多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析課件

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2022/12/17多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2022/12/17多目標(biāo)優(yōu)化方法及1多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。研究多于一個(gè)的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實(shí)際問(wèn)題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，衡量一個(gè)方案的好壞往往難以用一個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷，而需要用多個(gè)目標(biāo)來(lái)比較，而這些目標(biāo)有時(shí)不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。1896年法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫(kù)恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個(gè)完全令人滿意的定義。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對(duì)多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng)修正單純形法來(lái)求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對(duì)于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析3求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解

多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成：（1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個(gè)約束條件。（二）對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫(xiě)為如下形式：

一多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析4多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部縮寫(xiě)形式：有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m個(gè)約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析5縮寫(xiě)形式：有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m個(gè)約束方程，（1對(duì)于線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析6對(duì)于線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：式中：多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標(biāo)。對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？▲每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析7多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來(lái)說(shuō)，①的f2目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值f1比②小，因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。在各個(gè)方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說(shuō)明。圖1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析8在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來(lái)說(shuō)，①

而對(duì)于方案⑤、⑥、⑦之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且又沒(méi)有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析9而對(duì)于方案⑤、⑥、⑦之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡(jiǎn)介

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析10效用最優(yōu)化模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡(jiǎn)介為了求是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析11是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。方法一效在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值

i

來(lái)反映原問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，i

應(yīng)滿足：向量形式：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析12在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值i來(lái)反映原方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）

思想:規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過(guò)比較實(shí)際值fi與期望值fi*之間的偏差來(lái)選擇問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，是與第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對(duì)角矩陣。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析13方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）思想:規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：方法三約束模型（極大極小法）

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析14理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，方法四目標(biāo)達(dá)到法

首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析15方法四目標(biāo)達(dá)到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)fi*(i=1,2,…,k),每一個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為i*(i=1,2,…,k)，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析16在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值fi*，同時(shí)給每一個(gè)目標(biāo)賦予一個(gè)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個(gè)目標(biāo)，L個(gè)優(yōu)先級(jí)(L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析17方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）需要預(yù)式中：

di+和di－分別表示與fi相應(yīng)的、與fi*相比的目標(biāo)超過(guò)值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；pl表示第l個(gè)優(yōu)先級(jí)；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級(jí)pl中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析18式中：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析18三目標(biāo)規(guī)劃方法

通過(guò)前面的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國(guó)學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫(kù)伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來(lái)的。后來(lái)，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進(jìn)一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一般性方法——單純形方法。目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析19三目標(biāo)規(guī)劃方法通過(guò)前面的介紹和討論目標(biāo)規(guī)劃模型

給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。1.基本思想：2.目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個(gè)企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價(jià)分別為8萬(wàn)元和10萬(wàn)元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個(gè)單位和1個(gè)單位，需要占用的設(shè)備分別為1單位臺(tái)時(shí)和2單位臺(tái)時(shí)；原材料擁有量為11個(gè)單位；可利用的設(shè)備總臺(tái)時(shí)為10單位臺(tái)時(shí)。試問(wèn)：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析20目標(biāo)規(guī)劃模型給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有

由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，這個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使將上述問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為:（萬(wàn)元）。

甲乙擁有量原材料2111設(shè)備(臺(tái)時(shí))1210單件利潤(rùn)810生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析21由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大

但是，在實(shí)際決策時(shí)，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場(chǎng)等一系列其它條件，如：②超過(guò)計(jì)劃供應(yīng)的原材料，需用高價(jià)采購(gòu)，這就會(huì)使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達(dá)到并超過(guò)計(jì)劃產(chǎn)值指標(biāo)56萬(wàn)元。

這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題，這一問(wèn)題可以運(yùn)用目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。①根據(jù)市場(chǎng)信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢(shì)，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析22但是，在實(shí)際決策時(shí)，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場(chǎng)等一系列其假定有L個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(jí)(K≤L)，n個(gè)變量。在同一優(yōu)先級(jí)pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+、kl-，則多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以表示為：目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析23假定有L個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(jí)(K≤L)，n個(gè)變量。在同一優(yōu)先級(jí)在以上各式中，kl+、kl-、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，

gk為第k個(gè)目標(biāo)的預(yù)期值，

xj為決策變量，

dk+、dk-、分別為第k個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析24在以上各式中，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束多目標(biāo)優(yōu)化方法目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量

