生物統(tǒng)計(jì) 第3章 平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)課件

第三章

平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與

變異系數(shù)

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主要內(nèi)容平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)

第一節(jié)平均數(shù)

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一、算術(shù)平均數(shù)設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：

（3-1）

其中，Σ為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)i的取值區(qū)間在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫為Σx，（3-1）式可改寫為：

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（一）直接計(jì)算法【例3.1】某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。

由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285n=10得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。

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（二）加權(quán)法對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)。下一張

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【例3.2】將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。下一張

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利用（3-2）式得：即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算。下一張

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此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即

即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89kg。

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（三）算術(shù)平均數(shù)的基本性質(zhì)1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。

或簡(jiǎn)寫成2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。（常數(shù)a≠）或簡(jiǎn)寫為：下一張

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對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：（3-3）

式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。

當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)量。下一張

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當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。下一張

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（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法

對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。下一張

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【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。

此例n=9，為奇數(shù)，則：

即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。

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此例n=10，為偶數(shù)，則：

即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。

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思考:1、某年某豬場(chǎng)發(fā)生豬瘟病，測(cè)得10頭豬得潛伏期分別為2、2、3、3、4、4、4、5、9、12（天）。試求潛伏期的中位數(shù)。2、現(xiàn)有一窩仔豬的出生重資料為：1.4,1.7,1.0,1.2,1.3,1.5,1.6Kg,試求其中位數(shù)。3、某病患者5人其潛伏期（天）分別為2，3，5，8，20，求其平均潛伏期。（二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法

若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來(lái)計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為：

式中：L—中位數(shù)所在組的下限；i—組距；

f—中位數(shù)所在組的次數(shù)；

n—總次數(shù)；

c—小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。

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表3-268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表

由表3-2可見：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57-71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3—5）得：

(天)即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。下一張

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145名食物中毒病人的潛伏期例于下表，求其中位數(shù)。

表3-3

糞鏈球菌食物中毒者的潛伏期潛伏期頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)0～17176～466312～3810118～3213324～613930～013936～414342～482145合計(jì)145-

算術(shù)平均數(shù)易受極大值、極小值的影響，而中位數(shù)不易受極端值影響，醫(yī)學(xué)中常用的半數(shù)效量和半數(shù)致死量是中位數(shù)，不是算術(shù)平均數(shù).。

當(dāng)數(shù)據(jù)分布不對(duì)稱或不平衡，特別是存在開口組數(shù)據(jù)或極端值時(shí)，中位數(shù)作為集中趨勢(shì)的描述，效果比算數(shù)平均數(shù)更切合實(shí)際，例如在描述差別較大人群的平均收入時(shí)，就適宜采用中位數(shù)。但其不足是靈敏度和計(jì)算功能差。

三、幾何平均數(shù)

若資料中有n個(gè)觀測(cè)值,則n

個(gè)觀測(cè)值相乘之積開n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)(geometricmean)，記為G。

它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析；畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽的增長(zhǎng)率；抗體的滴度；藥物的效價(jià)；畜禽疾病的潛伏期等。用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：

(3-6)下一張

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為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即

(3-7)

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【例3.7】某地在研究人群中流感抗體水平的調(diào)查中，測(cè)得12名兒童的血清對(duì)某型病毒的血凝抑制抗體效價(jià)的倒數(shù)為：5，5，5，5，5，5，5，10，10，10，20，40，試計(jì)算平均血凝抑制抗體效價(jià)。

利用（3-7）式求年平均增長(zhǎng)率G===lg-1（0.8997）=7.94

即平均血凝抑制抗體效價(jià)約為1：8。下一張

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【例3.7】某波爾山羊群1997-2000年各年度的存欄數(shù)見表3-3，試求其年平均增長(zhǎng)率。

表3-3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率下一張

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利用（3-7）式求年平均增長(zhǎng)率G==lg-1[（-0.368-0.398–0.602）]=lg-1（-0.456）=0.3501

即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。下一張

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思考:

對(duì)一注射了新城疫疫苗的雞群測(cè)定血球凝集抑制滴度，其抗體滴度的分布情況見下表。求該雞群的平均抗體滴度。(324.484/183=1.77311:59.31)

表3雞新城疫的血球凝集抑制滴度分布ND-HI滴度1：101：201：401：801：1601：3201：640合計(jì)檢查雞數(shù)838444729152183思考:

40名麻疹易感兒接種麻疹疫苗后一個(gè)月，血凝抑制抗體滴度見表，求平均滴度。(1:64)

表3接種麻疹疫苗后一個(gè)月血凝抑制抗體滴度ND-HI滴度1:41:81:161:321:641:1281:2561:512合計(jì)人、眾數(shù)

資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)(mode)，記為M0。如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。

又如【例3.6】幻燈片20所列出的次數(shù)分布表中，57-71這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。下一張

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眾數(shù)的特點(diǎn)是易理解、不容數(shù)值極端值的影響，但其靈敏度、計(jì)算功能和穩(wěn)定性差，存在不唯一性，故當(dāng)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)不明顯或有兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不宜使用。下一張

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思考:

計(jì)算下列資料的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。

組限4-8-12-16-20-24-28-次數(shù)3811151832

五、調(diào)和平均數(shù)

資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean），記為H，即

（3-8）調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長(zhǎng)率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。下一張

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【例3.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。

利用（3-9）式求平均規(guī)模：

(頭)

即保種群平均規(guī)模為208.33頭。

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思考:

仔豬斷奶后育肥試驗(yàn)，在原體重基礎(chǔ)上凈增重90Kg時(shí)，結(jié)束試驗(yàn)，已知第一個(gè)30Kg的平均日增重為0.4Kg,第二個(gè)30Kg的平均日增重為0.5Kg,第三個(gè)30Kg的平均日增重為0.7Kg,求全期平均日增重.(H=0.51=0.53)

