常微分方程課程總結(jié)

常微分方程課程總結(jié)第一章緒論§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程。常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程。說=axy,“為常數(shù)偏微分方程：未知函數(shù)為多元函數(shù)，從而出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)的微分方程。（2）線性與非線性一般n階線性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）…+a-|（x）y+G（x）y=/（x）?（3） 解和隱式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).隱式解：①a,y）=0（4） 通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意:常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)同.）特解：確定了通解中任意常數(shù)以后的解.初始條件：用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題.（5） 積分曲線：微分方程任一特解的圖形都是一條曲線，稱為微分方程的積曲線。第二章一階微分方程的初等解法§2.1變量分離方程與變量變換2.1.1、變量分離方程2.1.2.可化為變fi分離方程的類型形如生=鞏上），稱為齊次微分方程，令u=2my=ux,于是d=龍竺+“，代入原方程,dxX X dxdx變形為X—+u=g（“），整理得竺=逖?口dx dx X2.形如字=吐字士L的方程也可經(jīng)變量變換化為變量分離方程dxx+h^x+c^

(1)(2)5-乞=￡_=?(常數(shù))，方程化為◎=￡,有通解y=比兀+(?/?2J Clx(1)(2)亠苦"嚴(yán)形’令円心a這時噲F(tuán)+方2字=52也是分離變量方程=0,a.x+b.y+c.=Q.交點(70),令X=x—a,Y=y—0,化為a,X+h,Y=0.X+h^Y=0,a.x+b.y+c.=Q.交點(70),令X=x—a,Y=y—0,化為a,X+h,Y=0.X+h^Y=0o則原方程變形為勞啓若升爲(wèi)§2.2線性微分方程與常數(shù)變易法(1)一階線性微分方程^=P(xb'+e(x),其中P(x),Q(x)在區(qū)間上是X的連續(xù)函數(shù)。若Q(x)=0,則ax變?yōu)?=卩(戈)廠</%稱為一階齊次線性微分方程，若GU)*o,則稱為一階非齊次線性微分方程。J"皿J"皿(c是任意常數(shù))。(2)-^=P(x)y是變量分離方程，解為y=2dx(2)(3)常數(shù)變異法，令(3)常數(shù)變異法，令y=dx)J"g,微分之，得到紅如E+紅如E+心)恥)葉dxdx代入原方程得到新方程，解得C(X)=JQ(X)""EJx+Q得到通解y=eJu*j0(x)ejPBJx+f(4)伯努利微分方程(4)伯努利微分方程令z=yj，從而竺=(_“)*"◎,均代入原方程得到dx clx—=(l-/i)P(x)^+(1-")Q(x),這是線性微分方程。ax§2.3恰當(dāng)微分方程與積分因子2.3.1恰當(dāng)微分方程(1)簡單二元函數(shù)的全微分：曲+城v=dg) 也H曲+城v=dg) 也H一ydx一xdyxy=</(ln—)Xydxydx-xdy1“丄伽ydx-xdy ，八 a\ =d(lnarctan—)對+y" y2.3.22.3.2積分因子6M_6NN&=0⑴,積分因子“=Jem§2.4一階隱式微分方程與參數(shù)表示（1）形如y=/（?！郑?yún)?shù)d=p,原方程變?yōu)閥=/Up）,兩邊對X求導(dǎo)，并以空=卩代入,

dx （ix得到"欽魯知這是關(guān)于兒"的一階微分方程<2)形如x=m慌),引入?yún)?shù)空=卩,原方程變?yōu)閤=/Cv,p）,兩邊對y求導(dǎo)，并以竺=丄代入,dx dyp得到丄=生+生如,這是Pdydpdy關(guān)于的-階微分方程，設(shè)求得通解為處"》。，則方程通解為{；（:鶯）?0(3)形如F(x,/)=0，+〉"-3収=0解：令/=〃=風(fēng)則山方程得v=￡，從而卩=二，于是dy=9（l-2；2廠曲積分之，得到（4）形如F

1+r 1+Z （l+r）2, 31+4戶一dt= +C2（1+F）2（燈）=0第三章一階微分方程解的存在定理§3.1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1.存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程jg）

