工程力學壓桿穩(wěn)定課件

§11-1

壓桿的穩(wěn)定概念§11-2細長壓桿臨界壓力的歐拉公式§11-3歐拉公式的使用范圍臨界應力總圖§11-4壓桿的穩(wěn)定計算§11-5提高壓桿穩(wěn)定性的措施第十一章壓桿穩(wěn)定§11-1壓桿的穩(wěn)定概念第十一章壓桿穩(wěn)定壓桿工程中把承受軸向壓力的直桿稱為壓桿.工程實例液壓缸頂桿壓桿工程中把承受軸向壓力的直桿稱為壓桿.工程實例液壓缸頂桿木結(jié)構(gòu)中的壓桿腳手架中的壓桿木結(jié)構(gòu)中的壓桿腳手架中的壓桿桁架中的壓桿桁架中的壓桿(a)(b)

拉壓桿的強度條件為：

=——[]

FNA第一節(jié)壓桿的穩(wěn)定概念(a):木桿的橫截面為矩形（12cm),高為3cm，當荷載重量為6kN時桿還不致破壞。

(b)：木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細長壓桿），當壓力為0.1KN時桿被壓彎，導致破壞。(a)和(b)竟相差60倍，為什么？

細長壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而使結(jié)構(gòu)喪失工件能力，并非因強度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為失穩(wěn)。

問題的提出(a)(b)拉壓桿的強度條件為：FN第一節(jié)

穩(wěn)定問題:主要針對細長壓桿課堂小實驗:橫截面為26mm×1mm的鋼尺,求其能承受的Fmax=?穩(wěn)定問題:主要針對細長壓桿課堂小實驗:橫截面為261983年10月4日，高54.2m、長17.25m、總重565.4KN大型腳手架局部失穩(wěn)坍塌，5人死亡、7人受傷。1983年10月4日，高

2000年10月25日上午10時許南京電視臺演播廳工程封頂，由于腳手架失穩(wěn)，模板倒塌，造成6人死亡，35人受傷，其中一名死者是南京電視臺的攝象記者。2000年10月25日上午10時許南京電視臺演播廳工程封

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）失穩(wěn)：不穩(wěn)定的平衡物體在任意微小的外界干擾下的變化或破壞過程。穩(wěn)定性：平衡物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。小球平衡的三種狀態(tài)

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）穩(wěn)定平衡隨工程力學壓桿穩(wěn)定課件工程力學壓桿穩(wěn)定課件工程力學壓桿穩(wěn)定課件受壓直桿平衡的三種形式

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）受壓直桿平衡的三種形式穩(wěn)定平衡

電子式萬能試驗機上的壓桿穩(wěn)定實驗電子式萬能試驗機上的第二節(jié)細長壓桿臨界壓力的歐拉公式一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷當達到臨界壓力時，壓桿處于微彎狀態(tài)下的平衡。FcrFNyy第二節(jié)細長壓桿臨界壓力的歐拉公式一、兩端鉸支細長壓桿的臨考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M(x)=Fcry(x)M(x)=–EIdx2d2y二階常系數(shù)線性奇次微分方程FcrFNyy微分方程的解:y=Asinkx+Bcoskx邊界條件:y(0)=0,y(l)=00?A+1?B=0sinkl?A+coskl?B=0B=0sinkl?A=0考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M(x)=Fcry

若A=0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設不符，因此可得：FcrFNyy0?A+1?B=0sinkl?A+coskl?B=0B=0sinkl?A=0sinkl=0（n=0、1、2、3……）若A=0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設不——兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷的歐拉公式最小臨界載荷:

屈曲位移函數(shù):

臨界載荷:

臨界力Fcr

是微彎下的最小壓力，故取n=1。且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲?！獌啥算q支細長壓桿的臨界載荷的歐拉公式最小臨界載荷:屈二、支承對壓桿臨界載荷的影響一端自由一端固定一端鉸支一端固定兩端固定兩端鉸支二、支承對壓桿臨界載荷的影響一端自由一端鉸支兩端固定兩端鉸支臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7

