高三一輪數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)-5.3　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【系列四】

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺(tái)——教育因你我而變好教育云平臺(tái)——教育因你我而變5．3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和[知識(shí)梳理]1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)，q為常數(shù)，q≠0.(2)等比中項(xiàng)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；可推廣為an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2s＝p＋r，則apar＝aeq\o\al(2,s)，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))(其中b，p，q是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)當(dāng)q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列，公比為qk.當(dāng)q＝－1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列．(6)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(7)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.

[診斷自測]1．概念思辨(1)如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．()(2)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．()(3)在等比數(shù)列{an}中，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝aeq\o\al(2,k).()(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a1－an,1－a).()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P53T1)若等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，則公比q＝()A．1 B．2C．－2 D．4答案B解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝20，,a1q＋a1q3＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,q＝2.))故選B.(2)(必修A5P56例1)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為________．答案127解析a5＝a1q4得q＝2，所以S7＝eq\f(1－27,1－2)＝127.3．小題熱身(1)(2018·華師一附中聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，則a1＝(A．1 B．±1C．2 D．±2答案A解析因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以a2a3a4＝aeq\o\al(3,3)＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝eq\f(a3,q2)＝1.故選A.(2)(2018·安徽蕪湖聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)答案C解析根據(jù)已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，①,a1＋a1q＋a1q2＝21，②))②÷①得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－eq\f(1,2).故選C.題型1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2017·廣東惠州第二次調(diào)研)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝()A．7 B．5C．－5 D．－7方程組法．答案D解析由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8))得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，∴q3＝－eq\f(1,2)或q3＝－2.當(dāng)q3＝－eq\f(1,2)時(shí)，a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a4q6＝eq\f(4,－\f(1,2))＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝－7；當(dāng)q3＝－2時(shí)，a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a4q6＝eq\f(－2,－2)＋(－2)·(－2)2＝－7.故選D.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2017·金鳳區(qū)四模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5＝10，S10＝50，則S20等于()A．90 B．250C．210 D．850把eq\f(a1,1－q)看成一個(gè)整體．答案D解析由題意數(shù)列的公比q≠1，設(shè)首項(xiàng)為a1，∵S5＝10，S10＝50，∴eq\f(a11－q5,1－q)＝10，eq\f(a11－q10,1－q)＝50，∴兩式相除可得1＋q5＝5，∴q5＝4，∴eq\f(a1,1－q)＝－eq\f(10,3)，∴S20＝eq\f(a11－q20,1－q)＝－eq\f(10,3)·(1－256)＝850.故選D.方法技巧等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法及數(shù)學(xué)思想1．等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法(1)對(duì)于等比數(shù)列問題一般要給出兩個(gè)條件，可以通過列方程(組)求出a1，q.如果再給出第三個(gè)條件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”問題．(2)對(duì)稱設(shè)元法：一般地，連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，eq\f(x,q)，x，xq，…；連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3，…(注意：此時(shí)公比q2>0，并不適合所有情況)這樣即可減少未知量的個(gè)數(shù)，也使得解方程較為方便．2．基本量計(jì)算過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法(1)方程思想，即“知三求二”．(2)分類討論思想，即分q＝1和q≠1兩種情況，此處是?？家族e(cuò)點(diǎn)，一定要引起重視．(3)整體思想．應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常把qn，eq\f(a1,1－q)當(dāng)成整體求解．見典例2.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝________.答案32解析設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，當(dāng)q＝1時(shí)，S3＝3a1，S6＝6a1＝2S3，不符合題意，所以q≠eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))所以a8＝eq\f(1,4)×27＝25＝32.題型2等比數(shù)列的判斷與證明eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)設(shè)c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通項(xiàng)公式．本題用定義法．解(1)證明：由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝eq\f(1,2).又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴數(shù)列{bn}是以b1＝a1－1＝－eq\f(1,2)為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)．∴2an＋1－2an＝an－an－1.∴2cn＋1＝cn(n≥2)．又c1＝a1＝eq\f(1,2)，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝eq\f(3,4).∴c2＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，c2＝eq\f(1,2)c1.∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．∴cn＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.[條件探究]將典例條件“an＋Sn＝n”變?yōu)椤癮1＝1，Sn＋1＝4an＋2，若bn＝an＋1－2an”，(1)求證{bn}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若cn＝eq\f(an,3n－1)，證明{cn}為等比數(shù)列．