ax這里f（X,y）是在矩形域JR:\x-x^^l<aJy-l<b(3.1)(3.2)上連續(xù)。定理:1：如果函數(shù)/（x,y）滿足以下條件：1）在&上連續(xù)：2）在R上關(guān)于變量y滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)厶>0,使對于R上任何一對點（兒N），（X,『2）均有不等式/（忑廿）-/（兀』2）S厶”-旳成立，則方程（3.1）存在唯一的解y=<p（x}.在區(qū)間\x-x,\<h上連續(xù)，而且滿足初始條件(3.3)其中/?=min(?,—),A/=maxMf(x,y),乙稱為厶ipschitz常數(shù)?思路：求解初值問題(3.1)的解等價于積分方程y=兒+r/(X,J心的連續(xù)解。構(gòu)造近似解函數(shù)列9“(x)}任取一個連續(xù)函數(shù)0o(x),使得l0o(x)-兒iSb,替代上述積分方程右端的%(x)=$0+「%如果叭那么％(X)是積分方程的解，否則，乂用qd)替代積分方程右端的y,得到02(X)=)'0+rf(X,0(x))eZv如果卩20)=%(0,那么％(切是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到%W=>0+f/(X?T(X)床(3.4)于是得到函數(shù)序列@2)}?3)函數(shù)序列{卩二的}在區(qū)間［x,-fKX,+h］上一致收斂于俠X),即Um%(x)=^x)?T?存在，對(3.4)取極限，得到lim<p?(x)=Vo+limT/(.v,^2??_,(.v)yZv?-?oo n-*oo*Ao=兒+(兒即(p(x)=y。+rf(x,僅x)kh?4)0(x)是積分方程y=Jo+ff(x,y)dx在［竝-兒心+力］上的連續(xù)解.J心命題1設(shè)y=＜p(x)是方程(3.1)定義于區(qū)間兀＜尤＜如+力.匕滿足初始條件俠兀)=兒的解，則y=0(0是積分方程x^<x<x^+h(3.5)的定義于心＜兀＜兀0+〃上的連續(xù)解?反之亦然.命題2對于所有的"，(3.6)中的函數(shù)?(X)在如＜大＜心+/?上有定義，連續(xù)且滿足不等式(3.6)命題3函數(shù)序列｛%（-<））在兀<%<無+力上是一致收斂的?記lim烏（X）=從X）,兀0<X<大0+〃命題4 0（0是積分方程（3.5）的定義在扯<大<心+力上的連續(xù)解.命題5設(shè)^/（欠）是積分方程（3?5）的定義在斗）<X<+/rh的一個連續(xù)解，則0（兀）三以X），斗）<x<Xo+力?1、近似計算和誤差估計求方程近似解的方法一一Picard的逐次逼近法%（x）=兒久W=>0+ryexo<A-<Ay+hL(3.7)對方程的第"次近似解％Cv）和真正解0（x）在\x-x,\<h內(nèi)的誤差佔計?式(3.7)詠5）佔〃例1討論初值問題y(o)=0（iy*> y(o)=0子=兀?+八ax解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解,其中,解M=maxI/(X,y1=2,a= =l,/i= }=—,山于I—1=12>'1<2=￡,根據(jù)誤差估計式gwR M2 dy(3.16)935）醫(yī)焉/宀侖"a可知?=3?于是久(x)=0卩（X）=[[宀號WHzy込⑴=J3+心曲=y+右F2 2/ ，X? y朋)=￡［兀+卩2u)kX=亍+反+2079+595350（0就是所求的近似解，在區(qū)間--<x<-_h,這個解與真正解得誤差不超過0.05.§3.2 解的延拓2、局部利普希茨條件定義2若函數(shù)/（矩刃在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對G內(nèi)每一點P,都存在以P點為中心，完全含在G內(nèi)的

閉矩形域心，使得在/?p上/（X』）關(guān)于y滿足利普希茨條件（對于不同的點，閉矩形域心的大小和利普希茨常數(shù)厶可能不同），則稱f（x.y）在G上關(guān)于y滿足局部利普希茨條件.定理3（延拓定理）如果方程^=/（x,y）的右端函數(shù)/（x,y）在（有界或無界）區(qū)域Ge用上連續(xù)，dxdx且在關(guān)于y滿足局部利普希茨條件，則對任意一點（兀，兒）eG,方程—=/（X,y）以（旺,兒）為初值的解僅尤）均可以向左右延展，直到點（xw（x））任意接近區(qū)域G的邊界.dx以向X增大的一方來說，如果y=<p（x）只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)XTW時，（血0（欠））趨于區(qū)域G的邊界。其中（兀,兒）wG推論1對定義在平面區(qū)域G其中（兀,兒）wG?ax丿0=Wo）若f（x.y）在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部厶ipschtiz條件,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論3如果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程（3.1）通過（心」0）點的解）90（燈可以延拓,以向X增大（減?。┮环降难油貋碚f，有以下兩種悄況：（1）解y=0Cv）可以延拓到區(qū)間［心*0）（或（Y比］）；⑵解）,=0（兀）只可延拓到區(qū)間兇沖）（或⑷心］），其中為有限數(shù)，則當(dāng)犬TW時，或者y=無界,或者點(x.0(;v))t6G?例】討論方程學(xué)耳1分別通過點㈣）和點W2T的解的存在區(qū)間.解此方程右端函數(shù)/（A-,y）=^在整個巧平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件?易知方程的通解為i+ce"y= 1一0故通過點（0.0）的解為y=（1-0丫）/（1+?*）,這個解的存在區(qū)間為-oo<x<+oo；通過點（In2,-3）的解為y=（l+K）/（l-K）,這個解的存在區(qū)間為0<x<R5（如圖所示）?注嵐過點（ln2?-3）的解為y=（l+K）/（l-R）向右方可以延拓到+00,但向左方只能延拓到0,因為當(dāng)犬TO*時，y—F.