思考:用某藥物救治12只中毒的小鼠，它們的存活天數(shù)記錄如下：8,8,8,10,10,7,13,10,9,14,另兩只一直未死亡，求平均存活天數(shù)。(數(shù)據(jù)極端右偏，用調(diào)和平均數(shù)較為合理)

思考:研究豬胚胎發(fā)育試驗(yàn),測(cè)得仔豬初生體重為1401g,其胚胎在前1/3時(shí)期的生長(zhǎng)速度為5.49g/天,中1/3時(shí)期的生長(zhǎng)速度為35.9g/天,后1/3時(shí)期的生長(zhǎng)速度為29.19g/天。試問(wèn)其全期平均生長(zhǎng)速度？(H=12.28=23.53)

各個(gè)集中趨勢(shì)度量指標(biāo)之間的關(guān)系及評(píng)價(jià)：1、各個(gè)集中趨勢(shì)度量指標(biāo)之間的關(guān)系(1)在完全對(duì)稱分布情況下：算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者相等。(2)在微偏態(tài)分布中，眾數(shù)與中位數(shù)及算術(shù)平均數(shù)三者之間存在以下關(guān)系：Mo=3Md-2(3)一組數(shù)據(jù)中的幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)之間存在以下關(guān)系：算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)

各個(gè)集中趨勢(shì)度量指標(biāo)之間的關(guān)系及評(píng)價(jià)：2、集中趨勢(shì)指標(biāo)的評(píng)價(jià)作為集中趨勢(shì)的度量指標(biāo)，最好應(yīng)滿足以下幾個(gè)條件：（1）必須有嚴(yán)格的定義和算法；（2）計(jì)算過(guò)程中應(yīng)利用全部觀察值；（3）簡(jiǎn)單明了，容易領(lǐng)悟，容易計(jì)算；（4）受抽樣變動(dòng)影響不大，即隨機(jī)抽樣誤差??；（5）適用于代數(shù)方法處理。

算術(shù)平均數(shù)能最好地滿足以上標(biāo)準(zhǔn)，但是，當(dāng)分布不對(duì)稱時(shí)，用算術(shù)平均數(shù)就難以表示資料的集中趨勢(shì)。中位數(shù)滿足（2）、（3）條，它在排序時(shí)利用了全部觀察值，因而在非參數(shù)檢驗(yàn)時(shí)，是一個(gè)經(jīng)常使用的統(tǒng)計(jì)量。眾數(shù)僅滿足（3）條。幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)滿足（1）、（2）和（5）條，二者都適用于右偏態(tài)分布資料。

利用平均數(shù)來(lái)說(shuō)服別人接受某一特定的觀點(diǎn)，這是常用的技巧。【例如】一家小企業(yè)有13個(gè)員工的工資為:13500，11500，11000，9000，8500，8000，6500，6000，3500，3500，3500，3000元平均工資為多少？

由資料可以得到：顯示工資高：=7000元顯示工資低：Mo=3500元Md=6500元對(duì)于學(xué)習(xí)過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，不能盲目接受別人說(shuō)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，而應(yīng)該進(jìn)行分析并作出科學(xué)評(píng)價(jià)。第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差

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全距（極差）離均差離均差平方和樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。第一組：=10.1第二組：=10.1

第一組：8.99.611.29.49.910.910.411.09.7第二組：3.117.09.95.118.03.89.02.9

21.2

全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

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離均差

為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即（）=0，因而不能用離均差之和Σ（）來(lái)表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。

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平均絕對(duì)離差為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即Σ||/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。離均差平方和我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。先將各個(gè)離均差平方，即()2，再求離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)；下一張

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為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。

自由度

即是指資料中能夠自由變動(dòng)的變數(shù)的個(gè)數(shù)，或指變數(shù)的個(gè)數(shù)減去計(jì)算過(guò)程中使用的條件數(shù)，用符號(hào)df表示。

統(tǒng)計(jì)量稱為均方（meansquare縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即S2=SS/df=（3-9）下一張

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相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為σ2。對(duì)于有限總體而言，σ2的計(jì)算公式為：

（3-10）樣本標(biāo)準(zhǔn)差由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即：

（3-11）下一張

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由于所以（3-11）式可改寫為：

（3-12）

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相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：

（3-13）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。

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二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法

對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（3-11）或（3-12）式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差【例3.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。

此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得：

(g)即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。下一張

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【例3.10】測(cè)定了8頭成年母豬血清球蛋白含量，得結(jié)果如下：2.3,2.4,2.5,2.7,2.9,3.0,2.9,3.2(g)計(jì)算血清樣品球蛋白含量的標(biāo)準(zhǔn)差。(s=0.23)

（二）加權(quán)法

對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為：

(3-14）式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Σf=n為總次數(shù)。下一張

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【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。

表3-4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表將表3-4中的Σf、Σfx、代入（3-14）式得：

(g)

即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。思考:200頭奶牛血液鎂離子含量(mg)資料見下表,對(duì)計(jì)算血液鎂離子標(biāo)準(zhǔn)差。

200頭奶牛血鎂含量次數(shù)分布表組限組中值頻數(shù)（f）0.9-1.011.1-1.231.3-1.471.5-1.6131.7-1.8201.9-2.0342.1-2.2432.3-2.4342.5-2.6212.7-2.8122.9-3.083.1-3.233.3-3.41合計(jì)200

三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性

1.標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。2.在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。3.當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a倍。

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4.在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（±S）范圍內(nèi)；約有95.45%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（±2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（±3S）范圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來(lái)粗略估計(jì)標(biāo)