初中數(shù)學(xué)華東師大九年級(jí)上冊(cè)解直角三角形銳角三角函數(shù)精品PPT

ABC┌如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，角：∠A+∠B

＝90°邊：AC2+BC2=AB2勾股定理在直角三角形中，邊與角之間有什么關(guān)系呢？問(wèn)題1

為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的長(zhǎng).ABC

思考：你能將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？情境探究

根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，即ABC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的長(zhǎng).可得AB=2BC=70m，即需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管。在上面的問(wèn)題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于。?思考ABC50m30mB'C'

即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于。

如圖，任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比

，你能得出什么結(jié)論？ABC

綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，

一般地，當(dāng)∠A

取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？結(jié)論問(wèn)題

當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；

當(dāng)∠A＝45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值.探究ABCA'B'C'

任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽R(shí)t△A’B’C’

這就是說(shuō)，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值．探究

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中∠A的對(duì)邊記作a∠B的對(duì)邊記作b∠C的對(duì)邊記作c

正弦注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；sinA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34

例題示范ABC135(1)(2)試著完成圖（2）求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比練習(xí)AC35B2、在平面直角平面坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3，0)和B(0，-4)，則sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AC=2，BC=4，則sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,則sin∠A=___.1、如圖，求sinA和sinB的值．小試牛刀5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，則sinA的（）．

A．BAＣB7.如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，BC的長(zhǎng)是

．6.若sin（65°-∠A)=,則∠A=

20°8O8、如圖2：P是平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4），則sin=

P(3,4)A9、如圖，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面積。BAC5510.在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值（）A.擴(kuò)大100倍B.縮小C.不變D.不能確定C練一練11.

ACB37300則sinA=______.121.正弦的定義:3.sinA是∠A的函數(shù).ABC∠A的對(duì)邊┌斜邊斜邊∠A的對(duì)邊sinA=2.Sin30°=sin45°=回味無(wú)窮sin60°=4.sinA是線(xiàn)段之間的一個(gè)比值，sinA沒(méi)有單位28.1銳角三角函數(shù)（2）——余弦正切1、sinA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角.2、sinA是一個(gè)比值（數(shù)值）.3、sinA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，特殊角的正弦函數(shù)值正弦復(fù)習(xí)與探究：

1.銳角正弦的定義在中，

∠A的正弦：2、當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定。此時(shí)，其他邊之間的比是否也隨之確定？為什么？新知探索:1、你能將“其他邊之比”用比例的式子表示出來(lái)嗎？這樣的比有多少？2、當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定嗎？為什么？交流并說(shuō)出理由。方法一：從特殊到一般，仿照正弦的研究過(guò)程；方法二：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明。

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜邊c對(duì)邊a鄰邊b★我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即★我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即注意cosA，tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的余弦、正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；cosA，tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”rldmm8989889rldmm8989889

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。

同樣地，

cosA，tanA也是A的函數(shù)。

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).rldmm8989889ABC6例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．rldmm8989889例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．ABC23延伸：由上面的計(jì)算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么規(guī)律嗎？結(jié)論：一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦，或一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦。練習(xí)課本P78練習(xí)1，2，3.補(bǔ)充練習(xí)

1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.rldmm8989889ABCD補(bǔ)充練習(xí)2、如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和點(diǎn)B到直線(xiàn)MC的距離．rldmm89898893、如圖所示，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：1、如圖,在Rt△ABC中,銳角A的鄰邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍,tanA的值（）A.擴(kuò)大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定ABCC2、下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對(duì)邊、鄰邊.ABCDBCACBDAD1.（2011·湖州中考）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為()A.2B．C．D．【解析】選B.根據(jù)正切的函數(shù)定義，角A的正切應(yīng)是它的對(duì)邊與鄰邊的比，所以B是正確，A是∠B的正切；C和D都錯(cuò)．BBAEDC30°A2.（2010·黃岡中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝則tanB＝（）3.（2010·丹東中考）如圖，小穎利用有一個(gè)銳角是30°的三角板測(cè)量一棵樹(shù)的高度，已知她與樹(shù)之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m（即小穎的眼睛距地面的距離），那么這棵樹(shù)高是（）B4．（2010·懷化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=則cosB的值等于（）5.（2010·東陽(yáng)中考）如圖，為了測(cè)量河兩岸A.B兩點(diǎn)的距離，在與AB垂直的方向點(diǎn)C處測(cè)得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（）A.a·sinαB.a·tanα

C.a·cosαD.ABCaα【解析】選B.在Rt△ABC中，tanα=

所以AB=a·tanα【規(guī)律方法】1.sinA,cosA是在直角三角形中定義的,∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形)；2.sinA,cosA是一個(gè)完整的符號(hào),表示∠A的正弦、余弦,習(xí)慣省去“∠”符號(hào)；3.sinA,cosA的大小只與∠A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).在Rt△ABC中28.1銳角三角函數(shù)（3）rldmm8989889

AB

C∠A的對(duì)邊a∠A的鄰邊b斜邊crldmm8989889?思考

請(qǐng)同學(xué)們拿出自己的學(xué)習(xí)工具——一副三角尺，思考并回答下列問(wèn)題：1、這兩塊三角尺各有幾個(gè)銳角？它們分別等于多少度？2、每塊三角尺的三邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？如果設(shè)每塊三角尺較短的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)你說(shuō)出未知邊的長(zhǎng)度。30°60°45°121145°新知探索:30°角的三角函數(shù)值sin30°=cos30°=tan30°=rldmm8