在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量d+、d-。其中，正偏差變量表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因?yàn)闆Q策值不可能既超過(guò)目標(biāo)值同時(shí)又未達(dá)到目標(biāo)值，故有d+×d-=0成立。(2)

絕對(duì)約束和目標(biāo)約束

絕對(duì)約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問(wèn)題的所有約束條件都是絕對(duì)約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析25目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量(2)

目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。

線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問(wèn)題的需要將絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與權(quán)系數(shù)

一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而p2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析26目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追

若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與權(quán)系數(shù)

一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而p2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析27若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的(4)目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過(guò)目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過(guò)目標(biāo)值，也就是超過(guò)量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析28(4)目標(biāo)函數(shù)a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺(tái)時(shí)，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬(wàn)元。并分別賦予這三個(gè)目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型。分析:題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含三個(gè)目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1+;即產(chǎn)品甲的產(chǎn)量不大于乙的產(chǎn)量。第二目標(biāo)：p2(d2++d2-);即充分利用設(shè)備的有限臺(tái)時(shí)，不加班；第三目標(biāo)：p3d3-

;即產(chǎn)值不小于56萬(wàn)元；多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析29例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺(tái)時(shí)，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬(wàn)元。并分別賦予這三個(gè)目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型。解：根據(jù)題意，這一決策問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型是多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析30例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例3、某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。(1)試制定生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大？12070單件利潤(rùn)3000103設(shè)備臺(tái)時(shí)200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲單位產(chǎn)品資源消耗解:設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品:x1

，乙產(chǎn)品:x2,(1)多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析31例3、某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料

若在例3中提出下列要求：1、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo)50000元；2、產(chǎn)品甲不超過(guò)200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。分析：題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含四個(gè)目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1-第二目標(biāo)：有兩個(gè)要求即甲d2+，乙d3-，但兩個(gè)具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤(rùn)比作為權(quán)系數(shù)即70:120，化簡(jiǎn)為7:12。第三目標(biāo)：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析32若在例3中提出下列要求：分析：題目有所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析33所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析33

圖解法同樣適用兩個(gè)變量的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但其操作簡(jiǎn)單，原理一目了然。同時(shí)，也有助于理解一般目標(biāo)規(guī)劃的求解原理和過(guò)程。圖解法解題步驟如下：1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件（包括目標(biāo)約束和絕對(duì)約束，暫不考慮正負(fù)偏差變量）在坐標(biāo)平面上表示出來(lái)；2、在目標(biāo)約束所代表的邊界線上，用箭頭標(biāo)出正、負(fù)偏差變量值增大的方向；目標(biāo)規(guī)劃的圖解法

3、求滿足最高優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的解；4、轉(zhuǎn)到下一個(gè)優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)，再不破壞所有較高優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的前提下，求出該優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的解；5、重復(fù)4，直到所有優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)都已審查完畢為止；6、確定最優(yōu)解和滿意解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析34圖解法同樣適用兩個(gè)變量的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但其操作簡(jiǎn)單例4、用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題012345678123456

⑴⑵⑶Ax2

x1BC由于d2-取最小，所以，（2）線可向上移動(dòng)，故B，C線段上的點(diǎn)是該問(wèn)題的最優(yōu)解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析35例4、用圖解法求解目標(biāo)012

例5、已知一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃模型為

其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤(rùn)，x1,x2為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量?，F(xiàn)有下列目標(biāo)：1、要求總利潤(rùn)必須超過(guò)2500元；2、考慮產(chǎn)品受市場(chǎng)影響，為避免積壓，

A、B的生產(chǎn)量不超過(guò)60件和100件；3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過(guò)現(xiàn)有量140。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型，并用圖解法求解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析36例5、已知一個(gè)生產(chǎn)其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤(rùn)，x1,解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤(rùn)比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模型如下：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析37解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤(rùn)比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模0x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD結(jié)論：C(60,58.3)為所求的滿意解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析380x20⑴x1140204060

