數(shù)學(xué)與人的發(fā)展課件

第二章數(shù)學(xué)與人的發(fā)展第二章數(shù)學(xué)與人的發(fā)展1人的發(fā)展有兩層含義一是指身體的發(fā)展；二是指心理的發(fā)展。人的發(fā)展有兩層含義一是指身體的發(fā)展；2決定人發(fā)展的因素遺傳因素環(huán)境因素教育因素個(gè)體主觀能動(dòng)性

決定人發(fā)展的因素遺傳因素3

“數(shù)學(xué)使人聰穎、數(shù)學(xué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)使人深刻、數(shù)學(xué)使人縝密、數(shù)學(xué)使人堅(jiān)毅、數(shù)學(xué)使人勇敢、數(shù)學(xué)使人正直、數(shù)學(xué)使人美麗?！?/p>

———開普勒(Kepler)“數(shù)學(xué)使人聰穎、數(shù)學(xué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)使人4通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。提高學(xué)生的邏輯思維能力，使他們思路清晰，條理分明，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項(xiàng)工作。

通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，5數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個(gè)正負(fù)號(hào)、每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)都不能含糊敷衍，有助于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)和習(xí)慣。數(shù)學(xué)上追求的是最有用（廣泛）的結(jié)論、最低的條件（代價(jià)）以及最簡(jiǎn)明的證明，可以使學(xué)生形成精益求精的風(fēng)格，凡事力求盡善盡美。數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個(gè)正負(fù)號(hào)、每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)都不能含糊敷衍，有6通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的淵源和過(guò)程，了解和領(lǐng)會(huì)由實(shí)際需要出發(fā)、到建立數(shù)學(xué)模型、再到解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜問(wèn)題的意識(shí)、信念和能力。通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生增強(qiáng)拼搏精神和應(yīng)變能力，能通過(guò)不斷分析矛盾，從表面上一團(tuán)亂麻的困難局面中理出頭緒，最終解決問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的7可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動(dòng)，在改善所學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論、改進(jìn)證明的思路和方法、發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系、拓展數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用范圍以及解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題等方面，逐步顯露出自己的聰明才智。使學(xué)生具有某種數(shù)學(xué)上的直覺(jué)和想象力，包括幾何直觀能力，能夠根據(jù)所面對(duì)的問(wèn)題的本質(zhì)或特點(diǎn)，八九不離十地估計(jì)到可能的結(jié)論，為實(shí)際的需要提供借鑒?！獢?shù)學(xué)家李大潛院士可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動(dòng)，在改善8

一、訓(xùn)練人的思維

數(shù)學(xué)素有“訓(xùn)練思維體操”的美稱。它在訓(xùn)練人的思維方面有著其他學(xué)科所不可替代的獨(dú)特作用。一、訓(xùn)練人的思維數(shù)學(xué)素有“訓(xùn)練思9(一)思維與數(shù)學(xué)思維思維是人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)屬性和事物內(nèi)在聯(lián)系的概括和間接的反映。思維是智力的核心。思維有兩個(gè)最顯著的特征，一是概括性，二是間接性。(一)思維與數(shù)學(xué)思維思維是人腦對(duì)客觀事物10數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)為載體，并以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問(wèn)題性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符111.求下圖中兩個(gè)正方形蓋住的面積。思維的概括性舉例3212.某班有15個(gè)學(xué)生有哥哥，9個(gè)學(xué)生有姐姐，有哥哥又有姐姐的學(xué)生有3個(gè)，問(wèn)全班有哥哥或有姐姐的學(xué)生共有多少個(gè)？1.求下圖中兩個(gè)正方形蓋住的面積。思維的概括12(二)數(shù)學(xué)思維的分類1數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動(dòng)的形式可以分成邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維三類。邏輯思維的基本形式——概念、判斷、推理。形象思維的基本形式——表象、直感、想象。直覺(jué)思維的基本形式——直覺(jué)、靈感(頓悟)。(二)數(shù)學(xué)思維的分類1數(shù)學(xué)思維方式按照思維13

