，臨界平衡時達到最大值。0≤Mf≤Mfmax3、為什么出現(xiàn)力偶？因為接觸面會產(chǎn)生局部變形.滑動:FT1

＝Fm