檢驗(yàn)：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0

；d3+＝d3-＝0

；d2-=0，d2+存在；d4+＝0，d4-存在。所以，有下式：minZ=

將x1＝60，x2＝58.3帶入約束條件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>

140；1×60＝601×58.3＝58.3<100

由上可知：若A、B的計(jì)劃產(chǎn)量為60件和58.3件時(shí)，所需甲資源數(shù)量將超過(guò)現(xiàn)有庫(kù)存。在現(xiàn)有條件下，此解為非可行解。為此，企業(yè)必須采取措施降低A、B產(chǎn)品對(duì)甲資源的消耗量，由原來(lái)的100％降至78.5％（140÷178.3＝0.785），才能使生產(chǎn)方案（60，58.3）成為可行方案。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析39檢驗(yàn)：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法

目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時(shí)作以下規(guī)定：①因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗(yàn)數(shù)為：②因?yàn)榉腔兞康臋z驗(yàn)數(shù)中含有不同等級(jí)的優(yōu)先因子，所以檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于P1的系數(shù)

1j的正負(fù)，若1j

=0，則檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j的正負(fù)，多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析40求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法所以檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j的正、負(fù)，若1j=0，則檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j的正、負(fù)，下面可依此類推。

據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的單純形方法的計(jì)算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗(yàn)數(shù)行按優(yōu)先因子個(gè)數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對(duì)應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對(duì)應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無(wú)負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析41所以檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j的正、負(fù)，①建立初始單純形表，在表中將檢驗(yàn)數(shù)行按優(yōu)先因子個(gè)數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對(duì)應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對(duì)應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無(wú)負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個(gè)和兩個(gè)以上相同的最小比值時(shí)，選取具有較高優(yōu)先級(jí)別的變量為換出變量。④按單純形法進(jìn)行基變換運(yùn)算，建立新的計(jì)算表，返回②。⑤當(dāng)l=L時(shí)，計(jì)算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析42①建立初始單純形表，在表中將檢驗(yàn)數(shù)行按優(yōu)先因子個(gè)數(shù)分別排成L例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題.解：首先將這一問(wèn)題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析43例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題.解：首先將這①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取l=1，檢查檢驗(yàn)數(shù)的p1行，因該行無(wú)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因?yàn)閘=1<L=3，置l=l+1=2，返回②。②檢查發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)數(shù)p2行中有-1，-2，因?yàn)橛衜in{-1,-2}=-2，所以x2為換入變量，轉(zhuǎn)入③。

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析44①取為初始基變量，列出初始單純形表

③按規(guī)則計(jì)算：，所以d2-為換出變量，轉(zhuǎn)入④。

④進(jìn)行換基運(yùn)算，得表3。以此類推，直至得到最終單純形表4為止。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析45③按規(guī)則計(jì)算：表2多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析46表2多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析46表3由表3可知，x1*=2，x2*=4，為滿意解。檢查檢驗(yàn)數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量d3+的檢驗(yàn)數(shù)為0，這表明該問(wèn)題存在多重解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析47表3由表3可知，x1*=2，x2*=4，為滿意解。檢查檢表4

在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換出變量，經(jīng)迭代得到表4。

從表4可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是該問(wèn)題的滿意解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析48表4在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換

用目標(biāo)達(dá)到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計(jì)算過(guò)程，可以通過(guò)調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，如下:多目標(biāo)規(guī)劃的Matlab求解X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析49用目標(biāo)達(dá)到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計(jì)算過(guò)程，可以通過(guò)調(diào)在MATLAB中，多目標(biāo)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為:其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、Aeq為矩陣；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數(shù)；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)；weight為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與用戶定義的目標(biāo)函數(shù)值的接近程度；goal為用戶設(shè)計(jì)的與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值向量；為一個(gè)松弛因子標(biāo)量；F(x)為多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)向量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析50在MATLAB中，多目標(biāo)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為:其中：x、b、be例：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購(gòu)一種原料，市場(chǎng)上這種原材料有兩個(gè)等級(jí)，甲級(jí)單價(jià)2元/kg,乙級(jí)單價(jià)1元/kg，現(xiàn)要求總費(fèi)用不超過(guò)200元，購(gòu)得原料總量不少于100kg,其中甲級(jí)原料不少于50kg，問(wèn)如何確定最好的采購(gòu)方案。分析:列出方程

x1≥50;2x1+x2≤200;x1+x2≥100;x1,x2≥0化為標(biāo)準(zhǔn)形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥0多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析51例：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購(gòu)一種原料，市場(chǎng)上這種原材料有兩個(gè)matlab程序

fun='[2*x(1)+x(2),-x(1)-x(2),-x(1)]';a=[21;-1-1;-10];b=[200-100-20]';goal=[200,-100,-50];weight=goal;x0=[55,55];lb=[0,0]';[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,[],[],lb,[])