例2討論方程冬=l+lnx過（1,0）點的解的存在區(qū)間.dx解方程右端函數(shù)/（x,>'）=l+lnx在右半平面%>0上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件?區(qū)域G（右半平面）是無界開域，y軸是它的邊界?易知問題的解為>=xlnx,它于區(qū)間0<牙<2上有定義、連續(xù)且當(dāng)XT0時，vtO,即所求問題的解向右方可以延拓到七0,但向左方只能延拓到0,且當(dāng)XTO時積分曲線上的點（兒y）趨向于區(qū)域G的邊界上的點§3.3解對初值的連續(xù)性和可微性定理1、解關(guān)于初值的對稱性設(shè)方程（3.1）滿足初始條件y（扯）=兒的解是唯一的，記為y=俠兀,心九），則在此關(guān)系式中，（衛(wèi)刃與Cb）b）可以調(diào)換其相對位置?即在解的存在范W內(nèi)成立關(guān)系式證明在方程（3.1）滿足初始條件『（人>）=兒的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點片，顯然）1=0（心兀,兒），則山解的唯一性知，過點C0”）的解與過點（％」。）的解是同一條積分曲線，即此解也可寫為并且，有>0=0（心西？］）?乂ill（%,,>■,）是積分曲線上的任一點，因此關(guān)系式兒=0（心圮y）對該積分曲線上的任意點均成立.2、解對初值的連續(xù)依賴性山于實際問題中初始條件一般是山實驗測量得到的，肯定存在誤差.有的時候誤差比較大，有的時候誤差比較小，在實際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)（丸*0）變動很小的時候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續(xù)依賴性所要研究的問題：在討論這個問題之前，我們先來看一個引理：引理：如果函數(shù)/（X,y）于某域￡）內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足Lipschtiz條件（Lipschtiz常數(shù)為厶），貝ij對方程（3.1）的任意兩個解0（x）及Xx）,在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式<3.17)I<p（x）一0（切1<10（兀））-以兀）1<3.17)其中X。為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明設(shè)0（x）,肖（X）于區(qū)間a<x<b上均有定義，令V{%)=[(p{x)-,a<x<h“>)=2[俠人?)一0>)][/50)-/匕0)]于是V\x)?y\x)1=21(p(x)-0(x)IIf(x.(p}—f(%,0)l<2LV(X)于是W(x)嚴(yán)-2"(x)嚴(yán)<0從而所以，對色/儀上］,有卩(x)<V(勺))/0<兀</?對于區(qū)間mH。，令一x</,并記-Xo<d則方程（3.1）變?yōu)樽諹y）dx而且己知它有解y=仇-f）和y=0（-f）?類似可得VCv）<V（Xo）嚴(yán)z衛(wèi)Uo因此,V（x）<^（/?！笨?如衛(wèi)<x<h.a<x^<b因此,兩邊開平方即得（3.17）.利用此引理我們可以證明解對初值的連續(xù)依賴性：解對初值的連續(xù)依賴定理假設(shè)f（x.y）在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，如果（心yJiG,初值問題d\dx幾2）有解），=0（兒心兒），它于區(qū)間a<x<b±有定義（u<心S）,則對任意￡>0，.兒=y（心）為=嘆￡衛(wèi)"）>0,使得當(dāng)（io-心）2+（齊-兒）*/時,方程（3.1）滿足條件y（和=%的解卩=卩（乙和％）在區(qū)間a<x<h上也有定義，并且有僅X?忌9%)-俠兒如*0)<s,a<x<h.證明記積分曲線段S:y=<p{x,Xo,>0）=<p{x\a<x<h是q平面上一個有界閉集.第一步:找區(qū)域D,使SuD,而且f{x,y）在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件.由已知條件，對▽（不y）eS,存在以它為中心的開圓C,CuG,使/（%,y）在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件.因此，根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個具有這種性質(zhì)的圓Cf（i=12…2（不同的G，其半徑斥和

