2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題與解答A卷一試、二試(加試)

加"年全國(guó)髙中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試（人卷）

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明t舒閱試卷時(shí)，請(qǐng)搖據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)-填空題貝設(shè)名分利o分兩檔：其他備題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分卩不具增加其他中間檔it如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理.步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中第9小題4分為一于檔次，第込11小題5分為一于檔ft不要增加其他中間檔次.—，填空題：本大題共&小腿銀小題&分，共開分.1.設(shè)實(shí)數(shù)価足曲1站引（小則莊的取值范IS是?解：由*◎可采品＜0?原不器式可變無(wú)為aa2設(shè)復(fù)數(shù)zdw鴻炬p=3.[z+wjJ2—=7+4i.；〔：：：i是慮數(shù)單忙，上一冶分別衷示兀艸的共輒復(fù)數(shù)I則*+細(xì)匸-*]的摸旳?答案;屆.解『由運(yùn)算性質(zhì)，7#4i=（時(shí)卅（f一吋=|才一同1一（刑一即t因?yàn)閨才與町為實(shí)數(shù)、Re^u'—5wJ=O,故”i—w*=乙zw—糾=—4i?又罔=3’斯以宙：=2,從而I：_7+龍眄jZ=lz|"-4|H-'|"—if2H1—2WI=9—S-|-fii=l-|-fii.岡此m（z+^j（l-2uj的摸為JF+汩二闔.TOC\o"1-5"\h\z正實(shí)數(shù)匕化丹均不等于論若上氏他+10臥.悼=山生.銳+10莒」=3】則log,,.^的值為”答案二?解：令loguu=W1log,.w=^+則iog,M=—.log?.v=—ilog^yw=logy+kg,,v-jo&w=a-^itb?dib條件化為d+血+丹二N丄斗丄二3+由此可得陸=?.闌此*b41昭/=泊咅「log嚴(yán)=厶=；?必5袋予訶中裝有2^10元紙幣和3張！冗紙帀.袋子」中裝有4張5元紙帀和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)菠子申務(wù)取出兩張紙幣?則左中剩下的祇幣用i值之和大于M中剩下的紙幣倆值之和的概率為解:?種取法符合要求，等價(jià)于從川中取走的兩張眾幣的總M值"小千從應(yīng)中聰走的兩張紙幣的總面值必?從而a<6<5+5=W.只能從川中取走兩張1無(wú)紙幣*相師的縱法數(shù)為CJ-3,又此時(shí)"「苯即從左中取走的兩張紙幣不能都是1元紙帀*相應(yīng)有S#種觀法，肉此.所求的帆率沏3>?￡8_54=9cf^cT10x2135r7.雙曲線C的方程為=左、右俶點(diǎn)分別為,盡.過(guò)點(diǎn)碼件一

巴錢號(hào)戲曲線C1的右半支交于點(diǎn)P.Q.使得z^Fg=9（T?則A^PQ的內(nèi)切惻半徑是.答黑"-丨.解：由収曲戟的性質(zhì)知，F(xiàn)tF;=5x71+3=4,PF\_PF1=QF\—QF1=2?因丄昇戸0=町\枚円￥+幵，=孚弓?因此

P耳十脛=叔P科十砒）-（陰-PF$

=^2x4--2:=lyp.從而豈角AF^Q的內(nèi)切圓半輕是心扣f+腔_￡0耳呼一旳一扣耳一。巧）=。一1‘AaMm乩是I,乙….100中的4個(gè)圧不相同的瓶滿足