化為標(biāo)準(zhǔn)形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥0多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析52matlab程序

fun='[2*x(1)+x(2),-x(Optimizationterminated:Searchdirectionlessthan2*options.TolX

andmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-006):

lower

upper

ineqlin

ineqnonlin

2

2

3x=

50.0000

50.0000fval=

150.0000-100.0000

-50.0000attainfactor=

-1.4476e-024exitflag=

4

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析53Optimizationterminated:Searc一、土地利用問(wèn)題二、生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題三、投資問(wèn)題四多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析54一、土地利用問(wèn)題四多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例多目標(biāo)優(yōu)化方法及大豆一、土地利用問(wèn)題例:

某農(nóng)場(chǎng)I、II、III等耕地的面積分別為100hm2、300hm2和200hm2，計(jì)劃種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如下表所示。若三種作物的售價(jià)分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制訂種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大？

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析55大豆一、土地利用問(wèn)題例:某農(nóng)場(chǎng)I、II、III等耕地的面積

取xij決策變量，它表示在第j等級(jí)的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標(biāo)，那么，目標(biāo)函數(shù)包括：②追求總產(chǎn)值最大①追求總產(chǎn)量最大

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析56取xij決策變量，它表示在第j等級(jí)的耕地上種根據(jù)題意，約束方程包括：

非負(fù)約束

對(duì)上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。耕地面積約束最低收獲量約束多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析57根據(jù)題意，約束方程包括：非負(fù)約束對(duì)上述多目1.用線性加權(quán)方法取1=2=0.5,重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃。用單純形方法對(duì)該問(wèn)題求解，可以得到一個(gè)滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見(jiàn)表多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析581.用線性加權(quán)方法取1=2=0.5,重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的最大取值為6445600。用單純形方法對(duì)該問(wèn)題求解，可以得到一個(gè)滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見(jiàn)表多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析59此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植2.目標(biāo)規(guī)劃方法

實(shí)際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標(biāo)規(guī)劃方法求解上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。如果我們對(duì)總產(chǎn)量f1(X)和總產(chǎn)值f1(X)，分別提出一個(gè)期望目標(biāo)值（kg）（元）并將兩個(gè)目標(biāo)視為相同的優(yōu)先級(jí)。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析602.目標(biāo)規(guī)劃方法實(shí)際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我

如果d1+、d1-分別表示對(duì)應(yīng)第一個(gè)目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，d2+、d2-分別表示對(duì)應(yīng)于第二個(gè)目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，而且將每一個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為1），那么，該目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：對(duì)應(yīng)的兩個(gè)目標(biāo)約束為：即：

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析61如果d1+、d1-分別表示對(duì)應(yīng)第一個(gè)目標(biāo)期望值的正、

除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負(fù)約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束式和最低收獲量約束式；非負(fù)約束，不但包括決策變量的非負(fù)約束式，還包括正、負(fù)偏差變量的非負(fù)約束：解上述目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以得到一個(gè)非劣解方案，詳見(jiàn)表:在此非劣解方案下，兩個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量分別為，，，。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析62除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非二、生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題

某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費(fèi)用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場(chǎng)對(duì)這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問(wèn)該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能既能滿足市場(chǎng)需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤(rùn)達(dá)到最大?分析:該問(wèn)題是一個(gè)線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。如果計(jì)劃決策變量用x1和x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用（單位：元）；f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就是：求x1和x2，使：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析63二、生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)分析:該問(wèn)題是一個(gè)線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。如果計(jì)劃決策變量用x1和x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用（單位：元）；f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就是：求x1和x2，使：而且滿足：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析64分析:該問(wèn)題是一個(gè)線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。而且滿足：多目標(biāo)優(yōu)化

