2016年龍巖市中考數(shù)學(xué)試題及答案解析版

2016年福建省龍巖市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分1．（﹣2）3=（）A．﹣6B．6C．﹣8D．82．下列四個實數(shù)中最小的是（）A．B．2C．D．1.43．與是同類二次根式的是（）A．B．C．D．4．下列命題是假命題的是（）A．若|a|=|b|，則a=bB．兩直線平行，同位角相等C．對頂角相等D．若b2﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等的實數(shù)根5．如圖所示正三棱柱的主視圖是（）A．B．C．D．6．在2016年龍巖市初中體育中考中，隨意抽取某校5位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)分別為：158，160，154，158，170，則由這組數(shù)據(jù)得到的結(jié)論錯誤的是（）A．平均數(shù)為160B．中位數(shù)為158C．眾數(shù)為158D．方差為20.37．反比例函數(shù)y=﹣的圖象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）兩點，則x1與x2的大小關(guān)系是（）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不確定8．如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為（）A．1B．2C．3D．49．在一個密閉不透明的袋子里有若干個白球．為估計白球個數(shù)，小何向其中投入8個黑球，攪拌均勻后隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放入袋中，不斷重復(fù)摸球400次，其中88次摸到黑球，則估計袋中大約有白球（）A．18個B．28個C．36個D．42個格中各畫出一種從A站到D站的路線圖．（要求：①與圖1路線不同、路程相同；②途中必須經(jīng)過兩個格點站；③所畫路線圖不重復(fù)）23．某網(wǎng)店嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售一種商品，利用30天的時間銷售一種成本為10元/件的商品售后，經(jīng)過統(tǒng)計得到此商品單價在第x天（x為正整數(shù)）銷售的相關(guān)信息，如表所示：銷售量n（件）n=50﹣x銷售單價m（元/件）當(dāng)1≤x≤20時，m=20+x當(dāng)21≤x≤30時，m=10+（1）請計算第幾天該商品單價為25元/件？（2）求網(wǎng)店銷售該商品30天里所獲利潤y（元）關(guān)于x（天）的函數(shù)關(guān)系式；（3）這30天中第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．25．已知拋物線y=﹣+bx+c與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)；（4）已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2016年福建省龍巖市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分1．（﹣2）3=（）A．﹣6B．6C．﹣8D．8【考點】有理數(shù)的乘方．【分析】原式利用乘方的意義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=﹣8，故選C2．下列四個實數(shù)中最小的是（）A．B．2C．D．1.4【考點】實數(shù)大小比較．【分析】正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【解答】解：根據(jù)實數(shù)比較大小的方法，可得1.4＜＜＜2，∴四個實數(shù)中最小的是1.4．故選：D．3．與是同類二次根式的是（）A．B．C．D．【考點】同類二次根式．【分析】根據(jù)化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．【解答】解：A、與﹣的被開方數(shù)不同，故A錯誤；B、與﹣的被開方數(shù)不同，故B錯誤；C、與﹣的被開方數(shù)相同，故C正確；D、與﹣的被開方數(shù)不同，故D錯誤；故選：C4．下列命題是假命題的是（）A．若|a|=|b|，則a=bB．兩直線平行，同位角相等C．對頂角相等D．若b2﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等的實數(shù)根【考點】命題與定理．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：A、若|a|=|b|，則a﹣b=0或a+b=0，故A錯誤；B、兩直線平行，同位角相等，故B正確；C、對頂角相等，故C正確；D、若b2﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等的實數(shù)根，故D正確；故選：A．5．如圖所示正三棱柱的主視圖是（）A．B．C．D．【考點】簡單幾何體的三視圖．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可．【解答】解：如圖所示正三棱柱的主視圖是平行排列的兩個矩形，故選B．6．在2016年龍巖市初中體育中考中，隨意抽取某校5位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)分別為：158，160，154，158，170，則由這組數(shù)據(jù)得到的結(jié)論錯誤的是（）A．平均數(shù)為160B．中位數(shù)為158C．眾數(shù)為158D．方差為20.3【考點】方差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．【分析】分別利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義求解后即可判斷正誤．【解答】解：A、平均數(shù)為÷5=160，正確，故本選項不符合題意；B、按照從小到大的順序排列為154，158，158，160，170，位于中間位置的數(shù)為158，故中位數(shù)為158，正確，故本選項不符合題意；C、數(shù)據(jù)158出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，故眾數(shù)為158，正確，故本選項不符合題意；D、這組數(shù)據(jù)的方差是S2=[2+2×2+2+2]=28.8，錯誤，故本選項符合題意．故選D．7．反比例函數(shù)y=﹣的圖象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）兩點，則x1與x2的大小關(guān)系是（）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不確定【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【分析】直接利用反比例函數(shù)的增減性進而分析得出答案．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=﹣的圖象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）兩點，∴每個分支上y隨x的增大而增大，∵﹣2＞﹣3，∴x1＞x2，故選：A．