例：雞兔同籠，共有頭14只，足34條，雞兔各幾只？例：雞兔同籠，共有頭14只，足34條，雞兔14

例：父子兩人上班，父親要走40分，兒子要走30分，父先走5分后，兒子多少分鐘追上父？例：父子兩人上班，父親要走40分，兒子要走15

例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵大樹間同時(shí)相向而行，白兔每秒鐘跳6m，黑兔每秒鐘跳4m。一只小花狗與白兔同時(shí)前進(jìn)，每秒鐘跑10m。小花狗為了表示對(duì)兩只兔子都很親熱，因此當(dāng)它遇到黑兔時(shí)，馬上折回去迎接白兔；遇到白兔時(shí)，又迅速折回去迎接黑兔；這樣小花狗在白兔與黑兔之間來(lái)回奔跑，直到白兔與黑兔相遇。問(wèn)小花狗來(lái)回奔跑了多少路？例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵16(二)數(shù)學(xué)思維的分類2數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。集中思維又叫聚合思維、求同思維、收斂思維。定向思維(正向思維)和縱向思維是集中思維的兩種重要形式。發(fā)散思維又叫求異思維、分散思維、輻射思維。逆向思維和多向思維是發(fā)散思維的兩種重要形式。(二)數(shù)學(xué)思維的分類2數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可17

例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明家離學(xué)校有500米遠(yuǎn)。問(wèn)小華和小明的家相隔多遠(yuǎn)？例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明家離學(xué)校有18

例：對(duì)代數(shù)式3a作出解釋。

說(shuō)明：如葡萄的價(jià)格是3元/千克，買a千克的葡萄需3a元；或正三角形的邊長(zhǎng)為a，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是3a。例：對(duì)代數(shù)式3a作出解釋。19(二)數(shù)學(xué)思維的分類3數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。再現(xiàn)性思維是運(yùn)用已獲得的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方案和程序，用慣用的方法、固定的模式來(lái)解決問(wèn)題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指以新穎、獨(dú)創(chuàng)的方式來(lái)解決問(wèn)題的思維，是在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)問(wèn)題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。(二)數(shù)學(xué)思維的分類3數(shù)學(xué)思維方式按照智力品20例：計(jì)算5+5+5+5+4=(1)5×4+4(按乘法意義算，屬再現(xiàn)性思維)(2)5×5-1(看到一個(gè)不存在的5，已有一點(diǎn)創(chuàng)造性成份了)(3)6×4(把一個(gè)“4”分成四個(gè)“1”，分別添加到前面的四個(gè)“5”上，變成了四個(gè)“6”，對(duì)信息進(jìn)行了整體改組，屬于創(chuàng)造性思維)例：計(jì)算5+5+5+5+4=21

例：長(zhǎng)30cm，寬20cm的長(zhǎng)方形鐵皮做成深5cm的無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒(焊接處不計(jì))，求長(zhǎng)方體鐵盒的容積。例：長(zhǎng)30cm，寬20cm的長(zhǎng)方形鐵皮做成22(三)數(shù)學(xué)思維的一般方法(三)數(shù)學(xué)思維的一般方法23

有趣的練習(xí)7+9×9=6+9×98=5+9×987=4+9×9876=3+9×98765=2+9×987654=1.請(qǐng)同學(xué)們做好前面三道題；2.從這三道題中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.不用計(jì)算，你能寫出后面三道題的結(jié)果嗎？4.你還能寫出這樣的算式嗎？有趣的練習(xí)7+9×9=1.請(qǐng)同學(xué)們做好前面三道題；24(四)數(shù)學(xué)思維的一般方法觀察與實(shí)驗(yàn)比較與分類分析與綜合抽象與概括歸納與猜想類比與聯(lián)想(四)數(shù)學(xué)思維的一般方法觀察與實(shí)驗(yàn)25

觀察與實(shí)驗(yàn)觀察是人們對(duì)周圍事物和現(xiàn)象，在其自然條件下，按照事物或現(xiàn)象的本身面目，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的一種方法。實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)一定的研究目的，人為地創(chuàng)設(shè)條件，控制和模擬客觀對(duì)象，在有利的條件下獲取資料的研究方法。

觀察與實(shí)驗(yàn)觀察是人們對(duì)周圍事物和現(xiàn)象26

比較與分類比較，是確定有關(guān)事物共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。分類是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對(duì)象歸入一類，不同性質(zhì)的對(duì)象歸入不同類別的思維方法。

比較與分類比27分析與綜合

分析，是指把所研究或思維的數(shù)學(xué)對(duì)象的整體分成各個(gè)部分、方面、因素和層次，并分別對(duì)它們進(jìn)行研究、考察、探究等的思維方法。綜合，是指把已有的關(guān)于研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面、因素和層次等認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成對(duì)研究對(duì)象的統(tǒng)一的整體性認(rèn)識(shí)的思維方法。分析與綜合