解(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2，∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a2－2a1∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，∴eq\f(an＋1,2n－1)－eq\f(an,2n－2)＝3.∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n－2)))是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為2.∴eq\f(an,2n－2)＝2＋(n－1)×3＝3n－1.∴an＝(3n－1)·2n－2.(2)證明：由(1)知an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.所以eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(2n－1,2n－2)＝2.又c1＝eq\f(a1,3×1－1)＝eq\f(1,2)，所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為2的等比數(shù)列．方法技巧等比數(shù)列的判定方法1．定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．見典例．2．等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．3．通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．4．前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．提醒：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2016·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5＝eq\f(31,32)，求λ.解(1)由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝eq\f(1,1－λ)，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(λ,λ－1).因此{(lán)an}是首項(xiàng)為eq\f(1,1－λ)，公比為eq\f(λ,λ－1)的等比數(shù)列，于是an＝eq\f(1,1－λ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))n－1.(2)由(1)得Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))n.由S5＝eq\f(31,32)得1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))5＝eq\f(31,32)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))5＝eq\f(1,32).解得λ＝－1.題型3等比數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用角度1等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2015·安徽高考)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________．方程組法．答案2n－1解析由已知得，a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,a4＝1.))又?jǐn)?shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，∴a1＜a4，∴a1＝1，a4＝8，從而q3＝eq\f(a4,a1)＝8，即q＝2，則前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1.角度2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16q≠1，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．答案B解析由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B.角度3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2015·湖南高考)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.利用方程思想方法．答案3n－1解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，依題意得a2＝a1q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2.又3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，解得q＝3(q＝0舍去)．所以an＝a1qn－1＝3n－1.方法技巧1．在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項(xiàng)的如下性質(zhì)：(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m；(2)等比中項(xiàng)的推廣與變形：aeq\o\al(2,p)＝am·an(m＋n＝2p)及ak·at＝am·an(k＋t＝m＋n)(m，n，p，k，t∈N*)．見角度1典例．2．對(duì)已知條件為等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和，求其前多少項(xiàng)和的問題，應(yīng)用公比不為－1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列比較簡便．見角度2典例．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2017·濱海新區(qū)期中)已知遞增等比數(shù)列{an}的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去1,3,9后成等差數(shù)列．(1)求{an}的首項(xiàng)和公比；(2)設(shè)Sn＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)，求Sn.解(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a3·a5·a7＝aeq\o\al(3,5)＝512，解之得a5＝8.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a3＝eq\f(8,q2)，a7＝8q2，由題設(shè)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,q2)－1))＋(8q2－9)＝2(8－3)＝10，解之得q2＝2或eq\f(1,2).∵{an}是遞增數(shù)列，可得q＞1，∴q2＝2，得q＝eq\r(2).因此a5＝a1q4＝4a1＝8，解得a1＝(2)由(1)得{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1＝2×(eq\r(2))n－1＝(eq\r(2))n＋1，∴aeq\o\al(2,n)＝[(eq\r(2))n＋1]2＝2n＋1，可得{aeq\o\al(2,n)}是以4為首項(xiàng)，公比等于2的等比數(shù)列．因此Sn＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(41－2n,1－2)＝2n＋2－4.1．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞答案B解析設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故選B.2．(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝()A．21 B．42C．63 D．84答案B解析設(shè){an}的公比為q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(負(fù)值舍去)．∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故選B.3．(2017·北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝________.答案1解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則由a4＝a1＋3d，得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(8－－1,3)＝3，由b4＝b1q3得q3＝eq\f(b4,b1)＝eq\f(8,－1)＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(a1＋d,b1q)＝eq\f(－1＋3,－1×－2)＝1.4．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________答案64解析等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，可得q(a1＋a3)＝5，解得q＝eq\f(1,2).a1＋q2a1＝10，解得a1＝則a1a2…an＝aeq\o\al(n,1)·q1＋2＋3＋…＋(n－1)＝8n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(nn－1,2))＝2eq\s\up15(3n－eq\f(n2－n,2))＝2eq\s\up15(eq\f(7n－n2,2))，當(dāng)n＝3或4時(shí)，表達(dá)式取得最大值2eq\s\up15(eq\f(12,2))＝26＝64.故答案為64.

