數(shù)學(xué)里的高山流水

數(shù)學(xué)里的高山流水數(shù)學(xué)里的高山流水數(shù)學(xué)里的高山流水資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學(xué)里的高山流水版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：數(shù)學(xué)里的高山流水——圓和相似的巧妙結(jié)合，便猶如伯牙遇上了鐘子期……初三（5）班高佳琴（備注：該生2011屆重點高中保送畢業(yè)生）步入初三，漸漸深入接觸了圓和相似這兩個版塊，同學(xué)們深切感慨：圓和相似真的好難！老師口中的話已經(jīng)講了不知多少遍，提醒我們要重視圓與相似，遇到圓的題目不要緊張，要靈活地運用相似。而且它們也是中考的常客，老師出題的法寶。在中考前，很多同學(xué)都為此而感到焦慮。下列是摘取于XX討論群的部分對話記錄：（省略日期）∮ind·回憶：同志們，好久不見啦，都出來聊聊Loading……：有啥好聊的，都要中考了，你可真是平常心面對呀∮ind·回憶：不是老師說的嗎？考前要放輕松，才能發(fā)揮好Loading……：(+﹏+)~狂暈，世上怎么會有這般人也……┧＋Ⅰ≠①：小朋友呀，別這么悲觀Loading……：唉，我的數(shù)學(xué)啊，不想說，實在太“杯具”啦┧＋Ⅰ≠①：說到這個，難得今天有空，大家聚起來一起來討論一道數(shù)學(xué)題目，咋樣Loading……：你你你…你故意刺激我？

丅①站の詠恆：我發(fā)表一下感慨：與其抱怨不如欣然接受。你快點說題吧┧＋Ⅰ≠①：ABCDFE如圖如圖，已知E是ABCDFE如圖求證:DE＝DB＝DC;若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的長（1）已證，求（2）即可∮ind·回憶：這還不簡單！Soeasy??！∮ind·回憶：E是圓心，DE=1/2AD=4∮ind·回憶：這么簡單，╭∩╮(︶︿︶)╭∩╮鄙視你?。々耍瘛佗伲侯~，要是這么簡單，那我還不如買塊形似板磚的豆腐拍死自己算啦梟梟嫻子：--，E又沒說是圓心丅①站の詠恆：既然題目中有角平分線，肯定要用到的嘛！丅①站の詠恆：或許可以用到別的知識，比如說相似┧＋Ⅰ≠①：嗯，說的有道理，那我再回去想想吧88Loading……：真?zhèn)模耆盐液雎岳簿蜕项}而言，許多同學(xué)多會用圓的知識來解題，而且會誤以為E便是該圓的圓心這就是理解不當所致，以及知識點沒有完全掌握。外接圓的圓心是指該圓的內(nèi)接△三條邊的垂直平分線的交點（即外心），內(nèi)接圓的圓心是指該圓的外接△的三條角平分線的交點。（即內(nèi)心）當解一道難題時，形如上題，表面上要用到圓的知識,但似乎又行不通，這個時候就該想想別的方法，如相似。而且當實在寫不下去的時候，可以適當采用倒推的方法，以便更好地解題。那我們就來看一下這道題目吧。如圖，已知E是△ABC的內(nèi)心，∠A的平分線交BC于點F,且與△ABC的外接圓相交于點D.（1）求證:DE＝DB＝DC;（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的長一、思路：第1小題要求線段相等，到現(xiàn)在為止我們學(xué)過的方法有如下幾種：①證明全等②等角對等邊③在圓中，可以采用圓的一些性質(zhì)來證明線段相等ABABCDFE如圖由題目中的條件可得,AD為角平分線,∴圓周角∠BAD=∠CAD運用方法③可得BD=CD剩下的可運用①或②來解決（∵DE不是弦，∴無法用③來解決）∵圖中無法找出全等的△與BD、ED產(chǎn)生關(guān)系∴有可能需要構(gòu)造全等，但又似乎太麻煩，可以留到最后再來嘗試∵它共同藏在一個△中∴方法②似乎很適合這題而要證明其為等腰△，可以利用外角的性質(zhì)+一些等量代換求角相等而題中講到內(nèi)心可利用其知識點得到∠ABE=∠CBE，∠CAD=∠BAD而利用圓的性質(zhì)可得∠CAD=∠CBD，∴∠CBD=∠BAD∴∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD即∠EBD=∠BED∴BD=BE∴BE=BD=DC二、思路：第2小題要我們求線段的長度，到現(xiàn)在為止我們學(xué)過的方法有如下幾種：①證明全等或相似②等量代換③勾股定理④三角函數(shù)⑤面積、體積助算法……∵題中無關(guān)于Rt∠的任何信息和角的具體數(shù)值∴可以不能方法③和④∵題中無任何關(guān)于面積和體積的實際數(shù)值∴不能用方法⑤所以可以嘗試使用方法①和②由題易得：AF=6，DF=2由一中得，BD=BE=CD∴要求DE，也可以轉(zhuǎn)化為求BD或CD接下來便是找BD或CD與已知條件（AF，DF，AD…）的關(guān)系A(chǔ)BCDFE如圖ABCDFE如圖∴或許可以運用到相似∵一中已證∠CBD=∠BAD，加上一個公共角∠ADB∴利用兩個角相等可以證三角形相似即△DFB∽△DBA∴DF：DB=BD：DA且BD為中間項∴BD=√（2×8）=4∴DE=DB=4所以解一些難題時，像這種圓和相似結(jié)合的題目，首先要認清題目要我們求什么，再根據(jù)這個要求回憶所學(xué)的知識，及解這類題目的方法，根據(jù)題意選擇適當?shù)姆椒ā．旑}目比較復(fù)雜，涉及多個知