分析，是指把所研究28抽象與概括抽象，是從若干事物中，抽取其共同的本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性的思維方法。概括，是把抽象出來(lái)的若干事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來(lái)并推廣到同一類事物中去的思維方法。抽象與概括抽象，是從若干事物中，抽取其共同29歸納與猜想歸納是通過(guò)對(duì)同類事物中的若干特殊情況的分析得出此類事物的一般性結(jié)論的思維方法。猜想是指人們根據(jù)某些事實(shí)和知識(shí)作出某種未經(jīng)證實(shí)的預(yù)測(cè)性推斷的思維方法。歸納與猜想可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。歸納與猜想歸納是通過(guò)對(duì)同類事物中的若干特殊情30類比與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間存在著的某些相同或相似屬性，推斷出它們的其它屬性也可能相同或相似的思維方法。聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個(gè)事物的思維方法。類比與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間31(五)數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)思維的深刻性思維的靈活性思維的敏捷性思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的批判性(五)數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)思維的深刻性32思維的深刻性

是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平。數(shù)學(xué)思維的深刻性有如下特征：1．善于洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)；2．善于把握數(shù)學(xué)知識(shí)的背景；3．善于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)間的相互關(guān)系；4．善于揭示數(shù)學(xué)材料的思想、方法、原理、一般模式；5．善于掌握數(shù)學(xué)材料間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜想。思維的深刻性

是指思維活動(dòng)的抽33思維的靈活性

是指思維活動(dòng)的靈活程度。數(shù)學(xué)思維的靈活性具有以下特征：1．善于從不同的角度思考問(wèn)題；2.善于用不同的方法解決問(wèn)題。3．善于隨機(jī)應(yīng)變，把問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化。思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活34思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度和熟練程度。數(shù)學(xué)思維的敏捷性有如下特征：1．在遇到新問(wèn)題時(shí)，能迅速作出反應(yīng)，進(jìn)行有根有據(jù)、條理清楚地思考。2.在解題過(guò)程中，能較快地辨明解題思路，找到解題途徑。3.在遇到困難時(shí)，能迅速轉(zhuǎn)換思考方向，另辟蹊徑。4.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，善于一下抓住問(wèn)題的本質(zhì)，使問(wèn)題迎刃而解。思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度35思維的獨(dú)創(chuàng)性

是指思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度。數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性具有如下特征：1．具有較強(qiáng)的個(gè)性特點(diǎn)；2．善于獨(dú)立思考、分析、綜合，找出數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要特性；3．善于通過(guò)觀察、類比、歸納，作出猜想；4．善于獨(dú)辟蹊徑，從方法上創(chuàng)新；5．善于通過(guò)思維而獲得新穎的思維成果。思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)的36思維的批判性

是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批判的程度。數(shù)學(xué)思維的批判性具有以下特征：1．善于洞察解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤與漏洞，并能對(duì)思維過(guò)程作出正確的評(píng)價(jià)。2．善于對(duì)已有的數(shù)學(xué)結(jié)果提出自己的看法。3.善于舉出反例，批判錯(cuò)解。思維的批判性

是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批37二、陶冶人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,又可陶冶情操。數(shù)學(xué)中充滿美，絢麗多姿而又深邃含蓄的數(shù)學(xué)美給人們以精神享受，從而激發(fā)起學(xué)習(xí)研究的興趣，吸引著人們的注意力。二、陶冶人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,又可陶冶情操。38

數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。

——克萊因(Klein)數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)音樂(lè)能39數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)統(tǒng)一性簡(jiǎn)單性對(duì)稱性整齊性不變性恰當(dāng)性奇異性數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)統(tǒng)一性40

統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致。在數(shù)學(xué)中，許多概念、公式、法則，特別一些數(shù)學(xué)分支的誕生，以及近代數(shù)學(xué)中的重大成果都體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是41

簡(jiǎn)單性與統(tǒng)一性相聯(lián)系的是簡(jiǎn)單性。數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能地用簡(jiǎn)單而基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述世界，解釋世界。數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單美的追求，是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一。簡(jiǎn)單性與統(tǒng)一性相聯(lián)系的42

對(duì)稱性在客觀世界中，對(duì)稱的形式是很多的。事物的對(duì)稱形式，能給人以審美的愉悅。在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，由于對(duì)對(duì)稱美的追求與實(shí)際需要相結(jié)合，從而可引出新的概念和新的理論。對(duì)稱性在客觀世界中43