兩端固定:

＝0.5

兩端鉸支:

＝1.0臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:歐拉臨界力公式中的Imin

如何確定？定性確定

Imin歐拉臨界力公式中的Imin如何確定？定性確定Imin例：圖示細長圓截面連桿，長度，直徑,材料為Q235鋼，E＝200GPa.試計算連桿的臨界載荷Fcr

.解：1、細長壓桿的臨界載荷2、從強度分析例：圖示細長圓截面連桿，長度，直徑,材解：1一、臨界應力與柔度——臨界應力的歐拉公式——壓桿的柔度（長細比）壓桿容易失穩(wěn)——慣性半徑第三節(jié)歐拉公式的使用范圍臨界應力總圖柔度是影響壓桿承載能力的綜合指標。一、臨界應力與柔度——臨界應力的歐拉公式——壓桿的柔度（長細（細長壓桿臨界柔度）二、歐拉公式的適用范圍例：Q235鋼，

歐拉公式的適用圍:，

稱大柔度桿（細長壓桿）ppEspl2=（細長壓桿臨界柔度）二、歐拉公式的適用范圍例：Q235鋼，1、大柔度桿（細長壓桿）采用歐拉公式計算。臨界壓力：臨界壓應力：Pl細長壓桿。三、臨界應力總圖：臨界應力與柔度之間的變化關(guān)系圖。1、大柔度桿（細長壓桿）采用歐拉公式計算。臨界壓力：臨界壓應Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式2：中柔度桿（中長壓桿）采用經(jīng)驗公式計算?！本€型經(jīng)驗公式是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式2：中柔度桿（中長壓桿）材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3722.14500鑄鐵331.91.453松木39.20.19959

直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿?！本€型經(jīng)驗公式

是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進行強度計算。Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式3：小柔度桿（短粗壓桿）Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿細長桿—發(fā)生彈性屈曲(p)中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲(s<p)粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(<s)臨界應力總圖[a]Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿細臨界應力總圖[b]細長壓桿在我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用的拋物線經(jīng)驗公式為

對于的非細長桿，臨界應力采用拋物線公式進行計算。

中柔度桿臨界應力總圖[b]細長壓桿在我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用的拋物線經(jīng)驗

拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。四、注意問題：1、計算臨界力、臨界應力時，先計算柔度，判斷所用公式。2、對局部面積有削弱的壓桿，計算臨界力、臨界應力時，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計算。但進行強度計算時需按削弱后的尺寸計算。拋物線型經(jīng)驗公式拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔臨界力計算的步驟臨界力計算的步驟例：一壓桿長L=1.5m，由兩根56566

等邊角鋼組成，兩端鉸支，角鋼為Q235鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗公式求臨界壓力（σcr

=304-1.12λ

）。解：查表：一個角鋼：兩根角鋼圖示組合之后例：一壓桿長L=1.5m，由兩根56566等邊角鋼組所以，應由經(jīng)驗公式求臨界壓力。σcr=304-1.12λ=304-1.12×89.3=204（MPa）臨界壓力所以，應由經(jīng)驗公式求臨界壓力。σcr=304-1.12λ=3

例

兩端鉸支壓桿的長度L=1.2m，材料為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，σp=200MPa。已知截面的面積A=900mm2，若截面的形狀分別為圓形、正方形、d?D=0.7的空心圓管。試分別計算各桿的臨界力。

解

（1）圓形截面直徑

慣性半徑

柔度

因為，所以屬細長壓桿，用歐拉公式計算臨界力例兩端鉸支壓桿的長度L=1.2m，材料為

（2）正方形截面截面邊長

因為，所以屬細長壓桿，用歐拉公式計算臨界力。柔度計算（2）正方形截面因為

（3）空心圓管截面因為，所以

得D=47.4×10-3m，d=33.18×10-3m

因為，所以屬中長壓桿，用直線公式計算臨界力。慣性矩柔度計算（3）空心圓管截面得例

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試求：1.那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。解