對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每個(gè)月的總投資不超30000元；（2）每個(gè)月的總利潤(rùn)達(dá)到或超過(guò)45000元；（3）兩個(gè)目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計(jì)算工具進(jìn)行求解，可以得到一個(gè)非劣解方案為：而且滿足：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析65對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：而且滿足：

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)按照此方案進(jìn)行生產(chǎn)，該企業(yè)每個(gè)月可以獲得利潤(rùn)44000元，同時(shí)需要投資29700元。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析66而且滿足：[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXI三、投資問(wèn)題

某企業(yè)擬用1000萬(wàn)元投資于A、B兩個(gè)項(xiàng)目的技術(shù)改造。設(shè)x1、x2分別表示分配給A、B項(xiàng)目的投資（萬(wàn)元）。據(jù)估計(jì)，投資項(xiàng)目A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風(fēng)險(xiǎn)損失，與總投資和單項(xiàng)投資均有關(guān)系：

據(jù)市場(chǎng)調(diào)查顯示，A項(xiàng)目的投資前景好于B項(xiàng)目，因此希望A項(xiàng)目的投資額不小B項(xiàng)目。試問(wèn)應(yīng)該如何在A、B兩個(gè)項(xiàng)目之間分配投資，才能既使年利潤(rùn)最大，又使風(fēng)險(xiǎn)損失為最??？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析67三、投資問(wèn)題某企業(yè)擬用1000萬(wàn)元投資于A

該問(wèn)題是一個(gè)非線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，將它用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)，就是：求x1、x2，使：而且滿足：

對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每一年的總收益不小于600萬(wàn)元；（2）希望投資風(fēng)險(xiǎn)損失不超過(guò)800萬(wàn)元；（3）兩個(gè)目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab軟件中的優(yōu)化計(jì)算工具進(jìn)行求解，可以得到一個(gè)非劣解方案為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析68該問(wèn)題是一個(gè)非線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，將它用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述

x1＝646.3139萬(wàn)元，x2＝304.1477萬(wàn)元此方案的投資風(fēng)險(xiǎn)損失為799.3082萬(wàn)元，每一年的總收益為600.6918萬(wàn)元。matlab程序

fun='[-0.60*x(1)-0.70*x(2),0.001*x(1)^2+0.002*x(2)^2+0.001*x(1)*x(2)]';a=[-1,1];b=[0];Aeq=[1,1];beq=[1000];goal=[600,800];weight=goal;x0=[600,600];lb=[0,0];[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,Aeq,beq,lb,[])

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析69x1＝646.3139萬(wàn)元，x2＝304.1477萬(wàn)練習(xí)1：用圖解法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析70練習(xí)1：用圖解法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析⑴⑵⑶⑷CD結(jié)論：有無(wú)窮多最優(yōu)解。C（2，4）D（10/3，10/3）多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析71⑴⑵⑶⑷CD結(jié)論：有無(wú)窮多最優(yōu)解。C（2，4）D（10/3，練習(xí)2：用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析72練習(xí)2：用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

001－11－100000P21012001－1000

P3

5681000001－100x3

11210000001σkjP1

0000100000P2

－10－1－20002000P3

－56－8－100000010θ=min{10/2,56/10,11/1｝=5,故為換出變量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析73Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2x3

023/201－11/2-1/20000x251/21001/2-1/2000

P3

63000-551－100

x3

63/2000-1/21/2001σkjP1

0000100000P2

0000011000P3

－6－30005-5010θ=min｛10/3,10,6/3,12/3｝=2,故為換出變量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析74Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2xCj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2x3

02001－13-3-1/21/200x2401004/3-4/3-1/61/600x121000-5/35/31/3-1/300x3

300002-2-1/21/21σkjP1

0000100000P2

0000011000P3

0000000100最優(yōu)解為x1＝2，x2＝4。但非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為零，故此題有無(wú)窮多最優(yōu)解。θ=min｛4,24,6｝=4,故為換出變量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析75Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2x演講完畢，謝謝聽(tīng)講!再見(jiàn)，seeyouagain3rew2022/12/17多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析演講完畢，謝謝聽(tīng)講!再見(jiàn)，seeyouagain3rew76多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2022/12/17多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2022/12/17多目標(biāo)優(yōu)化方法及77多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。研究多于一個(gè)的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實(shí)際問(wèn)題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，衡量一個(gè)方案的好壞往往難以用一個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷，而需要用多個(gè)目標(biāo)來(lái)比較，而這些目標(biāo)有時(shí)不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。1896年法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫(kù)恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個(gè)完全令人滿意的定義。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析78多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析2求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對(duì)多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng)修正單純形法來(lái)求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對(duì)于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析79求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解