整齊性所謂數(shù)學(xué)的整齊美是指各個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)按相同方式排列，同一形狀的一致的重復(fù)。對(duì)數(shù)學(xué)整齊美的追求，可以獲得新的數(shù)學(xué)成果。整齊性所謂數(shù)學(xué)的整齊44

不變性不變性也是一種美。在一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，那些變化中的不變量和不變關(guān)系常常表現(xiàn)出美的神韻。不變性不變性也是一45

恰當(dāng)性恰當(dāng)性也呈現(xiàn)一種數(shù)學(xué)美。在日常生活中，有些事物表現(xiàn)出數(shù)量上的適度，即我們常說(shuō)的不多不少、正好，往往給人以美的愉悅。數(shù)學(xué)家追求最佳估計(jì)、最佳逼近、最優(yōu)值等都是數(shù)學(xué)美的恰當(dāng)性的體現(xiàn)。

恰當(dāng)性恰當(dāng)性也呈現(xiàn)一46

奇異性在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)一種新而不平常的關(guān)系結(jié)構(gòu)，能在人們的想象中誘發(fā)一種樂(lè)趣，在人們心靈深處產(chǎn)生出一種愉悅的驚奇，這就是數(shù)學(xué)美的奇異性。數(shù)學(xué)的發(fā)展就象精彩故事一樣地波瀾壯闊，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉。既在情理之中，又在意料之外，是和諧與奇異的統(tǒng)一體。奇異性在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)一47三、健全人的心理

心理素質(zhì)是適應(yīng)環(huán)境、贏得學(xué)習(xí)和生活成功的必要條件，它在人的素質(zhì)形成中起著調(diào)節(jié)作用。心理健康的特征應(yīng)該包括樂(lè)觀向上，積極進(jìn)取，能經(jīng)受挫折，具有耐心與恒心。三、健全人的心理心理素質(zhì)是適應(yīng)環(huán)境、48數(shù)學(xué)是一門充滿神秘與奇趣的學(xué)科，著名的“七橋問(wèn)題”、“四色問(wèn)題”、“哥德巴赫猜想問(wèn)題”等，誘發(fā)了多少人的好奇心，激活了人們無(wú)盡的智慧。數(shù)學(xué)是一門充滿神秘與奇趣的學(xué)科，著名的“七橋問(wèn)題49數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決經(jīng)常伴隨著困難；會(huì)使學(xué)生體驗(yàn)挫折和失敗。而這正是磨煉意志，提高耐挫力的時(shí)機(jī)，愈挫愈奮、百折不撓的良好心理素質(zhì)不會(huì)在一帆風(fēng)順中形成。數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決經(jīng)常伴隨50數(shù)學(xué)高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較其它學(xué)科的學(xué)習(xí)困難更大。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有堅(jiān)強(qiáng)的毅力和堅(jiān)定的意志,需要聚精會(huì)神,需要學(xué)習(xí)者具有良好的心理素質(zhì),又可培養(yǎng)良好的心理素質(zhì)。數(shù)學(xué)高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?使數(shù)51

四、完善人格品質(zhì)數(shù)學(xué)教人誠(chéng)實(shí)和正直。經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人，能夠養(yǎng)成一種獨(dú)立思考而又客觀公正的品格。受過(guò)良好數(shù)學(xué)教育的人，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中所形成的品質(zhì)，會(huì)對(duì)其工作產(chǎn)生積極影響。四、完善人格品質(zhì)數(shù)學(xué)教人誠(chéng)實(shí)和正直。52

六、思考題：1．試計(jì)算一系連續(xù)自然數(shù)的立方和，然后歸納猜想有什么結(jié)論。2．通過(guò)實(shí)際計(jì)算，觀察、歸納猜想要用多少個(gè)平方數(shù)來(lái)表示任何一個(gè)自然數(shù)。3、什么是數(shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)思維的基本類型有哪些？4、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思維方式的分類，各種數(shù)學(xué)思維方式的基本特征是什么？5、試結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過(guò)程對(duì)數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)的特點(diǎn)加以說(shuō)明。六、思考題：53演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！54第二章數(shù)學(xué)與人的發(fā)展第二章數(shù)學(xué)與人的發(fā)展55人的發(fā)展有兩層含義一是指身體的發(fā)展；二是指心理的發(fā)展。人的發(fā)展有兩層含義一是指身體的發(fā)展；56決定人發(fā)展的因素遺傳因素環(huán)境因素教育因素個(gè)體主觀能動(dòng)性