1.計算柔度判斷兩桿的臨界荷載兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿的臨界荷載。例圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但2.計算各桿的臨界荷載2.計算各桿的臨界荷載解:例:有一千斤頂,材料為A3鋼.螺紋內(nèi)徑d=5.2cm，最大高度l=50cm,求臨界載荷.(已知

)柔度:慣性半徑:A3鋼:可查得F0<p可用直線公式.因此解:例:有一千斤頂,材料為A3鋼.螺紋內(nèi)徑d=5.2cm，最解:在屏幕平面內(nèi)（xy）失穩(wěn)時柱的兩端可視為鉸支端(圖a)；

若在垂直于屏幕平面內(nèi)（xz）失穩(wěn)時，柱的兩端可視為固定端(圖b)。例:截面為120mm200mm的矩形木柱，長l=7m，材料的彈性模量E=10GPa,p=8MPa。試求該木柱的臨界力。(b)(a)討論：

由于該柱在兩個形心主慣性平面內(nèi)的支承條件不相同，因此，首先必須判斷，如果木柱失穩(wěn)，朝哪個方向彎？∵兩端鉸支∴z=1在屏幕平面（xy）內(nèi)繞z軸失穩(wěn)時解:在屏幕平面內(nèi)（xy）失穩(wěn)時柱的兩端可例:截面為120m∵兩端固定∴y=0.5∵z>y

∴木柱失穩(wěn)將在垂直于屏幕平面內(nèi)繞y軸失穩(wěn)。

在垂直于屏幕平面（xz）內(nèi)繞y軸失穩(wěn)時(b)(a)∵兩端固定∴y=0.5∵z>y∴z>p∴應采用歐拉公式計算

木柱的臨界力為選用計算公式(b)(a)z>p∴應采用歐拉公式計算木柱的臨界

例．截面為120×200mm的矩形木柱，材料的彈性模量E=1×104Mpa。其支承情況為：在xoz平面失穩(wěn)（即繞y軸失穩(wěn)）時柱的兩端可視為固定端（圖a）；在xoy平面失穩(wěn)（即繞z軸失穩(wěn)）時，柱的兩端可視為鉸支端（圖b）。試求該木柱的臨界力。

解：(1)計算繞y軸失穩(wěn)時的柔度

μy=0.5（兩端固定）例．截面為120×200mm的矩形木柱，材料的彈性(2)計算繞z軸失穩(wěn)時的柔度

μz=1（兩端鉸支）

(3)計算臨界力

從上面計算可知：λz>λy（繞z失穩(wěn)）

(2)計算繞z軸失穩(wěn)時的柔度μz=1（兩端鉸支）(3)計λmax>λp，可由歐拉公式計算臨界力該柱將可能在xoy平面失穩(wěn)（繞z軸）。λmax>λp，可由歐拉公式計算臨界力該柱將可能在xoy平1、安全系數(shù)法:一、穩(wěn)定條件－穩(wěn)定安全系數(shù)；－穩(wěn)定許用壓力。－穩(wěn)定許用壓應力。2、折減系數(shù)法:－許用應力；－折減系數(shù)，與壓桿的柔度和材料有關(guān)。第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定計算1、安全系數(shù)法:一、穩(wěn)定條件－穩(wěn)定安全系數(shù)；－穩(wěn)定許用壓力。注意：強度的許用應力和穩(wěn)定的許用應力的區(qū)別.