（打「+“：+心；）（應(yīng)：+譽(yù);-4-fJjJ—（住小-4-n-,u..+if.ii」）2+則這樣的有序數(shù)組厲衛(wèi)“即＜｝的個(gè)數(shù)為「「?答案二40.二解答題：本大題共3小題|共56分.解答應(yīng)寫出文宇說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.9.(*?満分1石分)在AAJC中.己知盂十2越-疋=馬苗-看.求血C的晟大憤.b4j于亠-^―r/4解：由數(shù)雖積的定義及余弦定埋J-fl,AB-AC=ch^sA=?2同理得.BA-BC=^—^-.由?西=於亠"-X故已知條件憂均22b2+1-~-a2+2((?2+才一冋=33+山丄一才｝*U|Jn2+2b~=3c1.卄分由余弦宦理及基本不等式’得打+/?_￥U討+2巧cost==2tih所以￡inr=Jl-ca^C<—,+吃分3等號(hào)成立半且僅卅。讓上二麗:需：石.囚此冊(cè)廠肘最大值是￡.ie分M?〔本題満分前分)：］^/(x)&R±的奇函數(shù)，/(I)=I-」L對(duì)任Sx<0,11.(本題滿分20分)如圖所示.在平面宜軸坐折系#0*中*F是兀軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以F為焦點(diǎn)、O為頂點(diǎn)作拋物線€\設(shè)P泉第…象限內(nèi)匸上的-?點(diǎn)，°星丫軸負(fù)半軸上一點(diǎn)?使得PQ為&的切線.且啓|=2.凰SG均勻直線帥相切于點(diǎn)尸］且均與工軸相切.求點(diǎn)尸的坐標(biāo),使圓q與G的面積之和収到最小值.解：設(shè)拋物線匸的方程y=2^(p>0)(點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-^0)(tf>0)?并設(shè)GG的圓心分別為qg」),@%丿』設(shè)巴線卩。的方程為jf=jrty—it(jn>0)?密其與廠的方程聯(lián)立*消去尤可加y~—2prrty—^pu—0?閔為出?與芒相切于點(diǎn)戶*所以上述力程的判別式為色=井訶-4J嚴(yán)=0.解得側(cè)=￡^?進(jìn)而可知.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(S丹)=(釦J^ptr)?于是|PQ|=J」+*|丹—01=卜詈莎=J2譏p+如.由|戶｛?|=2可紂①…………拓井4a1①…………拓井AT曲磯/'JV注意到o尸與圓c’G相切于點(diǎn)尸.刖以O(shè)F1.設(shè)圓GKJjx軸分別相切于點(diǎn)M,jV.則OO,,OO,分別是APOM,SON的平分踐.故￡0,00,=90°.從而由射嗣定AT曲磯/'JV帕=O理0應(yīng)=口卩0,卩滬=x；_尤=a~亠2㈣，結(jié)合①'就有加兒=t?十=4—3『,*d…訂o分+4=2巧+4+4=2巧+4?說(shuō)等號(hào)成立當(dāng)且僅％孕此時(shí)從而尸的坐標(biāo)為2Q井-1'*'"……八*］須井令r=K+v=＞則圓GG的面積之和為材.根據(jù)題臥儀需考慮rHxliJ最水值的情況.根據(jù)②、③可知’4丁=心+Vi)~一M旳=-—卅山一即品2pa八―“yd,

4-4xri-tl隹代換J=I一心由于4￡=4-4da=2pa>0t所Uf>0于是二仞址—壯加試—分如分凈實(shí)數(shù)嚀吆用足殂>1蚯總="一…一血5).盟g-Q他_<Ti)(g：?15_ffl*)的星大血鮮2=0-口0，(嗎一噲-任出-此］A(口如一于).由已知御，^^=I2:-t2015(均有冏一嘅!>￥靖一磚［MO?黑冊(cè)舷一才蘭0.^S<0.】0分以下考渥％“一甲>0的情'況”肉定5】產(chǎn)叫-由甲均不尊式得］ImidI/2QE5血3；"叱帀亦召何—處4帀詁爭(zhēng)廠召％)耳卡口_阿)2-7016-=4斷覘卩主爲(wèi)”TO分當(dāng)豈"陶訐+時(shí).上述不導(dǎo)式等號(hào)槪遼,且有舸(i=lX-.2015),此時(shí)卩洛.綜上所述+所求疑大曲外為.4Q丹證怯一作山dC*的內(nèi)聞i時(shí)歿空野C十更Pri三用聒NCX押朋F的昨按圓號(hào)別旳碼禍詠一由仰用十甘線的世釉：九空尸丄邑-用條件可聘竺円如rrCPACCYAC從甬PXAV^JPASBPPF=CT+CP=lc=~CPf^CP-PX^BPPY-20w故PCI圓叫稱d的廉擁等?所IMP在科til週的厭軻上.'…跖分于是AP^ao.?這表明直「卩關(guān)干宣線腫對(duì)福，".而1角辱丄ur卮尊麗三和形.40分三.〔本J満分50略定空間申10卡點(diǎn)具中任意四點(diǎn)不在一節(jié)平臨上.將據(jù)些臨之間用坯啟帕連-土馮到的帕解中也稅有空間四址形.班確崔所注縛段數(shù)口的疑人值?MW這io個(gè)點(diǎn)為ra點(diǎn).所富覩段為址側(cè)到一牛io階牌肌圖g找們證明&的邊數(shù)不趙過(guò)詁.S5g的頂點(diǎn)為吟坯….丫曠決有靶象邊.用示頂點(diǎn)耳的度一K血威刁）幫3對(duì)都成玄*M暇設(shè)存在耳滿是de喊耳）24.不妨iSdeg（珀=心4?且曲與耳-…小“均柑鄰.于址…之何沒(méi)有邊?弼龜茂鴨応三簡(jiǎn)羽.顱#4號(hào)一勺,?…八間恰有旳條燉?10令H-lh-2n—2衛(wèi)+理一1JJH-lh-2n—2衛(wèi)+理一1JJ+N—2開此叫誤=如Ip+1）（尹土用）（尹亠2）對(duì)弓5三戸一1?設(shè)對(duì)k=i-,?j—1成立岸恒％媒叫嚴(yán)―也++卜110分（