NLipschitz.常數(shù)&的大小可能不同），它們的全體覆蓋了整個積分曲線段S,令G=Ug，則SuGuG,對Vf>0.記Q=d（5d,S）?〃=min6Q/2）t=max（5???￡J,則以S上的點為中心，以//為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域DuGuG、且/（X,y）在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件,Lipschitz常數(shù)為厶.第二步:證明33=5{s,ajy}>0（J<//），使得當(dāng)（兀-/。尸+（%-兒尸彳滬時,解y=0（x）=0（x,兀齊）在區(qū)間a<x<h±.也有定義.曲于Q是一個有界閉域，且/Uo'）在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，由解的延拓定理可知，解y=^（x）=0（x.心開）必能延拓到區(qū)域D的邊界上?設(shè)它在D的邊界上的點為（c\0（c））和c<￡h這時必有c<a.d>b.否則設(shè)c>a.d<h,山引理有|0（X）-肖（X）兇0（劑一皆區(qū)）1『4叫0</<〃利用0（x）的連續(xù)性，對+"嚴(yán)7,必有①>0存在，使當(dāng)Ix-aJSQ時有10（兀）-0（兀）lvq,取厶J=min（Q,①），則當(dāng)（喬-心）2+（齊-兒）2<32時就有I卩⑴-警⑴I匕卩（元0）-警（元0）I-^2山-耐-(3.18)<（|0（鬲）一卩號）1+1俠丸）一肖（兀）1）2嚴(yán)F<2（1卩（元0）-0（心）|2+10（兒）一0（兀）|'”"耐<2何+1兒-耳|2）嚴(yán)(3.18)<4J：嚴(yán) （c<x<d}于是對一切xe［c, lv〃成立，特別地有1卩（<:）一肖（0）1<〃，10（〃）一刃〃）1<〃即點（cw（c））和（〃"（〃））均落在域D的內(nèi)部，這與假設(shè)矛盾，故解y=0（x）在區(qū)間［“上］上有定義?第三步證^\<p(x)-y/(x)1<￡,a<x<b.在不等式（3.18）中將區(qū)間［cd］換成［a.h］,可知當(dāng)一扯）'+（齊一兒）2<32時，就有僅假xcSAo）<q"a￡x<b?根據(jù)方程解對初值的連續(xù)依賴定理及解對自變量的連續(xù)性有3、解對初值的連續(xù)性定理若函數(shù)/（x,y）在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則方程（3.1）的解y=卩（血心y。）作為兀x”兒的函數(shù)在它的存在范B內(nèi)是連續(xù)的.

證明對Dg,兒）wG,方程（3.1）過（如』0）的飽和解）9卩（/，心兒）定義于<2（兀」0）3^0（%兒）上,令卩={0?心兒）匕（無,兒）sx<0ap兒）,（心兒）€G}下證y=0（尤.無」0）在V上連續(xù).對▽（￡心凡）eV,5aG],使解y=卩（兒喬凡）在[仏方]上有定義，其中無■兀€[",/?]?|0（X,兀,Ji））-0（x,Xo，yo）對w>o,3q>o,使得當(dāng)（壬。一心）2+（兀一兒|0（X,兀,Ji））-0（x,Xo，yo）2乂y=0（/芻』0）在上對X連續(xù)，故3^2>0>使得當(dāng)lx--vl<J,時有0（兀兀，兒）-0（兒?！?）|<彳，疋X€[a切厶取5=min（qV2）,則只要（工一x）2+（耳-/。尸+仇一兒）*滬就有0（疋兀，凡）-卩（兀,如,兒）兀,％）-0（局心」u）l+l僅局心,兒）一0（XJd）b）l￡￡<—-—=￡22從而得知y=0（兀.扯」0）在V上連續(xù).§3.4奇解包絡(luò)：設(shè)方程的通解的積分曲線族為e（f，兀6=0,如果有一條曲線，在這曲線上各個點與積分曲線族中各個不同的曲線相切，就稱這曲線為該曲線族的包絡(luò).顯然這包絡(luò)就是奇解的積分曲線.另一方面，若一曲線是一奇解的積分曲線，則按照奇解的定義，在這曲線上的每一點至少與另一條積分曲線相切，所以這曲線是積分曲線的包絡(luò).C,包絡(luò)的求法：對于固定的任意常數(shù)r,對積分曲線①伉兀c）=0的兩邊求微分得積分曲線應(yīng)滿足微分方程C,Gf（：xQdZ+睞9天工）&=0而在包絡(luò)上C是f和X的函數(shù)c（f，x）,設(shè)包絡(luò)方程為①伉兀crR）=0對兩邊求微分得包絡(luò)應(yīng)滿足的微分方程①fCx,c）di+ x,c}<ix+<f>^（t,x^c）6c=0比較所得的兩個微分方程得山于包絡(luò)上C不是常數(shù)，de"、所以應(yīng)有①衛(wèi)￡￡）兀R此，我們得到包絡(luò)必須滿足的聯(lián)立方程組（稱為C判別式）①5）=0