強度的許用應力只與材料有關(guān)；穩(wěn)定的許用應力不僅與材料有關(guān)，還與壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關(guān)。二、穩(wěn)定計算1)校核穩(wěn)定性；2)設計截面尺寸；3)確定外荷載。1、安全系數(shù)法:注意：強度的許用應力和穩(wěn)定的許用應力的區(qū)別.應用上式的穩(wěn)定條件，能夠解決壓桿下列三方面的問題。①驗算壓桿的穩(wěn)定性

②確定容許荷載

③選擇壓桿的截面尺寸和形狀

由于上式中，A和都是未知的，所以需采用逐次漸近法進行計算。2、折減系數(shù)法:先算出λ查表得穩(wěn)定條件：先算出λ

查表得應用上式的穩(wěn)定條件，能夠解決壓桿下列三方面的問題。①驗算壓

a．BC桿繞y失穩(wěn)時，B端可視為鉸支，長度系數(shù)為：

例．結(jié)構(gòu)受力如圖示，BC桿采用No18工字鋼(Iz=1660cm4,iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的彈性模量

E=2×105Mpa，比例極限，穩(wěn)定安全系數(shù)

nW=3。試確定容許荷載[G]。解（一）求λmaxa．BC桿繞y失穩(wěn)時，B端例．結(jié)構(gòu)受力如圖示即可能首先繞y軸失穩(wěn)（二）確定BC桿的臨界荷載BC桿的臨界力可用歐拉公式計算

b．BC桿繞z失穩(wěn)時，B端可視為自由端，長度系數(shù)為：即可能首先繞y軸失穩(wěn)（二）確定BC桿的臨界荷載BC桿（三）確定結(jié)構(gòu)的容許荷載BC桿能承受的容許荷載為：結(jié)構(gòu)的容許荷載:（三）確定結(jié)構(gòu)的容許荷載BC桿能承受的容許荷載為：結(jié)構(gòu)的解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy平面內(nèi)，z=1.0zy平面內(nèi)，y=2.0例：圖示起重機，AB桿為圓松木，長L=6m，[]=11MPa，直徑為：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy

面兩端視為鉸支；xz

面一端視為固定，一端視為自由）AF1BWF2xyzo解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy平面內(nèi)，z=1.0zy平面2、求折減系數(shù)3、求許用壓力AF1BWF22、求折減系數(shù)3、求許用壓力AF1BWF2例：一等直壓桿長L=3.4m，A=14.72cm2，I=79.95cm4，E=210GPa，F(xiàn)=60kN，材料為A3鋼，兩端為鉸支座。試進行穩(wěn)定校核。1)nw=2；2)〔σ〕=140MPa。解：1)安全系數(shù)法：例：一等直壓桿長L=3.4m，A=14.72cm2，2)折減系數(shù)法查表:λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。2)折減系數(shù)法查表:λ=140，φ=0.349；λ=1

解：（一）由平衡條件解出兩桿內(nèi)力與荷載P的關(guān)系。

例．AB、AC桿材料相同為低碳鋼，直徑為d=6cm,lAB=3m,lAC=2m，.考慮圖示平面內(nèi)穩(wěn)定時，結(jié)構(gòu)的容許荷載[F]。

查表得：

（二）用折減系數(shù)法求容許荷載[P]a．由AB桿確定容許荷載[P1]。

解：（一）由平衡條件解出兩桿內(nèi)力與荷載P的關(guān)系。AB桿的容許荷載為：代入(1)后得：查表得：AB桿的容許荷載為：代入(1)后得：查b．由AC桿確定容許荷載[F2]。采用插入法確定：（見圖）AC桿的容許荷載為：

b．由AC桿確定容許荷載[F2]。采用插入法確定：（c．比較[F1]和[F2]確定[F]=162KN（取小者）

代入(2)后得：c．比較[F1]和[F2]確定[F]=162KN（取小者）

提高壓桿穩(wěn)定性的措施，可從決定壓桿臨界力的各種因素去考慮。

第五節(jié)提高壓桿的穩(wěn)定的措施一、材料方面對于的細長壓桿，臨界應力

由于各種鋼材的E大致相等，所以選用優(yōu)質(zhì)鋼材與普通鋼材并無很大差別。

采用高強度優(yōu)質(zhì)鋼在一定程度上可以提高中長壓桿的穩(wěn)定性。

對于短粗桿，本身就是強度問題，采用高強度材料則可相應提高強度，其優(yōu)越性自然是明顯的。提高壓桿穩(wěn)定性的措施，可從決定壓桿臨界力的各種二、柔度方面——壓桿的柔度（長細比）