決定人發(fā)展的因素遺傳因素57

“數(shù)學(xué)使人聰穎、數(shù)學(xué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)使人深刻、數(shù)學(xué)使人縝密、數(shù)學(xué)使人堅(jiān)毅、數(shù)學(xué)使人勇敢、數(shù)學(xué)使人正直、數(shù)學(xué)使人美麗。”

———開普勒(Kepler)“數(shù)學(xué)使人聰穎、數(shù)學(xué)使人嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)使人58通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。提高學(xué)生的邏輯思維能力，使他們思路清晰，條理分明，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項(xiàng)工作。

通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，59數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個(gè)正負(fù)號(hào)、每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)都不能含糊敷衍，有助于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)和習(xí)慣。數(shù)學(xué)上追求的是最有用（廣泛）的結(jié)論、最低的條件（代價(jià)）以及最簡(jiǎn)明的證明，可以使學(xué)生形成精益求精的風(fēng)格，凡事力求盡善盡美。數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個(gè)正負(fù)號(hào)、每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)都不能含糊敷衍，有60通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的淵源和過(guò)程，了解和領(lǐng)會(huì)由實(shí)際需要出發(fā)、到建立數(shù)學(xué)模型、再到解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜問(wèn)題的意識(shí)、信念和能力。通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)生增強(qiáng)拼搏精神和應(yīng)變能力，能通過(guò)不斷分析矛盾，從表面上一團(tuán)亂麻的困難局面中理出頭緒，最終解決問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的61可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動(dòng)，在改善所學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論、改進(jìn)證明的思路和方法、發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系、拓展數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用范圍以及解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題等方面，逐步顯露出自己的聰明才智。使學(xué)生具有某種數(shù)學(xué)上的直覺(jué)和想象力，包括幾何直觀能力，能夠根據(jù)所面對(duì)的問(wèn)題的本質(zhì)或特點(diǎn)，八九不離十地估計(jì)到可能的結(jié)論，為實(shí)際的需要提供借鑒。———數(shù)學(xué)家李大潛院士可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動(dòng)，在改善62

一、訓(xùn)練人的思維

數(shù)學(xué)素有“訓(xùn)練思維體操”的美稱。它在訓(xùn)練人的思維方面有著其他學(xué)科所不可替代的獨(dú)特作用。一、訓(xùn)練人的思維數(shù)學(xué)素有“訓(xùn)練思63(一)思維與數(shù)學(xué)思維思維是人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)屬性和事物內(nèi)在聯(lián)系的概括和間接的反映。思維是智力的核心。思維有兩個(gè)最顯著的特征，一是概括性，二是間接性。(一)思維與數(shù)學(xué)思維思維是人腦對(duì)客觀事物64數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)為載體，并以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問(wèn)題性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符651.求下圖中兩個(gè)正方形蓋住的面積。思維的概括性舉例3212.某班有15個(gè)學(xué)生有哥哥，9個(gè)學(xué)生有姐姐，有哥哥又有姐姐的學(xué)生有3個(gè)，問(wèn)全班有哥哥或有姐姐的學(xué)生共有多少個(gè)？1.求下圖中兩個(gè)正方形蓋住的面積。思維的概括66(二)數(shù)學(xué)思維的分類1數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動(dòng)的形式可以分成邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維三類。邏輯思維的基本形式——概念、判斷、推理。形象思維的基本形式——表象、直感、想象。直覺(jué)思維的基本形式——直覺(jué)、靈感(頓悟)。(二)數(shù)學(xué)思維的分類1數(shù)學(xué)思維方式按照思維67

