2023年高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時(shí)27《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》達(dá)標(biāo)練習(xí)（教師版）

2023年高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時(shí)27《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》達(dá)標(biāo)練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=eq\f(1,2n－15)，則其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為()A.1，－eq\f(1,7)B.0，－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7)，－eq\f(1,7)D.1，－eq\f(1,11)【答案解析】答案為：A解析：由題意知a1=－eq\f(1,13)，a2=－eq\f(1,11)，a3=－eq\f(1,7)，a4=1，則當(dāng)n≥4時(shí)，an＞0.又當(dāng)n≥5時(shí)，an－an－1=eq\f(1,2n－15)－eq\f(1,2n－1－15)=eq\f(－2n－1,2n－152n－1－15)＜0，所以an＜an－1，于是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為1，最小項(xiàng)為－eq\f(1,7).LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，{Sn＋nan}為常數(shù)列，則an等于()A.eq\f(1,3n－1)B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.eq\f(5－2n,3)【答案解析】答案為：B；解析：由題意知，Sn＋nan=2，當(dāng)n≥2時(shí)，(n＋1)an=(n－1)an－1，從而eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)=eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－1,n＋1)，有an=eq\f(2,nn＋1)，當(dāng)n=1時(shí)上式成立，所以an=SKIPIF1<0.LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2＋kn＋2，若對(duì)所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(0，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－2，＋∞)D.(－3，＋∞)【答案解析】答案為：D；解析：an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，則k＞－(2n＋1)對(duì)所有的n∈N*都成立，而當(dāng)n=1時(shí)，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)an=eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么an＋1－an=()A.eq\f(1,2n＋1)B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)【答案解析】答案為：D解析：∵an=eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n＋n－1)＋eq\f(1,n＋n)，n∈N*，∴an＋1=eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n＋1＋n－1)＋eq\f(1,n＋1＋n)＋eq\f(1,n＋1＋n＋1)，n∈N*，故an＋1－an=eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)=eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列{an}滿足an＋1=eq\f(1,1－an)，若a1=eq\f(1,2)，則a2019=()A.－1B.eq\f(1,2)C.1D.2【答案解析】答案為：A；解析：由a1=eq\f(1,2)，an＋1=eq\f(1,1－an)，得a2=eq\f(1,1－a1)=2，a3=eq\f(1,1－a2)=－1，a4=eq\f(1,1－a3)=eq\f(1,2)，a5=eq\f(1,1－a4)=2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2018=a3×672＋3=a3=－1.LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列{an}滿足a1=2,2anan＋1=aeq\o\al(2,n)＋1，設(shè)bn=eq\f(an－1,an＋1)，則數(shù)列{bn}是()A.常數(shù)列B.擺動(dòng)數(shù)列C.遞增數(shù)列D.遞減數(shù)列【答案解析】答案為：D；解析：∵2anan＋1=aeq\o\al(2,n)＋1，∴an＋1=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))，∵bn=eq\f(an－1,an＋1)，∴bn＋1=eq\f(an＋1－1,an＋1＋1)=eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))－1,\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))＋1)=eq\f(an－12,an＋12)=beq\o\al(2,n)，∴bn＋1－bn=beq\o\al(2,n)－bn=bn(bn－1)，∵a1=2，b1=eq\f(2－1,2＋1)=eq\f(1,3)，∴b2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，∴b3=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4，b4=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))8，∴數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A.an=n2B.an=(－1)n·n2C.an=(－1)n＋1·n2D.an=(－1)n·(n＋1)2【答案解析】答案為：B；解析：易知數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(－1)n·n2，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)=eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A.an=nB.an=n2C.an=eq\f(n,2)D.an=eq\f(n2,2)【答案解析】答案為：B；解析：∵eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)=eq\f(nn＋1,2)，∴eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)=eq\f(nn－1,2)(n≥2)，兩式相減得eq\r(an)=eq\f(nn＋1,2)－eq\f(nn－1,2)=n(n≥2)，∴an=n2(n≥2).又當(dāng)n=1時(shí)，eq\r(a1)=eq\f(1×2,2)=1，a1=1，適合上式，∴an=n2，n∈N*.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3定義eq\f(n,p1＋p2＋…＋pn)為n個(gè)正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為eq\f(1,5n)，又bn＝eq\f(an,5).則b10等于()A.15B.17C.19D.21【答案解析】答案為：C解析：由eq\f(n,a1＋a2＋…＋an)＝eq\f(1,5n)得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5n2，則Sn－1＝5(n－1)2(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝10n－5(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝5也滿足.故an＝10n－5，bn＝2n－1，b10＝2×10－1＝19.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3數(shù)列{an}滿足：a1=1，且對(duì)任意的m，n∈N*，都有am＋n=am＋an＋mn，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a2018)=()A.eq\f(2017,2018)B.eq\f(2018,2019)C.eq\f(4034,2018)D.eq\f(4036,2019)【答案解析】答案為：D；解析：∵a1=1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am＋n=am＋an＋mn，∴an＋1=an＋n＋1，即an＋1－an=n＋1，用累加法可得an=a1＋eq\f(n－1n＋2,2)=eq\f(nn＋1,2)，∴eq\f(1,an)=eq\f(2,nn＋1)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a2018)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2018)－\f(1,2019)))=eq\f(4036,2019)，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3如果數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=1，且eq\f(an－1－an,an－1)=eq\f(an－an＋1,an＋1)(n≥2)，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)等于()A.eq\f(1,210)B.eq\f(1,29)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)【答案解析】答案為：C解析：∵eq\f(an－1－an,an－1)=eq\f(an－an＋1,an＋1)，∴1－eq\f(an,an－1)=eq\f(an,an＋1)－1，即eq\f(an,an－1)＋eq\f(an,an＋1)=2，∴eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)=eq\f(2,an)，故{eq\f(1,an)}是等差數(shù)列.又∵d=eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)=eq\f(1,2)，∴eq\f(1,a10)=eq\f(1,2)＋9×eq\f(1,2)=5，故a10=eq\f(1,5).LISTNUMOutlineDefault\l3若數(shù)列{an}滿足(n－1)an=(n＋1)an－1(n≥2)且a1=2，則滿足不等式an＜462的最大正整數(shù)n為()A.19B.20C.21D.22【答案解析】答案為：B解析：由(n－1)an=(n＋1)an－1得，eq\f(an,an－1)=eq\f(n＋1,n－1)，則an=a1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a1)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,a2)))×…×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,an－1)))=2×eq\f(3,1)×eq\f(4,2)×…×eq\f(n＋1,n－1)=n(n＋1).又an＜462，即n(n＋1)＜462，所以n2＋n－462＜0，即(n－21)(n＋22)＜0，因?yàn)閚＞0，所以n＜21.故所求的最大正整數(shù)n=20.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=eq\f(1,3)an＋eq\f(2,3)，則{an}的通項(xiàng)公式an=________.【答案解析】答案為：(－eq\f(1,2))n－1解析：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=eq\f(1,3)a1＋eq\f(2,3)，∴a1=1;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=eq\f(1,3)an－eq\f(1,3)an－1，∴eq\f(an,an－1)=－eq\f(1,2).∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1，公比q=－eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故an=(－eq\f(1,2))n－1.LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an＋1=3Sn，則an=__________.【答案解析】答案為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2)).解析：[由an＋1=3Sn，得an=3Sn－1(n≥2)，兩式相減可得an＋1－an=3Sn－3Sn－1=3an(n