柔度越小，穩(wěn)定性就越好，為了減小柔度，在可能的情況下可采取如下一些措施：

1、改善支承情況

壓桿兩端固定得越牢固，臨界應力就大。所以采用值小的支承情況，可以提高壓桿的穩(wěn)定性。

兩端鉸支(圖a)的細長壓桿，若在桿件中點增加一支承(圖b)，則計算長度為原來的一半，柔度相應減小一半，而其臨界應力則是原來的4倍。2、減小桿的長度二、柔度方面——壓桿的柔度（長細比）柔度越小，穩(wěn)三、整個結(jié)構(gòu)的綜合考慮3、選擇合理的截面

如果截面面積一定時，應設法增大慣性矩I。工程中的壓桿常采用空心截面或組合截面。例如，同樣截面的實心圓桿改成空心圓桿。

又如，由四根角鋼組成的立柱，角鋼應分散放置在截面的四個角（見圖a），而不是集中放置在截面的形心附近（見圖b）。

當壓桿在各個彎曲平面內(nèi)的約束條件相同時，則壓桿的失穩(wěn)發(fā)生在最小剛度平面內(nèi)。因此，當截面面積一定時，應使，而且還要盡量使值大些（例如，空心圓等），從而提高其抗失穩(wěn)的能力。

如壓桿在兩個彎曲平面內(nèi)的約束條件不同，這就要求在兩個彎曲平面內(nèi)的柔度相等或相近，從而達到在兩個方向上抵抗失穩(wěn)的能力一樣或相近的目的。三、整個結(jié)構(gòu)的綜合考慮3、選擇合理的截面如例：圖示立柱，L=6m，由兩根10號槽型A3鋼組成，下端固定，上端為球鉸支座，試問a=？時，立柱的臨界壓力最大值為多少？解：1、對于單個10號槽鋼，

形心在C1點。兩根槽鋼圖示組合之后:（z1）例：圖示立柱，L=6m，由兩根10號槽型A3鋼組成，下端固定（z1）2、求臨界力：大柔度桿，由歐拉公式求臨界力。a=4.32cm當時最為合理：（z1）2、求臨界力：大柔度桿，由歐拉公式求臨界力。a=4.§11-1

壓桿的穩(wěn)定概念§11-2細長壓桿臨界壓力的歐拉公式§11-3歐拉公式的使用范圍臨界應力總圖§11-4壓桿的穩(wěn)定計算§11-5提高壓桿穩(wěn)定性的措施第十一章壓桿穩(wěn)定§11-1壓桿的穩(wěn)定概念第十一章壓桿穩(wěn)定壓桿工程中把承受軸向壓力的直桿稱為壓桿.工程實例液壓缸頂桿壓桿工程中把承受軸向壓力的直桿稱為壓桿.工程實例液壓缸頂桿木結(jié)構(gòu)中的壓桿腳手架中的壓桿木結(jié)構(gòu)中的壓桿腳手架中的壓桿桁架中的壓桿桁架中的壓桿(a)(b)

拉壓桿的強度條件為：

=——[]

FNA第一節(jié)壓桿的穩(wěn)定概念(a):木桿的橫截面為矩形（12cm),高為3cm，當荷載重量為6kN時桿還不致破壞。

(b)：木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細長壓桿），當壓力為0.1KN時桿被壓彎，導致破壞。(a)和(b)竟相差60倍，為什么？

細長壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而使結(jié)構(gòu)喪失工件能力，并非因強度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為失穩(wěn)。

問題的提出(a)(b)拉壓桿的強度條件為：FN第一節(jié)

穩(wěn)定問題:主要針對細長壓桿課堂小實驗:橫截面為26mm×1mm的鋼尺,求其能承受的Fmax=?穩(wěn)定問題:主要針對細長壓桿課堂小實驗:橫截面為261983年10月4日，高54.2m、長17.25m、總重565.4KN大型腳手架局部失穩(wěn)坍塌，5人死亡、7人受傷。1983年10月4日，高