例：雞兔同籠，共有頭14只，足34條，雞兔各幾只？例：雞兔同籠，共有頭14只，足34條，雞兔68

例：父子兩人上班，父親要走40分，兒子要走30分，父先走5分后，兒子多少分鐘追上父？例：父子兩人上班，父親要走40分，兒子要走69

例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵大樹間同時(shí)相向而行，白兔每秒鐘跳6m，黑兔每秒鐘跳4m。一只小花狗與白兔同時(shí)前進(jìn)，每秒鐘跑10m。小花狗為了表示對(duì)兩只兔子都很親熱，因此當(dāng)它遇到黑兔時(shí)，馬上折回去迎接白兔；遇到白兔時(shí)，又迅速折回去迎接黑兔；這樣小花狗在白兔與黑兔之間來(lái)回奔跑，直到白兔與黑兔相遇。問(wèn)小花狗來(lái)回奔跑了多少路？例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的兩棵70(二)數(shù)學(xué)思維的分類2數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。集中思維又叫聚合思維、求同思維、收斂思維。定向思維(正向思維)和縱向思維是集中思維的兩種重要形式。發(fā)散思維又叫求異思維、分散思維、輻射思維。逆向思維和多向思維是發(fā)散思維的兩種重要形式。(二)數(shù)學(xué)思維的分類2數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可71

例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明家離學(xué)校有500米遠(yuǎn)。問(wèn)小華和小明的家相隔多遠(yuǎn)？例：小華家離學(xué)校有800米遠(yuǎn)，小明家離學(xué)校有72

例：對(duì)代數(shù)式3a作出解釋。

說(shuō)明：如葡萄的價(jià)格是3元/千克，買a千克的葡萄需3a元；或正三角形的邊長(zhǎng)為a，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是3a。例：對(duì)代數(shù)式3a作出解釋。73(二)數(shù)學(xué)思維的分類3數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。再現(xiàn)性思維是運(yùn)用已獲得的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方案和程序，用慣用的方法、固定的模式來(lái)解決問(wèn)題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指以新穎、獨(dú)創(chuàng)的方式來(lái)解決問(wèn)題的思維，是在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)問(wèn)題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。(二)數(shù)學(xué)思維的分類3數(shù)學(xué)思維方式按照智力品74例：計(jì)算5+5+5+5+4=(1)5×4+4(按乘法意義算，屬再現(xiàn)性思維)(2)5×5-1(看到一個(gè)不存在的5，已有一點(diǎn)創(chuàng)造性成份了)(3)6×4(把一個(gè)“4”分成四個(gè)“1”，分別添加到前面的四個(gè)“5”上，變成了四個(gè)“6”，對(duì)信息進(jìn)行了整體改組，屬于創(chuàng)造性思維)例：計(jì)算5+5+5+5+4=75

例：長(zhǎng)30cm，寬20cm的長(zhǎng)方形鐵皮做成深5cm的無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒(焊接處不計(jì))，求長(zhǎng)方體鐵盒的容積。例：長(zhǎng)30cm，寬20cm的長(zhǎng)方形鐵皮做成76(三)數(shù)學(xué)思維的一般方法(三)數(shù)學(xué)思維的一般方法77

有趣的練習(xí)7+9×9=6+9×98=5+9×987=4+9×9876=3+9×98765=2+9×987654=1.請(qǐng)同學(xué)們做好前面三道題；2.從這三道題中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.不用計(jì)算，你能寫出后面三道題的結(jié)果嗎？4.你還能寫出這樣的算式嗎？有趣的練習(xí)7+9×9=1.請(qǐng)同學(xué)們做好前面三道題；78(四)數(shù)學(xué)思維的一般方法觀察與實(shí)驗(yàn)比較與分類分析與綜合抽象與概括歸納與猜想類比與聯(lián)想(四)數(shù)學(xué)思維的一般方法觀察與實(shí)驗(yàn)79

觀察與實(shí)驗(yàn)觀察是人們對(duì)周圍事物和現(xiàn)象，在其自然條件下，按照事物或現(xiàn)象的本身面目，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的一種方法。實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)一定的研究目的，人為地創(chuàng)設(shè)條件，控制和模擬客觀對(duì)象，在有利的條件下獲取資料的研究方法。

觀察與實(shí)驗(yàn)觀察是人們對(duì)周圍事物和現(xiàn)象80

比較與分類比較，是確定有關(guān)事物共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。分類是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對(duì)象歸入一類，不同性質(zhì)的對(duì)象歸入不同類別的思維方法。

比較與分類比81分析與綜合

分析，是指把所研究或思維的數(shù)學(xué)對(duì)象的整體分成各個(gè)部分、方面、因素和層次，并分別對(duì)它們進(jìn)行研究、考察、探究等的思維方法。綜合，是指把已有的關(guān)于研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面、因素和層次等認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成對(duì)研究對(duì)象的統(tǒng)一的整體性認(rèn)識(shí)的思維方法。分析與綜合