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2018·邢臺(tái)摸底)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a5＝1，a9＝81，則a7＝()A．9或－9 B．9C．27或－27 D．27答案B解析依題意得aeq\o\al(2,7)＝a5·a9＝81，又注意到eq\f(a7,a5)＝q2>0(其中q為公比)，因此a5，a7的符號(hào)相同，故a7＝9.故選B.2．(2018·安徽安慶模擬)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，則λ的值等于()A．1 B．－1C.eq\f(1,2) D．2答案D解析由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\f(2,λ))).由于數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，所以eq\f(2,λ)＝1，得λ＝2.故選D.3．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了()A．192里 B．96里C．48里 D．24里答案B解析設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q＝eq\f(1,2)，依題意有eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，則a2＝192×eq\f(1,2)＝96，即第二天走了96里．故選B.4．(2018·浙江溫州十校聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，則m＝()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析由已知得，Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝eq\f(am＋1,am)＝－2.又Sm＝eq\f(a1－amq,1－q)＝－11，故a1＝－1.又am＝a1·qm－1＝－16，故(－1)×(－2)m－1＝－16，求得m＝5.故選C.5．(2017·福建漳州八校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則eq\f(S10,S5)等于()A．－3 B．5C．－31 D．33答案D解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由已知得q≠1.∵S3＝2，S6＝18，∴eq\f(1－q3,1－q6)＝eq\f(2,18)，得q3＝8，∴q＝2.∴eq\f(S10,S5)＝eq\f(1－q10,1－q5)＝1＋q5＝33.故選D.6．(2017·安徽六校素質(zhì)測試)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，a1＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則S10－S4＝()A．1008 B．2016C．2032 D．4032答案B解析由題意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝eq\f(21－210,1－2)＝211－2＝2046，S4＝eq\f(21－24,1－2)＝25－2＝30，所以S10－S4＝2016.故選B.7．(2018·上海黃浦模擬)已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且28S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前4項(xiàng)和為()A.eq\f(15,8)或4 B.eq\f(40,27)或4C.eq\f(40,27) D.eq\f(15,8)答案C解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.當(dāng)q＝1時(shí)，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84，S6＝6，兩者不相等，因此不合題意．當(dāng)q≠1時(shí)，由28S3＝S6及首項(xiàng)為1，得eq\f(281－q3,1－q)＝eq\f(1－q6,1－q)，解得q＝3.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1.所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前4項(xiàng)和為1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,27)＝eq\f(40,27).8．(2018·衡水模擬)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝eq\f(1,20)，9S3＝S6，設(shè)Tn＝a1a2a3·…·an，則使Tn取最小值時(shí)n的值為()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由9S3＝S6知，q≠1，故eq\f(91－q3,1－q)＝eq\f(1－q6,1－q)，解得q＝2，又a1＝eq\f(1,20)，所以an＝a1qn－1＝eq\f(2n－1,20).因?yàn)門n＝a1a2a3·…·a故當(dāng)Tn取最小值時(shí)an≤1，且an＋1≥1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2n－1,20)≤1，,\f(2n,20)≥1，))得n＝5.故選C.9．(2018·河南洛陽模擬)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于()A．6 B．7C．8 D．9答案D解析∵a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px十q(p>0，q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴a＋b＝p，ab＝q.∵p>0，q>0，∴a>0，b>0.又a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a－2，,ab＝4))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝b－2，,ab＝4，))②解①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))解②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4.))∴p＝a＋b＝5，q＝1×4＝4.∴p＋q＝9.故選D.10．(2017·廣東清遠(yuǎn)一中一模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a3＝a2＋2a1，若存在兩項(xiàng)am，an，使得eq\r(aman)＝4a1，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(25,6) D．不存在答案A解析∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a3＝a2＋2a1∴a1q2＝a1q＋2a1即q2＝q＋2，解得q＝－1(舍)或q＝2，∵存在兩項(xiàng)am，an，使得eq\r(aman)＝4a1，∴aman＝16aeq\o\al(2,1)，∴(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16aeq\o\al(2,1)，∴aeq\o\al(2,1)·2m＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)，∴m＋n＝6，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)m＋n))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝eq\f(3,2)(當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m時(shí)取等)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值是eq\f(3,2).故選A.二、填空題11．(2014·天津高考)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為________．答案－eq\f(1,2)解析S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6.故(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－eq\f(1,2)12．(2014·廣東高考)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20答案50解析因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a10·a11＝a9·a12，所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1·a2·…·a20)＝ln(a10·a11)10＝10ln(a10·a11)＝10lne5＝50.13．(2017·廣東潮州二模)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＝2×3n－1(n∈N*)，若bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)，則b1＋b2＋…＋bn＝________.答案eq\f(1,2)－eq\f(1,3n＋1－1)解析由an＝2×3n－1可知數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝eq\f(21－3n,1－3)＝3n－1，則bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)＝eq\f(Sn＋1－Sn,SnSn＋1)＝eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)，則b1＋b2＋…＋bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,S1)－\f(1,S2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,S2)－\f(1,S3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)－\f(1,Sn＋1)))＝eq\f(1,S1)－eq\f(1,Sn＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3n＋1－1).14．一正數(shù)等比數(shù)列前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為32，從這11項(xiàng)中抽去一項(xiàng)后所余下的10項(xiàng)的幾何平均數(shù)為32，那么抽去的這一項(xiàng)是第________項(xiàng)．答案6解析由于數(shù)列的前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為32，所以該數(shù)列的前11項(xiàng)之積為3211＝255.當(dāng)抽去一項(xiàng)后所剩下的10項(xiàng)之積為3210＝250，∴抽去的一項(xiàng)為255÷250＝25.又因a1·a11＝a2·a10＝a3·a9＝a4·a8＝a5·a7＝aeq\o\al(2,6)，∴a1·a2·…·a11＝aeq\o\al(11,6).故有aeq\o\al(11,6)＝255，即a6＝25.∴抽出的應(yīng)是第6項(xiàng)．三、解答題15．(2017·海淀區(qū)模擬)已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝2，a4＝14，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若?n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整數(shù)k的值．解(1)設(shè){an}的公差為d，則d＝eq\f(a4－a1,3)＝4，∴an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，故{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－2(n∈N*)．設(shè)cn＝an－bn，則{cn}為等比數(shù)列．c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，設(shè){cn}的公比為q，則q3＝eq\f(c4,c1)＝8，故q＝2.則cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1.