山西省晉中市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第16頁/共16頁2022年1月晉中市高一年級期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中有且只有一個選項符合題目要求．）1.300°化為弧度制是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角度和弧度轉(zhuǎn)化關(guān)系，直接求值即可.【詳解】根據(jù)，得.故選：B.2.已知集合，集合，實數(shù)，則m可能是（）．A. B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】解不等式，再求交集，進(jìn)而得出m的可能值.【詳解】解不等式得，由于，則，則m可能是2．故選：D3.“”是“”（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，求得；再根據(jù)，求得，即可從充分性和必要性進(jìn)行判斷.【詳解】由于時，角的終邊可能在第一象限，也可能在第三象限，計算得；同理，當(dāng)時，，存在兩種可能，因此“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：.4.對任意大于0的實數(shù)x，y，均滿足的函數(shù)是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例結(jié)合對數(shù)的運算判斷即可.【詳解】對于A，；對于B，；對于C，；對于D，根據(jù)對數(shù)的運算公式，可得D正確．故選：D5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性逐項判斷即可.【詳解】是奇函數(shù)，但是減函數(shù)，而是增函數(shù)，因此是減函數(shù)，A不符合題意；的定義域為，不是奇函數(shù)，B不符合題意；是定義在R上的奇函數(shù)，并且和均是增函數(shù)，則也是增函數(shù)，C正確；是偶函數(shù)，D不符合題意．故選：C6.已知，則函數(shù)的最小值為（）．A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】分析】由題意得，則，然后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】由于，則，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，因此的最小值為6．故選：B7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】由于，并且，則；，即；．故．故選：B8.如圖所示的是函數(shù)（）的圖像，是圖像上任意一點，過點作軸的平行線，交圖像于另一點（，可重合）.設(shè)線段的長為，則函數(shù)的圖像是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】時，時表示遞減的一次函數(shù)所以選A.點睛：(1)運用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)圖像時，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.如能求出具體解析式就可簡化問題(2)在運用函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若a，b滿足，則下列不等式中，一定成立的是（）．A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題可得，然后利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及正切函數(shù)性質(zhì)即得.【詳解】若a，b滿足，則，由于，都在上單調(diào)遞增，則A，C正確；由于在上單調(diào)遞減，故B正確；而在上不具有單調(diào)性，如，故D錯誤．故選：ABC.10.下列各組函數(shù)中，與是同一函數(shù)的有（）．A.，B.C.，D.，【答案】BCD【解析】【分析】分別判斷定義域以及對應(yīng)關(guān)系即可.【詳解】對于A選項，的定義域為，的定義域為，因此這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；對于B，C選項，兩個函數(shù)定義域相同，，，對應(yīng)關(guān)系相同，因此是同一函數(shù)；對于D選項，由于恒成立，因此與是同一函數(shù)．故選：BCD11.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名命名，其解析式為為有理數(shù)，為無理數(shù)），關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）．A.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)B.，C.是周期函數(shù)D.，使得【答案】BCD【解析】【分析】分別討論為有理數(shù)與為無理數(shù)時的情況，結(jié)合函數(shù)奇偶性與周期性的定義對選項逐一判斷.【詳解】因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以對，，故是偶函數(shù)，故A錯誤；當(dāng)為有理數(shù)時，，當(dāng)為無理數(shù)時，，當(dāng)為有理數(shù)時，，當(dāng)為無理數(shù)時，，所以恒成立，B正確；若是有理數(shù)，是有理數(shù)，則是有理數(shù)；若是無理數(shù)，是有理數(shù)，則是無理數(shù)，所以任取一個不為0的有理數(shù)，恒成立，即是周期函數(shù)，故C正確；若，為無理數(shù)，則也為無理數(shù)，所以，故D正確．故選：BCD12.已知函數(shù)（其中，均為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，則等于（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷出周期范圍進(jìn)而求出，排除A選項，結(jié)合特殊點坐標(biāo)代入，得到BC選項正確，而D選項錯誤.【詳解】根據(jù)圖上所標(biāo)注兩點之間的圖象，可判斷周期，,即，解得：，A錯誤；B選項，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，均在函數(shù)圖象上，符合要求，因此B正確，由于恒成立，故C正確．圖象過，D錯誤．故選：BC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．請將正確答案填入答題卡中對應(yīng)的位置．）13.已知，則______．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算結(jié)合解析式得出函數(shù)值.【詳解】故答案為：14.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】由為奇函數(shù)得出.