第四章高階微分方程§44線性微分方程的一般理論4丄1引言n階線性微分方程Fxcr'x+4,）肪+以）戈*⑴Fxcr'x+4,）肪+以）戈*⑴(4.1)其中q⑴（i=12???n及/（f）都是區(qū)間a<t<b上的連續(xù)函數(shù)(4.2)如果幾）三0,則方程（4.1）變?yōu)椋航?M磐+…+如⑴牛+M）x=0at at at(4.2)稱它為“階齊線性微分方程，而稱一般的方程（4」）為畀階非齊線性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫對應(yīng)于方程（4.1）的齊次線性方程。定理1如果?//）（/=1,2,???,/?）及/（Z）都是區(qū)間a<t<b±的連續(xù)函數(shù)，則對于任一Zqe[?,/?]X。,?球匕???，對心!），方程（4?1）存在唯一解x=0（f）,定義于區(qū)間a</<b上，且滿足初始條件:也）=心警=/化…，匸樂=鏟）(43)也）=心警=/化…，匸樂=鏟）(43)4丄2齊線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理2（疊加原理）如果X|（f）,X2（F）,???K（r）是方程（4.2）的￡個解，則它們的線性組合(4.4)qxQ+c?七（f）+…+5耳⑴也是（4.2）的解，這里C|心，…心是任意常數(shù)。特別地，當(dāng)時，即方程（4?2）(4.4)有解：大=6石（0+勺七（f）+???+q￡（f）它含有”個任意常數(shù)。設(shè)西⑴*2⑴,…內(nèi)⑴是定義在區(qū)間a<t<h上的函數(shù)，如果存在不全為零的常數(shù)54…心，使得恒等式：勺*]（/）+?2兀2（『） C/&a）=0對于所有te[a.h]都成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān)■即當(dāng)且僅當(dāng)C\=y=5=0時■上述恒等式才成立，稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān)。山此定義不難推出如下的兩個結(jié)論:1）在函數(shù)組…兒中如果有一個函數(shù)為零，則…兒在（40）上線性相關(guān).2）如果兩個函數(shù)比』2之比丸在（"上）有定義，則它們在（"上）上線性無關(guān)等價于比式衛(wèi)在⑺上）上不『2『2恒等于常數(shù).定理3若函數(shù)和f）7（"…心⑴在區(qū)間a<t<h上線性相關(guān)，則在[4切上它們的伏朗斯基行列式W⑴三0。推論1如果函數(shù)組和f）宀◎…心⑴的朗斯基行列式W（f）在區(qū)間[a.h]±某一點九處不等于零，即用（旺）工0,則該函數(shù)組在上線性無關(guān).但是，如果西（『人乂2（『）八…?乞）是齊線性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理:定理4如果方程（4.2）的解石（『人乂2（『）八??9&”（卩）在區(qū)間a<t<b±線性無關(guān)，則（7）*2（/）,???,￡（『）］在這個區(qū)間的任何點上都不等于零，即vva）HOa<t<h）推論2設(shè)召⑴心（f）,…心⑴是方程（4.2）定義在"切上的"個解，如果存在兀€［伙切，使得它的IM斯基行列式wg）三0,則該解組在上線性相先推論3方程（4.2）的畀個解xQ」2（f），???7（f）在其定義區(qū)間儀少］上線性無關(guān)的充要條件是，存在心€［“上］,使得它的朗斯基行列武W（心）H0.定理5畀階齊線性方程（4.2）—定存在“個線性無關(guān)的解。定理6（通解結(jié)構(gòu)定理）如果旳（門,％2（門，...，乂“（0是方程（4.2）的?個線性無關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為J%=巧召（7）+&2*2（『）+???