多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成：（1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個(gè)約束條件。（二）對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫(xiě)為如下形式：

一多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析80多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部縮寫(xiě)形式：有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m個(gè)約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析81縮寫(xiě)形式：有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m個(gè)約束方程，（1對(duì)于線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析82對(duì)于線性多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：式中：多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標(biāo)。對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？▲每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析83多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來(lái)說(shuō)，①的f2目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值f1比②小，因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。在各個(gè)方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說(shuō)明。圖1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析84在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來(lái)說(shuō)，①

而對(duì)于方案⑤、⑥、⑦之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且又沒(méi)有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析85而對(duì)于方案⑤、⑥、⑦之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡(jiǎn)介

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析86效用最優(yōu)化模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡(jiǎn)介為了求是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析87是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。方法一效在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值

i

來(lái)反映原問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，i

應(yīng)滿足：向量形式：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析88在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值i來(lái)反映原方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）

思想:規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過(guò)比較實(shí)際值fi與期望值fi*之間的偏差來(lái)選擇問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，是與第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對(duì)角矩陣。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析89方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）思想:規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：方法三約束模型（極大極小法）

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析90理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，方法四目標(biāo)達(dá)到法

首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析91方法四目標(biāo)達(dá)到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)fi*(i=1,2,…,k),每一個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為i*(i=1,2,…,k)，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析92在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值fi*，同時(shí)給每一個(gè)目標(biāo)賦予一個(gè)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個(gè)目標(biāo)，L個(gè)優(yōu)先級(jí)(L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析93方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）需要預(yù)式中：

di+和di－分別表示與fi相應(yīng)的、與fi*相比的目標(biāo)超過(guò)值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；pl表示第l個(gè)優(yōu)先級(jí)；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級(jí)pl中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析94式中：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析18三目標(biāo)規(guī)劃方法

通過(guò)前面的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國(guó)學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫(kù)伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來(lái)的。后來(lái)，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進(jìn)一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一般性方法——單純形方法。目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析95三目標(biāo)規(guī)劃方法通過(guò)前面的介紹和討論目標(biāo)規(guī)劃模型

給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。1.基本思想：2.目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個(gè)企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價(jià)分別為8萬(wàn)元和10萬(wàn)元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個(gè)單位和1個(gè)單位，需要占用的設(shè)備分別為1單位臺(tái)時(shí)和2單位臺(tái)時(shí)；原材料擁有量為11個(gè)單位；可利用的設(shè)備總臺(tái)時(shí)為10單位臺(tái)時(shí)。試問(wèn)：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析96目標(biāo)規(guī)劃模型給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有

由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，這個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使將上述問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為:（萬(wàn)元）。

甲乙擁有量原材料2111設(shè)備(臺(tái)時(shí))1210單件利潤(rùn)810生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析97由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大

但是，在實(shí)際決策時(shí)，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場(chǎng)等一系列其它條件，如：②超過(guò)計(jì)劃供應(yīng)的原材料，需用高價(jià)采購(gòu)，這就會(huì)使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達(dá)到并超過(guò)計(jì)劃產(chǎn)值指標(biāo)56萬(wàn)元。

這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題，這一問(wèn)題可以運(yùn)用目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。①根據(jù)市場(chǎng)信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢(shì)，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析98但是，在實(shí)際決策時(shí)，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場(chǎng)等一系列其假定有L個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(jí)(K≤L)，n個(gè)變量。在同一優(yōu)先級(jí)pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+、kl-，則多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以表示為：目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析99假定有L個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(jí)(K≤L)，n個(gè)變量。在同一優(yōu)先級(jí)在以上各式中，kl+、kl-、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，

gk為第k個(gè)目標(biāo)的預(yù)期值，

xj為決策變量，

dk+、dk-、分別為第k個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析100在以上各式中，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束多目標(biāo)優(yōu)化方法目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量