2000年10月25日上午10時許南京電視臺演播廳工程封頂，由于腳手架失穩(wěn)，模板倒塌，造成6人死亡，35人受傷，其中一名死者是南京電視臺的攝象記者。2000年10月25日上午10時許南京電視臺演播廳工程封

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）失穩(wěn)：不穩(wěn)定的平衡物體在任意微小的外界干擾下的變化或破壞過程。穩(wěn)定性：平衡物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。小球平衡的三種狀態(tài)

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）穩(wěn)定平衡隨工程力學壓桿穩(wěn)定課件工程力學壓桿穩(wěn)定課件工程力學壓桿穩(wěn)定課件受壓直桿平衡的三種形式

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）受壓直桿平衡的三種形式穩(wěn)定平衡

電子式萬能試驗機上的壓桿穩(wěn)定實驗電子式萬能試驗機上的第二節(jié)細長壓桿臨界壓力的歐拉公式一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷當達到臨界壓力時，壓桿處于微彎狀態(tài)下的平衡。FcrFNyy第二節(jié)細長壓桿臨界壓力的歐拉公式一、兩端鉸支細長壓桿的臨考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M(x)=Fcry(x)M(x)=–EIdx2d2y二階常系數(shù)線性奇次微分方程FcrFNyy微分方程的解:y=Asinkx+Bcoskx邊界條件:y(0)=0,y(l)=00?A+1?B=0sinkl?A+coskl?B=0B=0sinkl?A=0考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M(x)=Fcry

若A=0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設不符，因此可得：FcrFNyy0?A+1?B=0sinkl?A+coskl?B=0B=0sinkl?A=0sinkl=0（n=0、1、2、3……）若A=0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設不——兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷的歐拉公式最小臨界載荷:

屈曲位移函數(shù):

臨界載荷:

臨界力Fcr

是微彎下的最小壓力，故取n=1。且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲?！獌啥算q支細長壓桿的臨界載荷的歐拉公式最小臨界載荷:屈二、支承對壓桿臨界載荷的影響一端自由一端固定一端鉸支一端固定兩端固定兩端鉸支二、支承對壓桿臨界載荷的影響一端自由一端鉸支兩端固定兩端鉸支臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7

兩端固定:

＝0.5

兩端鉸支:

＝1.0臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:歐拉臨界力公式中的Imin

如何確定？定性確定

Imin歐拉臨界力公式中的Imin如何確定？定性確定Imin例：圖示細長圓截面連桿，長度，直徑,材料為Q235鋼，E＝200GPa.試計算連桿的臨界載荷Fcr

.解：1、細長壓桿的臨界載荷2、從強度分析例：圖示細長圓截面連桿，長度，直徑,材解：1一、臨界應力與柔度——臨界應力的歐拉公式——壓桿的柔度（長細比）壓桿容易失穩(wěn)——慣性半徑第三節(jié)歐拉公式的使用范圍臨界應力總圖柔度是影響壓桿承載能力的綜合指標。一、臨界應力與柔度——臨界應力的歐拉公式——壓桿的柔度（長細（細長壓桿臨界柔度）二、歐拉公式的適用范圍例：Q235鋼，

歐拉公式的適用圍:，

稱大柔度桿（細長壓桿）ppEspl2=（細長壓桿臨界柔度）二、歐拉公式的適用范圍例：Q235鋼，1、大柔度桿（細長壓桿）采用歐拉公式計算。臨界壓力：臨界壓應力：Pl細長壓桿。三、臨界應力總圖：臨界應力與柔度之間的變化關(guān)系圖。1、大柔度桿（細長壓桿）采用歐拉公式計算。臨界壓力：臨界壓應Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式2：中柔度桿（中長壓桿）采用經(jīng)驗公式計算?！本€型經(jīng)驗公式是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式2：中柔度桿（中長壓桿）材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3722.14500鑄鐵331.91.453松木39.20.19959