+^兀0(4.5)其中，5902廠?.5是任意常數(shù)，且通解（4.5）包括了方程（4.2）的所有解。4丄3非齊線性方程與常數(shù)變易法性質(zhì)1如果x（f）是方程（4.1）的解，而x（0是方程（4.2）的解，則x（t）+x⑴也是方程（4.1）的解。性質(zhì)2方程（4?1）的任意兩個解之差必為方程（4.2）的解。定理7設(shè)x,（Z）,x,⑴為方程（4.2）的基本解組，而?。?是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表為：%=巧力］（『）+<?2*2（『） 6占（0+元（F）(4.6)其中為任意常數(shù)。而且這個通解（4.6）包括了方程（4.1）的所有解?，F(xiàn)在我們引進(jìn)線性方程的復(fù)值解的定義。定義于區(qū)間a<t<h上的實變量復(fù)值函數(shù)x=z{t）稱為方程（4.1〉的復(fù)值解，如果：弩+竹⑴弓黑1+…+%（f）響+5（少⑴*⑴對于a<t<h恒成立。定理8如果方程（4.2）中所有系數(shù)糾⑴（212…/）都是實值函數(shù)，而x=z（0=^0+W）是方程的復(fù)值解，則Z（0的實部0（0、虛部肖（f）和共覘復(fù)值函數(shù)￡（/）也都是方程（4.2）的解。d"rd'ljv定理9若方程養(yǎng)+糾⑴討+ H?dx?_)(0 + =?(/)+/V(/)有復(fù)值解x=U(/)+fV(f),這里q（M=i2…屮）及"（0，W0都是實函數(shù)，那么這個解的實部"（f）和虛部y（f）分別是方程等+M）緒+…+g⑴務(wù)+WQ等+坷⑴+…+%⑴務(wù)+""⑴X=叩）的解。§4.2常系數(shù)線性方程的解法422常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程設(shè)齊線性方程中所有系數(shù)都是常數(shù)，即方程有如下形狀4 a(4.7)其中即①，…，綣為常數(shù)■稱（4.7）為n階常系數(shù)齊線性方程。其指數(shù)函數(shù)形式的解為：戈?=/(4.8)（4.8）為方程（4.7）的解的充要條件是：A是代數(shù)方程：尸（兄）=兄"4 5?1幾+5=0(4.9)的根。1）特征根是單根的情形設(shè)/^入?…是特征方程（4.9）的《個彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（4.7）有如下"個解:e引.8如，???，憶召‘，且這"個解在區(qū)間a<t<h上線性無關(guān)，從而組成方程的基本解組。2）特征根有重根的情形設(shè)特征方程有￡重根人=人,先設(shè)人=0,即特征方程有因子幾"，于是："”=畑=???=勺i+]=0易見它有￡個解",凡…屮=而且它們是線性無關(guān)的（見4丄2）。423非齊線性方程-比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊線性方程：L\x](4.10)的求解問題，這里即①，…是常數(shù)，而/（f）為連續(xù)函數(shù)。（一〉比較系數(shù)法類型I設(shè)/（『）=（”『"+如心+…+饑』+饑）/,其中兄及M=12…為實常數(shù)，那么方程（4.10）有形如:+印心+???+3』+Bj疋的特解，其中￡為特征方程F（/t）=0的根幾的重數(shù)（單根相當(dāng)于kJ當(dāng)2不是特征根時，取《=0）,而B。局…心是待定的常數(shù)。類型n設(shè)/⑴=[A⑴+ 其中◎,0為常數(shù)，而A（O,〃⑴是帶實系數(shù)的[的多項式，其中一個的次數(shù)為用，而另一個的次數(shù)不超過加，那么我們有如下結(jié)論：方程（4.W）有形如%=/*[P（Z）cos+Q（f）sin的特解，這里k為特征方程FU）=0的根a+i/3的重數(shù)，而P（f）,e（f）均為待定的帶實系數(shù)的次數(shù)不高于加的f的多項武，可以通過比較系數(shù)的方法來確定。附注：類型附注：類型H的特殊情形: f(t)=A(f)0制cos0f或/(z)=B(f)嚴(yán)sinpt可用另一更簡便的方法-（二）拉普拉斯變換法常系數(shù)線性微分方程（組）還可以應(yīng)用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解，山積分：F（$）=『嚴(yán)7?