8．如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【考點】菱形的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題．【分析】作F點關(guān)于BD的對稱點F′，則PF=PF′，由兩點之間線段最短可知當(dāng)E、P、F′在一條直線上時，EP+FP有最小值，然后求得EF′的長度即可．【解答】解：作F點關(guān)于BD的對稱點F′，則PF=PF′，連接EF′交BD于點P．∴EP+FP=EP+F′P．由兩點之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F′在一條直線上時，EP+FP的值最小，此時EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四邊形ABCD為菱形，周長為12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四邊形AEF′D是平行四邊形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值為3．故選：C．9．在一個密閉不透明的袋子里有若干個白球．為估計白球個數(shù)，小何向其中投入8個黑球，攪拌均勻后隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放入袋中，不斷重復(fù)摸球400次，其中88次摸到黑球，則估計袋中大約有白球（）A．18個B．28個C．36個D．42個【考點】用樣本估計總體．【分析】根據(jù)摸到黑球的概率和黑球的個數(shù)，可以求出袋中放入黑球后總的個數(shù)，然后再減去黑球個數(shù)，即可得到白球的個數(shù)．【解答】解：由題意可得，白球的個數(shù)大約為：8÷﹣8≈28，故選B．10．已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A．a(chǎn)+bB．a(chǎn)﹣2bC．a(chǎn)﹣bD．3a【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】觀察函數(shù)圖象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，根據(jù)整式的加減法運算即可得出結(jié)論．【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：圖象過原點，c=0；拋物線開口向上，a＞0；拋物線的對稱軸0＜﹣＜1，﹣2a＜b＜0．∴|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a．故選D．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分11．因式分解：a2﹣6a+9=（a﹣3）2．【考點】因式分解-運用公式法．【分析】本題是一個二次三項式，且a2和9分別是a和3的平方，6a是它們二者積的兩倍，符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，因此可用完全平方公式進行因式分解．【解答】解：a2﹣6a+9=（a﹣3）2．12．截止2016年4月28日，電影《美人魚》的累計票房達到大約3390000000元，數(shù)據(jù)3390000000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.39×109．【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：3390000000=3.39×109，故答案為：3.39×10913．如圖，若點A的坐標(biāo)為，則sin∠1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)勾股定理，可得OA的長，根據(jù)正弦是對邊比斜邊，可得答案．【解答】解：如圖，，由勾股定理，得OA==2．sin∠1==，故答案為：．14．將一矩形紙條按如圖所示折疊，若∠1=40°，則∠2=110°．【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，由折疊的性質(zhì)得到∠4=∠5，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，∵∠4=∠5，∴∠4=∠5==70°，∴∠2=110°，故答案為：110°．15．如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=2．【考點】等邊三角形的性質(zhì)．【分析】先證明BC=2CD，證明△CDE是等腰三角形即可解決問題．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案為216．如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內(nèi)切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10=π．【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】（1）圖1，作輔助線構(gòu)建正方形OECF，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)切線長定理表示出AD和BD的長，利用AD+BD=5列方程求出半徑r=（a、b是直角邊，c為斜邊），運用圓面積公式=πr2求出面積=π；（2）圖2，先求斜邊上的高CD的長，再由勾股定理求出AD和BD，利用半徑r=（a、b是直角邊，c為斜邊）求兩個圓的半徑，從而求出兩圓的面積和=π；（3）圖3，繼續(xù)求高DM和CM、BM，利用半徑r=（a、b是直角邊，c為斜邊）求三個圓的半徑，從而求出三個圓的面積和=π；綜上所述：發(fā)現(xiàn)S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：（1）圖1，過點O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四邊形OECF為矩形∵OE=OF∴矩形OECF為正方形設(shè)圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r∴3﹣r+4+r=5，r==1∴S1=π×12=π（2）圖2，由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=由（1）得：⊙O的半徑==，⊙E的半徑==∴S1+S2=π×+π×=π（3）圖3，由S△CDB=××=×4×MD∴MD=由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=由（1）得：⊙O的半徑=，：⊙E的半徑==，：⊙F的半徑==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴圖4中的S1+S2+S3+S4=π則S1+S2+S3+…+S10=π故答案為：π．三．解答題（本大題共9小題，共92題）17．計算：．【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪法則，以及平方根定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=2+3﹣﹣﹣3+1=1．18．先化簡再求值：，其中x=2+．【考點】分式的化簡求值．