直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿?！本€型經(jīng)驗公式

是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進行強度計算。Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式3：小柔度桿（短粗壓桿）Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿細長桿—發(fā)生彈性屈曲(p)中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲(s<p)粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(<s)臨界應力總圖[a]Pl細長壓桿。sl——直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿細臨界應力總圖[b]細長壓桿在我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用的拋物線經(jīng)驗公式為

對于的非細長桿，臨界應力采用拋物線公式進行計算。

中柔度桿臨界應力總圖[b]細長壓桿在我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用的拋物線經(jīng)驗

拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。四、注意問題：1、計算臨界力、臨界應力時，先計算柔度，判斷所用公式。2、對局部面積有削弱的壓桿，計算臨界力、臨界應力時，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計算。但進行強度計算時需按削弱后的尺寸計算。拋物線型經(jīng)驗公式拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔臨界力計算的步驟臨界力計算的步驟例：一壓桿長L=1.5m，由兩根56566

等邊角鋼組成，兩端鉸支，角鋼為Q235鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗公式求臨界壓力（σcr

=304-1.12λ

）。解：查表：一個角鋼：兩根角鋼圖示組合之后例：一壓桿長L=1.5m，由兩根56566等邊角鋼組所以，應由經(jīng)驗公式求臨界壓力。σcr=304-1.12λ=304-1.12×89.3=204（MPa）臨界壓力所以，應由經(jīng)驗公式求臨界壓力。σcr=304-1.12λ=3

例

兩端鉸支壓桿的長度L=1.2m，材料為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，σp=200MPa。已知截面的面積A=900mm2，若截面的形狀分別為圓形、正方形、d?D=0.7的空心圓管。試分別計算各桿的臨界力。

解

（1）圓形截面直徑

慣性半徑

柔度

因為，所以屬細長壓桿，用歐拉公式計算臨界力例兩端鉸支壓桿的長度L=1.2m，材料為

（2）正方形截面截面邊長

因為，所以屬細長壓桿，用歐拉公式計算臨界力。柔度計算（2）正方形截面因為

（3）空心圓管截面因為，所以

得D=47.4×10-3m，d=33.18×10-3m

因為，所以屬中長壓桿，用直線公式計算臨界力。慣性矩柔度計算（3）空心圓管截面得例

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試求：1.那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。解

1.計算柔度判斷兩桿的臨界荷載兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿的臨界荷載。例圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但2.計算各桿的臨界荷載2.計算各桿的臨界荷載解:例:有一千斤頂,材料為A3鋼.螺紋內(nèi)徑d=5.2cm，最大高度l=50cm,求臨界載荷.(已知

)柔度:慣性半徑:A3鋼:可查得F0<p可用直線公式.因此解:例:有一千斤頂,材料為A3鋼.螺紋內(nèi)徑d=5.2cm，最解:在屏幕平面內(nèi)（xy）失穩(wěn)時柱的兩端可視為鉸支端(圖a)；

若在垂直于屏幕平面內(nèi)（xz）失穩(wěn)時，柱的兩端可視為固定端(圖b)。例:截面為120mm200mm的矩形木柱，長l=7m，材料的彈性模量E=10GPa,p=8MPa。試求該木柱的臨界力。(b)(a)討論：

由于該柱在兩個形心主慣性平面內(nèi)的支承條件不相同，因此，首先必須判斷，如果木柱失穩(wěn)，朝哪個方向彎？∵兩端鉸支∴z=1在屏幕平面（xy）內(nèi)繞z軸失穩(wěn)時解:在屏幕平面內(nèi)（xy）失穩(wěn)時柱的兩端可例:截面為120m∵兩端固定∴y=0.5∵z>y