⑴山所謂復(fù)數(shù)法求解。所定義的確定與復(fù)平面（Res>b）上的復(fù)變數(shù)$的函數(shù)FG）,稱為函數(shù)/⑴的拉普拉斯變換，其中/（f）于f>0有定義，且滿足不等武：/⑴<M?6,這里M,<7為某兩個正常數(shù)。§4.3高階方程的降階和幕級數(shù)解法43.1可降階的一些方程類型”階微分方程一般地可寫為:共有三類特殊方程的降階問題:1）方程不顯含未知函數(shù)I或更一般地，設(shè)方程不含X,玖…■兀即方程呈形狀:(4.11)若令/“）=廠即可求出方程（4.11）的通解。2）不顯含自變量f的方程:(4.12)只需令V=y.并以它為新未知函數(shù)，而視X為新自變量，則方程就可降低一階。3）齊線性方程:/、dx,、C+…+%]")防+"”(f)x=0(4.2)43.2二階線性方程的幕級數(shù)解法考慮二階齊線性方程:竽+PW考慮二階齊線性方程:竽+PW字+＜心)嚴(yán)0dx' dx(4.13)及初始條件）仇）=兒及=>0的悄況。定理10若方程（4.13）中系數(shù)p（x）和9（x）都能展開成X的幕級數(shù)，且收斂區(qū)間為x<R，則方程（4.13）有形如：y=有形如：y=的特解，也以I“■0x<R為級數(shù)的收斂區(qū)間。定理11若方程（4?⑶中系數(shù)"（X）,q（x）具有這樣的性質(zhì)，即刃心）和Fq⑴均能展成X的幕級數(shù)，且收斂區(qū)間為\x\<R.則方程（4?13）有形如：y=/I-0即：y= 嚴(yán)"的特解，這里5嚴(yán)°，◎是一個待定的常數(shù)。級數(shù)（4.14）也以為收斂區(qū)間。n-u第五章線性微分方程組§5.1存在唯一性定理(5J)(5J)5丄1記號和定義X；=如(Z)X,+“12⑴吃+?■?+?)?⑴兀+fi⑴X；=d2i(f)X|+“220)X2+???+d2”(')Xn+/2(')X=（5（如+%（“+???+?”）￡+/；（0的一階線性微分方程組，其中已知函數(shù)呦⑴（m=12…和/；（M=12…/）在區(qū)間a<t<h上上是連續(xù)的。方程組（5.1）關(guān)于再宀?…心及珀X；,…衛(wèi)是線性的.如(f)?12(0-? ?In(0勾⑴如(f)--吆(f)訕）晞⑴??%(f)?A{t)=(5,2)這里A（0是"X"矩陣，它的元素是"2個函數(shù)嗎⑴（jj=h2,???/）?川）??x=%2???jv'=X;??ax_f(f)=(53)這里TV）,%，*是沁1矩陣或《維列向量。方程組:“必）x+/a）(5.4)在某區(qū)間a<t<p（這里[z0]uS上]）的解就是向量嗆），它的導(dǎo)數(shù)"‘⑴在區(qū)間a<t<p上連續(xù)且滿足h\z)= +/(/)?a<t<p初值問題(5.5)的解就是方程組（54）在包含G的區(qū)間a<t<p上的解“（0，使得“仏）=〃。5丄2存在唯一性定理V=A(Z)x+/(0，x(Zo)=//(5.6)的解的存在唯一性定理。對于矩陣A=[_a..和"維向量欠=初,我們定義它的范數(shù)為IMI=Zw=zwr-l設(shè)人設(shè)人B是HX?矩陣，天， y是"維向量，這時容易驗證下面兩個性質(zhì):命題命題4 0(f)是積分方程(5.8)的定義在區(qū)間a<t<h\\的連續(xù)解。1)||AB||<||A|P||B|| ||Av||<||A||-||Aj|2)||A+B||<||A||+||B|| ||x+y||<||%||+||y向量序列｛忑｝, =,稱為收斂的，如果對每一個妝=12…丿)數(shù)列仇｝都是收斂的。E」判別通常的函數(shù)級數(shù)的一致收斂性的維氏判別法對于向量函數(shù)級數(shù)也是成立的，這就是說，如果k(f)||w，a<t<h而級數(shù)是收斂的，則￡兀*⑴在區(qū)間a<t<b上是一致收斂的。Jt-1 2積分號下取極限的定理對于向量函數(shù)也成立，這就是說，如果連續(xù)向量函數(shù)序列｛無⑴｝在區(qū)間a<t<b上是一致收斂的，則limf=flimx*(r)dfA—>00 上TOO定理1(存在唯一性定理)如果4(/)是Fix"矩陣。/⑴是"維列向量，它們都在區(qū)間a<t<h上連續(xù)，則對于區(qū)間a<t<b上的任何數(shù)r。及任一常數(shù)向量方程組(5.7)存在唯一解0(0,定義于整個區(qū)間a<t<bh.且滿足初始條件0仏)=力類似于第三章，我們分成五個小命題來證明.