分析，是指把所研究82抽象與概括抽象，是從若干事物中，抽取其共同的本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性的思維方法。概括，是把抽象出來(lái)的若干事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來(lái)并推廣到同一類事物中去的思維方法。抽象與概括抽象，是從若干事物中，抽取其共同83歸納與猜想歸納是通過(guò)對(duì)同類事物中的若干特殊情況的分析得出此類事物的一般性結(jié)論的思維方法。猜想是指人們根據(jù)某些事實(shí)和知識(shí)作出某種未經(jīng)證實(shí)的預(yù)測(cè)性推斷的思維方法。歸納與猜想可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。歸納與猜想歸納是通過(guò)對(duì)同類事物中的若干特殊情84類比與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間存在著的某些相同或相似屬性，推斷出它們的其它屬性也可能相同或相似的思維方法。聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個(gè)事物的思維方法。類比與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間85(五)數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)思維的深刻性思維的靈活性思維的敏捷性思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的批判性(五)數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)思維的深刻性86思維的深刻性

是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平。數(shù)學(xué)思維的深刻性有如下特征：1．善于洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)；2．善于把握數(shù)學(xué)知識(shí)的背景；3．善于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)間的相互關(guān)系；4．善于揭示數(shù)學(xué)材料的思想、方法、原理、一般模式；5．善于掌握數(shù)學(xué)材料間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜想。思維的深刻性

是指思維活動(dòng)的抽87思維的靈活性

是指思維活動(dòng)的靈活程度。數(shù)學(xué)思維的靈活性具有以下特征：1．善于從不同的角度思考問(wèn)題；2.善于用不同的方法解決問(wèn)題。3．善于隨機(jī)應(yīng)變，把問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化。思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活88思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度和熟練程度。數(shù)學(xué)思維的敏捷性有如下特征：1．在遇到新問(wèn)題時(shí)，能迅速作出反應(yīng)，進(jìn)行有根有據(jù)、條理清楚地思考。2.在解題過(guò)程中，能較快地辨明解題思路，找到解題途徑。3.在遇到困難時(shí)，能迅速轉(zhuǎn)換思考方向，另辟蹊徑。4.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，善于一下抓住問(wèn)題的本質(zhì)，使問(wèn)題迎刃而解。思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度89思維的獨(dú)創(chuàng)性

是指思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度。數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性具有如下特征：1．具有較強(qiáng)的個(gè)性特點(diǎn)；2．善于獨(dú)立思考、分析、綜合，找出數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要特性；3．善于通過(guò)觀察、類比、歸納，作出猜想；4．善于獨(dú)辟蹊徑，從方法上創(chuàng)新；5．善于通過(guò)思維而獲得新穎的思維成果。思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)的90思維的批判性

是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批判的程度。數(shù)學(xué)思維的批判性具有以下特征：1．善于洞察解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤與漏洞，并能對(duì)思維過(guò)程作出正確的評(píng)價(jià)。2．善于對(duì)已有的數(shù)學(xué)結(jié)果提出自己的看法。3.善于舉出反例，批判錯(cuò)解。思維的批判性

是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批91二、陶冶人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,又可陶冶情操。數(shù)學(xué)中充滿美，絢麗多姿而又深邃含蓄的數(shù)學(xué)美給人們以精神享受，從而激發(fā)起學(xué)習(xí)研究的興趣，吸引著人們的注意力。二、陶冶人的情操學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要情感投入,又可陶冶情操。92

數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。

——克萊因(Klein)數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)音樂(lè)能93數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)統(tǒng)一性簡(jiǎn)單性對(duì)稱性整齊性不變性恰當(dāng)性奇異性數(shù)學(xué)美及其特點(diǎn)統(tǒng)一性94

統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致。在數(shù)學(xué)中，許多概念、公式、法則，特別一些數(shù)學(xué)分支的誕生，以及近代數(shù)學(xué)中的重大成果都體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是95

簡(jiǎn)單性與統(tǒng)一性相聯(lián)系的是簡(jiǎn)單性。數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能地用簡(jiǎn)單而基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述世界，解釋世界。數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單美的追求，是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一。簡(jiǎn)單性與統(tǒng)一性相聯(lián)系的96

對(duì)稱性在客觀世界中，對(duì)稱的形式是很多的。事物的對(duì)稱形式，能給人以審美的愉悅。在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，由于對(duì)對(duì)稱美的追求與實(shí)際需要相結(jié)合，從而可引