在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量d+、d-。其中，正偏差變量表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因?yàn)闆Q策值不可能既超過(guò)目標(biāo)值同時(shí)又未達(dá)到目標(biāo)值，故有d+×d-=0成立。(2)

絕對(duì)約束和目標(biāo)約束

絕對(duì)約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問(wèn)題的所有約束條件都是絕對(duì)約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析101目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量(2)

目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。

線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問(wèn)題的需要將絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與權(quán)系數(shù)

一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而p2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析102目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追

若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與權(quán)系數(shù)

一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而p2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析103若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的(4)目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過(guò)目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過(guò)目標(biāo)值，也就是超過(guò)量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析104(4)目標(biāo)函數(shù)a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺(tái)時(shí)，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬(wàn)元。并分別賦予這三個(gè)目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型。分析:題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含三個(gè)目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1+;即產(chǎn)品甲的產(chǎn)量不大于乙的產(chǎn)量。第二目標(biāo)：p2(d2++d2-);即充分利用設(shè)備的有限臺(tái)時(shí)，不加班；第三目標(biāo)：p3d3-

;即產(chǎn)值不小于56萬(wàn)元；多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析105例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺(tái)時(shí)，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬(wàn)元。并分別賦予這三個(gè)目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型。解：根據(jù)題意，這一決策問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型是多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析106例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例3、某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。(1)試制定生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大？12070單件利潤(rùn)3000103設(shè)備臺(tái)時(shí)200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲單位產(chǎn)品資源消耗解:設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品:x1

，乙產(chǎn)品:x2,(1)多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析107例3、某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料

若在例3中提出下列要求：1、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo)50000元；2、產(chǎn)品甲不超過(guò)200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。分析：題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含四個(gè)目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1-第二目標(biāo)：有兩個(gè)要求即甲d2+，乙d3-，但兩個(gè)具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤(rùn)比作為權(quán)系數(shù)即70:120，化簡(jiǎn)為7:12。第三目標(biāo)：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析108若在例3中提出下列要求：分析：題目有所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析109所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析33

圖解法同樣適用兩個(gè)變量的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但其操作簡(jiǎn)單，原理一目了然。同時(shí)，也有助于理解一般目標(biāo)規(guī)劃的求解原理和過(guò)程。圖解法解題步驟如下：1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件（包括目標(biāo)約束和絕對(duì)約束，暫不考慮正負(fù)偏差變量）在坐標(biāo)平面上表示出來(lái)；2、在目標(biāo)約束所代表的邊界線上，用箭頭標(biāo)出正、負(fù)偏差變量值增大的方向；目標(biāo)規(guī)劃的圖解法

3、求滿足最高優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的解；4、轉(zhuǎn)到下一個(gè)優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)，再不破壞所有較高優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的前提下，求出該優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的解；5、重復(fù)4，直到所有優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)都已審查完畢為止；6、確定最優(yōu)解和滿意解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析110圖解法同樣適用兩個(gè)變量的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但其操作簡(jiǎn)單例4、用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題012345678123456

⑴⑵⑶Ax2

x1BC由于d2-取最小，所以，（2）線可向上移動(dòng)，故B，C線段上的點(diǎn)是該問(wèn)題的最優(yōu)解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析111例4、用圖解法求解目標(biāo)012

例5、已知一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃模型為

其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤(rùn)，x1,x2為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量?，F(xiàn)有下列目標(biāo)：1、要求總利潤(rùn)必須超過(guò)2500元；2、考慮產(chǎn)品受市場(chǎng)影響，為避免積壓，

A、B的生產(chǎn)量不超過(guò)60件和100件；3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過(guò)現(xiàn)有量140。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型，并用圖解法求解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析112例5、已知一個(gè)生產(chǎn)其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤(rùn)，x1,解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤(rùn)比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模型如下：多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析113解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤(rùn)比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模0x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD結(jié)論：C(60,58.3)為所求的滿意解。多目標(biāo)優(yōu)化方法及實(shí)例解析1140x20⑴x1140204060

檢驗(yàn)：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0

；d3+＝d3-＝0

；d2-=0，d2+存在；d4+＝0，d4-存在。所以，有下式：minZ=

將x1＝60，x2＝58.3帶入約束條件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>

140；1×60＝601×58.3＝