命題1設(shè)0(0是方程組(5.4)的定義與區(qū)間a<t<hh且滿足初始條件0(厶)=〃的解，則0(0是積分方程%(/)=Z7+J[A($)x($)+/($)M,a<t<b的定義于a<t<h上的連續(xù)解，反之亦然。命題2對于所有的正整數(shù)k,向量函數(shù)在區(qū)間a<t<b上有定義且連續(xù)。(5.8)命題3向量函數(shù)序列倫(/)｝在區(qū)間a<t<hh是一致收斂的。(5.9)(5.9)命題5設(shè)肖⑴是積分方程(5,8)的定義于n<Z<Z?±的一個連續(xù)解，則似f)三0(0(a<t<h)o§5.2線性微分方程組的一般理論現(xiàn)在討論線性微分方程組y=/i(/)x+/(o的一般理論，主要是研究它的解的結(jié)構(gòu)問題。如果/⑴X0,則(5.9)稱為非齊線性的。如果/(f)三0,則方程的形式為y=A(t)x(5.10)稱(5.10)為齊線性方程組，通常(5.10)稱為對應(yīng)于(5.9)的齊線性方程組。5.2.1齊線性微分方程組定理2(疊加原理)如果“(0和叩)是(5.10)的解，則它們的線性組合如(f)+0”(f)也是(5.10)的解,這里a,0是任意常數(shù)。定理3如果向量函數(shù)內(nèi)⑴宀⑴，…心⑴在區(qū)間a<t<b上線性相關(guān)，則它們的伏朗斯基行列式W(f)三0,a<t<ha定理4如果(5.10)的解申小和小…心⑴線性無關(guān)9那么，它們的伏朗斯基行列式Wa)H0,a<t<b.定理5<5-10)一定存在八個線性無關(guān)的解年"大2(0,…心(f)?定理6如果召(0,2⑴?…，兀⑴是(5?10)的"個線性無關(guān)的解，則(5」0)的任一解班0均可表為x(F)=時⑴+牡(0+…+q兀(r)這里wg是相應(yīng)的確定常數(shù)。定理1* (5.15)一定存在一個基解矩陣①⑴。如果肖⑴是(5.15)的任一解，那么0(r)=e(r)c(5.22)這里C是確定的"維常數(shù)列向量。定理2*(5.15)的一個解矩陣①⑴是基解矩陣的充要條件是det0(/)^0(?</</?)o而且，如果對某一個foe[tz7?]，de2(f0)HO,則det<!>(/)5^=0?a<t<bo(det<!>(/)表示矩陣e⑴的行列式)。要注意：行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關(guān)的。推論1*如果e(f)是(5.10)在區(qū)間a<t<h上的基解矩陣，C是非奇異HX"常數(shù)矩陣，那么，e(r)C也是(5?10)在區(qū)間a<t<h上的基解矩陣。推論2*如果①⑴，肖(f)在區(qū)間a<t<b上是y=A(t}x的兩個基解矩陣，那么，存在一個非奇異”><“常數(shù)矩陣C,使得在區(qū)間“</</?上必)三①(r)C°(5,11)(5,11)522非齊線性微分方程組本段討論非齊線性微分方程組性質(zhì)1如果0（0是（5.11）的解，肖⑴是（5?11）對應(yīng)的齊線性方程組（5.10）的解，則仇f）+0（f）是（5.11）的解。性質(zhì)2如果諷0和0（f）是（5.11）的兩個解，則丙）-?（0是（5.10）的解。定理7設(shè)①⑴是（5.10）的基解矩陣，0（f）是（5.11）的某一解，則（5.14）的任一解0（0都可表為0a）=e（f）c+0（r）(5J2)這里（?是確定的常數(shù)列向量。0(0=e(f)c+0(f)常數(shù)變易法:山定理嚴(yán)可知，如果C?是常數(shù)列向量，則兇）=e（/）c是（5.11）的解，它不可能是（5.10）的解。因此,將C變易為f的向量函數(shù)，而試圖尋求（5.10）的形如(5.13)的解。這里褲0是待定的向量函數(shù)。假設(shè)（5.14）存在形如（5.24）的解，這時，將（5.24）代入（5.14）得到es（f）+ea）“）=?）①（少⑴+“）因為e⑴是（5?15）的基解矩陣，所以e'a）=4⑴①⑴，山此上式中含有人⑴①⑴「⑴的項消去了。因而比）必須滿足關(guān)系式e（f）c（o=/（f）(5.14)因為在區(qū)間a<f<h±^（t）是非奇異的，所以①5）存在。用①“⑴左乘（5?14）兩邊，得到c(f)=J；^~\s)f(s)ds,Zo,；€[?,/?]其中c（z?）=0o這樣，（5.13）變?yōu)閮Hf)=◎(『)[①7($)/($)〃$,bf已[0上(5.15)因此，如果（5.10）有一個形如（5?13）的解0（f）,則X）山公