【分析】直接將括號里面進行通分運算，進而利用分式乘法運算法則求出答案．【解答】解：原式===x+2，當(dāng)時，原式=2++2=4+．19．解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【考點】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．【解答】解：由①得x≥4，由②得x＜1，∴原不等式組無解，20．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACD=∠B，AD⊥CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．【考點】切線的判定．【分析】（1）連接OC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠BCO，證出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出結(jié)論；（2）證明△ACB∽△ADC，得出AC2=AD?AB，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：連接OC，如圖所示：∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，又∵∠ACD=∠B，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2=AD?AB=1×4=4，∴AC=2．21．某中學(xué)需在短跑、長跑、跳遠、跳高四類體育項目中各選拔一名同學(xué)參加市中學(xué)生運動會．根據(jù)平時成績，把各項目進入復(fù)選的學(xué)生情況繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）參加復(fù)選的學(xué)生總?cè)藬?shù)為25人，扇形統(tǒng)計圖中短跑項目所對應(yīng)圓心角的度數(shù)為72°；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并標(biāo)明數(shù)據(jù)；（3）求在跳高項目中男生被選中的概率．【考點】概率公式；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．【分析】（1）利用條形統(tǒng)計圖以及扇形統(tǒng)計圖得出跳遠項目的人數(shù)和所占比例，即可得出參加復(fù)選的學(xué)生總?cè)藬?shù)；用短跑項目的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得到短跑項目所占百分比，再乘以360°即可求出短跑項目所對應(yīng)圓心角的度數(shù)；（2）先求出長跑項目的人數(shù)，減去女生人數(shù)，得出長跑項目的男生人數(shù)，根據(jù)總?cè)藬?shù)為25求出跳高項目的女生人數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖；（3）用跳高項目中的男生人數(shù)除以跳高總?cè)藬?shù)即可．【解答】解：（1）由扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖可得：參加復(fù)選的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：（5+3）÷32%=25（人）；扇形統(tǒng)計圖中短跑項目所對應(yīng)圓心角的度數(shù)為：×360°=72°．故答案為：25，72；（2）長跑項目的男生人數(shù)為：25×12%﹣2=1，跳高項目的女生人數(shù)為：25﹣3﹣2﹣1﹣2﹣5﹣3﹣4=5．如下圖：（3）∵復(fù)選中的跳高總?cè)藬?shù)為9人，跳高項目中的男生共有4人，∴跳高項目中男生被選中的概率=．22．圖1是某公交公司1路車從起點站A站途經(jīng)B站和C站，最終到達終點站D站的格點站路線圖．（8×8的格點圖是由邊長為1的小正方形組成）（1）求1路車從A站到D站所走的路程（精確到0.1）；（2）在圖2、圖3和圖4的網(wǎng)格中各畫出一種從A站到D站的路線圖．（要求：①與圖1路線不同、路程相同；②途中必須經(jīng)過兩個格點站；③所畫路線圖不重復(fù)）【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；勾股定理的應(yīng)用．【分析】（1）先根據(jù)網(wǎng)格求得AB、BC、CD三條線段的長，再相加求得所走的路程的近似值；（2）根據(jù)軸對稱、平移或中心對稱等圖形的變換進行作圖即可．【解答】解：（1）根據(jù)圖1可得：，，CD=3∴A站到B站的路程=≈9.7；（2）從A站到D站的路線圖如下：23．某網(wǎng)店嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售一種商品，利用30天的時間銷售一種成本為10元/件的商品售后，經(jīng)過統(tǒng)計得到此商品單價在第x天（x為正整數(shù)）銷售的相關(guān)信息，如表所示：銷售量n（件）n=50﹣x銷售單價m（元/件）當(dāng)1≤x≤20時，m=20+x當(dāng)21≤x≤30時，m=10+（1）請計算第幾天該商品單價為25元/件？（2）求網(wǎng)店銷售該商品30天里所獲利潤y（元）關(guān)于x（天）的函數(shù)關(guān)系式；（3）這30天中第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）分兩種情形分別代入解方程即可．（2）分兩種情形寫出所獲利潤y（元）關(guān)于x（天）的函數(shù)關(guān)系式即可．（3）分兩種情形根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）分兩種情況①當(dāng)1≤x≤20時，將m=25代入m=20+x，解得x=10②當(dāng)21≤x≤30時，25=10+，解得x=28經(jīng)檢驗x=28是方程的解∴x=28答：第10天或第28天時該商品為25元/件．（2）分兩種情況①當(dāng)1≤x≤20時，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，②當(dāng)21≤x≤30時，y=（10+﹣10）（50﹣x）=綜上所述：（3）①當(dāng)1≤x≤20時由y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，∵a=﹣＜0，∴當(dāng)x=15時，y最大值=，②當(dāng)21≤x≤30時由y=﹣420，可知y隨x的增大而減小∴當(dāng)x=21時，y最大值=﹣420=580元∵∴第15天時獲得利潤最大，最大利潤為612.5元．24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時，有DB=EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，在簡單計算即可．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中得∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．25．已知拋物線y=﹣+bx+c與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)；（4）已知點E在x軸上，點F在拋