【詳解】由于，即，故，令，則，即在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，滿足，則，故．故答案為：15._______.【答案】2【解析】【詳解】試題分析：.考點：1、誘導(dǎo)公式；2、倍角公式.16.某網(wǎng)絡(luò)購物平臺每年11月11日舉行“雙十一”購物節(jié)，今年推出的促銷項目為“跨店購買每滿200元，可減20元”，比如某商品總價為450元（滿400元），則可減40元，最終實付款額為410元，若某購物者持有500元的預(yù)算，打算在雙十一活動中購買生活用品，則他最終的實付款額y關(guān)于商品總價x的函數(shù)是一個分段函數(shù)，該函數(shù)解析式為______．（實付款額＝商品總價－跨店滿減額），若該購物者最終實付款額為370元，則他所購買的商品總價為______元．【答案】①②.390或410【解析】【分析】（1）根據(jù)題中的付款規(guī)則，對的取值進(jìn)行分類討論，即可求得函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)第一空中所求的函數(shù)關(guān)系，令，即可求得對應(yīng)的.【詳解】由題意可知，當(dāng)元時，沒有活動可參加，實付款額和商品總價相同；當(dāng)時，跨店滿減額為20元，因此；當(dāng)商品總價為元時，跨店滿減額為40元，因此，故實付款額y關(guān)于商品總價x的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)元時，若，則，得（元）；若，則，得（元），因此他購買的商品總價為390元或410元．故答案為：；390或410.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）求值：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解，（2）利用誘導(dǎo)公式化簡后再代值求解【詳解】解：（1）原式．（2）因為，所以．18.已知集合A為函數(shù)的定義域，集合，．（1）用區(qū)間表示集合A；（2）從下面的三個條件中任選其中一個：①；②；③，求解實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）選①，；選②，；選③，【解析】【分析】（1）根據(jù)被開方數(shù)的范圍得出定義域；（2）根據(jù)交集和包含關(guān)系得出實數(shù)a的取值范圍．【小問1詳解】根據(jù)被開方數(shù)的范圍得，解得，用區(qū)間表示；【小問2詳解】（2）由于．若選①，，則只需，則；若選②，，則只需，得，則；若選③，，只需，則．19.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，利用，結(jié)合條件及可得解；（2）分析可得在上遞增，進(jìn)而得，從而得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，為上的奇函數(shù)，且，；（2）因為當(dāng)時，，所以在上遞增，當(dāng)時，，所以在上遞增，所以在上遞增，因為，所以由可得，所以不等式的解集為20.已知，．（1）求的值；（2）若，請比較與的大小關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）求得，再求結(jié)果即可；（2）根據(jù)題意，由基本不等式，即可判斷和證明.【小問1詳解】由于，則，，又，則.【小問2詳解】，證明如下：根據(jù)題意有，，根據(jù)基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，又，故．21.如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點，作矩形內(nèi)接于該扇形．（1）求扇形圓心角的大小；（2）點在什么位置時，矩形的面積最大？并說明理由．【答案】（1）；（2）點是弧的中點時，矩形的面積最大，最大為.【解析】【分析】（1）利用扇形的面積公式可求得的大小；（2）連接，設(shè)，將、用的代數(shù)式表示，利用三角恒等變換化簡矩形面積的表達(dá)式，利用正弦型函數(shù)的有界性可求得矩形面積的最大值及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，根據(jù)扇形面積公式可得，得.【小問2詳解】解：連接，設(shè)，則，，在中，，則，于是矩形的面積，由于，則，當(dāng)，即當(dāng)時，矩形的面積最大，最大為，此時點是弧的中點．因此，當(dāng)點是弧的中點時，矩形的面積最大，最大為.22.2021年5月，“共和國勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平先生辭世，他的功績將永遠(yuǎn)被人們銘記：在他和幾代科學(xué)家的共同努力下，中國用全世界7%的耕地，養(yǎng)活了全世界22%的人口．目前，我國年人均糧食占有量已經(jīng)穩(wěn)定在470千克以上，遠(yuǎn)高于國際公認(rèn)的400千克糧食安全線．某校數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)想研究假如沒有雜交水稻的推廣，沒有合理的人口、土地政策，僅以新中國成立時的自然條件為前提，我國年人均糧食占有量會如何變化？根據(jù)英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯《人口論》的觀點“人口呈幾何級數(shù)增長，而生活資料呈直線型增長”，該小組同學(xué)做了以下研究．根據(jù)馬爾薩斯的理論，自然狀態(tài)下人口增長模型為①（其中表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，表示人口的年平均增長率，表示年后的人口數(shù)，單位：萬人）．根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬．該小組同學(xué)根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)，以1950年末的數(shù)據(jù)作為時的人口數(shù)，求得①式人口增長模型．經(jīng)檢驗，1950~1959年的實際人口數(shù)與此模型基本吻合，如圖．（1）若你是該小組成員，請求出①式的人口增長模型，并以該模型計算從1950年末開始，大約多少年后我國人口達(dá)到13億？（年數(shù)取不小于的最小整數(shù)）（2）根據(jù)馬爾薩斯的理論，該小組同學(xué)把自然狀態(tài)下糧食增長模型近似看作直線型模型，通過查閱我國1950年末至1959年末糧食產(chǎn)量，得到糧食增長模型近似為（其中表示經(jīng)過的時間，表示第年的糧食年產(chǎn)量，單位：萬噸）．（）表示從1950年末開始第年的年人均糧食占有量，單位：噸/人．（?。┣鬂M足的正整數(shù)的最小值；（ⅱ）按此模型，我國年人均糧食占有量能達(dá)到400千克嗎？試說明理由．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1）40，（2）（?。?4，（ⅱ）按此模型，我國年人均糧食占