切向和法向分量

關(guān)于切向和法向分量第一頁，共二十頁，2022年，8月28日概述：質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動時的速度相切于其運(yùn)動路徑，但加速度并不如此。而把其加速度分解到其運(yùn)動路徑的切向和法向時可以對其加速度進(jìn)行方便的研究。本節(jié)內(nèi)容質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動

11.13.切向和法向分量第二頁，共二十頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動

首先設(shè)想一個質(zhì)點(diǎn)如圖所示的平面上做曲線運(yùn)動。設(shè)P為某時刻的位置，在P點(diǎn)，記單位矢量et與運(yùn)動軌跡相切，指向運(yùn)動方向（圖11.21a），記et’為P’相對應(yīng)的單位矢量。

y

x

OPenetet’P’圖11.21a第三頁，共二十頁，2022年，8月28日將et

和et’移于同一坐標(biāo)原點(diǎn)O’，如圖11.21b得Δet

大小為2sin(Δθ/2)，且由得由于質(zhì)點(diǎn)的速度v與運(yùn)動路徑相切則對其兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得（11.35）V=vet(11.36)O’△θ△θ/2rΔetetet’圖11.21b第四頁，共二十頁，2022年，8月28日由于其中ds/dt=v,det/dθ=en，dθ/ds=1/ρ(ρ為曲率半徑，圖11.22)（11.37）yxO圓心ρΔsPΔθetet’Δθ=Δs/ρP’圖11.22第五頁，共二十頁，2022年，8月28日所以將公式代入得因此兩分量分別為綜上：加速度的切向分量反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速率變化的快慢，而法向分量反應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向的變化。只有當(dāng)加速度的兩個分量都為零時，加速度才會為零。

（11.38）（11.39）（11.40）第六頁，共二十頁，2022年，8月28日應(yīng)用：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度的法向分量與路徑的曲率半徑有關(guān)，這一點(diǎn)在設(shè)計飛機(jī)機(jī)翼、火車鐵軌以及凸輪的結(jié)構(gòu)或尺寸時常被考慮在內(nèi)，為了避免空氣流過機(jī)翼是加速度的突然變化，機(jī)翼的輪廓常常設(shè)計成流線形的，同樣對于火車鐵軌，為避免加速度的突然變化（不利于設(shè)備和旅客）常常在直鐵軌和圓弧鐵軌間加過渡性的特殊鐵軌。通過過渡曲線防止了加速度的突變，是加速度連續(xù)的變化。如下圖：第七頁，共二十頁，2022年，8月28日凸輪鐵軌機(jī)翼第八頁，共二十頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動

和、的關(guān)系在空間的質(zhì)點(diǎn)的移動中同樣適用

,然而由于空間曲線在P點(diǎn)有無數(shù)條直線與P點(diǎn)的切線方向垂直（圖11.24a）

，因此，有必要更準(zhǔn)確的定義單位矢量en。

xzyP’Petet’切面xzyetet’ΔθΔet第九頁，共二十頁，2022年，8月28日密切面xzyP’Petet’密切面et’’xzyPeten（在密切面內(nèi)）密切面eb（垂直于密切面）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在P處的加速度可以分解為兩個分量，一個沿切線方向，另一個沿主法線eb方向。xoy面內(nèi)曲線的密切面是不是xoy面？肯定是！第十頁，共二十頁，2022年，8月28日11.14徑向和橫向分量在某些平面運(yùn)動中，質(zhì)點(diǎn)P的位置，由極坐標(biāo)r和θ（圖11.25a）確定。這樣就可以將質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于OP的方向上（圖11.25b）

。分量er和eθ分別稱為徑向分量和橫向分量的單位向量。圖11.25arθPOPOθ圖11.25br=rereθer第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日與11.13相似通過求導(dǎo)得到：

-er代表與er反向的單位向量（圖11.25c）通過微分的連鎖規(guī)則，我們對er，eθ關(guān)于時間t求導(dǎo)

（11.41）eθeθ’ΔeθΔ

erer’erΔθΔθO’第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日用點(diǎn)來代替關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)

為獲得質(zhì)點(diǎn)P的速度v，P點(diǎn)的位置矢量r可由標(biāo)量r和單位矢量er表示，對其兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得或由（11.42）得為獲得加速度再次對其關(guān)于時間t求導(dǎo)

（11.42）（11.43）第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日聯(lián)立和，提出er和eθ得速度和加速度在徑向和橫向的分量的大小為

特別的注意到ar不等于vr對時間的導(dǎo)數(shù)，aθ也不等于vθ對時間的導(dǎo)數(shù)（11.44）（11.45）（11.46）第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日在質(zhì)點(diǎn)繞圓心O做圓周運(yùn)動中，由于r為常量，公式（11.43）和（11.44）分別變?yōu)?/p>

以下內(nèi)容

為擴(kuò)展第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的空間擴(kuò)展：柱面坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)P的空間位置，有時通過它的柱面坐標(biāo)R,θ，z（圖11.26a）表示xzyPθRz圖11.26a第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日方便的用單位向量，和k（圖11.26b）將質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量r分解到這些單位矢量的方向上，得到

和分別表示在水平面xy平面上的徑向矢量和橫向矢量，矢量k代表軸的方向在方向和大小上的常量，我們?nèi)菀鬃C明（11.48）xzyeRrθ

eθ圖11.26