∴木柱失穩(wěn)將在垂直于屏幕平面內(nèi)繞y軸失穩(wěn)。

在垂直于屏幕平面（xz）內(nèi)繞y軸失穩(wěn)時(b)(a)∵兩端固定∴y=0.5∵z>y∴z>p∴應采用歐拉公式計算

木柱的臨界力為選用計算公式(b)(a)z>p∴應采用歐拉公式計算木柱的臨界

例．截面為120×200mm的矩形木柱，材料的彈性模量E=1×104Mpa。其支承情況為：在xoz平面失穩(wěn)（即繞y軸失穩(wěn)）時柱的兩端可視為固定端（圖a）；在xoy平面失穩(wěn)（即繞z軸失穩(wěn)）時，柱的兩端可視為鉸支端（圖b）。試求該木柱的臨界力。

解：(1)計算繞y軸失穩(wěn)時的柔度

μy=0.5（兩端固定）例．截面為120×200mm的矩形木柱，材料的彈性(2)計算繞z軸失穩(wěn)時的柔度

μz=1（兩端鉸支）

(3)計算臨界力

從上面計算可知：λz>λy（繞z失穩(wěn)）

(2)計算繞z軸失穩(wěn)時的柔度μz=1（兩端鉸支）(3)計λmax>λp，可由歐拉公式計算臨界力該柱將可能在xoy平面失穩(wěn)（繞z軸）。λmax>λp，可由歐拉公式計算臨界力該柱將可能在xoy平1、安全系數(shù)法:一、穩(wěn)定條件－穩(wěn)定安全系數(shù)；－穩(wěn)定許用壓力。－穩(wěn)定許用壓應力。2、折減系數(shù)法:－許用應力；－折減系數(shù)，與壓桿的柔度和材料有關(guān)。第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定計算1、安全系數(shù)法:一、穩(wěn)定條件－穩(wěn)定安全系數(shù)；－穩(wěn)定許用壓力。注意：強度的許用應力和穩(wěn)定的許用應力的區(qū)別.

強度的許用應力只與材料有關(guān)；穩(wěn)定的許用應力不僅與材料有關(guān)，還與壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關(guān)。二、穩(wěn)定計算1)校核穩(wěn)定性；2)設計截面尺寸；3)確定外荷載。1、安全系數(shù)法:注意：強度的許用應力和穩(wěn)定的許用應力的區(qū)別.應用上式的穩(wěn)定條件，能夠解決壓桿下列三方面的問題。①驗算壓桿的穩(wěn)定性

②確定容許荷載

③選擇壓桿的截面尺寸和形狀

由于上式中，A和都是未知的，所以需采用逐次漸近法進行計算。2、折減系數(shù)法:先算出λ查表得穩(wěn)定條件：先算出λ

查表得應用上式的穩(wěn)定條件，能夠解決壓桿下列三方面的問題。①驗算壓

a．BC桿繞y失穩(wěn)時，B端可視為鉸支，長度系數(shù)為：

例．結(jié)構(gòu)受力如圖示，BC桿采用No18工字鋼(Iz=1660cm4,iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的彈性模量

E=2×105Mpa，比例極限，穩(wěn)定安全系數(shù)

nW=3。試確定容許荷載[G]。解（一）求λmaxa．BC桿繞y失穩(wěn)時，B端例．結(jié)構(gòu)受力如圖示即可能首先繞y軸失穩(wěn)（二）確定BC桿的臨界荷載BC桿的臨界力可用歐拉公式計算

b．BC桿繞z失穩(wěn)時，B端可視為自由端，長度系數(shù)為：即可能首先繞y軸失穩(wěn)（二）確定BC桿的臨界荷載BC桿（三）確定結(jié)構(gòu)的容許荷載BC桿能承受的容許荷載為：結(jié)構(gòu)的容許荷載:（三）確定結(jié)構(gòu)的容許荷載BC桿能承受的容許荷載為：結(jié)構(gòu)的解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy平面內(nèi)，z=1.0zy平面內(nèi)，y=2.0例：圖示起重機，AB桿為圓松木，長L=6m，[]=11MPa，直徑為：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy

面兩端視為鉸支；xz

面一端視為固定，一端視為自由）AF1BWF2xyzo解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy平面內(nèi)，z=1.0zy平面2、求折減系數(shù)3、求許用壓力AF1BWF2