傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)課件

一、傳遞函數(shù)的概念

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)第二節(jié)

控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型一、傳遞函數(shù)的概念第二節(jié)

控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型1引言控制系統(tǒng)的微分方程：是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。但如果系統(tǒng)的某個參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變時，便需要重新列寫并求解微分方程。傳遞函數(shù)：對線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型----傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化時對系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本、最重要的概念引言控制系統(tǒng)的微分方程：是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型2消去中間變量i(t)，得到輸入與輸出之間的線性定常微分方程:一、傳遞函數(shù)的概念圖2-4所示的RC電路中電容的端電壓。根據(jù)克?；舴蚨?，可列寫如下微分方程：

(2.14)

(2.15)(2.16)

圖2-4RC電路消去中間變量i(t)，得到輸入一、傳遞函數(shù)的概念3

現(xiàn)在對上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，并考慮電容上的初始電壓，得:

(2.17)式中

Uc(s)——輸出電Uc(t)的拉氏變換；Ur(s)——輸入電壓Ur(t)的拉氏變換。

當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)=u0·1(t)時，對Uc(s)求拉氏反變換，即得uc(t)的變化規(guī)律:由上式求出Uc(s)的表達(dá)式:

(2.18)現(xiàn)在對上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，并考慮電容上4

(2.19)式中第一項稱為零狀態(tài)響應(yīng)，由U(t)決定的分量；第二項稱為零輸入響應(yīng)，由初始電壓Uc(0)決定的分量。圖2-5表示各分量的變化曲線，電容電壓Uc

(t)即為兩者的合成。圖2-5RC網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)曲線(2.19)式中第一項稱為零狀態(tài)響應(yīng)，圖2-5表示各5在式(2.19)中，如果把初始電壓Uc(0)也視為一個輸入作用，則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以分別研究在輸入電壓Ur(t)和初始電壓Uc(0)作用時，電路的輸出響應(yīng)。若Uc(0)=0，則有:

(2.20)當(dāng)輸入電壓ur(t)一定時，電路輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc(s)完全由1/(RCs+1)所確定，式(2.20)亦可寫為:

(2.21)

當(dāng)初始電壓為零時，電路輸出函數(shù)的拉氏變換Uc(s)與輸入函數(shù)拉氏變換Ur(s)之比，是一個只與電路結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)的函數(shù)。在式(2.19)中，如果把初始電壓Uc(0)也視為6式(2.21)來表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系。圖2-6傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)可用圖2-6表示。該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc(s)=G(s)Ur(s)。線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)。式(2.21)來表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T7

若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：

(2.22)式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)是與系統(tǒng)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時，對式(2.22)進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程：若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：8由傳遞函數(shù)的定義，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中

M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子多項式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項式。(2.23)傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時定義的。控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義，一系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零；二系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值也為零。由傳遞函數(shù)的定義，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中M(s)=9

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(2.23)可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m小于或等于分母的階數(shù)n（m≤n），且所有系數(shù)均為實數(shù)。

2.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。

(2.24)

(2.24)3.傳遞函數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。將式(2.23)中分子多項式及分母多項式因式分解后，寫為如下形式：二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式10

式中k為常數(shù)，-z1,…,-zm為傳遞函數(shù)分子多項式方程的m個根，稱之為傳遞函數(shù)的零點；-p1,…,-pn為分母多項式方程的n個根，稱為傳遞函數(shù)的極點。一般zi，pi可以為實數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，且若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。將零、極點標(biāo)在復(fù)平面上，則得到傳遞函數(shù)的零極點分布圖，如圖2-7所示。圖中零點用“o”表示，極點用“X”表示。圖2-7

零極點分布圖式中k為常數(shù)，-z1,…,-zm為傳遞函數(shù)分子多項11

4.若令式(2.23)中s=0，則：常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分方程式(2.22)看，s=0相當(dāng)于所有導(dǎo)數(shù)項為零，方程變?yōu)殪o態(tài)方程

或b0/a0為輸出輸入的靜態(tài)比。5.傳遞函數(shù)無法全面反映信號傳遞通路中的中間變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。4.若令式(2.23)中s=0，則：或b0/a0為12

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看，可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。

（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K

(2.25)輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。(a)(b)圖2-8比例環(huán)節(jié)

圖2-8(a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖2-8(b)所示。

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動態(tài)性13（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：

(2.26)當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖2-9(a)所示。式中

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；

T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

圖2-9

慣性環(huán)節(jié)

（二）慣性環(huán)節(jié)(2.26)當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為14（三）積分環(huán)節(jié)

它的傳遞函數(shù)為:

(2.27)

當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時，則輸出為t/T，它隨著時間直線增長。T稱為積分時間常數(shù)。T很大時慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個積分環(huán)節(jié)。圖2-10(b)為積分調(diào)節(jié)器。積分時間常數(shù)為RC。

圖2-10

積分環(huán)節(jié)（三）積分環(huán)節(jié)(2.27)當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單15（四）微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s)=Ts

(2.27)輸入是單位階躍函數(shù)1(t)時，理想微分環(huán)節(jié)的輸出為c(t)=Td(t)，是個脈沖函數(shù)。在實際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為：

理想微分環(huán)節(jié)的實例示于圖2-11(a)、(b)。(a)為測速發(fā)電機(jī)。圖2-11(b)為微分運算放大器。(2.28)（四）微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s)=Ts16它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖2-11(c)、(d)所示。在低頻時近似為理想微分環(huán)節(jié)，否則就有式(2.28)的傳遞函數(shù)。圖2-11

微分環(huán)節(jié)它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖2-11(c)、17（五）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

(2.29)式中wn

---無阻尼自然振蕩頻率，wn=1/T；z——阻尼比，0＜z＜1。圖2-12所示為單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線。圖2-12

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

（五）振蕩環(huán)節(jié)(2.29)式中wn---無阻尼自然18（六）延滯環(huán)節(jié)延滯環(huán)節(jié)是非線性環(huán)節(jié)，t稱為延滯時間（又稱死時）。具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng)。如圖2-13所示，當(dāng)輸入為階躍信號，輸出要隔一定時間t

后才出現(xiàn)階躍信號，在0＜1＜t內(nèi)，輸出為零。圖2-13延滯環(huán)節(jié)（六）延滯環(huán)節(jié)圖2-13延滯環(huán)節(jié)19

延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可求之如下：c(t)=r(t-t)其拉氏變換為:式中x=t-t，所以延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)具有延滯環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，延滯越大，影響越大。(2.30)延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可求之如下：c(t)=r(t-t)其20一、傳遞函數(shù)的概念

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)第二節(jié)

控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型一、傳遞函數(shù)的概念第二節(jié)

控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型21引言控制系統(tǒng)的微分方程：是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。但如果系統(tǒng)的某個參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變時，便需要重新列寫并求解微分方程。傳遞函數(shù)：對線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型----傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化時對系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本、最重要的概念引言控制系統(tǒng)的微分方程：是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型22消去中間變量i(t)，得到輸入與輸出之間的線性定常微分方程:一、傳遞函數(shù)的概念圖2-4所示的RC電路中電容的端電壓。根據(jù)克?；舴蚨?，可列寫如下微分方程：

(2.14)

(2.15)(2.16)

圖2-4RC電路消去中間變量i(t)，得到輸入一、傳遞函數(shù)的概念23

現(xiàn)在對上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，并考慮電容上的初始電壓，得:

(2.17)式中

Uc(s)——輸出電Uc(t)的拉氏變換；Ur(s)——輸入電壓Ur(t)的拉氏變換。

當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)=u0·1(t)時，對Uc(s)求拉氏反變換，即得uc(t)的變化規(guī)律:由上式求出Uc(s)的表達(dá)式:

(2.18)現(xiàn)在對上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，并考慮電容上24

(2.19)式中第一項稱為零狀態(tài)響應(yīng)，由U(t)決定的分量；第二項稱為零輸入響應(yīng)，由初始電壓Uc(0)決定的分量。圖2-5表示各分量的變化曲線，電容電壓Uc

(t)即為兩者的合成。圖2-5RC網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)曲線(2.19)式中第一項稱為零狀態(tài)響應(yīng)，圖2-5表示各25在式(2.19)中，如果把初始電壓Uc(0)也視為一個輸入作用，則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以分別研究在輸入電壓Ur(t)和初始電壓Uc(0)作用時，電路的輸出響應(yīng)。若Uc(0)=0，則有:

(2.20)當(dāng)輸入電壓ur(t)一定時，電路輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc(s)完全由1/(RCs+1)所確定，式(2.20)亦可寫為:

(2.21)

當(dāng)初始電壓為零時，電路輸出函數(shù)的拉氏變換Uc(s)與輸入函數(shù)拉氏變換Ur(s)之比，是一個只與電路結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)的函數(shù)。在式(2.19)中，如果把初始電壓Uc(0)也視為26式(2.21)來表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系。圖2-6傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)可用圖2-6表示。該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc(s)=G(s)Ur(s)。線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)。式(2.21)來表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T27

若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：

(2.22)式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)是與系統(tǒng)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時，對式(2.22)進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程：若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：28由傳遞函數(shù)的定義，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中

M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子多項式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項式。(2.23)傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義，一系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零；二系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值也為零。由傳遞函數(shù)的定義，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中M(s)=29

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(2.23)可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m小于或等于分母的階數(shù)n（m≤n），且所有系數(shù)均為實數(shù)。

2.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。

(2.24)

(2.24)3.傳遞函數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。將式(2.23)中分子多項式及分母多項式因式分解后，寫為如下形式：二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式30

式中k為常數(shù)，-z1,…,-zm為傳遞函數(shù)分子多項式方程的m個根，稱之為傳遞函數(shù)的零點；-p1,…,-pn為分母多項式方程的n個根，稱為傳遞函數(shù)的極點。一般zi，pi可以為實數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，且若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。將零、極點標(biāo)在復(fù)平面上，則得到傳遞函數(shù)的零極點分布圖，如圖2-7所示。圖中零點用“o”表示，極點用“X”表示。圖2-7

零極點分布圖式中k為常數(shù)，-z1,…,-zm為傳遞函數(shù)分子多項31

4.若令式(2.23)中s=0，則：常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分方程式(2.22)看，s=0相當(dāng)于所有導(dǎo)數(shù)項為零，方程變?yōu)殪o態(tài)方程

或b0/a0為輸出輸入的靜態(tài)比。5.傳遞函數(shù)無法全面反映信號傳遞通路中的中間變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。4.若令式(2.23)中s=0，則：或b0/a0為32

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看，可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。

（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K

(2.25)輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。(a)(b)圖2-8比例環(huán)節(jié)

圖2-8(a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖2-8(b)所示。

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動態(tài)性33（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：

(2.26)當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖2-9(a)所示。式中

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；

T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

圖2-9

慣性環(huán)節(jié)

（二）慣性環(huán)節(jié)(2.26)當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為34（三）積分環(huán)節(jié)

它的傳遞函數(shù)為:

(2.27)

當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時，則輸出為t/T，它隨著時間直線增長。T稱為積分時間常數(shù)。T很大時慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個積分環(huán)節(jié)。圖2-10(b)為積分調(diào)節(jié)器。積分時間常數(shù)為RC。

圖2-10